共焦腔中基模的光斑尺寸
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激光原理背诵版(整理)
31.损耗系数a:光通过单位长度介质后光强减少的百分数。形成激光的决定性条件：增益系数大于损耗系数G≥a，只有当G≥a（增益系数大于损耗系数），光在谐振腔内才能被放大
32.激光器三要素：工作物质、泵浦源、光学谐振腔
33.工作物质：提供受激辐射的能级结构
34.泵浦源：将低能级粒子抽运到高能级，实现粒子数反转
激光原理重点汇整
第1章 电磁场和物质的共振相互作用
1.电磁场和物质的共振相互作用：自发辐射、受激辐射、受激吸收。在热平衡条件下，自发辐射为主，使受激辐射占优的前提是实现粒子数的反转分布。
2.自发辐射和受激辐射的区别：自发辐射是随机的，各光子之间无关联性，受激辐射是相干光（频率、相位、波失、偏振均相同）；自发辐射是非相干光，受激辐射是相干光；
30.共焦腔与稳定球面镜腔的等价性：任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面腔等价，任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔。
31.已知球面镜腔的的R1、R2、L，求z1、z2、和f，z1=负的L(L-R2)除以[(L-R1)+(L-R2)]，z1=L(L-R1)除以[(L-R1)+(L-R2)]，f平方=负的L（L-R1）（L-R2）（L-R1-R2）除以[(L-R1)+(L-R2)]平方
11.气体激光物质：碰撞加宽+多普勒加宽，气压低时以多普勒加宽为主（非均匀加宽），气压高时以碰撞为主（均匀加宽）。
12.固体激光物质：晶格振动加宽+晶格陷阱加宽，参杂及缺陷少时以晶格振动加宽为主(均匀加宽)，低温下为非均匀加宽。
13.液体激光物质：碰撞加宽
14.常见均匀加宽激光工作物质：红宝石、YAG、二氧化碳（＞1330帕）、砷化镓
32.非稳腔：高功率即大能量输出的激光器常为非稳腔，非稳腔内存在一对共轭像点，从共轭像点发出的球面波是腔内的自再现模。
32.激光器三要素：工作物质、泵浦源、光学谐振腔
33.工作物质：提供受激辐射的能级结构
34.泵浦源：将低能级粒子抽运到高能级，实现粒子数反转
激光原理重点汇整
第1章 电磁场和物质的共振相互作用
1.电磁场和物质的共振相互作用：自发辐射、受激辐射、受激吸收。在热平衡条件下，自发辐射为主，使受激辐射占优的前提是实现粒子数的反转分布。
2.自发辐射和受激辐射的区别：自发辐射是随机的，各光子之间无关联性，受激辐射是相干光（频率、相位、波失、偏振均相同）；自发辐射是非相干光，受激辐射是相干光；
30.共焦腔与稳定球面镜腔的等价性：任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面腔等价，任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔。
31.已知球面镜腔的的R1、R2、L，求z1、z2、和f，z1=负的L(L-R2)除以[(L-R1)+(L-R2)]，z1=L(L-R1)除以[(L-R1)+(L-R2)]，f平方=负的L（L-R1）（L-R2）（L-R1-R2）除以[(L-R1)+(L-R2)]平方
11.气体激光物质：碰撞加宽+多普勒加宽，气压低时以多普勒加宽为主（非均匀加宽），气压高时以碰撞为主（均匀加宽）。
12.固体激光物质：晶格振动加宽+晶格陷阱加宽，参杂及缺陷少时以晶格振动加宽为主(均匀加宽)，低温下为非均匀加宽。
13.液体激光物质：碰撞加宽
14.常见均匀加宽激光工作物质：红宝石、YAG、二氧化碳（＞1330帕）、砷化镓
32.非稳腔：高功率即大能量输出的激光器常为非稳腔，非稳腔内存在一对共轭像点，从共轭像点发出的球面波是腔内的自再现模。
圆形镜对称共焦腔
共焦腔在腔轴上z坐标处的等相位面曲率半径:
R(z) z L2 z 4z
f2 z
z 1
f 2
z2
z
1
(
f z
)
2
(7-1-29)
如果在共焦场的任意两处放置两个与该处 等相位面大小形状完全相同的球面反射镜，则 从每个反射镜反射出去的场将准确地沿原入射 方向返回，整个共焦场不受任何扰动。
7.2 圆形镜对称共焦腔
圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形，设
半径为a，镜面处坐标以极坐标为宜。它的积
分方程可由方形镜积分方程(7-1-6)式出发，
令 x=rcos , y＝rsin ，x'＝r’cos ’ ，y'＝
r'sin '，从而得到:
umn mn(r,
)
i
L
eikL
a 0
2 0
umn
共焦腔中基模的光斑尺寸为
(z)
f
1
z f
2
0
2
1
z f
(7-1-15)
镜面的基模光斑半径
1
s1 z1
L
LR1
R12 R2 L L1R1 R2
L
4
s2 z2
L
LR2
R22 R1 L LR1 R2
L
4
(7-3-5)
二、谐振频率
由(7-1-28)式可写出方形镜一般稳定球面腔的 两上反射镜面顶点处的位相因子分别为：
2、相位分布
（7-2-4）式为实函数，故圆形镜共焦腔的镜 面本身就是等相位面。
（二）单程衍射损耗
由σmn的近似解也将得出δmn=0，需用精确解
δ随F的增大而 急剧减小。
R(z) z L2 z 4z
f2 z
z 1
f 2
z2
z
1
(
f z
)
2
(7-1-29)
如果在共焦场的任意两处放置两个与该处 等相位面大小形状完全相同的球面反射镜，则 从每个反射镜反射出去的场将准确地沿原入射 方向返回，整个共焦场不受任何扰动。
