材料力学习题及答案

资料力学-学习指导及习题谜底之迟辟智美创作
第一章绪论
1-1 图示圆截面杆，两端接受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且年夜小均为M的力偶作用.试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其年夜小.
解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其年夜小即是M.
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ.
解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故
σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa
τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa
1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零.试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其年夜小.图中之C点为截面形心.
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力
F N=100×106×××103 N =200 kN
其力偶即为弯矩
M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m
1-4 板件的变形如图中虚线所示.试求棱边AB与AD的平均正应变及A 点处直角BAD的切应变.
解：
第二章轴向拉压应力
2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最年夜值.
解：(a) F N AB=F,F N BC=0,F N，max=F
=F
(b) F N AB=F,F N BC=－F,F N
，max
(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN,F N CD=3 kN,F N
=3 kN
，max
(d) F N AB=1 kN,F N BC=－1 kN,F N
=1 kN
，max
2-2 图示阶梯形截面杆AC，接受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm.如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径.
解：因BC与AB段的正应力相同，故
2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500 mm2，载荷F=50 kN.试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最年夜正应力与最年夜切应力.
解：
2－4（2-11）图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A接受载荷F=80kN作用.杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和
d2=20mm，两杆的资料相同，屈服极限σ
=320MPa，平安因数n s.试校核桁架的强度.
s
解：由A点的平衡方程
可求得1、2两杆的轴力分别为
由此可见，桁架满足
强度条件.
2－5（2-14）图示桁架，接受载荷F作用.试计算该载
荷的许用值[F].设各杆的横截面面积均为A，许用应力
均为[σ].
解：由C点的平衡条件
由B点的平衡条件
1杆轴力为最年夜，由其强度条件
2－6（2-17）图示圆截面杆件,接受轴向拉力F作用.设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值.已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa.
解：由正应力强度条件由切应力强度条件
由挤压强度条件
式(1)：式(3)得式(1)：式(2)得故D：h：d：：1
2－7（2-18）图示摇臂，接受载荷F1与F2作用.试确定轴销B的直径d.已知载荷F1=50kN，F2，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σ
]=240MPa.
bs
解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力F B三力作用，根据三力平衡汇交定理知F B的方向如图（b）所示.由平衡条件
由切应力强度条件
由挤压强度条件
故轴销B的直径
第三章轴向拉压变形
3-1 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm.在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl，板宽缩短Δb.试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ.
解：由胡克定律3-2(3-5) 图示桁架，在节点A处接受载荷F作用.从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1×10-4与ε2×10-4.试确定载荷F及其方位角θ之值.已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa.解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为
由A点的平衡条件
(1)2+(2)2并开根，便得
式(1)：式(2)得
3-3(3-6) 图示变宽度平板，接受轴向载荷F作用.试计算板的轴向变形.已知板的厚度为δ，长为l，左、右真个宽度分别为b1与b2，弹性模量为E.
解：
3-4(3-11) 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持.设钢丝绳的轴向刚度（即发生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移.
解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件
钢丝绳伸长量由图（b）可以看出，C点铅垂位移为Δl/3，D点铅垂位移为2Δl/3，则B点铅垂位移为Δl，即 3-5(3-12) 试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移.设各杆各截面的拉压刚度均为EA.解：(a) 各杆轴力及伸长（缩短量）分别为因为3杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移即是B点铅垂位移加2杆的伸长量，即
(b)
点的水平与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束)
3-6(3-14) 图a所示桁架，资料的应力-应变关系可用方程σn=Bε暗示（图b），其中n和B为由实验测定的已知常数.试求节点C的铅垂位移.设各杆的横截面面积均为A.
(a) (b)
解：2根杆的轴力都为
2根杆的伸长量都为
则节点C的铅垂位移
3-7(3-16) 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与资料均相同.在梁的中点C接受集中载荷F作用.试计算该点的水平与铅垂位移.已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm.
解：各杆轴力及变形分别为梁BD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相等3-8(3-17) 图示桁架，在节点B和C作用一对年夜小相等、方向相反的载荷F.设各杆
各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C.解：根据能量守恒定律，有
3-9(3-21) 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2.复合杆接受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形.
解：设杆、管接受的压力分别为F N1、F N2，则
F N1+F N2=F (1)
变形协调条件为杆、管伸长量相同，即联立求解方程(1)、(2)，得杆、管横截面上的正应力分别为杆的轴向变形
3-10(3-23) 图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=110MPa.试确定各杆的横截面面积.
解：设杆1所受压力为F N1，杆2所受拉力为F N2，则由梁BC的平衡条件得
变形协调条件为杆1缩短量即是杆2伸长量，
即联立求解方程(1)、(2)得因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力，故由杆1的压应力强度条件得
3-11(3-25) 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[σ1]=40MPa，[σ2]=60MPa，[σ3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa.若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积.
解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为F N1(压)、F N2(拉)、F N3(拉)，则由C点的平衡条件杆1、杆2的变形图如图(b)所示，变形协调条件为C点的垂直位移即是杆3的伸长，即
联立求解式(1)、(2)、(3)得
由三杆的强度条件
注意到条件 A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2.
3-12(3-30) 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起.铆接后，温度升高40°，试计算铆钉剪切面上的切应力.钢与铜的弹性模量分别为E s=200GPa与E c=100GPa，线膨胀系数分别为αl s×10－６℃－１与αl c=16×10－６℃－１.
解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为F N，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即
