点到直线的距离公式
空间坐标系中点到直线的距离公式
空间坐标系中点到直线的距离公式空间坐标系中点到直线的距离可以通过以下公式计算：
设直线上一点为P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为l(a, b, c)，空间中一点为P(x, y, z)。
点P到直线的距离d可以通过以下公式计算：
d = |(P P0) ((P P0) · l)l| / |l|。
其中，|(P P0) ((P P0) · l)l| 表示向量的模，(P P0) 表示
P到P0的向量，·表示点乘操作，|l|表示向量l的模。
这个公式的推导可以通过向量的投影和向量的模的概念来理解。
首先，求出点P到直线上点P0的向量，然后将这个向量投影到直线
的方向向量上，最后求出投影向量的模除以直线方向向量的模即可
得到点到直线的距离。
这个公式可以用于计算空间中任意一点到直线的距离，对于空
间中的几何问题具有重要的应用价值。
当然，在实际应用中，也可
以根据具体情况选择其他方法来计算点到直线的距离，比如使用向量的夹角等方法。
点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式是一个重要的几何概念，它用于计算一个点到直线的
最短距离。
这个公式在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
设直线的方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)。
要计算点到直线的距离，我们可以利用点到直线的垂直距离公式。
点到直线的距离公式可以通过以下步骤来推导：
1. 首先，我们找到直线上的一个任意点P(x1, y1)。
这可以通过令x = 0或y = 0
来使方程简化。
2. 然后，我们计算点P与点O(x0, y0)之间的欧几里德距离d = √((x1 - x0)² + (y1 - y0)²)。
3. 接下来，我们求解点P到直线的垂直距离。
我们通过将点P代入直线的方程Ax + By + C = 0，求解出P点在直线上的投影点Q(x2, y2)的坐标。
4. 最后，我们计算点O和点Q之间的距离d' = √((x2 - x0)² + (y2 - y0)²)。
根据直角三角形的性质，我们知道d就是点到直线的最短距离。
总结一下，点到直线之间的距离可以通过以下公式来计算：
d = √((x1 - x0)² + (y1 - y0)²)，其中(x1, y1)是直线上的任意一点，(x0, y0)是点的
坐标。
这个公式在解决实际问题时非常有用，例如在测量中确定点到线的最短距离，
或者在几何建模中计算点到平面的距离。
它为我们提供了一个可靠和准确的计算方法。
点到直线的距离公式
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
y
A
h B x
SΔABC=1/2· |AB|· h
| AB | (3 1) 2 (1 3) 2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离 AB边所在直线的方程为 y 3 x 1
C O
1 3 3 1 即x y 4 0 点C （-1,0）到x y 4 0的距离 |-1+0-4| 5 h= 2 2 2 1 1
d
6 4 21 0 1 6 21
2 2
23 23 53 159 3 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q
l2
x
O
任意两条平行直线都可以写 成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线 l：x 3 y 4 0的距离等于1， 则m等于
A. 3
（ D）
B. 3
3 C. 3
3 D. 3或 3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点， 则 OP的最小值是
点到直线的距离公式三维
点到直线的距离公式三维
一、点到直线的距离公式
点到直线的距离公式是计算空间几何中一个点到一条直线的距离的一种公式。
根据到直线的距离可以解决许多有关点到直线的问题。
本文将介绍适用于三维空间的点到直线之间的距离公式。
二、点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式有以下形式：
距离d=|a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)+c(z_0-z_1)|/√(a²+b²+c²)
其中，(x_0, y_0, z_0) 为空间几何任一一点的坐标；
(x_1, y_1, z_1)为在直线上的一点的坐标；
a，b，c为直线的方向向量的坐标。
三、求解方法及实例
（1）解法
首先，需要满足方程式：
ax+by+cz=0
来求取直线的方程式，其中a, b和c也就是方向向量的坐标是定义；
然后，将所需要求的点(x_0, y_0, z_0)和直线上的一点(x_1, y_1, z_1)带入到上面的距离公式中，即可求出点到直线之间的距离d。
（2）实例
假设有一点A(1, 0, 2)，一条直线L：2x+3y-z=5，请求解点A到直线L的距离。
解：
我们可以知道这条直线的方向向量的坐标为a=2,b=3,c=-1，其中直线上的一点可以任取，比如：A(0,0,0)，于是将点A本身和直线上的A2点的坐标带入到距离公式中，求出d的值。
d=|2(1-0)+3(0-0)-1(2-0)|/√[(2²+3²+(-1)²)]
d=√28/√14
d=2
因此，点 A(1, 0, 2) 到直线L：2x+3y-z=5的距离为2。
