数论的方法和技巧 03高斯函数
高斯函数
例4：求证：当且仅当存在某个正整数k , 使得n 2k 1 时, 2n1 能整除n !(加拿大数学奥林匹克试题).
分析：由知识要点y [ x]的性质部分定理2及性质4, 不难证明。
解：由定理2, n !中含有质因数2的个数是 n n n p [ ] [ 2 ] ... [ k 1 ],(其中k 满足2k 1 n 2k ) 2 2 2 又由[ x1 x2 ] [ x1 ] [ x2 ], 得 1 1 1 n p [n( 2 +...+ k 1 )] [n k 1 ] n 1 2 2 2 2
(2)当0 lg x 1时, 有[lg x] 0, 代入原方程得 lg x 2, 均不符合题意。
1 但 lg x 1不符合题意, lg x 1, x1 ; 10
(3)当1 lg x 2时, 与[lg x] 1, 代入原方程得 lg x 3, 但 lg x 3不符合题意, lg x 3, x2 10 3 . (4)当 lg x 2时,得x2 100, 原方程共有3个实根。
例5设n0为一个正整数,问方程x1, n0 ] 上有多少个解？
分析采用典型区间法及换元法，可作出解答。
解：易知x n0为方程的一个解，再考虑区间[1, n0 )内的解， 设x为原方程的一个解， 令[ x ] m ,{ x } p, 则x m p, 且0 p 1 即：x 2 m 2 2mp p 2 , 且0 p 1 代入原方程, 有m 2 2mp p 2 [m 2 2mp p 2 ] p 2 , 即2mp [2mp p 2 ]. 这是与原方程等价的方程，这表明，只要 2mp为整数， 则 m p就是一个解。
高斯函数的性质和应用
高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。
【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。
高中数学奥赛辅导第五讲高斯函数解析
[ p2 ]
[ p3 ]
.
【证明】由于 p 是质数，因此 n! 含 p 的方次数 p(n!) 一定是 1， 2，…， n 1, n 各数中
所含 p 的方次数的总和
. 由定理一知，
1， 2，…， n 中有 [ n ] 个 p
p 的倍数，有
[
n
2
]
个
p
p 2的
倍数，…，所以
p (n! )
[n]
[
n
2
]
.
高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用
. 下面给出一个定理 .
定理四：设函数 y f (x)在[ a, b] 上连续而且非负，那么和式
[ f (t )](t为[ a, b] 内的
at b
整数）表示平面区域 a x b,0 y f ( x) 内的格点个数 . 特别地，有
（ 1）位于三角形： y ax b 0,c x d 内的格点个数等于
[{ x}
n
n
[ nx] [ n[ x] n{ x}] n[ x] [n{ x}], 故只要证明
[[ x] { x} [ x] [{ x} n 1]. n
n1 ]
st
[2 p] 0
[( 2s 1 2s 2
2 s t ) p] [ 2s t ( 2t 1) p] [ 2s p 2s t p] n [ 2 s t p].
由于 1 2s t p 2, 则[ 2s t ]
知矛盾，故必要性得证 .
2,故n!中含 2的方次数 2(n!) n 2,则2n 1 n!. 这与已
【证明】 x [ x] { x}, 则
1
2
[ x] [ x ] [ x ]
n
高斯函数
不妨令（4）的解为 e 2 / 2u( ) 可得，u( ) 满足的方程：
（5）
d 2 u 2 d u ( 1)u 0
d 2
d
（6）
此即Hermite方程，可在 =0的邻域用幂级数展开求解。为保证束
缚态边界条件，必须要求u( )中断为一个多项式，可以证明只有
(k k0)a / 2
在 处，F(k)=0，此范围内是频谱函数的“主极强”，
外边它的数值就很小了。从而我们定义频谱的宽度为
k 4 / a
另一方面，波列的长度 x a ，古频谱宽度与波列长度成
反比：
k x 4
2.指数型波列
f (x) Aea x eik0x
者说，它的空间频谱有一定的宽度。一般来说，频谱 宽度与波列长度是成反比的。看几个包络形式不同的 波列：
1.方垒型波列
Aeik0x , x a
f (x) {
0, x a
它的傅里叶变换为：
F (k ) e a / 2 i(kk0 )x a / 2
dx
2
Aa
2
sin
可以证明，一维谐振子能量本征函数（实）为：
n (x)
A e 2x2 n
/2Hn (x)
An / 2n n！1/2
（归一化常数）
m (x) n (x)dx mn
最低的三条能级上的谐振子波函数如下：
0 ( x)
1/4
e 2 x2 / 2
2
则方程（1）化为
d2 d 2
(
2 )
0
（1） （2）
高斯函数
解：令
15 x 7 5n 7 10n 39 n ，由高斯 ，带入原方程整理得： n n Z ，则 x 5 15 40
函数的定义有 0
10n 39 1 13 n 1 ，解得： n ，则 n 0, n 1 。 40 30 10 7 4 若 n 0 ，则 x ；若 n 1 ，则 x 。 15 5
x 1 x
（ x 不是整数时）
a
x
n n p n ! 2 p p
n m p m n p m1 。 p
73
证明：由于 p 是素数，所有 n! 中所含 p 的方次数等于 n! 的各个因数 1, 2, 数之总和。由性质 10 可知，在 1, 2,
p 1 Cp 25
p 1 2
,其中 p 是质数。因为
k Cp
p p 1 p 2 k!
