中考数学易错题专题训练-反比例函数练习题
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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线y= (k≠0)(x>0)相交于点A、C,与x轴相交于点B、D,连接AC.已知点A、B的刻度分别为5,2(单位:cm),直尺的宽度为2cm,OB=2cm.
(1)求k的值;
(2)求经过A、C两点的直线的解析式;
(3)连接OA、OC,求△OAC的面积.
【答案】(1)解:∵AB=5﹣2=3cm,OB=2cm,
∴A的坐标是(2,3),
代入y= 得3= ,
解得:k=6
(2)解:OD=2+2=4,
在y= 中令x=4,解得y= .
则C的坐标是(4,).
设AC的解析式是y=mx+n,
根据题意得:,
解得:,
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
(3)解:直角△AOB中,OB=2,AB=3,则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3;
直角△ODC中,OD=4,CD= ,则S△OCD= OD•CD= ×4× =3.
在直角梯形ABDC中,BD=2,AB=3,CD= ,则S梯形ABDC= (AB+DC)•B D= (3+ )×2= .
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】(1)首先求得A的坐标,然后利用待定系数法求得函数的解析式;(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式;(3)根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解.
2.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).
(1)试确定此反比例函数的解析式;
(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;
(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴
的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.
【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,
∴反比例函数的解析式为y=﹣
(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.
在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,
∴OA= =2,∠AOC=30°,
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,
∴∠AOB=30°,OB=OA=2,
∴∠BOC=60°.
过点B作x轴的垂线交x轴于点D.
在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,
∴B点坐标为(﹣1,),
将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,
∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上
(3)解:由y=﹣得xy=﹣,
∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,
∴m( m+6)=﹣,
∴m2+2 m+1=0,
∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).
∵△OQM的面积是,
∴OM•QM= ,
∵m<0,∴mn=﹣1,
∴m2n2+2 mn2+n2=0,
∴n2﹣2 n=﹣1,
∴n2﹣2 n+9=8.
【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由
△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.
3.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(﹣2,3)和点B(m,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,直接写出点Q的坐标.
【答案】(1)解:∵点A(﹣2,3)在反比例函数y= 的图形上,
∴k=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的解析式为y=﹣,
∵点B在反比例函数y=﹣的图形上,
∴﹣2m=﹣6,
∴m=3,
∴B(3,﹣2),
∵点A,B在直线y=ax+b的图象上,
∴,
∴,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
(2)解:∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,
∴AB=PQ,AB∥PQ,
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c,
设点Q(n,﹣),
∴﹣ =﹣n+c,
∴c=n﹣,
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣,
∴P(1,n﹣﹣1),
∴PQ2=(n﹣1)2+(n﹣﹣1+ )2=2(n﹣1)2,
∵A(﹣2,3).B(3,﹣2),
∴AB2=50,
∵AB=PQ,
∴50=2(n﹣1)2,
∴n=﹣4或6,
∴Q(﹣4. )或(6,﹣1)
【解析】【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点B的坐标,再用待定系数法求出直线解析式;(2)先判断出AB=PQ,AB∥PQ,设出点Q的坐标,进而得出点P的坐标,即可求出PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.
4.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3).
(1)点C的坐标________;
(2)若反比例函数y= (k≠0)的图象经过直线AC上的点E,且点E的坐标为(2,m),求m的值及反比例函数的解析式;
(3)若(2)中的反比例函数的图象与CD相交于点F,连接EF,在直线AB上找一点P,
使得S△PEF= S△CEF,求点P的坐标.
【答案】(1)(3,0)
(2)解:∵AB=CD=3,OB=1,
∴A的坐标为(1,3),又C(3,0),
设直线AC的解析式为y=ax+b,
则,解得:,
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ .
∵点E(2,m)在直线AC上,