空间点到一条直线的距离公式
空间点到一条直线的距离公式空间中点P到直线L的距离可以通过以下公式计算：
设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)。
直线L的方向向量为(a, b, c)。
点P到直线L的距离公式为：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。
其中，|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到直线L的有向距禙，即带正负号的距离，而√(A^2 + B^2 + C^2)则是直线L的方向向量的模长。
这个公式的推导可以通过点到直线的距离公式进行推导，具体推导过程可以通过数学分析和几何推导得出。
这个公式可以帮助我们计算空间中任意一点到给定直线的距离，是空间几何中的重要概念之一。
除了上述公式外，我们还可以通过向量的方法来求解点到直线
的距离。
具体而言，我们可以将点P到直线L的距离表示为点P到直线上的某一点Q的向量投影，然后求得这个向量的模长，即为点P到直线L的距离。
总之，空间中点到直线的距离公式是一个重要的数学工具，在实际问题中有着广泛的应用，能够帮助我们准确地计算点到直线的距离，从而解决相关的几何和物理问题。
求点到直线的距离的公式
点到直线距离公式：鱼叉定理必备技巧点到直线距离的计算在初中数学学习中是非常重要的一部分，而鱼叉定理是其中的核心技巧。
鱼叉定理利用向量的知识，可以非常简单地计算出点到直线的距离，下面我们来一起学习一下。
公式推导：假设直线L的一般式为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
首先将点P到直线L的距离表示为线段AF的长度，D为点(x0,y0)关于直线L的对称点。
因为直线L是Ax+By+C=0，所以直线的法向量 N=(A,B)，则L的方向向量为D=(-B,A)。
因为向量AD垂直于直线L，所以向量AD与直线L的法向量N 的内积为0，即：D(x0,y0)关于L的对称点的坐标为D(x0,y0) = P(x0,y0) - (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)然后利用向量的模长公式和内积公式，可以得到如下的鱼叉定理公式：d(L,P)=|AD|=|(x0,y0)- (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)|d(L,P)=[A*x0+B*y0+C]/sqrt(A^2+B^2)鱼叉定理应用：当我们需要计算点到线段的距离时，需要用到以下的3个距离公式：1. 点到直线距离公式： d=|Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)2. 点到线段端点距离公式：对于线段AB，点P到线段AB的距离为 min(d1,d2)，其中，d1是点到A点的距离，d2是点到B点的距离。
3. 点到线段距离公式：对于线段AB，点P 到线段AB的距离为 d，先用点到直线距离公式计算点P到直线AB的距离d，然后再计算线段AB两端点到点P的向量的点积，如果两个向量的点积乘积小于0，则点P到线段AB的距离就为d。
如果两个向量的点积乘积大于0，则点P 到过线段两端点中点M的距离即为点到线段的距离。
点到直线的距离公式空间
点到直线的距离公式空间
空间点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（Xo，Yo），则点P到直线L的距离为|AXo+BYo+C|/√（A²+B²）。
相关介绍：
距离指同一时间下，空间两点之间的空间最短连线长。
而为了强调这一点，往往会强调两点之间的”直线距离“。
从而有的时候距离这一概念也还可以用于指物体移动的路程长。
距离的概念与位移的模（或大小）并不完全相同。
由于位移是不同时刻（运动起始和终结两个时间点）的同一物体（在质点力学下指的是质点）所处位置的矢量差，其模对应的这一位置之间的连线长。
其中由于位移与不同的参考系相关，而不同的参考系可能对应的状态不同，从而带来的问题是不在同一时刻下的坐标空间两点的距离会发生变化。
也就是说针对不同的参考系同一物理过程的位移大小是不同的。
而在现实世界里，点与点之间的距离是确定的，譬如北京和伦敦隔了八个时区的距离，但是如果以太阳为参考系，一个物体经历八个小时从北京的经度移动到伦敦的精度，该物体的横向位移大小为零。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式推导点到直线的距离公式有多种方法，下面将介绍其中十二种方法。
方法一：使用向量法推导点到直线的距离公式。
1.设直线的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
2.由直线上的任意一点P(x,y)，与垂直于直线的向量u=(A,B)构成一个直角三角形。
3.点P到直线的距离为直角三角形的斜边长度，即为向量u与向量v=(x-x0,y-y0)的叉乘的模除以向量u的模。
方法二：使用向量法推导点到直线的距离公式。
1.设直线的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
2.将直线方程化为标准形式，即Ax+By+C=d，其中d为点P到直线的距离。
3.将点P带入直线方程，得到Ax0+By0+C=d。
4.点P到直线的距离为，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
方法三：使用线段法推导点到直线的距离公式。
1.设直线的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