7.2 圆形镜对称共焦腔
圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形，设
半径为a，镜面处坐标以极坐标为宜。它的积
分方程可由方形镜积分方程(7-1-6)式出发，
令 x=rcos , y＝rsin ，x'＝r’cos ’ ，y'＝
r'sin '，从而得到:
umn mn(r,
)
i
L
eikL
a 0
2 0
umn
共焦腔中基模的光斑尺寸为
(z)
f
1
z f
2
0
2
1
z f
(7-1-15)
镜面的基模光斑半径
1
s1 z1
L
LR1
R12 R2 L L1R1 R2
L
4
s2 z2
L
LR2
R22 R1 L LR1 R2
L
4
(7-3-5)
二、谐振频率
由(7-1-28)式可写出方形镜一般稳定球面腔的 两上反射镜面顶点处的位相因子分别为：
2、相位分布
（7-2-4）式为实函数，故圆形镜共焦腔的镜 面本身就是等相位面。
（二）单程衍射损耗
由σmn的近似解也将得出δmn=0，需用精确解
δ随F的增大而 急剧减小。
第13讲 圆形镜共焦腔、一般稳定球面腔
ζ r2 φ = k f (1 + ζ ) + 1 + ζ 2 2 f π − ( m + 2n + 1) −ψ 2
z f f2 R( z ) = f + = z + z f z
2z z ζ = L = f ω 0 = ω 0 S = Lλ 2π 2 L = 2 f
13.2 一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性
• 2、任一满足稳定条件的球面腔唯一地等价于某个 共焦腔 R1 R2 f
– 以双凹腔为例
R1 = − ( z1 + f 2 / z1) R2 = ( z 2 + f 2 / z 2 ) L = z − z 2 1
共焦腔 z2
0 z1 L
z1 < 0 z2 > 0
f2>0
有确 定的 等价 共焦 腔存 在
( R1 − L ) ( R 2 − L ) 0<
R1 > 0, R 2 > 0
R1 R2 ( R1 − L ) ( R 2 − L ) < 1 R1 R2
R1 > L, R 2 > L或R1 < L, R 2 < L
L( R1 + R 2 − L) > 0
激光原理与技术· 激光原理与技术·原理部分
第13讲 13讲 圆形镜共焦腔、 圆形镜共焦腔、一般稳定球面腔
13.1 圆形镜共焦腔的模式
– 1、积分方程的解
相 • 精确解：超椭球函数； 对 • 数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解； 振 数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解； • 近似解：透镜孔径足够大时可以得到近 幅 似解；
z f f2 R( z ) = f + = z + z f z
2z z ζ = L = f ω 0 = ω 0 S = Lλ 2π 2 L = 2 f
13.2 一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性
• 2、任一满足稳定条件的球面腔唯一地等价于某个 共焦腔 R1 R2 f
– 以双凹腔为例
R1 = − ( z1 + f 2 / z1) R2 = ( z 2 + f 2 / z 2 ) L = z − z 2 1
共焦腔 z2
0 z1 L
z1 < 0 z2 > 0
f2>0
有确 定的 等价 共焦 腔存 在
( R1 − L ) ( R 2 − L ) 0<
R1 > 0, R 2 > 0
R1 R2 ( R1 − L ) ( R 2 − L ) < 1 R1 R2
R1 > L, R 2 > L或R1 < L, R 2 < L
L( R1 + R 2 − L) > 0
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第13讲 13讲 圆形镜共焦腔、 圆形镜共焦腔、一般稳定球面腔
13.1 圆形镜共焦腔的模式
– 1、积分方程的解
相 • 精确解：超椭球函数； 对 • 数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解； 振 数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解； • 近似解：透镜孔径足够大时可以得到近 幅 似解；
3.6-方型镜共焦腔的模资料
u00
(x,
y)
C00e
x2 y2
02s
二、方形镜共焦腔反射镜上的场分布
2. 谐振腔镜上场的振幅分布：
（1）基横模（TEM00）
u00 (x, y) u00 (0, 0)
二、方形镜共焦腔反射镜上的场分布
2. 谐振腔镜上场的振幅分布：
u00 (x, y) u00 (0, 0)
（1）基横模（TEM00）
u00 (x, y) u00 (0, 0)
（1）基横模（TEM00）
也有取半功率点处到镜中心
距离为光斑半径的，设为 0' s
则有
I00 (r
' 0s
)
1 2
I00
(r
0)
即
u00 (r 0' s )
1 2
u00
(r
0)
0.707u00
(r
0)
C e
0' 2s 02s
3.6 方形镜共焦腔的自再现模
一、方形镜共焦腔在谐振器理论中的重要性
y x
O
2a -a
z
y a
ax O
-a R1＝R2＝L
方形镜共焦腔
一、对称共焦腔在谐振器理论中的重要性
1. 衍射场的自洽积分方程具有解析解。 2. 一般稳定球面腔的光场分布问题可以通
