工程应用软计算课件第4章 分形几何(1)
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《分形几何学实践》课件
分形几何学实践
汇报人：
目录
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分形几何学概述
分形几何学的基 本概念
分形几何学的常 见类型
分形几何学在实 践中的应用
分形几何学的未 来发展
添加章节标题
分形几何学概述
分形几何学是 一种研究不规 则、复杂形状
的数学方法
分形几何学中 的形状具有自 相似性，即局 部与整体相似
分形几何学中 的形状具有尺 度不变性，即 无论放大或缩 小，形状保持
应用领域：分形几何在生物、医学、工程等领域的应用研究
理论研究：分形几何的理论基础、性质和定理的研究
计算方法：分形几何的计算方法和算法的研究
交叉学科：分形几何与其他学科的交叉研究，如分形几何与混沌理论、分形几何与量 子力学等
数学：分形几何学与数学中的拓扑 学、微分几何等学科有密切联系， 可以应用于解决数学问题。
生物学：描述生 物形态和生长过
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理学：描述物 理现象和过程
计算机科学：用 于图像处理、动
画制作等领域
数学：用于研究 几何学、拓扑学
等领域
艺术：用于创作 分形艺术作品
建筑学：用于设 计建筑和城市规
划
分形几何学的基本 概念
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
形状或结构
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
之一
应用：在自然 界、数学、物 理学等领域都
有广泛应用
例子：雪花、 海岸线、山脉 等自然现象都 具有自相似性
定义：通过重复应用同一种操 作或规则，生成复杂结构的方 法
特点：自相似性、精细结构、 无限复杂性
应用：分形几何学、计算机图 形学、图像处理等领域
例子：曼德布罗特集合、谢尔 宾斯基三角形等
汇报人：
目录
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分形几何学概述
分形几何学的基 本概念
分形几何学的常 见类型
分形几何学在实 践中的应用
分形几何学的未 来发展
添加章节标题
分形几何学概述
分形几何学是 一种研究不规 则、复杂形状
的数学方法
分形几何学中 的形状具有自 相似性，即局 部与整体相似
分形几何学中 的形状具有尺 度不变性，即 无论放大或缩 小，形状保持
应用领域：分形几何在生物、医学、工程等领域的应用研究
理论研究：分形几何的理论基础、性质和定理的研究
计算方法：分形几何的计算方法和算法的研究
交叉学科：分形几何与其他学科的交叉研究，如分形几何与混沌理论、分形几何与量 子力学等
数学：分形几何学与数学中的拓扑 学、微分几何等学科有密切联系， 可以应用于解决数学问题。
生物学：描述生 物形态和生长过
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理学：描述物 理现象和过程
计算机科学：用 于图像处理、动
画制作等领域
数学：用于研究 几何学、拓扑学
等领域
艺术：用于创作 分形艺术作品
建筑学：用于设 计建筑和城市规
划
分形几何学的基本 概念
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
形状或结构
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
之一
应用：在自然 界、数学、物 理学等领域都
有广泛应用
例子：雪花、 海岸线、山脉 等自然现象都 具有自相似性
定义：通过重复应用同一种操 作或规则，生成复杂结构的方 法
特点：自相似性、精细结构、 无限复杂性
应用：分形几何学、计算机图 形学、图像处理等领域
例子：曼德布罗特集合、谢尔 宾斯基三角形等
有限元及工程软件第四章
1 1 1
x2 x3 x4
y2 y3 y4
z2
z3 z4
uu32
u4
9
4
u N1u1 N2u2 N3u3 N4u4 Niui i 1 4
v N1v1 N2v2 N3v3 N4v4 Nivi i 1
4
w N1w1 N2w2 N3w3 N4w4 Ni wi
ai , bi , ci , di （i＝1，2，3，4）为求逆过程中的代数余子式
x2 y2 z2
如
a1 x3 y3 z3
x4 y4 z4
11
f N e
单元的形函数矩阵
二、应变矩阵和应力矩阵
单元位移函数为
4
u Niui i 1
4
v Nivi i 1
4
w Niwi i 1
12
x
x
y
xzy
0
0
yz
y
0
y
0
x
0
0
z
uv
0 w
zx 0
z
y
z
0
x
13
B e
Ni
x
0
0
B
Ni
0 Ni y
0 Ni
0
0
Ni z 0
1 6V
bi
0
0
ci
0 ci 0 bi
0
0
di 0
应变矩阵
y x
0
Ni z
Ni y
i 1
其中
Ni
1 6V
(ai
bi x
ci
y
di z)
（i=1，3）
Ni
1 6V
计算机图形学4陈永强.ppt
开集的闭包：是指该开集与其所有边界点的集合并集， 本身是一个闭集。
正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维 空间的正则集就是正则形体。
14
基本概念－实体
