线性系统部分总复习(2015)

0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n-1
0
bc
M
0
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
33
总复习：现代控制理论
态空间描述
x& Ax Bu
(b)
y Cx Du
其中： A P1AP, B P1B, C CP, D D
称系统两种不同的状态空间描述(a)，(b)为代数等价的， 对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。
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总复习：现代控制理论
3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
对角规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。
完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型
1
x&
2
x,
O
n
y Cx
中，C 不包含元素全为零的列。
30
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4. 约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统
x& Ax x(0) x0 t 0 y Cx
完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约
当规范型
xˆ& Aˆ xˆ
x& A x b u y cx
友矩阵 0 0 L
1 0 L
A 0 1 L
M
M
O
0 0 L
0 a0
0
a1
0 M
a2 M
;
1 an1
0
1
b M ; c 0 0 L
n2
n1
0 1
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三、传递函数矩阵的计算
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
换变换为约当规范形。
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3） 特征值的代数重数和几何重数
（a）代数重数
设λi为系统矩阵A的一个特征值，且有
det(s A)
i (i ) 0
(
s
-
i
)
i
i
(
s)
则称σi为特征值λi的代数重数。
说明1：矩阵A的重特征值λi的重数σi 就是特征值λi的 代数重数。
说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为 约当规范形时， λi的代数重数σi为该规范形中 所有属于特征值λi的约当小块的阶数之和。 12
2. 线性系统等价状态空间描述
对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规 范型、能控规范型和能观规范型。
7
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2. 线性时不变系统等价状态空间描述
n阶线性定常系统的状态空间描述为：
x& Ax Bu
y Cx Du
(a)
对状态向量x引入线性非奇异变换 x P，1则x 变换后的状
二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算 1．性质：（7条）
1(t) (t);
&(t) A(t)
A &(t)
(0) I
t 0
2．(t) eAt 的计算方法 1）定义法 2）特征值法 3）拉氏反变换法（※）
(t) L1[(s A)1] （最常用）
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三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算 (求线性定常系统的状态响应和输出响应)
17
总复习：现代控制理论
三、子系统反馈连接
x&1
x&2
A1
B2C1
B1C2 A2
x1 x2
B1 0
u
y C1
0
x1 x2
G(s) I G1(s)G2 (s)1 G1(s)
或
G(s) G1(s)I G2 (s)G1(s)1
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第3章 线性系统的运动分析
0
0
M
0
0 1
,
b = M , 0
c = 0
1
L
an1
1
n1
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2）可观测规范形实现
G(s)
Y (s) U (s)
sn1 n1
sn2 n2
L
1s
sn an1sn1 L a1s a0
0
N(s) D(s)
则矩阵形式的状态方程和输出方程为
式中：
有特征值 i (i 1, 2 , , n)，均有
rank
i
I C
A
n;
i 1, 2,L , n
成立。或等价地表示为
rank
sI
C
A
n，
s
C
29
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据
当矩阵A的特征值 1, 2 ,L , n 为两两相异时， 线性定常连续系统
x& Ax x(0) x0 t 0 y Cx
y = Cˆxˆ
中， Cˆ 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
31
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四、对偶性
1.对偶系统考：虑连续时间线性时变系统
： x& A(t)x B(t)u y C(t)x
（1）
Fra Baidu bibliotek
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ：
&T AT (t) T CT (t)T T BT (t) T
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两个线性时不变子系统S1和S2的状态空间描述分别为：
S1：
x&1 y1
A1 x 1 C1x1
B1u1 D1u1
S2：
x&2 y2
A2 C2
x 2 x2
B2u2 D2u2
一、子系统并联
x&1
x&2
A1 0
0 A2
x1 x2
B1 B2
u
对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统矩阵
的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。
“外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特 征值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个
数等于相异特征值个数l，约当块的维数等于相应特 征值的代数重数。
“中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元 的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值 的几何重数。
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（b）几何重数 设λi为系统矩阵A的一个特征值，λi的几何重
数可由下式计算 i n rank(i I A)
说明：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化 为约当规范形时，λi的几何重数αi为该规 范形中特征值λi对应的约当小块的个数。
13
总复习：现代控制理论
说明：约当规范形的特点
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
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1) 对角线规范形
1) 可化为对角线规范形的条件
已知n阶线性定常系统的状态方程为
x& Ax Bu 当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量 1,2,L ,n时， 可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以
下2种情况下可化为对角线规范形：
注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据
可能不太方便，此时可考虑用PBH秩判据试一下。
24
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据
当矩阵A的特征值 1, 2 ,L , n 为两两相异时， 线性定常连续系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
G(s) C(sI A)1 B D
6
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四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性 非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函
数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控 性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变.
