离散时间系统的时域分析

将初始条件代入，得：
5 3 c1 0, c2 , c3 4 4 5 3 2 n y0 [n] n(2) n (2) n n 0 4 4
第3章 离散时间系统的时域分析
作业：P101
该系统是时变系统 .
第3章 离散时间系统的时域分析
关于差分的一些概念
* .差分: x(n) 前向差分
x(n) 后向差分
x(n) 中心差分
x(n) x(n h) x(n) x ( n ) x ( n ) x ( n h ) h h x ( n ) x ( n ) x ( n ) 2 2
第3章 离散时间系统的时域分析
*序 列x(n)的 后 向 差 分 x(n) x(n) x(n 1) x(n) x(n) x(n 1) x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
2
x(n) x(n) x(n 1) x(n) 3x(n 1) 3 x(n 2) x(n 3)
系统模型是输入输出的线性组合 系数乘，相加，延时单元
N M
y( n) ak y( n k ) br x( n r )
k 1 r 0
第3章 离散时间系统的时域分析
差分方程的形式
1. 后向差分方程
a0 y[n] a1 y[n 1] a2 y[n 2] a N y[n N ] b0 x[n] b1 x[n 1] b2 x[n 2] bM x[n M ] ak y[n k ] bk x[n k ]

j 4
2e
j
4 3 4
2 1 j 2e
j n 4
j

4
2e

j
y0 [n] ( 2 )n (C1e C2e ) 初始条件y0[－1]=0, y0[－2]=1 代入，得：
c1 1 j 2e c2 1 j 2e
j
j n 4
k＝0 k＝0 N M
由于各序号依次为n,n-1,n-2…n-k,以递减方式给 出，称为后向差分方程。
第3章 离散时间系统的时域分析
2. 前向差分方程
a0 y[n] a1 y[n 1] a2 y[n 2] a N y[n N ] b0 x[n] b1 x[n 1] b2 x[n 2] bM x[n M ] ak y[n k ] bk x[n k ]
n n n
(2) 特征根是等实根 α 1= α 2== α r= α
yh[n] C1 n C2n n Cr nr 1 n
(3) 特征根是成对共轭复根
r1, 2 a jb e j0
yh[n] n[C1e j0n C2e j0n ]
或： 如果求到的常数C1和C2是共轭的， yh[n] 2c n cos(0n )
由新的初始条件可确定系统的零输入响应
第3章 离散时间系统的时域分析
3 2 2 12 24 16 0 特征方程为：
3 6 2 12 8 0
( 2)3 0
1, 2, 3 2
y0[n] C1 (2)n C2n(2)n C3n2 (2)n
.典 型 序 列 的 求 和
i n
第3章 离散时间系统的时域分析
(i ) u(n) u(i ) ( n 1)u(n)
n
n
i
1 iu( i ) n( n 1)u( n) 2 i 1 i u( i ) n( n 1)(2n 1)u( n) 6 i
常系数差分方程的求解
递推法
时域经典法
离散卷积法：利用齐次解得零输入解，再
利用卷积和求零状态解。
第3章 离散时间系统的时域分析
•递推法（迭代法）
求解差分方程的递推法和经典法
当差分方程阶次较低时常用此法 y (n) ay (n 1) x(n) x ( n) ( n) n 0 y (0) ay (1) x(0) 0 (0) 1 n 1 y (1) ay (0) x(1) a (1) a
2 n1 1 a i a u( i ) 1 a i n n
a 1
第3章 离散时间系统的时域分析
§3.2 离散时间系统的差分方程
输入是离散序列及其时移函数
x(n), x(n 1), x(n 2),....
输出是离散序列及其时移函数
y(n), y(n 1), y(n 2),....
yh[n] n (C1 cos0n C2 sin0n)
c1,2 ce j
第3章 离散时间系统的时域分析
例3-2：已知某线性时不变连续时间系统的动态方程
y[n] 5 y[n 1] 6 y[n 2] x[n]
7 初始条件y0[－1]= 6
入响应y0[n]。
, y0[－2]=
n2 nn y (2) ay (1) x(2) a.a (2) a 2 y (n) ay (n 1) x(n) a
n n
y ( n) a u ( n)
第3章 离散时间系统的时域分析
•时域经典法
与微分方程的时域经典法类似，先分别求齐次解 与特解，然后代入边界条件求待定系数。但求解 过程比较麻烦，在解决实际问题时不宜采用。
•分别求零输入响应与零状态响应
可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用 卷积和的方法求零状态响应。
§3.3 离散时间系统的零输入响应
方法: 先求齐次方程的齐次解,然后代入初始条件得 到零输入响应
第3章 离散时间系统的时域分析
齐次解的形式
(1) 特征根是不等实根 α1, α 2, , α N
yh[n] C11 C2 2 CN N
第3章 离散时间系统的时域分析
例3-3：已知某线性时不变连续时间系统的动态方程
y[n] 2 y[n 1] 2 y[n 2] x[n]
初始条件y0[－1]=0, y0[－2]=1, 求系统的零输入响应y0[n]。 解 齐次方程为：y[n]2y[n1]+2y[n2] = 0 特征方程为 2 2 2 0 3 特征根为： 1 1 j 2e
y[n] y[n 2] 2 x[n] 3 x[n 4]
在本书的讨论中，一般使用后向差分方程。 *请同学们复习数学中有关复数表示方法的内容
复数的三种表示方法及其相互转换： 代数形式 A＝a+bj 三角形式 A＝r(cosφ+jsin φ) 指数形式 A＝rejφ
第3章 离散时间系统的时域分析
2 2 y2 (n) y2 (n) x1 (n) sin( n ) x2 (n) sin( n ) 7 6 7 6
2 ax ( n) ax ( n) sin( n ) 7 6 2 ay ( n) ax ( n) sin( n ) 7 6 是线性系统
差分方程
经典解法
卷积积分
卷积和
第3章 离散时间系统的时域分析
§3.2 离散时间系统的差分方程
一.线性时不变离散时间系统
1.离散时间系统定义:一个系统,若输入是离散时间 信号,输出也是离散时间信号,则此系统为离散时间 系统.
X(n)
T[ ]
Y(n)=T[x(n)]
Baidu Nhomakorabea
2.线性时不变系统: 同时满足线性性质和时不 变性质
2 x1 (n) x2 (n) [ x1 (n) x2 (n)] sin( n ) 7 6
第3章 离散时间系统的时域分析
2 x ( n n0 ) x ( n n0 ) sin( n ) 7 6 2 y ( n n0 ) x ( n n0 ) sin( ( n n0 ) ) 7 6
3 2 2
第3章 离散时间系统的时域分析
.典 型 序 列 的 差 分 du(t ) u (n) u (n) u (n 1) (n) dt dt n n (n 1) 1 1 dt 2 dt 2 2 2 n n (n 1) 2n 1 2t dt (2n 1) sin n sin n sin(n 1) 2 cos 2
第3章 离散时间系统的时域分析
2 n ) 1. y(n) 2 x(n) 3 2. y (n) x(n) sin( 7 6
1.齐次性：
例：判断下列系统是否为线性时不变系统
ax (n) 2ax (n) 3 ay (n) 2ax (n) 3a
该系统是非线性系统
x(n n0 ) 2 x(n n0 ) 3 y (n n0 ) 该系统是时不变系统.