组成三维物体的点的集合可以分为两类： 内点：为点集中的这样一些点，它们具有完 全包含于该点集的充分小的邻域。 边界点：不具备此性质的点集中的点。
34
多边形表面模型
多边形网格：三维形体的边界通常用多边形网 格（polygon mesh）的拼接来模拟。
例子
图4.12 三角形带与四边形网格
35
4.2.2扫描表示（sweep representation）
扫描表示法（sweep representation）可以利用 简单的运动规则生成有效实体。
15
基本概念——实体
定义点集的正则运算r运算为：
r Aci A
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A称为A的正则集。
16
基本概念——实体
(a)带有孤立点和边 的二维点集A
(b)内点集合i·A (c)正则点集c·i·A
图4.3 实体的例子
17
基本概念——实体
图4.4 正则形体
包含两个要素 一是作扫描运动的基本图形（截面）； 二是扫描运动的方式。
36
4.2.3构造实体几何法
构造实体几何法（CSG）由两个实体间的并、 交或差操作生成新的实体。
A
A
A
B
B
B
(a)A,B形体的并
(b)A,B形体的差 (c)A,B形体的交
图4.13 构造实体几何法
37
构造实体几何法
18
基本概念——实体
正则形体（数学）→二维流形→实体（计算机） 二维流形指的是对于实体表面上的任意一点，都可以找
正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维 空间的正则集就是正则形体。
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基本概念－实体
组成三维物体的点的集合可以分为两类： 内点：为点集中的这样一些点，它们具有完 全包含于该点集的充分小的邻域。 边界点：不具备此性质的点集中的点。
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多边形表面模型
多边形网格：三维形体的边界通常用多边形网 格（polygon mesh）的拼接来模拟。
例子
图4.12 三角形带与四边形网格
35
4.2.2扫描表示（sweep representation）
扫描表示法（sweep representation）可以利用 简单的运动规则生成有效实体。
15
基本概念——实体
定义点集的正则运算r运算为：
r Aci A
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A称为A的正则集。
16
基本概念——实体
(a)带有孤立点和边 的二维点集A
(b)内点集合i·A (c)正则点集c·i·A
图4.3 实体的例子
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基本概念——实体
图4.4 正则形体
包含两个要素 一是作扫描运动的基本图形（截面）； 二是扫描运动的方式。
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4.2.3构造实体几何法
构造实体几何法（CSG）由两个实体间的并、 交或差操作生成新的实体。
A
A
A
B
B
B
(a)A,B形体的并
(b)A,B形体的差 (c)A,B形体的交
图4.13 构造实体几何法
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构造实体几何法
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基本概念——实体
正则形体（数学）→二维流形→实体（计算机） 二维流形指的是对于实体表面上的任意一点，都可以找
分形几何及其应用简介(精)
分形几何及其应用简介课程号：06191280课程名称：分形几何及其应用英文名称：Fractal Geometry and its Applications周学时：3-0 学分：3预修要求：实变函数，概率论内容简介：分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。
“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。
与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。
作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。
可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。
选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》，谢和平等编（重庆大学出版社）参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, (1985)《分形与图象压缩》，陈守吉等编（上海科技教育出版社）《分形几何及其应用》教学大纲一、课程的教学目的和基本要求《分形几何及其应用》课程主要是面向数学系学生开设的一门选修课，总学时数为48，一个学期完成，学分3分。
通过本课程的教学，使学生掌握分形几何中的基本概念、基本方法并熟识基本理论；会应用基本理论考察自然现象的分形本质，计算分形维数，在图象压缩方面有初步的应用。
二、相关教学环节安排1，每周布置作业，作业量2---3小时。
2，每章结束安排习题课，讲解习题。
