第3章正交多项式系
正交多项式
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
正交函数族与正交多项式
正交多项式正交函数族与正交多项式1、什么是权函数？定义4：设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：（1）∫x k ρ(x )dx ba 存在且为有限值（k=0,1，…）；（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0ba ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。
2、什么是内积？内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx baρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx ba ，常用ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念定义5若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0ba , (2.1)则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.ba (2.2)则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三角函数1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…解：在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：(1,1)=∫1×1dx =π−ππ−(−π)=2π(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π−πdkx =π同理(cos kx,cos kx,)=π任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π−πdkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族。
正交多项式是数学研究领域热点之一。
许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值。
本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合，最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔(Laguerre)多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory, such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting, mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering, scientific computing, regression analysis, probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value.Firstly, this paper gives the definition of orthogonal polynomials,.Moreover, it discusses on the Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial and proves some properties .Lastly, the orthogonal polynomial in data fitting, the best square approach and application in probability are discussed in this paper.Keywords: orthogonal polynomial, Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial,data fitting,The best square approximation, probabilistic analysis目录前言 (1)第1章正交多项式 (2)1.1 积分型正交多项式的定义和性质： (2)1.2 正交多项式的构造： (3)1.2.1 生成的集合 (3)1.2.2 施密特正交化 (3)1.3 正交多项式的性质： (4)第2章常用的正交多项式 (6)2.1 勒让德（Legendre）多项式 (6)2.1.1 首项系数 (6)2.1.2 性质 (7)2.1.3 Legendre微分方程 (8)2.2 切比雪夫（Chebyshev）多项式 (9)2.2.1 第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式 (9)2.2.2 第二类切比雪夫（Chebyshev）多项式 (12)2.3 拉盖尔(Laguerre)多项式 (13)2.3.1 定义： (13)2.3.2 拉盖尔多项式的性质 (14)2.3.3 拉盖尔微分方程 (15)2.4 艾尔米特（Hermite）多项式 (15)2.4.1 定义 (15)2.4.2 性质 (15)2.4.3 Hermite微分方程 (16)第3章正交多项式在科学计算中的应用 (17)3.1 正交多项式在数据拟合中的应用 (17)3.1.1 正交多项式最小二乘法拟合原理 (17)3.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用 (23)3.2.1 最佳平方逼近 (23)3.2.2 正交多项式的最佳平方逼近 (25)3.2.3 最佳平方逼近的MATLAB实现 (28)3.3 正交多项式在概率分析中的应用 (29)3.3.1 矩与概率分布的关系 (29)3.3.2 极限状态函数的矩 (30)3.3.3 极限状态函数的概率密度函数的正交多项式逼近 (30)3.3.4 计算失效概率 (31)参考文献 (33)前言正交多项式在国家数学研究中是一个非常活跃的领域，它与数学、物理以及其它科学领域都有着密切联系。