铆钉剪切面上的切应力
3-13(3-32) 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相
同，并分别为A、E与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F].为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l酿成l+Δ.试问当Δ为何值时许用载荷最年夜，其值[F max]为何.
解：静力平衡条件为
变形协调条件
为联立求解式(1)、(2)、(3)得杆3的轴力比杆1、杆2年夜，由杆3的强度条件
若将杆3的设计长度l酿成l+Δ，要使许用载荷最年夜，只有三杆的应力都到达[σ]，此时
变形协调条件为第四章扭转
4-1(4-3) 图示空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩
T=1kN•m.试计算横截面上的最年夜、最小扭转切应力，以及A点处（ρA=15mm）的扭转切应力.
解：因为τ与ρ成正比，所以
4-2(4-10) 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接.已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10 kW，许用切应力[τ]=80MPa，d1/d2.试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2.
解：扭矩由实心轴的切应力强度条件
由空心轴的切应力强度条件
4-3(4-12) 某传动轴，转速n=300 r/min，轮1为主动轮，输入功率
P1=50kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10kW，
P3=P4=20kW.
(1) 试求轴内的最年夜扭矩；
(2) 若将轮1与轮3的位置对换，试分析对轴的受力是否有利.
解：(1) 轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为
轴内的最年夜扭矩若将轮1与轮3的位置对换，则最年夜扭矩酿成
最年夜扭矩变小，固然对轴的受力有利.
4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴，接受扭力矩作用.试求支反力偶矩.设扭转刚度为已知常数.
解：(a) 由对称性可看出，M A=M B，再由平衡可看出M A=M B=M
(b)显然M A=M B，变形协调条件为解得
(c)
(d)由静力平衡方程得
变形协调条件为
联立求解式(1)、(2)得
4-5(4-25) 图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起.设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m，套管与芯轴的切变
模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa.试求套管与芯轴的扭矩及最年夜扭转切应力.
解：设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2，则
T1+T2 =M=2kN·m (1)
变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即
联立求解式(1)、(2)，得套管与芯轴的最年夜扭转切应力分别为
4-6(4-28) 将截面尺寸分别为φ100mm×90mm 与φ90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接.试问在去失落扭力矩M0后，内、外管横截面上的最年夜扭转切应力.解：去失落扭力矩M0后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T，
设施加M0后内管扭转角为φ0.去失落M0后，内管带动外管回退扭转角φ1（此即外管扭转角），剩下的扭转角(φ0-φ1)即为内管扭转角，变形协调条件为
内、外管横截面上的最年夜扭转切应力分别为
4-7(4-29) 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的资料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为δ
=10mm，轴所接受的扭力矩为M=5.0 kN·m，螺栓的许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力 [σbs]=300MPa.试确定螺栓的直径d.
解：设每个螺栓接受的剪力为F S，则由切应力强度条件由挤压强度条件
故螺栓的直径
第五章弯曲应力
1(5－1)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示.试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的.
解：B正确.
平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q(x)的方
向决定.截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变动的，我们在处置这类问题时都按正方向画出.可是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所分歧，参考下图.当Ox坐标取向相反，向右时，相应(b)，A是正确的.但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时，均为正，反之，为负.
2(5－2)、对接受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种谜底中哪一种是毛病的.
解：A是毛病的.梁截面上的弯矩的正负号，与梁的坐标系无关，该梁上的弯矩为正，因此A是毛病的.弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y轴的正向.q(x)向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、C、D都是正确的.
3(5－3)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F Q|max和|M|max.（本题和下题内力图中，内力年夜小只标注相应的系数.）
解：
4(5－4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|max.
解：
5(5－5)、静定梁接受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示.若已知A端弯矩M(0)=0，试确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图.
解：
6(5－6)、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力).
解：
7(5－7)、静定梁接受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示.若已知E端弯矩为零.请：
（1）在Ox坐标中写出弯矩的表达式；
（2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图.
解：
8(5-10) 在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶.试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系.
解：用坐标分别为x与x+d x的横截面，从梁中切取一微段，如图(b).平
衡方程为
9(5-11) 对图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系.
解：(a) 用坐标分别为x与x+d x的横截面，从杆中切取一微段，如图(c).平衡方程为
(b) 用坐标分别为x与x+d x的横截面，从杆中切取一微段，如图(d).平衡方程为
10(5-18) 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上.试求金属丝内的最年夜正应变与最年夜正应力.已知资料的弹性模量为E.
解：
11(5-23) 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁.试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；
(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；
解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数
取极年夜值，为此令
(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极年夜值，为此令
12(5-24) 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的纵向正应变ε×10-4，试计算梁内的最年夜弯曲正应力.已知钢的弹性模量E=200GPa，a=1m.
解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：13(5-32) 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，M e=70kN·m，许用拉应力
[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa.试校核梁的强度. 解：先求形心坐标，将图示截面看成一年夜矩形减去一小矩形
惯性矩
弯矩图如图所示，C 截面的左、右截面为危险截面. 在 C 左截面，其最年夜拉、压应力分别为
夜拉、压应力分别为
在 C 右截面，其最年 故
14(5-35) 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度. 已 知 载 荷 F=4kN ， 梁 跨 度 l=400mm ， 截 面 宽 度 b=50mm ， 高 度 h=80mm，木板的许用应力[σ]=7MPa，胶缝的许用切应力[τ]=5MPa.
解：从内力图可见
木板的最年夜正应力