p k 1
k 2, 4,
, p 1 都能被质数 p 整除，所以原命题成
立。 三、巩固练习 1，计算 的值。 （76304） 503
n 0 502
305n
77
2，求函数 f x
x 12.5 0 x 100 的值域。 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 12.5 x
3，求方程
31 27 23 2x 7 2x 1 , x3 , 的实数解。 x1 , x2 2 2 2 4 3
3 3
所以，原方程的解为： x x
3
4 。 3
高斯函数
平顶山学院本科毕业论文（设计）平顶山学院本科毕业论文（设计）- 1 -前言函数()[]f x x =早在十八世纪就为“数学王子”高斯所采用，因此，()[]f x x =得名为高斯函数．实际上高斯函数虽然定义简单，但它的应用却相当的广泛．高斯函数是一个常用的函数．在离散数学中，要用到高斯函数；在计算机算法分析中，常常用到高斯函数；在微积分中，也经常看到高斯函数的身影．然而与高斯函数最密切相关的就是竞赛数学了．为什么这样说呢?首先，高斯函数的定义域为全体实数，值域为全体整数．而数论研究整数性质的比较多，因而我们可以利用数论中的定理，公式来解决有关高斯函数的问题．数论题通常又是竞赛数学的压轴题，由此可见，高斯函数在竞赛数学中的重要地位；其次，高斯函数又与含阶乘的整除问题密切相关，这表明高斯函数又与组合数学息息相关．组合数学是数学竞赛的重要组成部分，所以，高斯函数在数学竞赛中的重要地位不容忽视．此外，课本中没有对高斯函数进行专门的讲解，但高斯函数的定义容易理解，做为竞赛题比较灵活，横跨课本，容易变通，尤其是利用高斯函数可以编出许多方程与不等式，它们是小学，中学乃至大学数学竞赛的重要组成部分．因此，本论文中主要探讨高斯函数在数学竞赛中的广泛应用．下面，我举两个例子简单的说明：例1 解方程[]33x x -= (1957年 原苏联)．解 根据题分析易知0x >.若0x ≤则30x ≤，[]0x ≤，且[]30x x -≤则原方程无实数解.由性质[]{}x x x =+知[]{}x x x =-,将此式代入原题可得{}33x x x -=-．注意{}01x ≤<，两式联立便可得出()2213x x <-≤且0x >, 解 不等式组很容易就得出12x <<，所以[]1x =，代入原方程知3x =4，x例2［１］ 证明方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++=没有实数解． 证明 这道题从证明很难入手，在数学的思维中，解决这类问题，我们常采用反证法．假设方程有实数解x n a =+，,01n Z a ∈≤<.于是[]x n =，[]2x =高斯函数在数学竞赛中的应用- 2 -[]22n a +，[][]444x n a =+，[][]888x n a =+，[][]161616x n a =+，[]3232x n =+ []32a ．代入原方程化简、变形得到[][][][][][]24816321234563a a a a a a n +++++=-由于01a ≤<,因而[]01ka k ≤≤-,k Z ∈．故有0≤12345-63n ≤1+3+7+15+31=57.得1228863≤n ≤1234563,即195.04…≤n ≤195.95….与n 是整数矛盾，所以假设不成立，即原方程无实数解．由此可见高斯函数是一类重要的数论函数，尤其是高斯函数与数学竞赛息息相关，这就要求我们要深刻理解高斯函数的基本性质，掌握解决高斯问题的常用方法．为此，本文首先列举出了一些高斯函数的基本性质；其次，归纳和总结了解决高斯函数问题的常用方法;最后对高斯函数进行了进一步的探讨．平顶山学院本科毕业论文（设计）- 3 -第一章 高斯函数的基本知识1.1 概念定义 函数[]x 与{}x 是对于一切实数都有定义的函数，函数[]x 的值为不大于x 的最大整数；则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数．函数{}x 的值是[]x x -，{}x 叫做x 的小数部分．例 []3π=，[]2e =，[]4π-=-，203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，315⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦； 3255⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，{}0.14159...π-=，0.414...=，{}0.95840...π-=函数图像 []y x = 的定义域为R ， 值域为Z ；{}y x = 的定义域为R ，值域为[)0,1．图像如图1所示，{}y x =是以1为周期的周期函数．如图22.2 性质[1]由定义立即可得出函数[]x 与{}x 的基本性质．对任意的实数x ，y 有高斯函数在数学竞赛中的应用- 4 -甲 []{}x x x =+,且01x ≤<.乙 [][]11x x x x -<≤<+.丙 x y ≤，有[][]x y ≤．丁 [][]n x n x +=+ n Z ∈．戊 若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥.己 对任意正整数n 和任意实数x ,有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 庚 [][][]1x x Z x x x Z⎧-∈⎪-=⎨--∉⎪⎩ ．辛 若,a b 是任意两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 壬 (1) [][][][][]1x y x y x y +≤+≤++，其中等号有且仅有一个成立；(2) [][][][]1x y x y x y -≤-≤-+，其中等号有且仅有一个成立；(3) [][][][][]22x y x y x y +≥+++；平顶山学院本科毕业论文（设计）- 5 -第二章 数学竞赛中解决高斯函数问题常用方法解决有关高斯函数的问题，不仅要了解高斯函数的定义、性质，而且要了解 解决高斯函数问题的常用方法．在此根据题目自身的特点归纳和总结了几种常用的解决高斯函数问题的方法．2.1 定义（或性质）法例1对于一切实数x ， 有()[]f x x =．计算：()()()0.31 1.3___f f f -++=；若*,,3n n n f n N S a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭为数列{}n a 的前n 项和，则30___S =． 分析 由高斯函数[]x 的定义第一小题不难解决，答案为1．第二小题把高斯函数和数列联系起来，由33n n n a f ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，333a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1=,4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,5513a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,663a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2=，…,于是有， 300213233343...9310145S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=．