金融工程期末考试重点

1、利率互换与货币互换的差异：利率互换：通常无需交换本金，只定期交换利息差额； 货币互换：期初和期末须按照约定的汇率交换不同货币的本金，期间还需定期交换不同货币的利息。

2、互换市场的内在局限性：1、为了达成交易，互换合约的一方必须找到愿意与之交易的另一方。

如果一方对期限或现金流等有特殊要求，常常会难以找到交易对手。

2、由于互换是两个对手之间的合约，因此，如果没有双方的同意，互换合约是不能更改或终止的。

3、互换缺乏履约保证，故只有信用等级很高的机构才能参与4、期权是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的执行价格购买或出售一定数量某种标的资产的权利的合约5、期权价格的上下限1）、期权价格的上限（1）看涨期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：其中，c 代表欧式看涨期权价格，C 代表美式看涨期权价格，S 代表标的资产价格 问题：若期权价格高于该上限，如何套利？ （2）看跌期权价格的上限美式看跌期权价格（P ）的上限为K ：欧式看跌期权的上限为：其中，r 代表T 时刻到期的无风险利率，t 代表现在时刻。

问题：若看跌期权价格高于该上限，如何套利？ 2、期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格下限考虑如下两个组合：组合A ：一份欧式看涨期权加上金额为的现金 组合B ：一单位标的资产在T 时刻，组合A 的价值为： 组合B 的价值为 ST 。

由于 ，因此，在t 时刻组合A 的价值也应大于等于组合B ，即:)(t T r Kep --≤KP ≤),max(K S T T T S K S ≥),max(SKec t T r ≥+--)()(t T r KeS c ---≥由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：(2)无收益资产美式看涨期权价格下限由于无收益资产美式看涨期权提前执行是不可取的，故其下限也与欧式的相同。

(3)有收益资产欧式看涨期权下限 考虑如下两个组合：A ：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金B ：一单位标的资产其中D 为期权有效期内资产收益的现值。

经过类似推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：(4)有收益资产美式看涨期权下限（5）无收益资产欧式看跌期权价格下限（6）有收益资产欧式看跌期权下限)0,max()(t T r Ke S c ---≥)0,max()(t T r KeS c ---≥()r T t D Ke --+6、期权的内在价值，是0 与多方行使期权时所获收益贴现值的较大值。

期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。

7、伊藤引理由于G 是x 和t 的函数，根据泰勒展开式：所以再看2t ε∆，很显然，由于ε是一个遵循标准正态分布的随机变量，故2t ε∆也是一个随机变量。

()()2222222322222221t2x1....x 2t=a(,)(,)a 2ab b a(,)a G G G G x t x xG G x t t tx x t t b x t x t t tt x t εεε∂∂∂∆=∆+∆+∆∂∂∂∂∂+∆∆+∆+∂∂∂∆∆+∆=∆+∆+∆∆由于故（）（）最后一项是一次项。

(简写为)()()222222222221t 2x1....x 2t 1b t 2x G G GG x t x x G G x t t t GGGx t tx x t ε∂∂∂∆=∆+∆+∆∂∂∂∂∂+∆∆+∆+∂∂∂∂∂∂≈∆+∆+∆∂∂∂∆∆其余和的高阶项全部忽略()()()2222222222()()()1(t )t ()tt t t t t 00t t 0t E E E E E εεεεεεεεεε-==∆=∆=∆∆∆=∆∆∆→∆∆∆由于D =所以：再看的方差D D ，是高阶无穷小，在时，可忽略为这样，是期望值为，方差近似为的随机变量。

故可直接用期望值近似代替。

这样，8、B-S 模型的推导假设证券价格S 遵循几何布朗运动：假设f 是依赖于S 的衍生证券的价格，则：为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和fS ∂∂ 单位标的证券多头的组合。

令 代表该投资组合的价值，则： 将前述f∆ 和S ∆ 代入，有：2222222222221()21()21)2f S fSf ff ff S S S t S zSStSSf f f f f S t S z S S t S z S S t S S f fS ttSμσσμσμσσσ∂∆∏=∆-∆∂∂∂∂∂∂=∆-++∆-∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∆+∆-++∆-∆∂∂∂∂∂∂∂=-+∆∂∂∆∏∏∏（）（可见，实际上是确定的，不包括随机变量。

因此，组合实际上是一个无风险组合。

在没有套利机会情况下，组合只能获得无风险收益[]22222222222221b t 2x 1b t 2x 1a b t 2x 1a b t 2x d ,G G G G x t t x G G G x t t x G G G t b z t t x G G G G t b z x x G t z G d t d z ε∂∂∂∆=∆+∆+∆∂∂∂∂∂∂=∆+∆+∆∂∂∂∂∂∂=∆+∆+∆+∆∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂=++∆+∆⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦∆∆∆将、、分别换成、、就得到伊藤引理。

故引理得证。

dS Sdt Sdz S S t S zμσμσ=+∆=∆+∆则zS Sf t S Sf tf S Sf f ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σσμ)21(2222z ∆f S fS∂∏=-∂9、期权定价的鞅方法[]T T-t T 为方便起见，将时间间隔表述为0，，即原来的就用表示。