26
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二．线性定常连续系统的能观测性判据
1．秩判据 2．PBH秩判据 3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
27
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1. 秩判据
线性定常系统
x& Ax x(0) x0 t 0 y Cx
完全可观测的充分必要条件是:
C
rankQo
rank
CA M
n
或
3
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1. 可控规范形实现
设
G(s)
Y (s) U (s)
sn1 n1 sn
sn2 n2
L
1s
an1sn1 L a1s a0
0
N(s) D(s)
则矩阵形式的可控规范形实现为
x& Ax + bu
式中：
y cx
友矩阵
0
0
1 0
0L 1L
A M M M O
0
0
0L
a0 a1 a2 L
（1）系统矩阵A的n个特征值两两互异；
（2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何 重数都等于其代数重数。
10
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2) 约当规范形 1) 化为约当规范形的条件
对于n阶线性定常系统 x& Ax Bu
当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的 特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变
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2．PBH秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征 值 i (i 1, 2,L , n)，
rank iI A B n i 1,2,L , n
均成立，或等价地表示为
rank sI A B n, s C
y C1
C2
x1 x2
D1
D2
u
N
G(s) Gi (s)
i 1
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二、子系统串联
x&1
x&2
A1 B2C1
0 A2
x1 x2
B1 B2
D1
u
y D2C1
C2
x1 x2
D2
D1
u
G(s) GN (s)GN1(s)L G1(s)
CA
n
1
rankQo rank[CT AT CT L ( AT )n1CT ] n
其中：n是系统的维数，Qo称为系统的能观测性判别
阵，简称能观测性阵。
28
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2. PBH秩判据
线性定常系统
x& Ax x(0) x0 t 0 y Cx
完全能观测的充分必要条件是：对矩阵A的所
22
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1. 秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank BMABML MAn1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc BMABML MAn1B 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23
“内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值
为对角元，其右邻元均为1，其余元素均为0”的矩
阵。
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五、组合系统的状态空间描述
组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方 式相互联接而构成的系统称为组合系统。 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
（2）
2.对偶原线理性：时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同 于其对偶系统的完全能控。
32
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五.能控能观规范形
1.能控规范形的定义：
对完全能控的单输入单输出线性时不变系统，如 果其状态空间描述具有如下形式
其中：
x& Ac x bcu y cc x
2、状态空间描述（内部描述） (1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
2
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二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
能控标准型实现 能观测标准型实现
一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义
线性定常系统
x& Ax Bu, x(t0 ) x0, t t0 的状态转移矩阵为：
(t t0 ) e A(tt0 ) , t t0
当t0 = 0时，可将其表为
(t) eAt , t 0
即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是
矩阵指数函数。
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总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 绪论 Ch2 线性系统的状态空间描述 Ch3 线性系统的运动分析 Ch4 线性系统的能控性和能观性 Ch5 系统运动的稳定性 Ch6 线性反馈系统的时间域综合
1
总复习：现代控制理论
第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的 外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
1
x&
2
O
x
Bu
n
中，B 不包含元素全为零的行。
25
总复习：现代控制理论
4．约当规范型判据
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连 续系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当
规范型 xˆ& Aˆ xˆ Bˆu 中，Bˆ 中与同一特征值的各 约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
1．积分法：
x(t
)
t
x0
t
0
Bu(t
)d
,
t0
2．拉氏变换法：
x(t) L1 X (s) L1 (s A)1[x0 +BU(s)]
21
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据 1．秩判据 2．PBH秩判据 3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据