机械工业出版社 复变函数与积分变换 第1章 复数与复变函数PPT课件
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复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
xrcosq, yrsinq,
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
机械工业出版社 复变函数与积分变换 第1章 复数与复变函数PPT演示文稿
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
2021/3/10
9
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
面上的所有点有一
N(0,0,2r)
的平面表 示方法外,
还可以用
x3
球面上的
P(x1,x2,x3) 点来表示
复数.
一对应的关系,
而N点本身可代表
无穷远点, 记作.
这样的球面称作复 球面.
x1
o
x2
y x2
x x 2021/3/10
1
z(x,y) 26
扩充复数域---引进一个“新”的数∞:
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞.
得
z r(cos i sin )
2021/3/10
o
x
4. 指数表示法
再由Euler公式 :
ei cos i sin得
z rei 18
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin i cos .
5
5
[解] 1) r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2)
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数和积分变换1
cosisini
22
§1.2.5 复数的乘方与开方
zrco issin
乘方
z n r c o i ss i n n r n cn o i ss n i n
r=1 co is sin n cn o is sn in
德摩弗（De )公式
§1.2.5 复数的乘方与开方
z1 z2
z1 z2
,Argzz1 2Ar1gA z r2gz
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
例1.5 用三角表示计算 1 3 i3 i
解： 1 3i2cosisin
3 3
3i2 co s6 5 isi n6 5
1 3 i3 i 4 c o 2 s is i n 2 4 i
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
复数 zxiy
实部
虚数单位 i2=-1
虚部
Rze x,Im zy z 2i Rez 2,Imz1
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
纯虚数 iy
复数相等
共轭复数
zxiy z x iy
z z
§1.1 复数
§1.1.2 复数的四则运算
z1x1iy1 z2x2iy2
写成复数形式为：
z z 1 z 2 x 1 t 0 t 1
§1.3.3 平面曲线
§1.3.3 平面曲线
若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们都以
该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个 是无界区域，称为外部。
设D是一区域，如果对D内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D， 则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域。
22
§1.2.5 复数的乘方与开方
zrco issin
乘方
z n r c o i ss i n n r n cn o i ss n i n
r=1 co is sin n cn o is sn in
德摩弗（De )公式
§1.2.5 复数的乘方与开方
z1 z2
z1 z2
,Argzz1 2Ar1gA z r2gz
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
例1.5 用三角表示计算 1 3 i3 i
解： 1 3i2cosisin
3 3
3i2 co s6 5 isi n6 5
1 3 i3 i 4 c o 2 s is i n 2 4 i
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
复数 zxiy
实部
虚数单位 i2=-1
虚部
Rze x,Im zy z 2i Rez 2,Imz1
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
纯虚数 iy
复数相等
共轭复数
zxiy z x iy
z z
§1.1 复数
§1.1.2 复数的四则运算
z1x1iy1 z2x2iy2
写成复数形式为：
z z 1 z 2 x 1 t 0 t 1
§1.3.3 平面曲线
§1.3.3 平面曲线
若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们都以
该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个 是无界区域，称为外部。
设D是一区域，如果对D内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D， 则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域。
复变函数与积分变换课堂PPT第一章
[证] z 1 z 2 z 1 z 2 ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 R e ( z 1 z 2 ) .
z
1 3i i 1i
，求Re(z),Im(z)与 z
z
.
[解] z13i i 3i(1i) i 1i i( i) (1i)(1i)
i (3 3i) 22
3 1 i, 22所以 NhomakorabeaRe(z)3, Im(z)1,
2
2
zz322
122
5. 2
例 求满足下列条件的复数z : (1 )z|z|2i; (2 )(1 2 i)z 4 3 i.
x0 x 0, y 0
幅角不确定。 当z 0 时，arg z
arctg
y x
,
,
x 0, y 0 x 0, y 0
可由右边关系确定：
其中
argtgy.
长度称为z 的模或绝对值, 记作 | z|r x2 y2
显然, 还有下列各式成立
|x| |z|,|y| |z|,
y
P
y
z=x+iy
q
O
xx
|z||x||y|, zz|z|2|z2|.
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边
的角的弧度数q 称为z的辐角, 记作
这时, 有
Argzq
tg(Arg z) y x
共轭复数
z
1 3i i 1i
，求Re(z),Im(z)与 z
z
.