本题主要考察了对高斯函数定义的理解，简单易懂，我们不再深入研究．例2 (2008年上海市TI 杯高二年级数学竞赛)求出所有的正整数使得692345n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 分析 看到这个问题如果我们单从题出发，按照常规思路来解得话会有点难度，数学问题中如果直接不好得出答案，不妨转换一下思想，从侧面来解决问题．解 由性质乙可知，1222n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1333n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1444n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1555n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦， 由此得 4234523452345n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-<+++≤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯函数在数学竞赛中的应用- 6 - 化简可得423452345n n n n n n n n +++-<69≤+++最终我们可得出5357n <<．于是54,55,56n =，经检验55n =满足题意，故满足题意的正整数解为55n =．解答本题的关键是利用高斯函数的性质，先确定n 的范围，再代入原方程，求出符合题设条件的正确答案.2.2 反证法例3[2] 求证：不存在实数x ，使得[][][][][]24816307x x x x x ++++=．分析 要证明方程无实数解，常用反证法，我们可利用[]x 的性质，通过估计的方法来导出矛盾．解 由于[][][][][]248162481631x x x x x x x x x x x ++++≤++++=若原方程有解，则一定有31307x ≥即30731x ≥ 当10x ≥时，[][][][][]2481610204080160310307x x x x x ++++≥++++=> 即x 必须小于10． 当3071031x ≤<时， [][][][][]()()()()()248161012014018011601305307x x x x x ++++<-+-+-+-+-=<所以对于一切实数x ，原方程都不能成立，即原方程无解．2.3 换元法例4 [2]解方程[]13222x x +⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦． 分析 解决有关方程类型题的时候，直接从题本身出发不容易得出答案，我们可采用换原法，将问题转化为简单的问题．解 可设12x n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]32x m -=则原方程可化为平顶山学院本科毕业论文（设计）- 7 -2m n += (1) 由定义可知，112x n n +≤<+，即 2121n x n -≤<+ (2)及321m x m ≤-<+，即12m -＜x ≤32m - (3) 可见，原方程的解均满足(1)、(2)、(3)中的x ．为此，设法求出的整数解(1)，事实上，由(2)、(3)得12123212m n m n ⎧-<+⎪⎪⎨-⎪-≤⎪⎩ 即4045n m n m +>⎧⎨+≤⎩，故045n m <+≤，又由,m n 是整数知 4n m +=1,2,3,4,5 (4)将(1)，(4)联立得两整数解02n m =⎧⎨=⎩ 或11n m =⎧⎨=⎩再分别代入到(2)，(3)得12x 0<≤与1x =，此即为原方程的解．2.4 分类讨论法所谓分类讨论，是当问题所给对象未能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论时”化整为零，各个击破，再积零为整“的数学策略．例5 (1991年北京市高中一年级数学竞赛)能使25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为素数的所有自然数n 的倒数之和等于多少?解 设25n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，下面分情况讨论：高斯函数在数学竞赛中的应用- 8 - (1)当5n k =(k 是正整数)时，222555k m k ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，且当1k =时，m 为素数，此时5n =；(2)当51n k =+(k 为非负整数)时，22(51)152(52)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当k =1时，m 为素数，此时6n =；(3)当52n k =+(k 为非负整数)时，22(52)454(54)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当1k =时，9m =为合数，因此对所有正整数k ，m 都是合数；(4)当53n k =+(k 为非负整数)时，2(53)(1)(51)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时 1m =，当k 为正整数时，m 为合数；(5)当54n k =+(k 为非负整数)时，2(54)(1)(53)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时3m =是素数，此时4n =，当k 是正整数时，m 是合数．所以n =4,5,6时，25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是素数，这样的n 的倒数之和为1113745660++=． 评注：采用分类讨论法时，一定要根据题目自身的特点，进行合理的分类，此题是按除5所得余数进行分组来分类讨论的，从而使问题得到简化．以后我们做题要因题而异，不要盲目下结论．2.5 数学归纳法例6[5] (1981年第10届美国数学奥林匹克)若x 为正实数，n 为正整数，证明：[][][][]2...12x x nx nx n ≥+++ 证 记[]1n n i ix x i ==∑，于是问题变为证明[]n nx x ≥．下面用数学归纳法证明这个不等式．(1)当n =1时，显然有[]1x x =，所以当n =1时，命题成立；(2)假设当k =l ，2，…，1n -时，命题成立，即[]k x kx ≤（1,2,...,1k n =-）由[]1k k kx x x k-=+得()[]111kk k kx k x x kx --=-++，对k 取,1,...,3,2n n -得 ()[]111,n n n nx n x x nx --=-++()()[]12212(1)n n n n x n x x n x ----=-++-， ()()[]23323(2)n n n n x n x x n x ----=-++-，……,[]322323x x x x =++， []21122x x x x =++，将以上(1)n -个不等式的两边分别相加，消去两边相同的项，得[][][]12211...