过其等价共焦腔得到解决。 3. 方形镜共焦腔可以在直角坐标系描述，
dxdy
由此，精确解可以进一步简化：
二、方形镜共焦腔反射镜上的场分布
厄米－高斯近似：
umn
(
x,
y)
第3章_光学谐振腔
可见高斯光束在z=0处的波阵面是平面，但它 的E矢量振幅分布是高斯分布。
W0称为高斯光束的束腰（光斑）半径
高斯光束特性
E
高斯光束的束斑（光束半径）
Emax
场强分布
r0 E
A0 r2 E ( x, y,0) exp[ 2 ] W0 W0
A0
r
W0
Emax
r ( z)
E
z
E E0 exp{ i(wt k r )} E0 exp(ikz) exp(iwt ) 当振幅在空间不再是常数时，可写成一般形式
E ( x, y, z) exp(ikz) exp(iwt )
轴对称型电磁波，可写为
E (r , z ) exp(ikz) exp(iwt )
第三章
光学谐振腔
谐振腔
q 2
电磁波在一个空腔内被腔壁来回反射，最终在腔内形成一种稳定的驻波， 这种腔体就称为谐振腔 在一个封闭的腔内，有三个方向的驻波形式
2m 2n 2q , ky , kz L L L 每一个振荡模式所占的波矢空间为 kx
kx k y kz (2 L)3
谐振腔
0~K间波矢量包含的总的模式数为
K 空体积 4 K 3 / 3 ( KL)3 L3 2 3 8 3 L3 Nk 2＝ 3 3 2 2( ) 每模式所占体积 8 / L 3 2 3 3c3
单位体积、单位频率间隔内的模式数为模密度
1 dN K 8 n3 2 ( ) V d c3
高斯光束在z=0时
A0 r E ( x, y,0) exp[ 2 ] W0 W0
2
E
A0 W0
其中
r 2 x2 y 2
激光物理第2.3.2章共焦腔理论
1 2
♦ 由于两个方程的形式相同，故只需求解其中
一个就可以。当c值为有限大小时，该方程本 征函数的精确解析解为：
l l
角向长椭球函数；
本征值的精确解析解为
σ m,l = 4 Ne
π −i kL − ( m + l +1) 2
( ( R01) (c,1)R01) (c,1) m l
x2 + y2
ω0 s
(2.3.26)
TEM00
TEM10
TEM20
TEM30
高阶模的光斑半径须分别沿不同坐标来计 算，通常定义沿x、y方向的光斑半径分别为：
ωms = 2m + 1ω0 s ωls = 2l + 1ω0 s
可见，阶次越高，光斑半径♦ 由于uml(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场
(2.3.22)
径向长椭球函数
♦ 这些椭球函数都为实函数。当c>>1时．上述
本征函数与本征值的精确解都可用近似解析 解表示，其中本征函数的解在用x、y代回X、 Y后为：
2π 2π um ,l ( x , y ) = Cm ,l H m x H l y e Lλ Lλ
♦ 式中Cml为与模式有关的常数， ♦ ω0/ω(z) 称为衰减因子，它反映出随着行波场
x2 + y2
的传播，场振幅的大小衰减的规律。 ♦ ω(z)是z坐标处的基模光斑半径．引入 ζ=2z/L=z/z0，计算公式为
ω (z ) =
z ω0 s Lλ z 2 1+ ζ = 1 + 2 = ω0 1 + z 2π z0 2 0
2.3.2 方形共焦腔中自在 现模式的近似解
♦ 由于两个方程的形式相同，故只需求解其中
一个就可以。当c值为有限大小时，该方程本 征函数的精确解析解为：
l l
角向长椭球函数；
本征值的精确解析解为
σ m,l = 4 Ne
π −i kL − ( m + l +1) 2
( ( R01) (c,1)R01) (c,1) m l
x2 + y2
ω0 s
(2.3.26)
TEM00
TEM10
TEM20
TEM30
高阶模的光斑半径须分别沿不同坐标来计 算，通常定义沿x、y方向的光斑半径分别为：
ωms = 2m + 1ω0 s ωls = 2l + 1ω0 s
可见，阶次越高，光斑半径♦ 由于uml(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场
(2.3.22)
径向长椭球函数
♦ 这些椭球函数都为实函数。当c>>1时．上述
本征函数与本征值的精确解都可用近似解析 解表示，其中本征函数的解在用x、y代回X、 Y后为：
2π 2π um ,l ( x , y ) = Cm ,l H m x H l y e Lλ Lλ
♦ 式中Cml为与模式有关的常数， ♦ ω0/ω(z) 称为衰减因子，它反映出随着行波场
x2 + y2
的传播，场振幅的大小衰减的规律。 ♦ ω(z)是z坐标处的基模光斑半径．引入 ζ=2z/L=z/z0，计算公式为
ω (z ) =
z ω0 s Lλ z 2 1+ ζ = 1 + 2 = ω0 1 + z 2π z0 2 0
2.3.2 方形共焦腔中自在 现模式的近似解
共焦腔中基模的光斑尺寸43页PPT
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
பைடு நூலகம்
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
共焦腔中基模的光斑尺寸
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
一般稳定球面腔的模式理论
由谐振条件
δϕmn = ϕ mn (0,0, z2 ) − ϕ mn (0,0, z1 ) = qπ
得方形镜稳定腔模的谐振频率为
ν mnq