[解] z13i i 3i(1i) i 1i i( i) (1i)(1i)
i (3 3i) 22
3 1 i, 22所以 NhomakorabeaRe(z)3, Im(z)1,
2
2
zz322
122
5. 2
例 求满足下列条件的复数z : (1 )z|z|2i; (2 )(1 2 i)z 4 3 i.
x0 x 0, y 0
幅角不确定。 当z 0 时，arg z
arctg
y x
,
,
x 0, y 0 x 0, y 0
可由右边关系确定：
其中
argtgy.
长度称为z 的模或绝对值, 记作 | z|r x2 y2
显然, 还有下列各式成立
|x| |z|,|y| |z|,
y
P
y
z=x+iy
q
O
xx
|z||x||y|, zz|z|2|z2|.
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边
的角的弧度数q 称为z的辐角, 记作
这时, 有
Argzq
tg(Arg z) y x
共轭复数
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数第一章小结与习题
若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z2 z1
z2 z1
,
z2 Arg Arg z 2 Arg z 1 . z1
设复数 z 1 和 z 2的指数形式分别为
z 1 r1 e
z re
i
称为复数 z 的指数表示式.
4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 A应的向量分别为 z 1 , z 2 ,
z
z1
y
先把 z 1 按逆时针方向 旋转一个角
所得向量
z 就表示积
z1 z 2 .
2 1
o
r2
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
再把它的模扩大到
r2 倍 ,
r1
2,
r
z2
x
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
设 G 是一个复数 个确定的法则存在 每一个复数 z x iy 的集合 . 如果有一 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的
z , 就有一个或几个复数 w 是复变数
w u iv 与 z 的函数 ( 简称
之对应 , 那末称复变数 复变函数 ), 记作
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z2 z1
z2 z1
,
z2 Arg Arg z 2 Arg z 1 . z1
设复数 z 1 和 z 2的指数形式分别为
z 1 r1 e
z re
i
称为复数 z 的指数表示式.
4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 A应的向量分别为 z 1 , z 2 ,
z
z1
y
先把 z 1 按逆时针方向 旋转一个角
所得向量
z 就表示积
z1 z 2 .
2 1
o
r2
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
再把它的模扩大到
r2 倍 ,
r1
2,
r
z2
x
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
设 G 是一个复数 个确定的法则存在 每一个复数 z x iy 的集合 . 如果有一 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的
z , 就有一个或几个复数 w 是复变数
w u iv 与 z 的函数 ( 简称
之对应 , 那末称复变数 复变函数 ), 记作
复变函数与积分变换第1章函数与复变函数
称为z0的邻域；由 不 等 式 0 |z z 0 | 所 确 定 的 点 集 称
为z0的去心邻域。
2.内 点 ： 若 存 在 z 0 的 某 个 邻 域 包 含 于 点 集 G 中 , 则 称
z0为G的内点。
3.开 集 ：若 点 集 G 的 每 一 点 都 是 它
的 内 点 ， 则 称 G 为 开 集 。
属 于 D 的 折 线 连 接 。 9 . 闭 区 域 ： 区 域 连 同 它 的 边 界 称 为 闭 区 域 。
z1 区域 z2
ppt课件
A
不连通！
B
22
例：描 出 下 列 点 集 所 表 示 的 图 形 ， 并 判 断 哪 些 是 区 域 。
(1)zz 0;
(2)|z2i|1;
(3)0argz
为 虚 轴 ） 上 的 点 表 示 纯 虚 数 ， 坐 标 平 面 称 为 复 平 面 。
故 注 ： 复 数 z 与 复 平 面 上 的 点 一 一 对 应 ， 故 以 后 将 不 加 区 分 。
ppt课件
7
§1.2 复数的三角表示 1 . 复 数 的 模 与 辐 角 ： 复 数 z 与 平 面 向 量 O Z 一 一 对 应 ，
- a r g z , 且 A r g z a r g z 2 k , ( k 0 , 1 , 2 ,)
性质：
(1) z x2 y2, zz | z|2| z2 |;
(2)|x| |z|,|y| |z|,|z||x|| y|; ( 3 )||z 1 | |z 2 || |pz pt课1 件 z 2 | |z 1 | |z 2 |8
a r g z 可 由 下 列 关 系 确 定 ：
a
r
c
t
为z0的去心邻域。
2.内 点 ： 若 存 在 z 0 的 某 个 邻 域 包 含 于 点 集 G 中 , 则 称
z0为G的内点。
3.开 集 ：若 点 集 G 的 每 一 点 都 是 它
的 内 点 ， 则 称 G 为 开 集 。
属 于 D 的 折 线 连 接 。 9 . 闭 区 域 ： 区 域 连 同 它 的 边 界 称 为 闭 区 域 。
z1 区域 z2
ppt课件
A
不连通！
B
22
例：描 出 下 列 点 集 所 表 示 的 图 形 ， 并 判 断 哪 些 是 区 域 。
(1)zz 0;
(2)|z2i|1;
(3)0argz
为 虚 轴 ） 上 的 点 表 示 纯 虚 数 ， 坐 标 平 面 称 为 复 平 面 。
故 注 ： 复 数 z 与 复 平 面 上 的 点 一 一 对 应 ， 故 以 后 将 不 加 区 分 。
ppt课件
7
§1.2 复数的三角表示 1 . 复 数 的 模 与 辐 角 ： 复 数 z 与 平 面 向 量 O Z 一 一 对 应 ，