由剪应力互等定理知：胶缝的最年夜切应力即是横截面上的最年夜切 应力 可见，该梁满足强度条件.
15(5-41) 图示简支梁，接受偏斜的集中载荷 F 作用，试计算梁内的最年 夜弯曲正应力.已知 F=10kN，l=1m，b=90mm，h=180mm.
解： 16(5-42) 图示悬臂梁，接受载荷 F1 与 F2 作用，已知 F1=800N，F2，
l=1m，许用应力[σ]=160MPa.试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b； (2) 截面为圆形.
解：(1) 危险截面位于固定端
(2)


17(5-45) 一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力 的 4 倍，即[σc]=4 [σt].试从强度方面考虑，宽度 b 为何值最佳. 解： 又因 y1+y2=400 mm，故 y1=80 mm，y2=320 mm.将截面对形心轴 z 取静 矩，得
18(5-54) 图示直径为 d 的圆截面铸铁杆，接受偏心距为 e 的载荷 F 作用. 试证明：当 e≤d/8 时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为 R=d/8 的圆形区域. 解： 19(5-55) 图示杆件，同时接受横向力与偏心压力作用，试确定 F 的许用 值.已知许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa. 解：故 F 的许用值为.
第 七 章 应力、应变状态分析


7-1(7-1b) 已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试用解析法计算 图中指定截面的正应力与切应力.
解： 与 截面的应力分别为：
；
；；
MPa
7-2(7-2b)已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试用解析法计算 图中指定截面的正应力与切应力.
解： 与 截面的应力分别为：
；
；
；
7-3(7-2d)已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试用图解法计算 图中指定截面的正应力与切应力.
解：如图，得： 指定截面的正应力 切应力


7-4(7-7) 已知某点 A 处截面 AB 与 AC 的应力如图所示（应力单位为 ），试用图解法求主应力的年夜小及所在截面的方位.
解：由图，根据比例尺，可以获得：
，
，
最年夜切应力.
7-5(7态如图 向应力 力、最
10c)已知应力状 所示，试画三 圆，并求主应 年夜正应力与
解：对图示应力状态， 是主应力状态，其它两个主应力由 、 、 确定.
在 平面内，由坐标( , )与( , )分别确定 和 点，以 为直径画 圆与 轴相交于 和 .
再以 及 为直径作圆，即得三向应力圆.
由上面的作图可知，主应力为
，，


，
7-6(7-12)已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试求主应力的年 夜小.
解： 与 截面的应力分别为：
；
；
；
在 截面上没有切应力，所以
是
主应力之一.
；
；
；
7-7(7-13)已知构件概况某点处的正应变
，
，切应
变
，试求该概况处 方位的正应变 与最年夜应变 及其
所在方位.
解：
得：


7-8(7-20)图示矩形截面杆，接受轴向载荷 F 作用，试计算线段 AB 的正 应变.设截面尺寸 b 和 h 与资料的弹性常数 E 和μ均为已知.
解：
，
，
，
AB 的正应酿成
7-9(7-21)在构件概况某点 O 处，沿 ， 与 方位，粘贴三个应变
片，测得该三方位的正应变分别为
，
与
，该概况处于平面应力状态，试求该点处的应力 ， 与 .
已知资料的弹性模量
，泊松比
解：显然，
，
并令
，于是得切应变：
7-10(7-6)图示受力板件，试证明 A 点处各截面的正应力与切应力均为零.
证明：若在尖点 A 处沿自由鸿沟取三角形单位体如图所示，设单位体 、 面上的应力分量为 、 和 、 ，自由鸿沟上的应力分量为 ，则有
由于
、
，因此，必有 、 、
.这时，代