⎛ c ⎡ z2 z1 ⎞ ⎤ 1 q + (m + n + 1)⎜ = − arctg ⎟ arctg ⎢ ⎜ ⎟⎥ f f π 2 L′ ⎣ ⎝ ⎠⎦
z2 z1 令 α = arctg ， β = arctg ，并代入 z1、z2 和 f，得 f f
ω (z) = ω0
z 2 [( L − R1 ) + ( L − R2 )]2 1+ L( R1 − L)( R2 − L)( R1 + R2 − L)
其中ω0是基模高斯光束的束腰半径
ω0 =
=
λ ⎧ L(R2 − L )(R1 − L )(R1 + R2 − L ) ⎫ = ⎨ ⎬ 2 π π⎩ [(L − R1 ) + (L − R2 )] ⎭
第七节 一般稳定球面腔的模式特征
一般稳定球面腔 ：由两个曲率半径不同的球面镜 按照任意间距组成的腔，当它们满足0 < g1 g 2< 1，即 ⎛ L ⎞⎛ L⎞ 0<⎜ ⎜1 − R ⎟ ⎟⎜ ⎜1 − R ⎟ ⎟ < 1 时，称为一般稳定球面腔。 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝
证明一般稳定球 证明一般稳定球 面腔与共焦腔具 面腔与共焦腔具 有相同的行波场 有相同的行波场
tg(α − β ) =
(z2 − z1 ) f
f 2 + z1 z2
=
1 − g1 g 2 g1 g 2
利用三角函数变换公式可得
cos(α − β ) = g1 g 2
因此，方形镜稳定腔的谐振频率为
δϕmn = ϕ mn (0,0, z2 ) − ϕ mn (0,0, z1 ) = qπ
得方形镜稳定腔模的谐振频率为
ν mnq
⎛ c ⎡ z2 z1 ⎞ ⎤ 1 q + (m + n + 1)⎜ = − arctg ⎟ arctg ⎢ ⎜ ⎟⎥ f f π 2 L′ ⎣ ⎝ ⎠⎦
z2 z1 令 α = arctg ， β = arctg ，并代入 z1、z2 和 f，得 f f
ω (z) = ω0
z 2 [( L − R1 ) + ( L − R2 )]2 1+ L( R1 − L)( R2 − L)( R1 + R2 − L)
其中ω0是基模高斯光束的束腰半径
ω0 =
=
λ ⎧ L(R2 − L )(R1 − L )(R1 + R2 − L ) ⎫ = ⎨ ⎬ 2 π π⎩ [(L − R1 ) + (L − R2 )] ⎭
第七节 一般稳定球面腔的模式特征
一般稳定球面腔 ：由两个曲率半径不同的球面镜 按照任意间距组成的腔，当它们满足0 < g1 g 2< 1，即 ⎛ L ⎞⎛ L⎞ 0<⎜ ⎜1 − R ⎟ ⎟⎜ ⎜1 − R ⎟ ⎟ < 1 时，称为一般稳定球面腔。 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝
证明一般稳定球 证明一般稳定球 面腔与共焦腔具 面腔与共焦腔具 有相同的行波场 有相同的行波场
tg(α − β ) =
(z2 − z1 ) f
f 2 + z1 z2
=
1 − g1 g 2 g1 g 2
利用三角函数变换公式可得
cos(α − β ) = g1 g 2
因此，方形镜稳定腔的谐振频率为
圆形镜共焦腔
一、反射镜上的场分布
Lm n ( X ) 缔合拉盖尔多项式 Lm 0 ( X ) 1,
m L1 ( X ) 1 m X , m n X d X X mn Lm ( X ) e ( e X ) n n n ! dX n 0,1, 2,
u00 (r , ) C00 e
光束基本特征1基模光斑尺寸束腰反射镜任一位置共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结光束基本特征2等相位面曲率半径r为左反射镜曲率半径共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结光束基本特征4谐振频率共焦腔的模对于频率是高度简并的
3.8 圆形镜共焦腔
一、反射镜上的场分布
2
（-R为左反射镜曲率半径）
共焦腔小结
2. 光束基本特征
（3）基模远场发散角
2 2 0 f
共焦腔小结
2. 光束基本特征 （4）谐振频率 方型镜共焦腔
mnq
圆型镜共焦腔
1 [q (m n 1)] 2 L 2
c 1 q (m 2n 1) 2 L 2
f 0 ,
L R f 2 2 z f
( z ) 0 1 ( ) 2 0 s ( z f ) 20
f2 R( z ) z z 2
0
这些公式与 方型镜共焦腔的 相应公式相同。
共焦腔小结
1. 腔中的模 方型镜共焦腔：厄米—高斯函数（N＞＞1）；
不同横模的损耗各不相同。
共焦腔小结
5. 共焦腔的优缺点： 优点：衍射损耗低，易于调整； 缺点：基模体积小，容易产生多模振荡。
圆形镜共焦腔：拉盖尔—高斯函数（N＞＞1）；
2. 光束基本特征
激光原理考试重点
激光原理考试重点激光原理考试重点第一章激光的基本原理1.光子的波动属性包括什么？动量与波矢的关系？光子的粒子属性包括什么？质量与频率的关系？答：光子的波动性包括频率，波矢，偏振等。
粒子性包括能量，动量，质量等。
动量与波矢：质量与频率：2.概念：相格、光子简并度。
答：在六维相空间中，一个光子态对应的相空间体积元为，上述相空间体积元称为相格。
处于同一光子态的光子数称为光子简并度，它具有以下几种相同含义：同态光子数、同一模式内的光子数、处于相干体积内的光子数、处于同一相格内的光子数3.光的自发辐射、受激辐射爱因斯坦系数的关系答：自发跃迁爱因斯坦系数：.受激吸收跃迁爱因斯坦系数：)。
受激辐射跃迁爱因斯坦系数：。
关系：;;为能级的统计权重(简并度)当时有4.形成稳定激光输出的两个充分条件是起振和稳定振荡。