三、课程主要内容及学时分配每周3学时，上课时间共16周。
主要内容：（一）预备知识（3学时）1，基本集合和测度理论2，概率论知识3，质量分布（二）Hausdorff 测度与维数（6学时）1，Hausdorff 测度2，Hausdorff 维数3，Hausdorff 维数计算的例子4，Hausdorff 维数的等价定义5，习题课（三）维数的其他定义（6学时）1，盒计数维数2，盒计数维数的性质和问题3，修正盒计数维数4，另外一些维数定义5，习题课（四）维数计算方法（9学时）1，基本方法2，有限测度子集3，位势理论方法4，Fourier变换方法5，习题课（五）分形集的局部结构（6学时）1，密度2，1-集的结构3，s-集的切线4，习题课（六）分形集的投影和分形集的积（9学时）1，任意集的投影2，整数维集的投影3，乘积公式4，习题课（七）自相似和自仿射集变换确定的分形（9学时）1，迭代函数系统2，自相似和自仿射集3，对编码成象的应用4，习题课四、教材及主要参考用书教材：《分形几何---数学基础与应用》，谢和平等编（重庆大学出版社）参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, (1985) 《分形与图象压缩》，陈守吉等编（上海科技教育出版社）。
分形几何 ppt课件
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
6
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
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分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
6
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形分维ppt
分形分维
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
软件工程全套教学课件x
软件工程全套教学课件x一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材的第七章《几何图形》。
本章主要介绍了平面几何图形的性质和分类，包括三角形、四边形、圆形等常见图形的特征及判定方法。
具体内容包括：图形的分类和性质，图形的对称性，图形的周长和面积计算等。
二、教学目标1. 让学生掌握常见平面几何图形的特征和判定方法。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
三、教学难点与重点重点：三角形、四边形、圆形的性质和判定方法，图形的周长和面积计算。
难点：图形的对称性，图形的周长和面积计算。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
学具：课本、练习本、尺子、圆规、剪刀。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的物体，找出常见的几何图形，并描述它们的特征。
2. 知识讲解：通过多媒体课件，详细讲解三角形、四边形、圆形的性质和判定方法，以及图形的周长和面积计算。
3. 例题讲解：挑选几个典型例题，讲解解题思路和方法。
4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 布置作业：布置课后练习题，巩固所学知识。
六、板书设计板书内容主要包括：三角形、四边形、圆形的性质和判定方法，图形的周长和面积计算公式。
板书设计要简洁明了，突出重点。
七、作业设计1. 课后练习题：（1）判断题：三角形、四边形、圆形的性质和判定方法。
（2）计算题：求下列图形的周长和面积。
2. 答案：（1）三角形、四边形、圆形的性质和判定方法：正确。
（2）计算题答案：请根据具体题目填写。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学效果如何，学生掌握程度如何，有哪些需要改进的地方。
2. 拓展延伸：让学生课后观察生活中的几何图形，尝试解决实际问题，提高运用几何知识的能力。
重点和难点解析一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材的第七章《几何图形》。
本章主要介绍了平面几何图形的性质和分类，包括三角形、四边形、圆形等常见图形的特征及判定方法。
分形几何概述(课件)阮火军共49页文档
分形几何概述(课件)阮火军
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以寄ຫໍສະໝຸດ 傲，审容
膝
之
易
安
。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
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嗟
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我
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浮
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
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以寄ຫໍສະໝຸດ 傲，审容