- a r g z , 且 A r g z a r g z 2 k , ( k 0 , 1 , 2 ,)
性质：
(1) z x2 y2, zz | z|2| z2 |;
(2)|x| |z|,|y| |z|,|z||x|| y|; ( 3 )||z 1 | |z 2 || |pz pt课1 件 z 2 | |z 1 | |z 2 |8
a r g z 可 由 下 列 关 系 确 定 ：
a
r
c
t
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解 : z1 55i 7i z2 34i 5
例2:求
1i 4
1i
1 i i 1 i
12
例3.证明若 z是实系数方程 anxn an-1xn1 a1xa0 0
的根,则z也是其.根(实多项式的零点成现对 ) 出
例 4 . 证 : z 1 z 2 2 z 1 明 z 2 2 2 z 1 2 z 2 2
记作θ0=argz。 A z=0时，辐角不确定。
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
y arctan
x
2
y
arctan
x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
16
A 当z落于一,四象限时，不变。
1.1.1 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数。其中i2 1, i称为虚单位。
7
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 |z| x2y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2, y1 y2, 其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im(z) 0
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模： | z||OP|r x2 y2, y
P(x,y)
记作
辐角 : Arzg
A z 0 OP 0
z r
o
x
x
15
z 0 时 ta， A n z)r (y g /x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
5
R. Descartes(笛卡儿): 1596-1650, 法国哲学家，坐标几何的创 始人．1637他称一个负数的开方为虚数(imaginary number).
L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右 眼失明，60岁完全失明．
1748年：Euler公式 eicosisin
复变函数与积分变换
•教
材: 复变函数与积分变换（第3版）杨巧林
• 参 考 书: 《复变函数与积分变换》（第四版）
、其它各类相关教材
1
复变函数与积分变换
• 作业要求: 一章结束交作业，按时 交给各班课代表
• 上课要求: 按时上课(有事要请假); • 课程性质: 专业基础选修课程; • 课程基础: 高等数学基本知识 • 总课时数: 48
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
(z1z2)z1z2
(4)zz 2Rez()
( z1 ) z1 z2 z2
zz 2i Imz()
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1z z | z |2
11
例1:设z1 55i,z2 34i, 求z1 ,(z1)及它们的实部,虚部. z2 z2
2
复变函数与积分变换
• 课程要求: 要求着重理解基本概念; 要求掌握基本方法;
• 成绩评定:
期末总成绩=期末成绩 * 70% + 平时成绩* 30%;
3
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transforms
盐城师范学院数学科学学院 王住登
手机: Email:
13
§1.2 复数的几何表示
1. 点的表示
易见 z， xiy 一对有(序 x,y)实 , 数 在平面上取定直系 角， 坐则 标 任意点 P(x, y)一对有序实 (x,数 y) zxiy平面上的 P(点 x, y) 复z数 xiy可用平面(上 x， y坐 )的标 P 点 表为 .示 此时 x轴 ， — 实轴 y轴 — 虚轴
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实
性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展．
6
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数及其运算
A 一般, 任意两个复数不能比较大小。
8
1.1.2 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) zz z1 2x 1 x |2 z 2|2 y 1y 2 ix 2y |1 z 2|x 21y 2 (z2 0 )
1777年：首次使用"i"表示，创立了复变函数论，并应用 到水利学，地图制图学 ．
C.Wessel (卡斯帕尔·韦塞尔，挪威1745-1818)和R.Argand(阿甘得 ，德国1777-1855）将复数用平面向量或点来表示．
K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
4
复数的诞生
先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现和使用
a2xb xc0,(a0),
则当 b24a c0时无解，当 b24a c0
时有解：
xb b2 4ac 2a
G. Cardano (卡当，1501-1576) : ＂怪才＂，精通数学，医学， 语言学，文学，占星学．他发现
x10x40
没有根，但形式地表为 5 15与 5 15
9
•运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
10
•共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
平面 — 复平面 z平或 面
点的表示：z x iy 复平面上的点P(x，y)
A 数z与点z同义.