(1)...2n n n nx x x x x x nx n x x --=+++++++-++由归纳假设如[][][][][][][][](1)(2)...2(1)...2n nx n x n x x x x nx n x x ≤-+-++++++-++ (1) 再由高斯函数的性质壬，对上式继续推导，(1)式右端等于[][]()[][]()[][][]()()()[][](1)(2)2...((1))122...1n x x n x x x n x nx n x x n x x x n x nx n nx -++-++++-+≤-++-++++-+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是[]k x kx ≤，即k n =时，命题成立．故对所有正整数n ，命题成立．2.6 枚举法例7 (1999年加拿大数学奥林匹克)求方程[]2440510x x -+=的所有实数解． 解 由高斯函数的定义知，[]x x ≤，因此原式可化为[]()()220440514405123217x x x x x x =-+≥-+=--即31722x ≤≤，于是[]x =l ，2，3，4，5，6，7，8． 当[]1x =时，方程化为2411x +=0，无实数解；当[]2x =时，方程化为24290x -=，得2x =；当[]3x =时，方程化为24690x -=，可得42x =>与[]3x =矛盾；当[]4x =时，方程化为241090x -=，可得5x =>与[]4x =矛盾；当[]5x =时，方程化为241490x -=，可得6x =>与[]5x =矛盾；当[]6x =时，方程化为241890x -=，可得x =，此时6=⎣⎦，因此2x =是方程的解；当[]7x =时，方程化为242290x -=，可得2x =，此时72=⎣⎦，因此x =是方程的解；当[]8x =时，方程化为242690x -=，可得x =，此时8=⎣⎦，因此x =是方程的解；综上可知，方程的解集为⎪⎪⎩⎭． 评注 此题可以改编为求方程[]2440510x x ++=的所有实数解，其解法与例6是一样的．枚举法相对比较简单，适合于中小学数学竞赛，但要注意枚举时千万不要漏举与多举．2.7 数形结合法在求解含有高斯函数的方程中，可以根据方程的特点，利用数形结和把方程转化为求两个图像的交点解决，但利用此法，只能从图像中找到解的大体位置及解的个数，因此，必须对此进行逐个的计算和检验，才能得到正确的答案．例8[3] 解方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 分析 本例为[][]u v =型的方程，首先由高斯函数的性质可知，若[][]u v =，则1u v -<，求出x 的区间，但此条件为原方程成立的必要但非充分条件，故还须对函数()u h x =和()v q x =的图像进行分析才能得到正确结果．由1u v -<得11142x x +--<-<1，得7x -1<<．令()()11,42x x h x q x +-==，在同一坐标系中画二者的图像：分析两者在区间(1,7)-内的图像，观察可知，当(1,1)x ∈-时，104x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而112x -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，方程不成立； 当[)1,3x ∈时，11042x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 当[)3,5x ∈时11142x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当[)5,7x ∈时，114x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而122x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，方程不成立． 综上所述，原方程的解是15x ≤<．2.8 [9]凑整、估值法针对求的[]x 值的题目，可以利用不等式中的放缩技巧或其他性质，将难以处理的求和转化为可以裂项相消的代数式之和，从而使问题迎刃而解．例9设1...S =+++，求[]S ． 分析 为求[]S 的值，如果对各项直接求解，会比较麻烦，这时我们就考虑有没有简单的方法来解决，而题中是一个和式问题，我们可以考虑来缩小它的范围，>最小的整数范围．解 设*1100,n n N <≤∈>><<，即22<<．不等式两边对n求和可得，1001001002222n n n ===<<∑∑故)212118S <-<=，但210- =17，2220317>>-=，所以1819S <<，即[]18S =．以上是我们常见的几种比较简单的方法，当然，解有关高斯函数题的方法还有很多，比如：分组拆项法、命题转化法、共轭因数法、不等式法等等，这就要求我们根据实际情况来选择合适的方法来进行求解，以便达到事倍功半的效果．第三章 关于高斯函数的进一步探讨高斯函数的许多问题在日常生活中有很广泛的应用，它们都是数学竞赛题的来源，在本章中我们主要讨论高斯函数在积分、数列以及高斯和式问题．3.1 积分问题[10]对于高斯函数[]x 的积分，由定义知高斯函数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间内有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数[]x 在积分区间上可积，下面来求如下积分． 例1 求积分[]0nx dx ⎰（n 为有限自然数）．解 [][]()()01111112nnnkk k k x dx x dx k n n -====-=-∑∑⎰⎰利用上述结果很容易求出斜坡函数[]x x -的积分，即[]{}[]()222000111222222nn nnn n n n x x dx xdx x dx x n n ⎡⎤-=-=--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．例2 求积分ln(1)ln1n x e dx +⎡⎤⎣⎦⎰． 解 ()()ln(1)ln(1)ln(1)ln1ln ln 111[][]ln 1ln nnnn k k xxkkk k k e dx e dx k dx k k k +++======+-∑∑∑⎰⎰⎰()1ln!nn n +=上述关于高斯函数积分的问题即简单又有趣，下面来推导几个有关高斯函数积分的公式． 例3 求[]00x ny nx y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰．解首先将区域(){},0,0D x y x n y n=≤≤≤≤分为2n 个小区域，(){},1,0,0k D x y k x y k x y =-≤+<><，1,2,3 (2)n =，在1D 上[]0x y +=，在2D 上[]1x y +=，…，在1n D -上[]2x y n +=-，在n D 上[]1x y n +=-，在1n D +上[]x y n +=，…，在21n D -上[]22x y n +=-，在2n D 上[]21x y n +=-，且每个小区域的面积分别为1352131,,,,,,222222n -⋯于是有 21[][]knk DD x y dxdy x y dxdy =+=+∑⎰⎰⎰⎰1352121012(1)22222n n n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-+⨯+⋯ 31(22)(21)22n n +-⨯+-⨯1[132537(1)(21)(21)2n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--+-+⋯(22)3(21)n n +-⨯+-⨯ 121()2s s =+ 其中12132537(1)(21)(21)(22)3(21)1s n n s n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--=-+⋯+-⨯+-⨯经计算得2212(431),(831)66n ns n n s n n =--=-+，故 []()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰． 利用上述公式可解下题： 例4 求[]0202x y x y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰的值．解 将2n =代入公式[]()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰便有[]()202021222162x y x y dxdy ≤≤≤≤+=⨯⨯⨯-=⎰⎰ 例5 求22220,0x y x y nx y dxdy >>+≤⎡⎤+⎣⎦⎰⎰的值 ．解 将区域(){}22,,,0D x y x y n x y =+≤>分为n 个小区域，(){}22,1,,0kD x y k x y k x y =-≤+<>，1,2,3...,2k n =这n 个小区域的面积为4π，在这些区域上，函数22[]x y +的值分别为0,1,2,1n ⋯- 于是便有()()2222111114k knnnk k k DD D xy dxdy x y dxdy k dxdy k π===⎡⎤⎡⎤+=+=-=-⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()18n n π=-上述两个积分公式在以后解决高斯函数积分问题上会有很大的帮助，如果我们进一步的研究将会得到更多更有用的结论．3.2 高斯和式问题定理（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x 为实数，则[]10n i i x nx n -=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑．证明 令[]10()n i i f x x nx n -=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑则[]110011111n n i i i i f x x n x x nx n n n n n --==⎡⎤⎡+⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎤+=++-+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎦⎣⎦⎣∑∑ [][][][]()101011n i n i i x x x nx n i x nx n f x -=-=⎡⎤=+-++--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦=∑∑故()f x 是以周期为1n 的周期函数．当1[0,)x n∈时，显然有()0f x =，故对上式任意实数x 均成立．例6 设n 为整数，计算和式232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 解 上式可简化为232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1022k k k n ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑ 由Hermite 恒等式可得，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，则[][]122x x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦．于是111112122222222k k k k k k k n n n n n n +++++⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此，1100022222k k k k k k n n n n n ∞∞++==⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑．例7 设n 为正整数， α，i x ，i y ()1,2,...,i n =为实数，证明：123...n x x x x ≤≤≤≤ 123,...n y y y y ≥≥≥≥．且满足1n i i ix =∑=1n i i iy =∑，则[][]11n ni i i i i y i x αα==≥∑∑．证明 记i i i x y z =-，则12...n z z z ≤≤≤且10ni i iz ==∑ 故只需证明[]10nii i zα=≥∑ (1)即可．令112211,0,...,0n n n z z z z z -∆=∆=-≥∆=-≥，则1ii j j z ==∆∑（1i n ≤≤），于是111110jn n i n i j j i i j j i iz i i ======∆=∆=∑∑∑∑∑从而211n njj i jni ii===∆=∆∑∑∑ (2)于是[][][][]11112211[]n n n i n n n n nn i j i j j j j n i i j j i j j i j j i i i i z i i i i i ααααα===========⎛⎫⎪ ⎪=∆=∆∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑[][]121n n n ni ji j n nj i j i j i i i i i i αα======⎛⎫ ⎪ ⎪=∆- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 由于20n nj j i ji ==∆≥∑∑，则(1)式成立等价于[][][][][][]111111111111nn j j nn i ji ji i i i nnnj nj i ji i j i i i i i i i i i iiiiiiαααααα--======--======≥⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (3)故只需证明对任意的1k ≥，有[][]111111k ki i k ki i i i i iαα+==+==≥∑∑∑∑而上述不等式等价于()[]()[]()()1111102k ki i kk i k i k i ααααα==+≥⇔+--+-≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑．注 有性质知[][][]x y x y +≥+对任意的,x y 均成立，上述不等式显然成立．参考文献[1]闵嗣鹤，严士健编.初等数论（第三版）高等教育出版社，2003．[2]梅向明．国际数学奥林匹克30年［Ｍ］．北京出版社，1991．[3]王朝霞.含有[x]或{x}的方程的解法[J].