形成激光的两个必要条件是粒子数反转分布和减少振荡模式数5.激光器由哪几部分组成？简要说明各部分的功能。
答：激光工作物质：用来实现粒子数反转和产生光的受激发射作用的物质体系。
接收来自泵浦源的能量，对外发射光波并能够强烈发光的活跃状态，也称为激活物质。
泵浦源：提供能量，实现工作物质的粒子数反转。
光学谐振腔：a)提供轴向光波模的正反馈；b)模式选择，保证激光器单模振荡，从而提高激光器的相干性。
6.自激振荡的条件？答：条件：其中为小信号增益系数：为包括放大器损耗和谐振腔损耗在内的平均损耗系数。
7.简述激光的特点？答：单色性，相干性，方向性和高亮度。
8.激光器分类：固体液体气体半导体染料第二章开放式光腔与高斯光束1.开放式谐振腔按照光束几何偏折损耗的高低，可以分为稳定腔、非稳腔、临界腔。
2.驻波条件，纵模频率间隔答：驻波条件：应满足等式：式中，为均匀平面波在腔内往返一周时的相位滞后；为光在真空中的波长；为腔的光学长度；为正整数。
相长干涉时与的关系为：或用频率来表示：.纵模频率间隔：不同的q值相应于不同的纵模。
腔的相邻两个纵模的频率之差3.光线在自由空间中行进距离L时所引起的坐标变换矩阵式什么？球面镜的对旁轴光线的变换矩阵？答：光线在自由空间中行进距离L时所引起的坐标变换矩阵式球面镜的对旁轴光线的变换矩阵：而为焦距。
共焦腔中基模的光斑尺寸
w0s 2 w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
2009 湖北工大理学院 6
模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
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21
单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl arg 1 2[( p 2l 1)
2
pl
kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
plq
C 1 q p 2 l 1 2L 2
q plq1 plq
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
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w0 s
L
17
圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半 径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大， 并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处 的点与镜面中心的距离；
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共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
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单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl arg 1 2[( p 2l 1)
2
pl
kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
plq
C 1 q p 2 l 1 2L 2
q plq1 plq
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
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w0 s
L
17
圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半 径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大， 并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处 的点与镜面中心的距离；
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激光原理第二章习题答案
激光原理第二章习题答案2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈01.16mms ω==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mωλπ-??--=??-??-==1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)R R L L R L R L R L mRL L ωωλπ-??-==--??==-??2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g w L R L R R L g g g R R L g w mm L R L R R L g g g ??-===??-+--?-===-+--?1/42221212120212121212(2)(2)20.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L g g g g λθπ--+-===?--+--o2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