膝
之
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1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
分形及其应用(选修课)1市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
（1）准确自相同 ——只有按照数学定义结构图案才含有准确自 相同，前面介绍科赫曲线就是准确分形实例之 一，假如连续对局部放大，不论放大倍数多大， 所看到图形都是完全一样，以下列图所表示。
14/63
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科赫曲线准确自相同
15/63
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（2）近似自相同
——自然界存在分形现象多数都是近似 自相同，也就是说，用不一样尺度观察 一个物体，所看到结构是可识别相同形 状，而不是准确相同形状。以下列图所 表示树叶在三次放大时，每次观察结构 都有相同之处，不过它们却不是完全相 同图案，所以它属于近似自相同分形。
1986年，他又提出了另外一个比较实用定义， 即
定义2：组成部分以某种方式与整体相同形，称作 为分形。
6/63
6
法尔科内给出定义
正如生物学家难以给“生命”下一个严格
明确定义，而通常只是列出生命体一系列特征
来加以说明一样，法尔科内参考生物学家做法，
经过列出分形详细特征来给分形下定义。
所以，他从特征角度将分形（分形集F）
4x
线、点、面分割与测量示意图
26/63
26
对于一条单位长度线段，若将它等分 N=4段，则每段长度为r=1/N=1/4，显然 有N·r=1。从测量角度了解，相当于用r 去测量线段长度，那么测量尺度数N(r) 与尺度r之间含有以下关系
N (r) 1/ r ~ r 1
27/63
27
一样，若测量一块单位面积二维正
5/63
5
芒德勃罗特给出定义
1975年，芒德勃罗特教授在其著作《分形对 象：形、机遇与维数》一书中引入了分形这一 概念。他在1982年时候曾试图给分形下过一个 数学定义，即 定义1：假如一个集合在欧氏空间中豪斯多夫维数 DH（Hausdorff Dimension）严格大于拓扑维数 DT，则该集合为分形集，简称为分形。普通说 来，DH不是整数，而是分数。
14/63
14
科赫曲线准确自相同
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（2）近似自相同
——自然界存在分形现象多数都是近似 自相同，也就是说，用不一样尺度观察 一个物体，所看到结构是可识别相同形 状，而不是准确相同形状。以下列图所 表示树叶在三次放大时，每次观察结构 都有相同之处，不过它们却不是完全相 同图案，所以它属于近似自相同分形。
1986年，他又提出了另外一个比较实用定义， 即
定义2：组成部分以某种方式与整体相同形，称作 为分形。
6/63
6
法尔科内给出定义
正如生物学家难以给“生命”下一个严格
明确定义，而通常只是列出生命体一系列特征
来加以说明一样，法尔科内参考生物学家做法，
经过列出分形详细特征来给分形下定义。
所以，他从特征角度将分形（分形集F）
4x
线、点、面分割与测量示意图
26/63
26
对于一条单位长度线段，若将它等分 N=4段，则每段长度为r=1/N=1/4，显然 有N·r=1。从测量角度了解，相当于用r 去测量线段长度，那么测量尺度数N(r) 与尺度r之间含有以下关系
N (r) 1/ r ~ r 1
27/63
27
一样，若测量一块单位面积二维正
5/63
5
芒德勃罗特给出定义
1975年，芒德勃罗特教授在其著作《分形对 象：形、机遇与维数》一书中引入了分形这一 概念。他在1982年时候曾试图给分形下过一个 数学定义，即 定义1：假如一个集合在欧氏空间中豪斯多夫维数 DH（Hausdorff Dimension）严格大于拓扑维数 DT，则该集合为分形集，简称为分形。普通说 来，DH不是整数，而是分数。
《工程应用数学》课件
概率论与数理统计
03
随机试验与样本空间
随机试验的每个可能结果组成的集合称为样本空间，它是概率论研究的基础。
01
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，具有非负性、规范性、可加性等性质。
02
条件概率与独立性
条件概率描述了事件之间的是衡量向量“大小”的一种方式，常见的向量范数有欧几里得范数和无穷范数等。向量范数的性质包括正定性、三角不等式等。
矩阵的秩是衡量矩阵“大小”的一种方式，它表示矩阵中线性无关的行或列的数量。矩阵的秩在许多数学问题中都有重要的应用，如求解线性方程组等。
线性方程组的解法
线性方程组是线性代数中常见的问题，其解法包括高斯消元法、LU分解法等。这些解法的基本思想是通过一系列的初等行变换将方程组化为阶梯形或三角形，从而求解方程组。
相似矩阵
矩阵的对角化是将一个矩阵分解为一个对角矩阵和一个可逆矩阵的乘积的一种方式。矩阵的对角化在许多数学问题中都有重要的应用，如求解二次型的最小二乘解等。
矩阵的对角化
03
微积分
导数是函数在某一点的变化率，用于描述函数值随自变量变化的速率。
导数概念
微分概念
导数与微分的关系
导数与微分的应用
微分是函数在某一点的变化量的近似值，表示函数值随自变量微小变化时的变化量。
详细描述
03
在石油勘探中，概率论与数理统计被用于预测地下油藏的位置和储量；在通信工程中，概率论与数理统计被用于信号处理和数据传输的可靠性分析。