14
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
例2:求
1i 4
1i
1 i i 1 i
12
例3.证明若 z是实系数方程 anxn an-1xn1 a1xa0 0
的根,则z也是其.根(实多项式的零点成现对 ) 出
例 4 . 证 : z 1 z 2 2 z 1 明 z 2 2 2 z 1 2 z 2 2
记作θ0=argz。 A z=0时，辐角不确定。
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
y arctan
x
2
y
arctan
x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
16
A 当z落于一,四象限时，不变。
1.1.1 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数。其中i2 1, i称为虚单位。
7
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 |z| x2y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2, y1 y2, 其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im(z) 0
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模： | z||OP|r x2 y2, y
P(x,y)
记作
辐角 : Arzg
A z 0 OP 0
z r
o
x
x
15
z 0 时 ta， A n z)r (y g /x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
5
R. Descartes(笛卡儿): 1596-1650, 法国哲学家，坐标几何的创 始人．1637他称一个负数的开方为虚数(imaginary number).
L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右 眼失明，60岁完全失明．
1748年：Euler公式 eicosisin
复变函数与积分变换
•教
材: 复变函数与积分变换（第3版）杨巧林
• 参 考 书: 《复变函数与积分变换》（第四版）
、其它各类相关教材
1
复变函数与积分变换
• 作业要求: 一章结束交作业，按时 交给各班课代表
• 上课要求: 按时上课(有事要请假); • 课程性质: 专业基础选修课程; • 课程基础: 高等数学基本知识 • 总课时数: 48
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
(z1z2)z1z2
(4)zz 2Rez()
( z1 ) z1 z2 z2
zz 2i Imz()
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1z z | z |2
11
例1:设z1 55i,z2 34i, 求z1 ,(z1)及它们的实部,虚部. z2 z2
2
复变函数与积分变换
• 课程要求: 要求着重理解基本概念; 要求掌握基本方法;
• 成绩评定:
期末总成绩=期末成绩 * 70% + 平时成绩* 30%;
3
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transforms
盐城师范学院数学科学学院 王住登
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13
§1.2 复数的几何表示
1. 点的表示
易见 z， xiy 一对有(序 x,y)实 , 数 在平面上取定直系 角， 坐则 标 任意点 P(x, y)一对有序实 (x,数 y) zxiy平面上的 P(点 x, y) 复z数 xiy可用平面(上 x， y坐 )的标 P 点 表为 .示 此时 x轴 ， — 实轴 y轴 — 虚轴
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实
性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展．
6
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数及其运算
A 一般, 任意两个复数不能比较大小。
8
1.1.2 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) zz z1 2x 1 x |2 z 2|2 y 1y 2 ix 2y |1 z 2|x 21y 2 (z2 0 )
1777年：首次使用"i"表示，创立了复变函数论，并应用 到水利学，地图制图学 ．
C.Wessel (卡斯帕尔·韦塞尔，挪威1745-1818)和R.Argand(阿甘得 ，德国1777-1855）将复数用平面向量或点来表示．
K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
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复数的诞生
先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现和使用
a2xb xc0,(a0),
则当 b24a c0时无解，当 b24a c0
时有解：
xb b2 4ac 2a
G. Cardano (卡当，1501-1576) : ＂怪才＂，精通数学，医学， 语言学，文学，占星学．他发现
x10x40
没有根，但形式地表为 5 15与 5 15
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•运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
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•共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
平面 — 复平面 z平或 面
点的表示：z x iy 复平面上的点P(x，y)
A 数z与点z同义.
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2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的