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0
腔中点或距腔中点无限 远处，等相面为平面 共焦腔的反射镜面是 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 ，且曲率半径最小。
z 0 时， R(z) 0 当 z 0 时， R(z) 0 x y zz 2 R( z )
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等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x, y, z 0,0, z0
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
0 2 2 z z0 2 2 L L 1 1 0
2 2 1 z f 0 0 抛物面焦距： f L 4 0 2 2z 0 /
2 2
：行波场横向振幅分布因子
x, y, z [kf (1 )
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k r ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 f 2
2
附加相移因子
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振幅分布和光斑尺寸
共焦场的振幅分布为：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y2 y exp w2 ( z )
旋转抛物面方程
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为 2 球面，其曲率半径为： / 1 2 f 0 R (z) 2f L z0 2 0 z0
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等相位面的分布
当 z 0 时， R(z 0 ) 当 z 时，R(z 0 ) 当 z 0 f 时，R ( z ) L
w0s 2 w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
20行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y 2 exp ix, y, z y exp 2 w ( z)
对基模：
x2 y2 w0 E00 x, y, z A00 E0 exp 2 wz w z
w0 s z z 1 w0 1 f f 2
0s
基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的1/e处对应的横向距离) ：
基模模体积通常用下式估算：
V00 1 1 2 2 Lw0 L s 2 2
高阶模模体积通常用下式估算： 1 L V Lw w (2m 1)( 2n 1) 2 2
2 2 mn ms ns
2
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模体积
一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：
ws1 ws 2 2 1 V00 L ( ) 2 2
代入 ws1、ws 2 ：
V00
1 2 Lw0 s (2 2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
0 V00 (2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vmn V00 (2m 1)( 2n 1)
激光原理
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方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求 出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函 数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z )
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
2 x H n w( z )
x2 y 2 exp ix, y, z y exp w2 ( z )
L
：共焦腔的腔长
f L / 2 ：镜的焦距
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方形球面镜共焦腔的行波场
w z w L z z 2 1 0s 1 w 0 1 2 2 f f
1 2
w w( z ) ：振幅衰减因子
0
3 exp i x, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
传播因子 位相弯曲因子
2 H w( z )
m
x H
n
2 w( z )
r y exp w ( z)
wz
2 2
在共焦镜面上： wz w f w
L
f
在z=0处有最小值
基模高斯光束的束腰半径 ： w0 w0
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振幅分布和光斑尺寸