3.3.3 常用的正交多项式
Tn在区间[-1, 1]上有
个不同os , 2n
k 1, 2,..., n
2、Legendre(勒让德)多项式 (1)定义
多项式
1 dn p n ( x) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx
称为n 次勒让德多项式。
3.3.3 常用的正交多项式
1、第一类切比雪夫多项式
(1)定义
Tn cos n arccos x , x 1
(2)性质
正交性：
切比雪夫多项式序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x
2
的正交多项式序列。
且
(Tm ( x), Tn ( x))
(n 1, 2, )
n
( x) e
x2
的正交多项式序列。
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
(n 1, 2,
)
(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式
定义： 称多项式
n d Ln ( x) e x n ( x n e x ), (0 x ) dx (n 0, 1, 2, )
为拉盖尔多项式。
拉盖尔多项式的性质： ① 是在区间[0, +∞]上带权 Ln x 的正交多项式序列。 x e x
(n 0, 1, 2, )
(2)性质
正交性 勒让德多项式序列 的正交多项式序列。即
数学中的正交多项式理论研究
数学中的正交多项式理论研究正交多项式是数学中的一种重要概念，在统计学、物理学、工程学、金融等领域中都有广泛的应用。
它们的理论研究也是现代数学中的一个重要分支。
本篇文章将介绍正交多项式的基本概念、性质和应用，并简要探讨正交多项式的研究现状。
一、正交多项式的基本概念正交多项式是一组相互正交的多项式。
简单来说，就是它们在一定的定义域内满足一定的正交性质。
其中最著名的就是勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式。
勒让德多项式是指满足勒让德方程 $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n)$ 的多项式 $P_n(x)$。
勒让德多项式是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $[-1,1]$ 上相互正交。
勒让德多项式具有广泛的应用，如估计球形体积、计算球面积、解决一些微积分方程等。
拉盖尔多项式是指满足拉格尔方程 $x y''+(1-x)y'+ny=0$ 的多项式 $L_n(x)$。
拉盖尔多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $(0,\infty)$ 上相互正交。
拉格尔多项式是用来描述一堆相互独立的分子通过碰撞而达到热平衡时，粒子的能量分布和概率分布的函数。
埃尔米特多项式是指满足埃尔米特方程 $y''-2xy'+2ny=0$ 的多项式 $H_n(x)$。
埃尔米特多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $(-\infty,\infty)$ 上相互正交。
埃尔米特多项式常被应用于描述量子力学中粒子的状态，特别是谐振子的状态。
切比雪夫多项式是指满足切比雪夫方程 $(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$ 的多项式 $T_n(x)$。
切比雪夫多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $[-1,1]$ 上相互正交。
切比雪夫多项式常用于数值逼近和信号处理等领域中。
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
3.2 正交多项式
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式
多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1,
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
正交多项式
一、正交化手续
定义6 设 g n ( x ) 是 [ a , b ]上首项系数 , 若多项式序列 a n 0 的 n 次多项式 , ( x ) { g n ( x )} 0 ,满足正交性
为 [ a , b ]上的权函数 (g i ,g k )
b a
0, i k ( x ) g i ( x ) g k ( x ) dx ( i , k 0 ,1 , ) A k 0, i k
则称 { g n ( x )} 0 为以 ( x ) 为权函数的 称 g n ( x ) 为以 ( x ) 为权函数的
[ a , b ]上的正交多项式序列 .
.
[ a , b ]上的 n 次正交多项式
n
只要给定 [ a , b ]上的权函数 正交化手续立得正交正
g 0 ( x ) 1,
2 1 1 Q n (
n1 ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ x ) dx ( Pn , Pn ) a k ( Pk , Pk ) ( Pn , Pn ) k0
当且仅当 a i 0 时，等式成立。即当
~ Q n ( x ) Pn ( x ) 时平方误差最小。
令： x
ba 2
( n 0 ,1 , 2 , )
m n, 0, Pm ( x ) Pn ( x )d x 2 , m n. 2n 1
证： ( i) 当 m n 时 , 不妨 m n . 做 m 次分部积分
1 1
Pm ( x ) Pn ( x )d x
1 2
( 3 x 1 ),
3
2
[ 2 ( n 1 )]!
数值分析第8讲正交多项式 56页PPT文档
b
(k,Q k1)a (x)kQ k1d x0
(k1,2,...)
