概率论与数理统计 习题答案全解

1.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).

解

以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,

5/3)(=C P ,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式

)

()

()|(M P MC P M C P =

)

()|()()|()

()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=

5

2

)1(53)1(5

3)1(525151⨯

-+⨯-⨯

-=

p p p .)1(2)1(3)1(35

2515

1p p p -+--=2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.

(1)求C 未拿到二级品的概率.

(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率.(3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.

解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A

，，表示事件C B A ，，未取到二级品.

(1).

11/8)(=C P (2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而

B A 、均取到二级品,只需A 取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是

.5441027234103713|(=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P (3).

55/32)()|()(==C P C AB P C AB P 3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系

统输入为0输出为0的概率为)10(<

1

L 2

L b

题15.3图

解“系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即

),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号

“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得

)}

00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P )}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P ).

1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解

以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,

而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有

.6

165)(1

-⎪

⎭

⎫

⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为

}

{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P )

,(21两两不相容因 A A ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 4

26565161.

11

6

)6/5(11612=-=

同样,乙胜的概率为

}

{}{642 A A A P P =乙胜

+++=)()()(642A P A P A P

.11

5656565615

3=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求

),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.

解

将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则

}).

6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P 因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故

.

12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P 以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故

.

36/7)(=AB P 今有

).

(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P ===按定义B A ,相互独立.

6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.

解

A 总是在奇数轮射击,

B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第

12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而

其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但

一枪未中”(这一事件记为D )，因此

)

()()()(12D P C P CD P A P n ==+n

n p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.

)1(122--=n p np 注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为

∑∑∞

=-∞=++∞

=-===1

1

221

12121

)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P