实例
04
通过运用概率论与数理统计的知识，工程师可以更好地理解和预测工程问题中的随机因素，从而提高决策的准确性和可靠性。
结论
THANK YOU
导数是函数在某一点切线的斜率，微分则提供了函数值在某一点附近的小变化量。
03
随机试验与样本空间
随机试验的每个可能结果组成的集合称为样本空间，它是概率论研究的基础。
01
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，具有非负性、规范性、可加性等性质。
02
条件概率与独立性
条件概率描述了事件之间的是衡量向量“大小”的一种方式，常见的向量范数有欧几里得范数和无穷范数等。向量范数的性质包括正定性、三角不等式等。
矩阵的秩是衡量矩阵“大小”的一种方式，它表示矩阵中线性无关的行或列的数量。矩阵的秩在许多数学问题中都有重要的应用，如求解线性方程组等。
线性方程组的解法
线性方程组是线性代数中常见的问题，其解法包括高斯消元法、LU分解法等。这些解法的基本思想是通过一系列的初等行变换将方程组化为阶梯形或三角形，从而求解方程组。
相似矩阵
矩阵的对角化是将一个矩阵分解为一个对角矩阵和一个可逆矩阵的乘积的一种方式。矩阵的对角化在许多数学问题中都有重要的应用，如求解二次型的最小二乘解等。
矩阵的对角化
03
微积分
导数是函数在某一点的变化率，用于描述函数值随自变量变化的速率。
导数概念
微分概念
导数与微分的关系
导数与微分的应用
微分是函数在某一点的变化量的近似值，表示函数值随自变量微小变化时的变化量。
详细描述
03
在石油勘探中，概率论与数理统计被用于预测地下油藏的位置和储量；在通信工程中，概率论与数理统计被用于信号处理和数据传输的可靠性分析。
实例
04
通过运用概率论与数理统计的知识，工程师可以更好地理解和预测工程问题中的随机因素，从而提高决策的准确性和可靠性。
结论
THANK YOU
导数是函数在某一点切线的斜率，微分则提供了函数值在某一点附近的小变化量。
第4讲-1 分形几何与分形插值
500 km
N
♂
图
1.3 河流水系的分形特征
其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如 一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状 上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关 系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片 树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动
物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记 录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您 无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。 分形几何的创始人Benoit B. Mandelbrot 说过: “云团不是球体, 山峰不是锥形, 海岸线不是圆弧, 树 皮也并不光滑, 闪电也不是直线传播[2]。” 这就说 明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形 态来精确地进行描述。 而在这些 “不规则” 的形 体中, 大量的具有分形的特征。 分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云 的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网 水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、 人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股 市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的
图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系 r：码尺，N (r)：度量次数，l(r)：单位形体体积 (a) 一维形体；(b) 二维形体；(c) 三维形体
所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体， 码尺长度r与度量次数N (r)之间关系为
1.3 维数与分形维数
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。 也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。 分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是 分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时 需要引入的一个重要概念。 为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾 在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺 码与度量次的关系(见图1.4)。
分形几何学(课堂PPT)
.