唐山师院学报,2004,(5)[4]刘诗雄等．奥数教程(高二年级)．(第二版)．华东师范大学出版社，2003.[5]陈景润著.初等数论Ⅱ.科学出版社.1980[6]宋庆龙．高斯函数的应用．唐山师范学院学报．2005，(3)．[7]余红兵著.奥数教程(高二年级).华东师范大学出版社.2006．[8]柳柏镰，吴康著.竞赛数学的原理与方法.广东高等教育出版社.2003．[9]殷堰工.整数部分[x]与小数部分{x}问题的解法[J]. 1994,(10-11)．[10]钱吉林等，高等数学辞典[M] 武汉：华中师范大学出版社，1999．平顶山学院本科毕业论文（设计）致谢在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师李文老师，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；李老师以丰富的科研经历，解说学问，侄释为师之道，旁征博引，使我受益匪浅.在此向李老师表示衷心的感谢!感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！- 19 -。
高斯函数——精选推荐
⾼斯函数⾼斯函数⼀、定义对于任意R x ∈，[]x 是不超过x 的最⼤整数，称[]x 为x 的整数部分。
y=[]x 称为定义在实数集上的函数，即取整函数，⼜称为⾼斯函数。
由定义知，[]x x ≤，故[]0≥-x x ，称[]x x -为x 的⼩数部分，记作{}x 。
y={}x 称为x 的⼩数部分函数。
如[]23.2=，[]33.2-=-，[]025.0=；{}3.03,2=，{}7.03.2=-，{}25.025.0=，{}75.025.0=-。
⼆、性质1、[]x y =的定义域为R ，值域为Z ；{}x y =的定义域为R ，值域为[)1,0。
2、[][]11+<≤<-x x x x3、y=[x]是不减函数，即若21x x ≤，则[][]21x x ≤4、[x+n]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈N. 证明：因为n+x=n+[x]+{x}及0≤{x}<1, 所以n+[x]≤n+x5、[x+y]≥[x]+[y],其中x,y ∈R ，且{x}+{y}≥{x+y} 证明：x+y=[x]+[y]+{x}+{y},0≤{x}<1,0≤{y}<1 x+y=[x+y]+ {x+y}即[x]+[y]+{x}+{y}=[x+y]+ {x+y} 因为{x}+{y}≥{x+y}所以[x+y]≥[x]+[y]说明：{x}+{y}≥{x+y}是显然成⽴的。
0≤{x}+{y}＜2 若{x}，{y}都⼩于1/2⼀般地，[]∑∑==≥ni i n i i x x 11 ，R x i ∈，[][]x n nx ≥特别地，??≥?b a n b na ，N n ∈ 6、[][][]y x xy ?≥，其中+∈R y x ,，⼀般地有[]+==∈≥∏∏R x x x i ni i n i i ,11特别地[][]x x nn ≤，+∈R x7、[]??=n x n x ，其中N n R x ∈∈, [][]x n nx =，??=???mn x n m x 证明：（1）因为[][]11+<≤<-x x x x 所以[][])1(+<≤x n nx x n ，由性质5，[][][])1(+<≤x n nx x n 所以[][][]1+<≤x nnx x因此[][]x n nx =??。
高中数学竞赛专题讲义-高斯函数
高斯函数(1)[知识点金]1. 有关概念对于任意实数x ,[]x 为不超过x 的最大整数,,[]y x =称为取整函数或叫高斯函数,并将{}[]y x x x ==-称为小数部分函数,表示x 的小数部分.2. 重要性质(1) []y x =的定义域是R ,值域为Z ;(2) 如果,x R n Z ∈∈,则有[][]n x n x +=+;(3) 对任意x R ∈,有[][][]1,1x x x x x x ≤<+-<≤;(4) 当x y ≤时,有[][]x y ≤,即[]y x =是不减函数;(5) 对于,x y R ∈,有[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++;(6) 如果,n N x R +∈∈,则[][]nx n x ≥;(7) 如果,n N x R +∈∈,则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 3. 常用方法(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法[例题精析]例1 求方程21310380x x +⎡⎤-⨯+=-⎣⎦的解的个数.例2 解方程 [][]83523x x -=.例3 求方程[]2lg lg 20x x --=的实数根的个数.例4 求函数15()1(0100)15x f x x x -⎡⎤⎡⎤=+<<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域.例5 求证:方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++= 无实数解.例6 (1) ,x R n N ++∈∈,且1至x 之间的整数中,有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个是n 的倍数. (2) 在!n 中,质数P 的最高方次数是23(!)n n n P n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ . (3) x 为实数,n 为正整数,求证: [][]121.n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦例7 若实数x 满足192091546100100100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,求[]100x 的值.例8 求100123101n n =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值.例9 求2000010010103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的个位数字.例10 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求集合2,12004,2005k n n k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭的元素个数.[同步检测1]1.求232007232007⎡⎡⎡++++++⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值. 2. 已知,x y 满足[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩,求x y +的取值范围. 3. 求方程[]2tan 2cos x x =的解集. 4. 解方程 []2440510x x -+=. 5. 求方程[]2870x x -+=的所有解. 6. 解方程[]33x x -=. 7. 求函数1122(),(0,90)1122x f x x x ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域. 8. 