13-江南大学模拟试题

江南大学模拟试题
一、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生，易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。

（20分）
(1)本问题与力学中的什么内容有关系?
(2)若筷子弯曲太大如何处理?
(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？
图1 图2
解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这里充当了杠杆。

（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。

这样可提高抗弯截面系数。

（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住艇羹的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力
F ，一边是瓶盖施加的力Q ，1l AO =，2l BO =。

即F l l Q 1
2=，由于12l l >>，所以F Q >>。

即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。

把筷子作为一受力杆件，最大弯矩在O 处（图3示），即左手手指与筷子接触处最容易折断。

图3
二、某工地为使工人高处作业方便，在木桩上搁置一些木板。

图示为一手握推车的工人站在板上。

若设板长5m ，厚58mm ，抗弯刚度EI =200 kN·m 2，假设板的宽度远小于长度，工人沿板的宽度中线行走，不计板重；木桩截面为80⨯80mm 的正方形；木材的弹性模
量E
=10Gpa ，许用应力[σ]=12Mpa 。

工人的体重为800N ；手推车的连同车内物料的重量共1200N ，其质心距工人1m ，距小车的轮轴0.5m 。

（35分）
（1）画出板的结构分析模型的简图。

（2）并问工人站在何处，板的最大弯曲正应力最大？
（3）该结构是否安全可靠？
解：（1）可将板视作梁分析，并设人离板的左端A 得距离为x ，
其结构分析模型如图（b ）所示。

通过分析人车组合，得：
F 1=1200N ， F 2=800N
（2）根据板的最大弯曲正应
力计算公式可知，弯矩最大
处弯曲正应力最大。

最大弯矩将出现在F 1或 F 2
的作用点C 、D （位置变化）
M C =1760x - 400x 2
M D = -400 x 2 +1160x + 840
当x = 2.2m 处， M max = 1936N ⋅m
（3）板的强度校核：
][81.22/max max σσ<==MPa I
t M 木桩的稳定性分析：
考虑木桩稳定性最不利的约束方式，即下端固定，上端自由，则长度系数μ =2 x 5 1.5 A B C D F A F B F 1 F 2 图（b ） 1 5 0.5
A B C D 图中尺寸单位：m
图（a ） 1.8
临界力
2
2
）
（l
EI
F
crμ
π
== 26kN
木桩的受力与工人在板上的位置有关，最大受力是当x = 0时，A处的受力
F max = 880N << F cr
木桩足够稳定。

所以结构安全。

三、山坡上下有AB两根木柱，顶端在同一水平线上，长度分别为l1和l2，惯性矩分别为I1
和I2，弹性模量为E，用一不可伸长的绳子以水平力P将A桩顶端拉紧，绳的另一端拴在B桩顶端，然后松开（25分）
(1)求绳中张力;
(2)若两端距离为L,改用拉伸刚度为E0A0的弹性绳，结果又如何？
解：设绳子右端拴住B桩顶端并除去P力后绳中张力为P1，若绳子不可伸长，在P1作用下，两根悬臂梁顶端的挠度之和应与P力作用的A梁顶端的挠度相等。

故变形协调条件为
1
3
1
2
3
2
1
1
3
1
1
3
3
3EI
Pl
EI
l
P
EI
l
P
=
+
由此得：P
l I
l
I
l
I
P
3
2
1
3
1
2
3
1
2
1+
=
对于拉伸刚度为E0A0的弹性绳，可设该绳原长为L0 (L0略小于L)，用P力拉绳的右端至B 桩顶端时，有
L
A
E
Pl
EI
Pl
L=
+
+
1
3
1
3
（1）
当拴住B桩顶端并除去P力后，绳中张力变为P1，此时有：
L
EI
l
P
A
E
l
P
EI
l
P
L=
+
+
+
2
3
2
1
1
1
3
1
1
3
3
（2）
由（1）、（2）两式得
1
3
1
3A
E
Pl
EI
Pl
+
2
3
2
1
1
1
3
1
1
3
3EI
l
P
A
E
l
P
EI
l
P
+
+
=（3）
根据（3）式且L
L≈
，最后得：
P
L
I
EI
l I
l
I
A
E
I
L
EI
l
A
E
P
2
1
3
2
1
3
1
2
2
1
3
1
13
)
(
)
3
(
+
+
+
=
四、一天，师傅欲检验徒弟知识的灵活应用能力，准备了半径分别为R、)
(r
R
r〉两齿轮O、1O，小齿轮可在大齿轮内作纯滚动，小齿轮上有偏心点，其偏心距为e。

要求徒弟根据给定的材料设计一套简单的机构，绘制精美的几何图形。

聪明的徒弟很快领会师傅的意图，将大齿轮固定，小齿轮的偏心点处安装画笔，如图1示，当小齿轮在大齿轮内滚动时，画笔下出现了精美的几何图形。

（40分）
下面的问题交给聪明的你，相信你能解答
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）求出偏心点（画笔）的轨迹方程，图形的几何形状与何参数有关？当图形曲线退化为直线时，机构参数满足何关系?
（3）当几何图形为图2示的三叶玫瑰曲线)
3
cos(α
ρa
=时，机构参数与曲线方程中的参数a满足何关系？
图1 图2
解：（1）本问题与力学中点的运动轨迹、运动合成有关
（2）取定坐标oxy如图3示，小齿轮上偏心点坐标为
)
,
(y
x，图示位置时：
⎩
⎨
⎧
-
-
=
+
-
=
ϕ
θ
ϕ
θ
sin
sin
)
(
cos
cos
)
(
e
r
R
y
e
r
R
x
纯滚动时，满足：)
(ϕ
θ
θ+
=r
R则：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)
sin(sin )()
cos(cos )(θθθθr r
R e r R y r r
R e r R x （1） 图3
当机构参数满足：r e r R ==,2时，图形曲线退化为直线。

（3）对)3cos(αρa =的曲线方程，在图2示直角坐标中可表示为
⎩⎨⎧==αρα
ρsin cos y x
进一步：⎩⎨⎧==ααα
αsin )3cos(cos )3cos(a y a x
利用三角公式变换：
[]
[]
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=
)2sin()4sin(2)2cos()4cos(2ααααa
y a
x （2）
对照（2）问题中的轨迹方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)
sin(sin )()
cos(cos )(θθθ
θr r R e r R y r r R e r R x
作βθ4→变换，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)
4sin(4sin )()
4cos(
4cos )(ββββr r
R e r R y r r
R e r R x
（3） 由式（2）、（3）对比知，当机构参数满足：
a e a r a R 21
,,23
===
时即可画出要求的三叶玫瑰线图形。