特 别 Q k 1(x )取 j(x )： (k,j)a b(x )k(x )j(x )d x 0 (j1 ,2 ,.k . .1 )
又 (k ,k ) 2 k ( x ) 0 a b( x )2 k ( x ) d 0 x
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
内积空间常用的范数为： u (u,u)
C[a, b]上的内积定义为：
b
(f(x )g ,(x ) ) a (x )f(x )g (x )dx
范数定义为：
f(x)
(
b
1
f2(x)dx)2
Heut-lcf163
定理3 Gram矩阵
设X为一内积空间，u1 , u2 ,...un X ,
(u1 , u1 ) (u1 , u2 ) ... (u1 , un )
G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
2
a
Heut-lcf163
内积空间的重要结论 定理2 Cauchy-Schwarz不等式
设X是一内积空间 u,v,， X对 ,有 (u,v)2 (u,u)(v,v)
特别地
( x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ) 2 ( x 1 2 x 2 2 x 3 2 )y 1 2 y 2 2 y 3 2
于 是 得x首 n的项 系an数 2(n2(nn!))!2 .显 然 最 高 项1 系 的勒让德多项式为
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
正交多项式
正交多项式
若首项系数 an ≠ 0 的 n 次多项式 ϕ n ( x) ，满足
b 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x)ϕ j ( x)ϕ k ( x) d x = a Ak > 0
j ≠ k, j = k;
( j , k = 0,1,L)
就称多项式序列 ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n ，在 [a, b] 上带权 ρ ( x) 正交， 并称 ϕ n ( x) 是 [a, b] 上带权 ρ ( x) 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 {ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 是区间 [a, b] 上关于权函数 ρ ( x) ≥ 0 的 正交函数族。
ϕ ( x) =
( f , ϕ0 ) ( f , ϕ1 ) ( f ,ϕ2 ) ϕ 0 ( x) + ϕ1 ( x) + ϕ 2 ( x) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ 2 , ϕ 2 )
≈ −4.1225 x 2 + 4.1225 x − 0.05047
4－1 勒让德多项式 当区间为［－1，1］ ，权函数 ρ ( x) ≡ 1 时，由 {1, x,L , x ,L} 正交化得到的多项式就称
( xϕ1 , ϕ1 ) α2 = = (ϕ1 , ϕ1 )
1 2
∫
1 x( x − ) 2 dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x − 2 ) dx
1 0
(ϕ , ϕ ) β2 = 1 1 = (ϕ 0 , ϕ 0 )
∫ (x − 2) ∫ 1dx
0 1 0
1
1
2
dx
正交多项式
首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1
0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)
1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1
2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故
1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).
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G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇 异 u1,u2,.u .n.线性无关
Heut-lcf163
第2节 正交多项式
Heut-lcf163
一、正交多项式的概念
定义 若f(x)，g(x)C0a,b，(x)为a,b上的权函
HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
heut-liucf163 heut08yjs163
第三章 函数逼近
函数逼近
1
函数逼近的基本概念
正交多项式的基本概念
正交函数系的性质
正交多项式的构造
函数的最佳平方逼近
Heut-lcf163
第1节 函数逼近的基本概念
Heut-lcf163
函数逼近
则｛S, •｝称为赋范线性空间。 内积与内积空间 N维数量空间内积
(x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 . .x .n y n (x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3
Heut-lcf163
推而广之 设 X是数 K域 (或 RC）上的线性 u空 ,v间 X, ， 有 K中一个数与为 之(u对 ,v)它 ,应满 ，足 记以下
（ 1） (u,v)(v,u)
(2)(u,v)(u,v) (3)(uv,w)(u,w)(v,w) u,v,wX,K
(4)(u,v)0,当 且 仅 u0当 时(u， ,u)＝ 0
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
2_正交多项式
k 2
◆ 确定系数 {d i }i 0
k -2
( f k 1 a k xf k , f m ) ( f k 1 , f m ) a k ( f k , xf m ) 0
k 2 i0
另一方面
( f k 1 a k xf k , f m ) ( d i f i d k 1 f k 1 d k f k , f m )
(反证)假设 f n (x ) 在 (a , b ) 内无实根 (反 证 )假 设 为 重 根 , 则至少是二重的 f n (x ) 在 (a , b ) 内恒正或恒负
2
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
f n ( x) ( x ) qn2 ( x)
而
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
k 2 i0
下面逐步确定组合系数
d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012
yfnie@
6
(续1)
for m k 2 :
f k 1 ( x ) a k xf k ( x ) d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012 yfnie@ 1
3.1 线性无关性
正 交 多项 式系 f i i 0 中 任 意 m 个 函数 f i1 ( x ), f i 2 ( x ), , f im ( x )
线 性 无关 (非负 整数 i 1 , i 2 , , i m 互 不 相 同 ).
