高中数学 1.2.2充要条件导学案 人教A版选修2-1
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1.2.2充要条件
【学习目标】
1. 理解充要条件的概念;
2. 掌握充要条件的证明方法,既要证明充分性又要证明必要性.
【重点难点】
充要条件的概念
【学习过程】
一、自主预习
(预习教材P11~ P12,找出疑惑之处)
复习1:什么是充分条件和必要条件?
复习2:p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.p是q的什么条件?
二、合作探究,归纳展示
探究任务一:充要条件概念
问题:已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q 又是p的什么条件?
新知:如果p q
⇔,那么p与q互为
试试:下列形如“若p,则q”的命题是真命题吗?它的逆命题是真命题吗?p是q的什么条件?
(1)若平面α外一条直线a与平面α内一条直线平行,则直线a与平面α平行;
(2)若直线a与平面α内两条直线垂直,则直线a与平面α垂直.
反思:充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.
三、讨论交流,点拨提升
例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?
(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数;
(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >
(3) p : a b > , q :a c b c +>+
小结:判断是否充要条件两种方法
(1)p q ⇒且q p ⇒;
(2)原命题、逆命题均为真命题;
(3) 用逆否命题转化.
练习:在下列各题中, p 是q 的充要条件?
(1) p :234x x =+ , q :x (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=
(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,
q :20(0)ax bx c a ++=≠至少有一个实数根。
(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根
q :0a b c ++=
例2 已知:O 的半径为r ,圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的
充要条件.
变式:已知:O 的半径为r ,圆心O 到直线的距离为d ,证明:
(1)若d r =,则直线l 与O 相切.
(2)若直线l 与O 相切,则d r =
小结:证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.
四、学能展示,课堂闯关
练1. 下列各题中p 是q 的什么条件?
(1)p :1x =,q : 1x -=
(2)p :|2|3x -=,q :15x -≤≤ ;
(3)p :2x =,q :3x -=;
(4)p :三角形是等边三角形,q :三角形是等腰三角形.
练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.
※ 知识拓展
设A 、B 为两个集合,集合A B =是指x A x B ∈⇔∈,则“x A ∈”与“x B ∈”互为 件.
【课后作业】
1. 下列命题为真命题的是( ).
A.a b >是22a b >的充分条件
B.||||a b >是22a b >的充要条件
C.21x =是1x =的充分条件
D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件
2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设p :240(0)b ac a ->≠,q :关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根,则p 是q 的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.22530x x --<的一个必要不充分条件是( ). A.132x -<< B.102x -<< C.132
x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.
(1).3x >是5x >的
(2).3x =是2230x x --=的
( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的