10
分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
斯（K.Weierstrass）1872年构造的以他的名字
命名的函数是这类集合的第一例. 它的图象处处连
续但处处无切线（如图）, 引起当时数学界的震惊.
孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三
地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和
传统的几何对象大相径庭.被人们称为“反直觉
的”，“病态”的“数学怪物”. 令人惊奇的是，
1973年，曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲 课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词， 是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名 字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相 似的结构（见图1）。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
分形几何
度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。 此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个 节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成 的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线 的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普 遍存在的，因此分形几何又称 为描述大自然的几何学。分形 几何建立以后，很快就引起了 许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上 都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有 刻度)来测量海岸线的长度时，对 海岸线上两点间的小于尺子尺寸的 曲线，只能用直线来近似。因此， 测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i
｛U i｝
―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集 ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小 的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用 传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是 近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许 是递归的。
Mandelbrot集(4)
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第4章
分形几何
理学院精应选用pp数t 学系 1
4.1 分形几何学产生的背景
从数学的发展进程看，十九世纪经典数学研 究的对象是牛顿连续动力学体系，导致其几何学 研究对象为欧几里得规则几何结构。
这些研究对象往往具有规则、光滑、连续等 特点，如常见的直线、曲线、光滑的曲面或球面 等，我们可以用这些规则的几何体去近似描述自 然界或物理运动中具有规则形状的人造物体。
拓扑维数。
⑤ 在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方
法确定，可能由迭代过程产生。
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22
4.2.3 规则分形与随机分形
一、规则分形 通过初始元和生成元的确定，按照严格的规
律不断变化以至无穷，并且具有严格的自相似性 的分形。
二、随机分形 自相似性只存在于无标度区之内，一旦逾越
了无标度区域，自相似性就不复存在的分形。
丢勒正五边形
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20
4.2.2 分形的定义
一、B.B.Mandelbrot的两次定义
（1）满足下式条件：
Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。
其中，Dim(A)为集合A的Hausdorff维数(或分维数)，
dim(A)为拓扑维数。(一般Dim(A)不是整数，而是分
数)。
（2）分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合
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13
4.2 分形的特征及定义
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14
4.2.1 具有分形特征的典型例子与无标度性
例4.1 康托（Cantor）三分集
康 托 三 分 集 的 长 度 ： F l k i m E k l k i m 2 3 k k l k i m 2 3 k 0
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15
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23
欧氏几何与分形几何的区别
欧几里得几何
分形几何
经典的（2000多年的历史）
现代数学怪物（30多年的历史）
基于特征长度与比例 适合于人工制品 用公式描述 图形规则 图形的结构层次有限 局部一般不具有整体的信息
图形越复杂，背后的规则也越复杂
无特征长度与比例 实适用于大自然现象 用（递归或迭代）算法描述 图形不规则 图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图的图形形复复杂杂，，背背后后的规规则则经经常常是是简简单单的
康托（Cantor）三分集的性质：
① F是自相似的。 很明显，在区间［0,1/3］和［2/3,1］内的F部分与
E0是几何相似的，相似比为1/3 ，进而E2的四个区间内F 的部分也与 E0 相似，相似比为1/9,…, 这种部分与整体相 似的图形称为具有自相似性质。
② F有“精细结构”。 即它包含有任意小比例的细节。越放大康托集的图
形，间隙就越清楚地呈现在我们面前。
③ F在某种意义下是相当大的集。 但它的大小不适合于用通常的长度来度量。用任何
合理定义的长度，F总是长度为零。
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16
例4.2 谢尔宾斯基（Sierpinski）三角