P0 (x ) 1 ;
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
伯恩斯坦多项式
i 1 n
1 -范数
1 2
x
2
n 2 xi i 1
2 -范数
类似地，在连续函数空间C[a, b] ，可定 义三种常用的范数如下： -范数 f max f ( x)
a x b
f
f
1
f ( x) dx
a
b f 2 ( x)dx a 1 2
3.1.3 内积与内积空间
定理：设
X
为一个内积空间，对 u, v X
2
有
(u, v) (u, u )( v, v)
成立，该不等式称为Cauchy-Schwarz不等式。 则称 (u, v)为 X 上 u与 v 的内积。定义了 内积的线性空间称为内积空间。 如果 (u, v) 0 ，则称 u 与 v 正交。
n
数逼近问题就是对任何 f C[a, b]，在子空
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。
伯恩斯坦多项式
更一般地，可以用一组在C[a, b上线性无关 ] 的函数集合 i ( x) 来逼近 f C[a, b]。函 i 0
n
数逼近问题就是对任何 f C[a, b]，在子空 间 span{ 0 ( x),1 ( x),, n ( x)} 中找一个元
k 0
伯恩斯坦多项式
有界，故 Bn ( f , x)是稳定的。至于Lagrange
多项式，由于 | lk ( x) | 无界，因而不能保证
k 0
n
高阶插值的稳定性与收敛性。相比之下。
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。
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正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a , b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全 为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x ) i ( x )后积分 c0 ( 0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
j ( x)ຫໍສະໝຸດ 常用正交多项式系1.切比雪夫多项式系{Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cos n , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1，上关于权函数 ( x ) 1]
由Th3.3得 0 , 1 , k 1线性无关
对任意 k 1次多项式 Qk 1 ( x )有 Q k 1 ( x ) b j j ( x )
j0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
1
1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 1 x2 nm0
前四项为 : T（x ) 1, T1 ( x ) x 0 T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 1) / 2
2
P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2
在[1,1]上关于权函数 ( x ) 1正交 nm 0 2 ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx nm 1 2n 1
1
注：在[a , b]上关于 ( x ) 1的正交多项式 ba ba 令x t , x [a , b]时 2 2 t [1,1] 2 x (b a ) ~ Pn ( x ) Pn ( t ) Pn ( ) ba
其它正交多项式系
• 拉盖尔(Laguerre)正交多项式系p77 • 埃尔米特(Hermite)正交多项式系p78
ci ( i , i ) 0 ci 0矛盾
Th3.4设 k ( x )( k 0,1, n)是最高次项系数 不为0的k次多项式，则 0 , 1 , n 是[a , b] 上关于权函数 ( x )的正交多项式系的充要 条件是k 1次多项式Qk 1 ( x )，均有 ( k , Qk 1 ) ( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
又 k为k次多项式
2 2 k ( x ) 0, 且 k ( x ) 0, ( k 0,1,)
2 ( k , k ) ( x ) k ( x )dx 0 a
b
0 , 1 , n为正交多项式
( )设 0 , 1 , n为[a , b]上的关于权 ( x ) 的正交多项式系
正交多项式系
邹昌文
正交函数系
def .某函数系{ 0 , 1 , n }中每个函数 k ( x )都 在[a , b]上连续且不恒为零，权函数 ( x ) 0 i j 0 如果( i , j ) ( x ) i j dx a i j 0 则称此函数系 0 , n为[a , b]上关于权函数的
b a j 0
k 1
正交多项式的构造
给定区间[a , b]及权函数 ( x )，由线性无关幂函数 {1, x , , x n ,}，逐个正交化得{ n ( x )} 0
n 1 j0
0 ( x ) 1, n ( x ) x n
( n 1,2,)
( x n , j ( x )) ( j ( x ), j ( x ))
2 3
2.勒让德( Legende)多项式系 Pk ( x )} {
1 dn 2 n Pn ( x ) n ( x 1) n 2 n! dx
递推公式 P1 ( x ) x P0 ( x ) 1 2k 1 k Pk 1 ( x ) k 1 xPk ( x ) k 1 Pk 1 ( x ) k 1
a b
证： )k 1次多项式Qk 1有 (
b
a
( x )k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
( k 1, 2,)
特别地，对 j ( x )( j 0,1, k 1)有
b
a
( x ) k ( x ) j ( x )dx 0
即k j , ( k , j ) 0