、 共焦腔中，基模光斑随着坐标按双 曲线规律变化：
w 2 z z 2 2 1 2 w0 f
腔中点或距腔中点无限 远处，等相面为平面 共焦腔的反射镜面是 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 ，且曲率半径最小。
z 0 时， R(z) 0 当 z 0 时， R(z) 0 x y zz 2 R( z )
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等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x, y, z 0,0, z0
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
0 2 2 z z0 2 2 L L 1 1 0
2 2 1 z f 0 0 抛物面焦距： f L 4 0 2 2z 0 /
2 2
：行波场横向振幅分布因子
x, y, z [kf (1 )
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k r ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 f 2
2
附加相移因子
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振幅分布和光斑尺寸
共焦场的振幅分布为：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y2 y exp w2 ( z )
旋转抛物面方程
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为 2 球面，其曲率半径为： / 1 2 f 0 R (z) 2f L z0 2 0 z0
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等相位面的分布
当 z 0 时， R(z 0 ) 当 z 时，R(z 0 ) 当 z 0 f 时，R ( z ) L
w0s 2 w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
20行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y 2 exp ix, y, z y exp 2 w ( z)
对基模：
x2 y2 w0 E00 x, y, z A00 E0 exp 2 wz w z
w0 s z z 1 w0 1 f f 2
0s
基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的1/e处对应的横向距离) ：
基模模体积通常用下式估算：
V00 1 1 2 2 Lw0 L s 2 2
高阶模模体积通常用下式估算： 1 L V Lw w (2m 1)( 2n 1) 2 2
2 2 mn ms ns
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模体积
一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：
ws1 ws 2 2 1 V00 L ( ) 2 2
代入 ws1、ws 2 ：
V00
1 2 Lw0 s (2 2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
0 V00 (2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vmn V00 (2m 1)( 2n 1)
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方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求 出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函 数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z )
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
2 x H n w( z )
x2 y 2 exp ix, y, z y exp w2 ( z )
L
：共焦腔的腔长
f L / 2 ：镜的焦距
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方形球面镜共焦腔的行波场
w z w L z z 2 1 0s 1 w 0 1 2 2 f f
1 2
w w( z ) ：振幅衰减因子
0
3 exp i x, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
传播因子 位相弯曲因子
2 H w( z )
m
x H
n
2 w( z )
r y exp w ( z)
wz
2 2
在共焦镜面上： wz w f w
L
f
在z=0处有最小值
基模高斯光束的束腰半径 ： w0 w0
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振幅分布和光斑尺寸
、 共焦腔中，基模光斑随着坐标按双 曲线规律变化：
w 2 z z 2 2 1 2 w0 f