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17
皮亚诺（Peano）曲线
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18
朱莉娅（Julia）集
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19
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11
“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
S1(1(13
3))1 3 2 2 12
S2
3(1)24 34
12 3
12 9
S3123(1 3)24123(9 4） 2
……
科 赫 曲 线 面 积 ： lki m 12 39 4k
精选ppt
12
“科赫雪花”——1904, H. V. Koch
6
这些变化无穷的几何形体，已经不再具备我
们早已熟知的数学分析中连续、光滑等基本性
质了，显然，我们无法用传统的几何学来描述、
研究它们。
因此，这类几何体常被排斥在传统数学研
究对象人之们外逐，渐并意称识之到为对“这病些态“”病的态几”何的对几象何。结
构开展研究是十分必要的，因为不规则几何体
不仅比经典几何图形能更好的反映自然现象，
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9
“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
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10
“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
E0
E1 4 1 4 33
E2
4
2
1 32
Байду номын сангаас
4 3
2
……
E3
E4
4k
1 3k
4 3
k
科赫曲线长度：
lim
k
4 3
k
Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大。
为了研究上的方便，常常要对这些几何体要 做出连续、可微的限制。
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2
4.1 分形几何学产生的背景
然而，在真实的自然界中却存在着千姿百态 的自然构型：
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3
自然界中千姿百态的自然构型：
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4
科学研究中的“病态”几何对象：裂纹
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5
科学研究中的“病态”几何对象：布朗运动
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24
分形理论的哲学启示
分形理论作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的:
(1) 分形整体与局部形态的相似，启发人们通过 认识部分来认识整体，从有限中认识无限。
(2) 分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、 复杂与简单之间的新形态、新秩序。
(3) 分形从一个特定的层面揭示了世界普遍联系 和统一的图景。
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25
前面对分形的讨论都是一种定性的描述， 其准确性和精细性远远不能满足人类的需要。
下面将介绍分形维数的计算方法，从定量的 角度分析和研究分形所具有的内在本质和规律。
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26
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21
4.2.2 分形的定义
二、仿照生物学中生命的定义
如果集合F具有下列典型的性质，则集合F是分形。
① F具有自相似性，
这种自相似性可以是近似的或是统计意义下的。
② F具有精细的结构，
即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。
③ F是不规则的，
它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。
④ 一般地，F的某种方式定义下的分形维数大于它的
而且能够更好的揭示物质运动的本质特征。
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7
分形几何学创始人—曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)
1975年，美籍法国数学家 曼德布罗特在总结了前人研究 的基础上，冲破了传统几何学 的束缚，创建了分形几何学 （ Fractal,分形理论）。
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8
“英国的海岸线有多长”——1967，《science》
分形几何
理学院精应选用pp数t 学系 1
4.1 分形几何学产生的背景
从数学的发展进程看，十九世纪经典数学研 究的对象是牛顿连续动力学体系，导致其几何学 研究对象为欧几里得规则几何结构。
这些研究对象往往具有规则、光滑、连续等 特点，如常见的直线、曲线、光滑的曲面或球面 等，我们可以用这些规则的几何体去近似描述自 然界或物理运动中具有规则形状的人造物体。
拓扑维数。
⑤ 在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方
法确定，可能由迭代过程产生。
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22
4.2.3 规则分形与随机分形
一、规则分形 通过初始元和生成元的确定，按照严格的规
律不断变化以至无穷，并且具有严格的自相似性 的分形。
二、随机分形 自相似性只存在于无标度区之内，一旦逾越
了无标度区域，自相似性就不复存在的分形。
丢勒正五边形
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20
4.2.2 分形的定义
一、B.B.Mandelbrot的两次定义
（1）满足下式条件：
Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。
其中，Dim(A)为集合A的Hausdorff维数(或分维数)，
dim(A)为拓扑维数。(一般Dim(A)不是整数，而是分
数)。
（2）分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合