2.在直线上找到一点Q，使得线段PQ与直线垂直。
3.点P到直线的距离为线段PQ的长度。
4. 设直线与x轴的夹角为α，则线段PQ的长度为，(x0 - x)cosα + (y0 - y)sinα。
方法四：使用垂直距离法推导点到直线的距离公式。
1.设直线的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
2. 将直线方程转换为斜截式方程y = kx + b。
3.直线的斜率为k=-A/B。
4. 直线上任意一点Q(x, y)到点P的距离为，kx + b - y， /√(k^2 + 1)。
方法五：使用点到点法推导点到直线的距离公式。
1.设直线的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
2.直线上任意一点Q(x,y)到点P的距离为√((x-x0)^2+(y-y0)^2)。
3. 将直线方程转换为斜截式方程y = kx + b。
4. 将点P(x0, y0)带入直线方程得到b = y0 - kx0。
5. 点P到直线的距离为√((x0 - x)^2 + (y0 - kx0 - y)^2)。
点到直线距离公式的七种推导方法
点到直线距离公式的七种推导方法点到直线的距离公式是解析几何中常用的公式之一，它可以通过多种推导方法得到。
本文将介绍七种推导方法，包括直线的一般方程法、直线的截距法、垂直平分线法、斜率法、向量法、几何法和矢量法。
1.一般方程法：设直线的一般方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0，y0)。
将点坐标代入直线方程得到点到直线的距离公式：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)2.截距法：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，点的坐标为(x0，y0)。
根据截距的几何意义，可以得到点到直线的距离公式：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)3.垂直平分线法：设直线的方程为y = kx + c，其中k为斜率，c为截距，点的坐标为(x0，y0)。
垂直平分线的斜率为-1/k，过点(x0，y0)的垂直平分线方程为y = (-1/k)(x - x0) + y0。
将垂直平分线方程与直线方程联立，解方程组得到交点的坐标(xp, yp)，然后计算点到交点的距离：d = √((x0 - xp)^2 + (y0 - yp)^2)4.斜率法：设直线的斜率为k，截距为c，点的坐标为(x0，y0)。
设直线上一点为(x，y)，则有y - y0 = k(x - x0)。
将直线方程和垂直平分线方程联立，解方程组得到交点的坐标(xp, yp)，然后计算点到交点的距离：d = √((x0 - xp)^2 + (y0 - yp)^2)5.向量法：设直线上一点为M(a,b)，点的坐标为(x0，y0)。
可以用向量来表示直线上的点，直线的方向向量为v=(p,q)。
设点M到点的向量为u=(x0-a,y0-b)，则直线上的点满足u∙v=0。
将向量点积的几何意义应用到点M和点的向量u上，得到点到直线的距离公式：d = ，pu + qv，/ √(p^2 + q^2)6.几何法：根据几何意义，点到直线的距离等于点到直线所在直角三角形的高。
d=h=√(l1^2-h^2)7.矢量法：设直线上一点为M(a,b)，点的坐标为(x0，y0)。
坐标系中点到直线距离公式
坐标系中点到直线距离公式在坐标系中，求点到直线的距离是一个常见的几何问题。
在本文中，我们将介绍两种常用的点到直线距离的计算方法，分别为点到直线的公式和点到直线的投影方法。
一、点到直线的公式：设直线的方程为ax+by+c=0，点的坐标为(x0, y0)。
步骤1：求直线的斜率k。
由于直线的一般式为ax+by+c=0，我们可以观察到a和b的比值即为直线的斜率。
步骤2：求直线上一点P(x1,y1)的直线方程。
由于点P和直线上其他任意一点在直线上，所以可以使用点坐标代入直线方程得到一直线上的点。
步骤3：求点P到直线的距离。
我们可以使用点P到直线的距离公式，即点P到直线l的距离为:d = ，ax0 + by0 + c，/ √(a^2 + b^2)其中，.，代表绝对值符号，√代表开平方，^代表幂运算。
计算该距离的过程如下：1. 确定直线的斜率k。
由直线的一般式ax + by + c = 0可知，斜率为-k，即k = -a/b。
2. 由于直线上的任意一点(x1, y1)满足直线方程ax1 + by1 + c = 0，代入y = kx + b可得y1 = kx1 - c/b。
因此任意一点为(x1, kx1 -c/b)。
3.计算点P到直线的距离。
d = ，(ax0 + by0 + c) / √(a^2 + b^2)这就是点到直线距离的公式。
例如，对于直线2x+3y-6=0和点(1,2)：直线的斜率为k=-a/b=-2/3任意一点为(x1, kx1 - c/b) = (x1, 2x1 - 2)。
代入点(1,2)计算得直线上一点为(1,0)。
计算点到直线的距离：d=，(2×1+3×2-6)/√(2^2+3^2)d=，(2+6-6)/√(4+9)d=，2/√13所以点(1,2)到直线2x+3y-6=0的距离为，2/√13二、点到直线的投影方法：投影方法是通过点到直线上的投影点来计算点到直线的距离。
步骤1：求直线的单位法向量。
点到直线方程距离公式
点到直线方程距离公式点到直线的距离公式是解析几何中的一个重要概念。
