固体理论-5 电子声子相互作用

固体理论

——电子声子相互作用

主讲翦知渐

固体理论-电子声子相互作用-物理图像

第五章电子声子相互作用

1电子与晶格的基本相互作用形式

§1 物理图像

§2 电子与声频支声子的相互作用子与声频支声子的相作用

§3 声子的自能修正

§4 电子与光频支声子的相互作用

§5 有效电子-声子相互作用

而电子-声子相互作用的形变势可写为

其中为（相对）形变量为形变势常数由实验确定∆(r )为（相对）形变量，c 1为形变势常数，由实验确定单位体积形变后膨胀为

所以体积的相对变化为

根据声子声学模的长波方法，有

所以对于长波声子体积相对变化为

所以，对于长波LA 声子，体积相对变化为

其中，只有纵波对体积变化有贡献：e q ·q

而对横波指标σ的求和为0

故电子

-声子互作用的二次量子化形式可表示为单体势对态向量的均量的平均：

代表湮灭一个k 电子

和一个q 声子，产生

一个k+q 电子代表湮灭一个k 电子，产生一个q 声子和一个k -电子

q

当k在费米球外，k -q在费米球内时，也可代表如下过程

箭头向上代表电子，箭头向下代表空穴

这几个过程是电子-声子相互作用的一级微扰过程，可用于解释晶体的输运特性

电子-声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成

二级微扰的物理过程：

（）先发射然后吸收a ）先发射，然后吸收q 声子——物理实质是电子带着晶格畸变运动，对电子自能产生修正

空穴对然后再复合放出声子（b ）产生电子-空穴对，然后再复合放出声子——代表电子系统对声子扰动场的屏蔽，它会改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正

（c ）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为电子之间的有效吸引势，它是产生超导电性的主要机制

§2 电子与声频支声子的相互作用

形变势模型是电子与声子互作用的连续模型，更严格的推导应当从晶格模型出发。对于简单晶格只有声频支振动

晶格模型：设l 格点离子与j 电子(r j ) 之间的相互作用势能为V ( r j -l )，所以无晶格振动时，电子-离子相互作用为

设晶格振动位移为u l ( t )，此时电子-离子互作用为

0,()ei j l i i

j l i

H V l =−≡=∑∑r l l R a 故电子-声子相互作用为：其中定义了电-声互作用的单体势

若采用布洛赫函数

作为电子体系二次量子化态向量的基函数（非平面波），则态+k 向量为

其中C k ，C k 是能带电子的产生湮灭算符，满足对易关系：则电声互作用可表示为

进一步，可利用

其中是偏振方向的单位矢量

则电声互作用的二次量子化形式可化为

其中N为元胞数，M为原子质量，s为格波的偏振指标现在考虑布洛赫函数的积分

其中作了代换r → r + l

(r+ l) = u k ( r)

+l)=(

并且利用了布洛赫函数的性质：u

k

作离子势的傅里叶展开

可得

因此有

为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取

得到晶格模型中电子-声子互作用的哈密顿

其中利用了

i

|e⋅

k

>=k r

K n 为倒格矢

所以可得到波矢条件

波矢条件

实际上就是动量守恒条件，但与通常的动量守恒有区别，其中存在选取K n 的不确定性

？当采用简约区方案时怎样选取K n ？当采用简约区方案时，K n 的选取应保证散射后的电子态k '也在第一布里渊区内，k '= k + q + K n ——k +q 因为k + q 可能超出BZ

1 选取K

n 的讨论

k +q (1)k q 位于BZ 内

取K n = 0，则有k '= k + q

此时总波矢守恒，称为正常散射或简称N 过程

长波近似下，有LA 与TA 声子：e qs 平行或垂直于q

而只有LA 声子对N 过程有贡献，因为因子e qs · q 的存在使得横波声子的贡献为0

此时

其中

对于金属，可采用集体坐标表示

电子离子作用势采用库仑势电子离子互作用势采用库仑势

利用声子简正坐标

和电子集体坐标

此式可用于计算电声作用

可得

对声子频率的修正

k +q BZ 边界

(2)k + q 超出BZ

k + q 一般在邻近布里渊区内，

K 0，使得k '= k +

此时需要取n ≠使得q + K n 回到BZ 内，因此总波矢

守恒条件相差一个倒格矢

因e q T · K n ≠ 0，此时TA （横波）

声子也有贡献

由于从k到k'为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转故称

度偏转，故称K

n

≠ 0的过程为倒逆过程或U过程

注意到，采用BZ并未改变物理实质

从下图可以看出速度)k+q)

从下图可以看出，速度v (k') 与v (k + q) 是相同的

U过程主要在高温较大时存在，对金属的高温特性有重要影响程要在高q较大时存在对属的高特性有要影响2 电子-声子互作用过程的守恒定律

(1) 准动量守恒：ħk'= ħk + q + K

()(q n)

若忽略晶格周期性，则相当于晶格常数a →0，因此倒格矢b 这是由于晶格结构的周期性和不连续性形成的

→∞，BZ趋于无穷大——自然k + q 不会超出BZ，所以此时

动量严格守恒：K

n = 0