2202ln ln ~[(),]T dS Sdt Sdz S S T T σμσφμσ=+--根据前述推理，在标的资产服从情况下，根据伊藤引理，有：22T 02R =ln ln ~[(r ),]T S S T T r σφσφ--则在风险中性概率下：此处，为标准正态分布，为无风险利率。

p 在风险中性情况下，表示风险中性概率，则欧式看涨期权定价为：pC E [max(,0)]rT T e S K --=T0T 0S ln()S R Ke K R >>显然，当，即时，22T T1()20Tln()S 1C (S )d R r T R rTT K ee K eR σσ⎡⎤---+∞⎢⎥-⎣⎦ - ⎰=222222221()()212r tf f f S t r f S t tS Sf f f rS SrftSSB S σσ∆∏=∏∆∏∆∏∂∂∂+∆=-∆∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂-代入和，得到，即此即微分方程p0E [m ax(S ,0)]TR rTe e K -=-T 0max(S ,0)dp R rT e e K +∞--∞= -⎰22T 22T1()20T 1max(S ,0)d R r T R rTT eeK eR σσ⎡⎤---+∞⎢⎥-⎣⎦-∞= -⎰22T22T22T1()20T ln()S1()2Tln()SS ddR r TRrT TKR r TrT TKe e e RKe e Rσσσσ⎡⎤---+∞⎢⎥-⎣⎦⎡⎤---+∞⎢⎥-⎣⎦=-⎰⎰2()ZR r Tσ--令则：22T22221021()2Tln()1Z2ln(S)()1ddZR r TrT TKrTK r TKe e RKe eσσσ⎡⎤---+∞⎢⎥-⎣⎦+∞--⎡⎤--=⎰2221Z2ddd Zr TK e e+∞---==⎰令则上式221d Z221=d ZN(d)r Tr TK e eK e+---∞-⎰=22T22T1()20Tln()S1S dR r TRrT TKe e e Rσσ⎡⎤---+∞⎢⎥-⎣⎦⎰再来看第一项22T2T2()Z Z()R r TR r Tσσσσ--==+-由于，22221ZZ()2d1S dZr TrTe e eσσ+∞----=⎰上式10、单步二叉树定价模型构造由 单位的股票多头和一个单位衍生证券的空头形成的投资组合，则 如股票价格上升，则投资组合的价值为：0uS u f ∆-若下跌，则组合的价值为：0dS d f ∆-如果∆取特殊值，使得股价无论上升还是下降，其价值都相等，即这样，该组合就是无风险的。

在无套利约束下，收益应该为无风险利率，即：-rT000eu S f S u f ∆-=∆-（）解方程，可得：22221d ZZ 201S dZ Teeσσ+---∞=⎰2221d (Z 2Z )21S dZT eσσ-+-∞=⎰221d (Z 21=S d Zeσ-+-∞⎰H =Z σ+令221d (H )201S dHeσ+--∞= ⎰则上式020112S N (d N (d )d =d σσ=++此处，012C S N(d )N(d )rT Ke --这样，就推导出了欧式看涨期权价格为：=0000u d u dS u f S d f f f S u S d ∆-=∆--∆=-此时四、多步二叉树期权定价模型(以欧式、两步为例)基本思路:利用前述单步二叉树模型,先求出f11和f12 ,再求出f0即可。

推理如下：五、n 步二叉树模型（欧式）-rT 00e (1)max(,0)n j j n j j n jn j f C p p u d S K --=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑[]-rT0rTe(1)e du df p f p f p u d=+--=-其中，S S 0S0S 0u S 0u S 0df 0f uf df uuf ud f ddS 0uS 0u2S 0udf uf uuf ud[][][]{}{}{}22112-r T -r T -r T 02-r T T 22-rT22-rT222e (1)e (1)e (1)e 2(1)(1)e 2(1)(1)em ax (,0)2(1)m ax (,0)(1)m ax (,0)u u u u dd u d d d udu u u d d d u u u d d d f p f p f f p f p f f p f p f pf p p f p f p f p p f p f p u S K p p u d S K p d S K ∆∆∆∆+∆=+-=+-=+-=+-+-=+-+-=-+-⨯-+--（）,代入得：11、期权Δ的计算期权Δ的证明 一、 Delta 的推导()122121C ()K ()r T t S N d e N dd dd σσ--=- =-因为：l n (S K )+(r +)(T -t )且 = ()1122112()()C ()K S S Sr T t N d d N d d N d S ed d --∂∂∂∂∂ =+-∂∂∂∂∂所以：1()112212C ()S()()K S S r T t N d N d d N d d S ed d --∂ =∂∂∂∂∂=∂∂∂∂要想证明，只需证明12()1212S S()()K r T t d d N d N d S e d d --∂∂=∂∂∂∂=∂∂由于 故只需证明221122112211()()222()(),()1K K d d d r T t r T t N d N d e S Se d d N d ee e d -------∂∂==∂∂∂=∂由于故再看21d d σ=-由于222211221122111()()22()22()22K K K K d d d r T t r T t d d r T t d d r T t e e e e e e eee eσσσσσσ⎡⎤--⎣⎦----------⎡⎤⎥⎥⎦-2（T-t ）（T-t ）（T-t ）故 = ==22212122d d eee σσσσσ-==（T-t ）（T-t ）ln(S K )+(r+)(T-t)2r(T-t)ln(S K )+(r+)(T-t)代入= 则SK22112121()22()2121K K ()d d r Tt d r T t d e eee ee N d eSd σσ-------=⨯∂==∂（T -t ）r (T -t )将其带入，有S KS 得证。