在二维平面上，给定一个点P(x,y)和一条直线Ax+By+C=0，如何计算点P到直线的距离呢？假设点P到直线的距离为d，点P的坐标为(x,y)，直线的一般方程为Ax+By+C=0。
则点P到直线的距离可以通过以下公式计算：d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，Ax+By+C，表示绝对值。
下面我们来详细推导这个公式。
首先，我们知道一条直线可以由其上的两个点构成，假设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。
直线AB的斜率可以表示为：k=(y2-y1)/(x2-x1)那么直线AB的斜率垂直于直线所形成的角度θ可以表示为：θ = atan(-1/k)其中，atan(是反正切函数。
点P到直线AB的距离d可以通过以下步骤计算：1.计算直线AB的斜率k。
2.由直线AB的斜率k计算直线CD的斜率k'，CD是过点P且与直线AB垂直的直线。
k'=-1/k3.根据点斜式，直线CD的方程可以表示为：y-y0=k'(x-x0)其中，(x0,y0)是点P的坐标。
展开方程，可以得到：y-y0=-(x-x0)/ky-y0=-(x/k)+x0/k通常我们将方程变换为一般方程的形式：Ax+By+C=0比较系数可以得到：A=1/kB=-1C=y0-x0/k即：A=-1/kB=1C=x0/k-y0最后，点P到直线AB的距离可以由一般方程Ax+By+C=0计算得出：d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)d=，(-1/k)x+y+(x0/k-y0)，/√((-1/k)^2+1^2)d=，(-1/k)x+y-(x0/k-y0)，/√(1/k^2+1)d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(1/k^2+1)d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(1+k^2)/k^2d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(k^2+k^2)/k^2d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(2k^2)/k^2最后，我们可以将公式进一步简化为：d=，(y-y0)k+(x0-x)，/√(2k^2)/k^2d = ，(yk + x0 - x0 - x)k，/ √(2k^2)/k^2d = ，(xy - x0y - xk + x0k)k，/ √(2k^2)/k^2d = ，xy - x0y - xk + x0k，/ √(2k^2)/k^2d = ，xy - x0y - xk + x0k，/ √2，kd=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)这就是点到直线的距离公式。
点与直线的距离公式
点与直线的距离公式点P到直线l的距离，就是由点P向直线l作垂线,垂足为Q，线段PQ的长度就是点P到直线l的距离。
一、推导点到直线的距离公式：坐标方法、向量方法、其他方法。
1.用坐标方法推导点到直线的距离公式。
方案一:（摘自教科书）求过P与直线l垂直的直线，且与直线l交于点Q。
然后，求出两直线交点Q的坐标。
最后，利用两点间距离公式求出线段PQ的长度。
这是最常见的一种方法，也是基本方法。
这种方法思路自然，但运算量较大。
方案二:教科书在思考中给出了引起复杂运算原因的基础上，简化运算过程，采用“设而不求”的策略。
“设而不求”，引导学生，“设”的是什么。
“求”的是什么。
用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果。
2.用向量方法推导点到直线的距离公式《普通高中教科书数学选择性必修第一册》第一章中，用空间向量求点到直线距离和点到平面距离都应用了投影向量。
这为本节课用向量方法推到平面上，点到直线距离公式提供了启示。
方案一:此种方法模仿教材33页，应用向量方法，求点到直线距离公式。
此种方法采用直线的任意方向向量。
方案二:此种方法模仿教材33页，应用向量方法，求点到直线距离公式。
此种方法采用直线单位方向向量。
方案三:（教材所采用的方法）此种方法利用与直线l的方向垂直单位向量，一步到位，省去很多不必要的麻烦。
不过求与直线l的方向垂直单位向量，是教学过程中一个难点。
3.其他推导方法为了得到PQ，考虑与坐标轴平行的线段，把它转化为与坐标轴平行的线段关系。
这种方法充分借助面积，直角三角形面积两种不同表示方法。
此种方法思路清晰，运算量依然很大，包括求交点的坐标，两条直角边的长度，斜边的长度等。
二、例题教学解法1：教科书第77页例6，求三角形面积，教材采用求出一边的长度，然后利用点到直线距离公式求出相应边的高，然后利用三角形面积公式求得三角形面积。
思路清晰，建议放手让学生去做。
解法2：这道题的第二种解法，充分运用图形的几何性质，通过图形的割补，求得三角形的面积。
点到直线间的距离公式
点到直线间的距离公式当我们研究几何学的时候，点到直线间的距离是一个重要的定义和概念。
它描述了两个不同的对象之间的关系，也是我们求解许多实际问题的基础。
点到直线间的距离指的是从给定的点到一条直线的垂直距离。
这个距离可以用一个简单的公式进行计算。
我们需要先知道直线的方程和点的坐标。
然后，我们可以利用这些信息，应用点到直线间的距离公式来计算出两者之间的距离。
下面是点到直线间的距离公式：设直线方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x1, y1)，则：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)这个距离量的计算手段非常简单，但涉及的相关概念和原理却非常复杂。