4
j

4
第3章 离散时间系统的时域分析
y0 [n] 2 2 ( 2 ) cos(
n

n ) n 0 4 4

例3-4：已知某LTI系统的差分方程为：
2 y[n] 12 y[n 1] 24 y[n 2] 16 y[n 3] x[n]
输入x[n]=2δ[n]，初始条件y[0]=1,y[-1]=-1,y[-2]= 求该系统的零输入响应。
11 8
解：本题中给出的初始条件与输入信号有关，故不能 直接用于求系统的零输入响应，必须先确定与输入信号 无关的新的初始条件：令n=0，则可得到： 2 y[0] 12 y[1] 24 y[2] 16 y[3] x[0] 2 [0] 2 代入给定的已知条件：则
21 y[3] 16
23 , 36
求系统的零输
解 齐次方程为：y[n]5y[n1]+6y[n2] = 0
特征方程为 2 5 6 0 特征根为
1 2, 2 3
y0[n] C1 2n C2 3n 7 23 初始条件y0[－1]= , y0[－2]= 代入，得C1=3, C2=-1 6 36 y0[n] [3(2)n 3n ]u[n]
2.按幅值特性 幅度连续： 幅度量化：
a.量化 : 时间连续 ,幅值量化 . b.摸拟 : 时间 ,幅度都连续 . c.抽样 : 时间离散,幅值连续 . d .数字: 时间离散,幅值量化 .
连续
离散
第3章 离散时间系统的时域分析
二.连续时间系统与离散时间系统的类比
连续系统 离散系统
微分方程
经典解法
第3章 离散时间系统的时域分析
离散线性时不变系统
线性：
xi (n)
h( n)
M i 0 i
yi (n)
y ( n)
1.叠加性：
x ( n)
i 0 i
M
2.齐次性：
a x ( n)
i 0 i i
M
a y ( n)
i 0 i i
M
3.时不变性
xi (n m)
yi (n m)
k＝0 k＝0 N M
由于各序号依次为n,n+1,n+2…n+k,以递增方式给 出，称为前向差分方程。 性质：在常系数线性差分方程中，各序列的序号 都增加或减少同样的数目，该差分方程所描述的 输入与输出关系不变。
第3章 离散时间系统的时域分析
例3-1： y[n 2] y[n] 2 x[n 2] 3 x[n 2] 各序号都减去2，得后向差分方程：
第3章 离散时间系统的时域分析
第三章 离散时间系统的时域分析 离散信号描述与运算 离散系统的数学模型
零输入响应与零状态响应
离散信号卷积运算的几种求法 离散时间系统的模拟
第3章 离散时间系统的时域分析
§3.1 引言 一. 信号的分类：
连续 : 用全体实数 ( t ). 1.按时间特性 离散 :用特定实数 (整数n).