表 A 点应力状态的应力圆缩为 坐标的原点，所以 A 点为零应力状态.
7-11(7-15)构件概况某点 处，沿 ， ， 与 方位粘贴四个应变
片，并测得相应正应变依次为
，
，
与
，试判断上述测试结果是否可靠.
解：很明显，
，
得：
又
得：
根据实验数据计算获得的两个 结果纷歧致，所以，上述丈量结果不 成靠.
第 八 章应力状态与强度理论 1、 (8-4)试比力图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力 ， 弹性常数 E 和μ均为已知. （a） 棱柱体轴向受压； （b） 棱柱体在刚性方模中轴向受压.


解：对图（a）中的情况，应力状态如图（c） 对图（b）中的情况，应力状态如图（d）
所以，
，
2、 (8-6)图示钢质拐轴，接受集中载荷 F 作用.试根据第三强度理论确 定轴 AB 的直径.已知载荷 F=1kN，许用应力[σ]=160Mpa. 解：扭矩
弯矩 由 得：
所以，
3、 (8-10)图示齿轮传动轴，用钢制成.在齿轮Ⅰ上，作用有径向力
、切向力
；在齿轮Ⅱ上，作用有切向力
、径向
力
.若许用应力[σ]=100Mpa，试根据第四强度理论确定轴径.
解：计算简图如图所示，作 、 、 图.


从图中可以看出，危险截面为 B 截面.其内力分量为： 由第四强度理论 得：
4、8-4 圆截面轴的危险面上受有弯矩Ｍy、扭矩Ｍx 和轴力ＦNx 作 用，关于危险点的应力状态有下列四种.试判断哪一种是正确的. 请选择正确谜底. （图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面） 答：B
5、 （8-13)图示圆截面钢杆，接受载荷 ， 与扭力矩 作用.试根据
第三强度理论校核杆的强度.已知载荷
N，
，扭力矩
，许用应力[σ]=160Mpa.
解：弯矩
满足强度条件.
6、 (8-25)图示铸铁构件，中段为一内径 D=200mm、壁厚δ=10mm 的


圆筒，圆筒内的压力p=1Mpa，两真个轴向压力F=300kN，资料的泊松比μ，许用拉应力[σt]=30Mpa.试校核圆筒部份的强度.
解：
，，
由第二强度理论：
满足强度条件.
7、(8-27)图薄壁圆筒，同时接受内压p与扭力矩M作用，由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成方位的正应变分别为和.试求内压p与扭力矩M之值.筒的内径为D、壁厚δ、资料的弹性模量E与泊松比μ均为已知.
解：，，，
很显然，
8、(8-22)图示油管，内径D=11mm，壁厚δ，内压p，许用应力[σ]=100Mpa.试校核油管的强度.
解：，
，
由第三强度理论，
满足强度条件.
9、(8-11)图示圆截面杆，直径为d，接受轴向力F与扭矩M作用，杆用塑性资料制成，许用应力为[σ].试画出危险点处微体的应力状态图，并根据第四强度理论建立杆的强度条件.
解：危险点的应力状态如图所示.
，
由第四强度理论，，可以获得杆的强度条件：
10、(8-17)图示圆截面圆环，缺口处接受一对相距极近的载荷作用.已
知圆环轴线的半径为，截面的直径为，资料的许用应力为，试根据第三强度理论确定的许用值.
解：危险截面在A或B
截面A：，
，
截面B：
，
由第三强度理论可见，危险截面为A截面.
，
得：
即的许用值为：
11、(8-16)图示等截面刚架，接受载荷与作用，且.试根据第三强度理论确定的许用值.已知许用应力为，截面为正方形，边长为，且.
解：危险截面在A截面或C、D截面，C截面与D截面的应力状态一样. C截面：
由第三强度理论，
得：
A截面：
由第三强度理论，
得：
比力两个结果，可得：
的许用值：
12、(8-25)球形薄壁容器，其内径为，壁厚为，接受压强为p之内压.
试证明壁内任一点处的主应力为，.
证明：取球坐标，对球闭各点，以球心为原点.
，，
由于结构和受力均对称于球心，故球壁各点的应力状态相同.且由于球壁很薄.
，
对球壁上的任一点，取通过该点的直径平面（如图），由平衡条件
对球壁内的任一点，
因此，球壁内的任一点的应力状态为：
，
证毕.。