我们可以将其应用于解决一系列有趣的几何问题，比如如何确定一个点到一个平面的距离或者如何计算两个不同平面之间的距离等等。
为了更好地应用点到直线间的距离公式，我们需要掌握几个关键技巧：1. 确定直线的方程在计算点到直线间的距离之前，我们需要先确定直线的方程。
一般情况下，直线方程都可以通过点斜式或两点式来表示。
因此，我们必须了解这些表达式并能够在适当的时候选择正确的方程。
2. 确定坐标我们需要知道点的坐标才能计算出点到直线的距离。
点的坐标应该在直线的同一坐标系中。
3. 应用公式计算距离前要记得使用点到直线间的距离公式。
这个公式可以帮助我们快速而准确地计算出两者的距离。
因此，对于点到直线间距离的问题，我们需要先确定直线的方程，然后再确定点的坐标。
在这些信息都准备好之后，我们可以运用点到直线间的距离公式来计算出两个对象之间的距离。
这个技巧可以应用于对许多实际问题进行求解，比如计算机视觉、机器人技术和地理信息系统等领域。
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§7向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例[学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．直线的法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．(2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．2．点到直线的距离公式设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝x 2＋y 2. 4．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量m v 是数乘向量．(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．要点一 直线法向量(或方向向量)的应用例1 已知△ABC 的三顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设点M (x ，y )是直线DE 上任一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF 、FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在的直线上任一点，则CN →⊥AB →，CN →·AB →＝0，CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程． 规律方法 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决． 跟踪演练1 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离． 解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)， 在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP →0＝(－6,2)， ∴点到直线l 的距离d 就是PP →0在法向量n 上的射影． 设PP →0与n 的夹角为θ. ∴d ＝|PP →0||cos θ|＝|PP →0|·|PP →0·n ||PP →0|·|n |＝|PP →0·n||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋25＝2 5. 故点P 0到直线l 的距离为2 5.方法二 由点到直线的距离公式得 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×(－1)＋1×2－10|5＝2 5.要点二 向量在平面几何中的应用例2 如图，已知Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .解 设OA →＝a ，OB →＝b ，且AM →，BN →的夹角为θ，则OM →＝12b ，ON →＝13a ，又∵AM →＝OM →－OA →＝12b －a ，BN →＝ON →－OB →＝13a －b ，∴AM →·BN →＝⎝⎛⎭⎫12b －a ·⎝⎛⎭⎫13a －b ＝－5， |AM →|＝10，|BN →|＝5， ∴cos θ＝－55·10＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角， ∴∠MPN ＝3π4.规律方法 (1)本题可以选择OA →，OB →作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的基向量可以简化运算．(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解．把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向． 跟踪演练2 已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长．解 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4cos60°，4sin60°)，C (3,0)，∴AC →＝(3,0)，AB →＝(2，23)， ∵BC →＝AC →－AB →＝(1，－23)， ∴|BC →|＝1＋()－232＝13. 