求实数933110103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的末两位数字.9. 对任意的n N +∈,计算和1022k k k n S ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑.10. 计算和式5020305503n n S =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑的值.11. 设M 为一正整数,问方程[]{}222x x x -=在[]1,M 中有多少个解?12. 对自然数n 及一切自然数x ,求证: [][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .13. 在区域{}(,),0,1x y x y x y >=中,求函数[][][][](,)1x yf x y x y x y +=⋅+++的值域,其中[]a 表示a 的整数部分.14. 设n 是给定的大于1的正整数,求证: 存在唯一的正整数2A n <,使得21n n A ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.高斯函数(2)前述部分重要性质的证明:性质5: []{}[]{}[][][]{}{},,x x x y y y x y x y x y ⎡⎤=-=-+=+++⎣⎦[][]0x y =++或1性质6: []{}[][]{}[]{}[],x x x nx n x n x n x n x n x ⎡⎤=+=+=+≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质7: []1x x x x x x x n x n n n x n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤<+⇒≤<+⇒≤<+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ [][]1x x x x x n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒≤<+⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 例11.从992到1992的整数中,有多少个数是7的倍数?如果79929931992k⋅⋅ ,求最大的正整数k .例12. 求1992!末尾的0 的个数.例13.在整数列22221231980,,,,1980198019801980⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 中,包含着多少个互不相等的整数?例14.求数列1,2,2,3,3,3,,,,,k k k k个的通项公式.[同步检测2]1.[][]x y =是1x y -<的 条件.A. 充分不必要 B 必要不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要2.在1000!的十进制展开中,末尾有 个零.3.方程[]292x x -=的实数解为 .4.求和++++ .5.求证:对于任意实数,x y 都有[][][][][]22x y x x y y +≥+++6.对于n 为大于2 的正整数,求证:(1)1424n n n n ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.7.求和[]102421log N N =∑。
高斯函数
数学奥赛辅导 第五讲 高斯函数知识、方法、技能这一讲介绍重要的数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数。
它是数学竞赛热点之一。
定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分。
与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且。
（3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][。
（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2。
图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+。
其中*∈∈N n R x ,。
（6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iini iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][。
（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,。
【证明】（1）—（7）略。
（8）令Z m m n x∈=,][，则1+≤≤m nxm ，因此，)1(+<≤m n x nm 。
由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]][[,1][m nx m n x m =+<≤故 证毕。
初等数论：不定方程与高斯函数[整理版]
![初等数论：不定方程与高斯函数[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/099e2717b42acfc789eb172ded630b1c59ee9b20.png)
初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。
其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。
定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
中括号 高斯函数
中括号高斯函数摘要：一、高斯函数的定义与性质1.高斯函数的定义2.高斯函数的性质二、高斯函数在数学和实际应用中的重要性1.在数学领域中的应用2.在实际应用领域中的应用三、高斯函数与其他函数的关系1.高斯函数与指数函数的关系2.高斯函数与三角函数的关系四、高斯函数的逆函数和复合函数1.高斯函数的逆函数2.高斯函数的复合函数五、高斯函数的数值计算方法1.数值积分方法2.数值微分方法正文：高斯函数，又称正态分布函数，是一种非常重要的数学函数，广泛应用于数学、物理、统计学等领域。
它具有一个对称的钟形曲线，以德国数学家高斯的名字命名。
一、高斯函数的定义与性质高斯函数的定义为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))。
其中，μ为均值，σ为标准差。
高斯函数具有以下性质：1.它在μ处取得最大值；2.随着x 远离μ，函数值逐渐减小；3.函数值始终大于等于0。
二、高斯函数在数学和实际应用中的重要性1.在数学领域，高斯函数是微积分、概率论、数论等许多数学分支中的重要概念。
它与指数函数、三角函数等基本初等函数有密切关系；2.在实际应用中，高斯函数常用于描述各种随机现象，如人的身高、考试成绩等。
它在概率论、统计学、信号处理、模式识别等方面都有广泛应用。
三、高斯函数与其他函数的关系1.高斯函数与指数函数：高斯函数可以看作是指数函数的平滑版本。