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13
4.2 分形的特征及定义
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14
4.2.1 具有分形特征的典型例子与无标度性
例4.1 康托（Cantor）三分集
康 托 三 分 集 的 长 度 ： F l k i m E k l k i m 2 3 k k l k i m 2 3 k 0
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23
欧氏几何与分形几何的区别
欧几里得几何
分形几何
经典的（2000多年的历史）
现代数学怪物（30多年的历史）
基于特征长度与比例 适合于人工制品 用公式描述 图形规则 图形的结构层次有限 局部一般不具有整体的信息
图形越复杂，背后的规则也越复杂
无特征长度与比例 实适用于大自然现象 用（递归或迭代）算法描述 图形不规则 图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图的图形形复复杂杂，，背背后后的规规则则经经常常是是简简单单的
康托（Cantor）三分集的性质：
① F是自相似的。 很明显，在区间［0,1/3］和［2/3,1］内的F部分与
E0是几何相似的，相似比为1/3 ，进而E2的四个区间内F 的部分也与 E0 相似，相似比为1/9,…, 这种部分与整体相 似的图形称为具有自相似性质。
② F有“精细结构”。 即它包含有任意小比例的细节。越放大康托集的图
形，间隙就越清楚地呈现在我们面前。
③ F在某种意义下是相当大的集。 但它的大小不适合于用通常的长度来度量。用任何
合理定义的长度，F总是长度为零。
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16
例4.2 谢尔宾斯基（Sierpinski）三角
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17
皮亚诺（Peano）曲线
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18
朱莉娅（Julia）集
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11
“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
S1(1(13
3))1 3 2 2 12
S2
3(1)24 34
12 3
12 9
S3123(1 3)24123(9 4） 2
……
科 赫 曲 线 面 积 ： lki m 12 39 4k
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12
“科赫雪花”——1904, H. V. Koch
6
这些变化无穷的几何形体，已经不再具备我
们早已熟知的数学分析中连续、光滑等基本性
质了，显然，我们无法用传统的几何学来描述、
研究它们。
因此，这类几何体常被排斥在传统数学研
究对象人之们外逐，渐并意称识之到为对“这病些态“”病的态几”何的对几象何。结
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“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
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10
“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
E0
E1 4 1 4 33
E2
4
2
1 32
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4 3
2
……
E3
E4
4k
1 3k
4 3
k
科赫曲线长度：
lim
k
4 3
k
Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大。
为了研究上的方便，常常要对这些几何体要 做出连续、可微的限制。
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2
4.1 分形几何学产生的背景
然而，在真实的自然界中却存在着千姿百态 的自然构型：
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3
自然界中千姿百态的自然构型：
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4
科学研究中的“病态”几何对象：裂纹
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5
科学研究中的“病态”几何对象：布朗运动
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分形理论的哲学启示
分形理论作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的:
(1) 分形整体与局部形态的相似，启发人们通过 认识部分来认识整体，从有限中认识无限。
(2) 分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、 复杂与简单之间的新形态、新秩序。
(3) 分形从一个特定的层面揭示了世界普遍联系 和统一的图景。
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25
前面对分形的讨论都是一种定性的描述， 其准确性和精细性远远不能满足人类的需要。
下面将介绍分形维数的计算方法，从定量的 角度分析和研究分形所具有的内在本质和规律。
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4.2.2 分形的定义
二、仿照生物学中生命的定义
如果集合F具有下列典型的性质，则集合F是分形。
① F具有自相似性，
这种自相似性可以是近似的或是统计意义下的。
② F具有精细的结构，
即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。
③ F是不规则的，
它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。
④ 一般地，F的某种方式定义下的分形维数大于它的
而且能够更好的揭示物质运动的本质特征。
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分形几何学创始人—曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)
1975年，美籍法国数学家 曼德布罗特在总结了前人研究 的基础上，冲破了传统几何学 的束缚，创建了分形几何学 （ Fractal,分形理论）。
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“英国的海岸线有多长”——1967，《science》