要点三 利用向量解决物理中的问题例3 在风速为75(6－2) km /h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则四边形OACB 为平行四边形．过C 、B 分别作OA 的垂线，交AO 的延长线于D 、E 点． 由已知，|OA →|＝75(6－2)，|OC →|＝150，∠COD ＝45°. 在Rt △COD 中，OD ＝OC cos45°＝752，CD ＝75 2. 又ED ＝BC ＝OA ＝75(6－2)，∴OE ＝OD ＋ED ＝75 6.又BE ＝CD ＝75 2. 在Rt △OEB 中，OB ＝OE 2＋BE 2＝1502， sin ∠BOE ＝BE OB ＝12，∴|OB →|＝1502，∠BOE ＝30°.故没有风时飞机的航速为1502km/h ，航向为西偏北30°.规律方法 用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下： (1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解； (4)利用这个结果，对原物理现象作出解释．跟踪演练3 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ， 由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.1．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________． 答案 2或－12解析 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2， 则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)．由题意cos45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12.2．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________． 答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)， 由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.3．正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． 解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎫12，1， 故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.即cos ∠DOE 的值为45.4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3km /h ，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h ，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向． 解 如图，设水的速度为v 1，风的速度为v 2，v 1＋v 2＝a . 易求得a 的方向是北偏东30°， a 的大小是3km/h. 设船的实际航行速度为v . 方向由南向北，大小为23km/h ， 船本身的速度为v 3，则a ＋v 3＝v ，即v 3＝v －a ，数形结合知v 3的方向是北偏西60°， 大小是3km/h.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)得到答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．一、基础达标1．已知A ，B ，C ，D 四点坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形答案 A解析 ∵AB →＝(3,3)，DC →＝(2,2)，∴AB →∥DC →，|AB →|≠|DC →|，∴四边形为梯形．2．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°答案 D解析 作OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OC →＝OA →＋OB →，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.3．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定答案 B解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形．4．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0， ∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.故选B.5．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________． 答案 x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点， AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0. 