第二部分第2讲第2课时

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应试高分策略
(2015· 南宁质检)如图，已知球 O 的 球面上有四点 A，B，C，D，DA⊥平面 ABC， AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ 2，则球 O 的体 6π ． 积等于________
[解析 ] 如图，以 DA， AB， BC 为棱长
构造正方体，设正方体的外接球球 O 的 半径为 R，则正方体的体对角线长即为 球 O 的直径，所以 |CD|＝ （ 2） 2＋（ 2） 2＋（ 2） 2＝2R，
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3 sin A 5 1．在△ABC 中，a＝3，b＝5，C＝120°，则 ＝________ ， sin B 7 c＝________ ．
a b sin A a 3 解析：因为 ＝ ，所以 ＝ ＝ ， sin A sin B sin B b 5 又 c2＝a2＋ b2－2abcos C ＝ 9＋25－2×3×5× cos 120° ＝ 49， 所以 c＝ 7.
确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也
可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵 活．
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2．解数学填空题的原则 解答填空题时 ，由于不反映过程，只要求结果 ， 故对正确性
的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空
题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空 题时要做到：快 ——运算要快 ，力戒小题大做；稳 ——变形
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1．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形
式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的 能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现 了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、 实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、 更严了． 2．填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而 不必担心“上当受骗”而误入歧途．但填空题最容易犯的错 误，要么答案不当，要么答案不全．
第二部分应试高分策略来自技法二特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量， 但填空题的结论唯一 或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时， 可以从题中变 化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值 (特殊函数、特殊角、 特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等 )进行处 理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法 时，一般应多取几个特例．
3． 已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60°， c＝ta＋ (1－t)b， 若 b· c 2 ＝0，则 t＝________ ．
解析： 法一：如图所示，在△ OAB 中， → → |OA|＝ |OB|＝ 1， ∠ AOB＝ 60°，延长 BA 到 C 使 → → → → → ∠ BOC＝ 90°，则 A 为 BC 的中点，c＝OC＝OA＋ AC＝OA＋BA ＝ 2a－b，则 t＝2. 1 法二：由已知 b· c＝0，即 ta· b＋ (1－ t)b ＝ 0， t＋ (1－ t)＝0，因此 2
3 4 π R 6 所以 R＝ ，故球 O 的体积 V＝ ＝ 6π . 2 3
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[名师点评 ]
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，
需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向． 一般通过 构造新的函数、 不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉 的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过 补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解， 如将三 棱锥补成特殊的长方体等．
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2
t＝ 2.
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技法四
构造法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学 模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分 析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式 ) 形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及 各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景 (几何 背景、代数背景 )，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模 型，达到快速解题的目的．
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[名师点评]
图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空
题中的应用， 利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相 应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是 正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系， 利用几 何图形中的相关结论求出结果．
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地、有意识地采取灵活简捷的解法．
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(2015· 高考安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋ 2n－1 ． a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n 项和等于________
[解析 ]
a1＋a1q ＝ 9， 设等比数列的公比为 q，则有 2 3 a1· q ＝8，
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第2课时
填空题解题技法
第 1讲
数学思想方法
1．填空题的特征 填空题是不要求写出计算或推理过程 ，只需要将结论直接写
出的“求解题 ”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填
空题没有备选项 ，因此 ， 解答时有不受诱误干扰的好处 ， 但 也有缺乏提示的不足；第二 ，填空题的结构往往是在一个正
要稳 ， 不可操之过急；全 —— 答案要全 ， 力避残缺不齐；
活 ——解题要活 ， 不要生搬硬套；细 ——审题要细 ，不能粗 心大意．
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技法一
直接法
直接法就是从题设条件出发，运用有关的概念、定义、性 质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结论 的一种解题方法．它是解填空题的最基本、最常用的方 法．使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉
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x ＋x， x<0， 设函数 f(x)＝ 若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取 2 － x ，x≥0.
2
a≤ 2 ． 值范围是 ________
[解析] f(x)的图象如图，由图象知，
满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而 满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
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1 1 1 1 1 1 4． 若 a＝ln － ， b＝ln － ， c＝ln － ， 2 013 2 013 2 014 2 014 2 015 2 015
a>b>c ． 则 a，b，c 的大小关系为________
1－x 1 解析：令 f(x)＝ ln x－x，则 f′(x)＝ －1＝ . x x 当 0<x<1 时， f′ (x)>0， 即函数 f(x)在 (0，1)上是增函数． 1 1 1 因为 1> > > >0，所以 a>b>c. 2 013 2 014 2 015
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如图所示，在△ ABC 中， AO 是 BC 边上的中线， K 为 AO 上一点， → → 且AO ＝2AK，过点 K 的直线分别交直线 → → → → AB、AC 于不同的两点 M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN ，则 m 4 ＋n＝________ ．
[解析 ] 由题目可知 K 为 AO 的中点，m，n 变化但 m＋n 的值 为定值，故可取一个特殊位置求解． 当过点 K 的直线与 BC 平行时， MN 就是△ ABC 的一条中位线． 这 → → → → 时由于有AB＝2AM，AC＝ 2AN ，因此 m＝n＝2，故 m＋n＝4.
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[ 名师点评 ]
求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代
入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对 于开放性的问题或者有多种答案的填空题， 则不能使用该种方法 求解． 本例选取过点 K 的直线与 BC 平行这一特殊位置从而求得 m＋ n 的值．
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3
1 a1＝1， 解得 或 1 q＝2 q＝ .
2
a ＝8，
a1＝1， 1－2n 又 {an}为递增数列，所以 所以 Sn＝ ＝ 2n－ 1. 1－2 q＝2，
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[名师点评 ] 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算 过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注 意一些解题规律和解题技巧的灵活应用， 将计算过程简化从而得 到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
3 2 2． cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________ ．
3 解析：令 α＝0°，则原式＝ cos 0°＋cos 120°＋cos 240°＝ . 2
2 2 2
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技法三 图解法(数形结合法) 对于一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”、“以形助 数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解 决问题，得出正确的结果．Venn 图、三角函数线、函数的图象 及方程的曲线等，都是常用的图形．