即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．已知点A (－1,2)，B (0，－2)，若点D 在线段AB 上，且2|AD →|＝3|BD →|，则点D 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－25，－25 解析 由题意得OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋35AB →＝(－1,2)＋35(1，－4)＝⎝⎛⎭⎫－25，－25，所以D ⎝⎛⎭⎫－25，－25. 7．如图，点O 是▱ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，由E ，F 分别为对应边的三等分点，得 FO →＝F A →＋AO →＝－13a ＋12AC →＝－13a ＋12(a ＋b )＝16a ＋12b ， OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(a ＋b )－13a＝16a ＋12b . 所以FO →＝OE →.又因为O 为其公共点，所以点E ，O ，F 在同一直线上． 二、能力提升8．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( ) A ．－2B.12 C ．－2或12D ．－12或2答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0.∴m ＝－2或12.9．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10答案 C解 因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0， 所以四边形ABCD 的对角线互相垂直， 又|AC →|＝12＋22＝5， |BD →|＝(－4)2＋22＝25， 该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 10．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________． 答案 [2,3]解析 由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0,2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.11．如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N ，一个质量为8kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10m/s 2)解 设木块的位移为s ，则W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)． F 在竖直方向上的分力的大小为|F 1|＝|F |·sin30°＝50×12＝25(N)．则f ＝μ(mg －|F 1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)． 所以f ·s ＝|f |·|s |cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即F 与f 所做的功分别是5003J 与－22J.12．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF ⊥CD .证明 建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)， 则D (－a 2，b 2)，CD →＝(－32a ，b 2)．易知△ABC 的外心F 在y 轴上，可设为(0，y )． 由|AF →|＝|CF →|，得(y －b )2＝a 2＋y 2， 所以y ＝b 2－a 22b ，即F (0，b 2－a 22b )．由重心坐标公式，得E (a 6，b2)，所以EF →＝(－a 6，－a 22b)．所以CD →·EF →＝(－32a )×(－a 6)＋b 2×(－a 22b )＝0，所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD . 三、探究与创新13．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点．求证：AR ＝RT ＝TC .证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ， 则AC →＝a ＋b .由于AR →∥AC →， 所以设r ＝n (a ＋b )，n ∈R .又∵EB →＝AB →－AE →＝a －12b ， ER →∥EB →，故设ER →＝mEB →＝m ⎝⎛⎭⎫a －12b . ∵AR →＝AE →＋ER →，∴r ＝12b ＋m ⎝⎛⎭⎫a －12b . 所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝⎛⎭⎫a －12b ， 即(n －m )a ＋⎝⎛⎭⎫n ＋m －12b ＝0. 由于a 与b 不共线，故必有⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得m ＝n ＝13，∴AR →＝13AC →， 同理TC →＝13AC →，于是RT →＝13AC →. ∴AR ＝RT ＝TC .。