当σ趋近于0 时，高斯函数趋近于指数函数；2.高斯函数与三角函数：高斯函数与正弦、余弦函数无直接关系，但可以通过傅里叶变换等方法相互转换。
四、高斯函数的逆函数和复合函数1.高斯函数的逆函数：高斯函数没有解析解，但可以通过数值方法求解。
求解高斯函数的逆函数，即求解给定高斯函数值f(x) 的x 值；2.高斯函数的复合函数：对于两个高斯函数f_1(x) 和f_2(x)，它们的复合函数f_1(f_2(x)) 通常仍具有高斯分布。
五、高斯函数的数值计算方法1.数值积分方法：如高斯积分法、复合梯形公式等，用于求解高斯函数的积分；2.数值微分方法：如前向差分、后向差分等，用于求解高斯函数的导数。
高斯函数
高斯函数一、 定义对于任意R x ∈，[]x 是不超过x 的最大整数，称[]x 为x 的整数部分。
y=[]x 称为定义在实数集上的函数，即取整函数，又称为高斯函数。
由定义知，[]x x ≤，故[]0≥-x x ，称[]x x -为x 的小数部分，记作{}x 。
y={}x 称为x 的小数部分函数。
如[]23.2=，[]33.2-=-，[]025.0=；{}3.03,2=，{}7.03.2=-，{}25.025.0=，{}75.025.0=-。
二、性质1、[]x y =的定义域为R ，值域为Z ；{}x y =的定义域为R ，值域为[)1,0。
2、[][]11+<≤<-x x x x3、y=[x]是不减函数，即若21x x ≤，则[][]21x x ≤4、[x+n]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈N. 证明：因为n+x=n+[x]+{x}及0≤{x}<1, 所以n+[x]≤n+x<n+[x]+1 又因为n ∈Z,n+[x]∈Z, 由整数部分定义得[n+x]=n+[x].5、[x+y]≥[x]+[y],其中x,y ∈R ，且{x}+{y}≥{x+y} 证明：x+y=[x]+[y]+{x}+{y},0≤{x}<1,0≤{y}<1 x+y=[x+y]+ {x+y}即[x]+[y]+{x}+{y}=[x+y]+ {x+y} 因为{x}+{y}≥{x+y}所以[x+y]≥[x]+[y]说明：{x}+{y}≥{x+y}是显然成立的。
0≤{x}+{y}＜2 若{x}，{y}都小于1/2一般地，[]∑∑==≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i n i i x x 11 ，R x i ∈，[][]x n nx ≥特别地，⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a n b na ，N n ∈ 6、[][][]y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,，一般地有[]+==∈≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡∏∏R x x x i ni i n i i ,11特别地[][]x x nn ≤，+∈R x7、[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ，其中N n R x ∈∈, [][]x n nx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡mn x n m x 证明：（1）因为[][]11+<≤<-x x x x 所以[][])1(+<≤x n nx x n ，由性质5，[][][])1(+<≤x n nx x n 所以[][][]1+<≤x nnx x因此[][]x n nx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡。
高斯函数教学
x Z, x Z, x Z, x Z;
探索： [ x-y]与[ x]-[ y]之间的关系
(1)证：∵[ x] ≤ x ≤ y < [ y] ＋1 , ∴ [ x] ≤ [ y].
( 4 ) [x] + [y] ≤ [x+y] ≤[x] + [y] ＋1,其中等号有 且仅有一个成立 ; 0≤{x + y}≤{x}+{y }.
3
证明思路1: 凑整： 等式左边可以分成两部分：一是 x 的整数部分相 加．二是由 x 的小数部分加上 i / n ( i =1, 2, …, n－ 1), 然后取整得到的．再与右边比较。
证明思路2：函数思想 ( 构造函数 f(x) 为等式右侧减
左侧的差。 )
证明过程
当x是任意正实数时, 即厄米特恒等式成立. 证毕.
证：若p>n，则p | n!，即在 n! 的标准分解式中p的
指数是零，此时(1)显然成立．现设 p≤n， 可知数
列1, 2, …, n 中，p 的倍数共有[ 2p，…，[ ] p．它们的积是 ]个：p，
注意 在定理中如果 p 不是质数，则结论不成立．比 如 n = 15 ， p = 4 时.
例 数100! 末尾连续地有多少位全是零?
{x y} x y [ x y] x y x y {x} {y}
而0≤{x + y}是显然的.
定义 !
证毕．
性质 4 可推广到多个数相加的情况，
上述第一种等号,第二种小于号 !
若x ∈R＋, n ∈Z＋,则从1到 x x 所有整数中, n 的倍数有 [ ]个 n
1.在上述数列中有一个数等于给定的正整数n;
高斯求和讲解
第 3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。
1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。
于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。
小高斯使用的种求和方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和。
若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。
后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。
其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。
例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？分析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。
由等差数列求和公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？分析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。
原式=（11+31）× 21÷2=441。
在利用等差数列求和公式，有数并不是一目了然的，就需要先求出数。
根据首、末、公差的关系，可以得到数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。
高斯函数：[x]与{x}
![高斯函数：[x]与{x}](https://img.taocdn.com/s3/m/31869704763231126edb1151.png)
数论专题：[x ]与{x }一、[x ]与{x }的定义：[x ]：表示不大于x 的最大整数，又称高斯取整函数。
如[3.14]=3, [6]=6, [0]=0； {x}：表示x 的小数部分。
0≤{x}<1,x =[x]+{x}。
{0}=0，{3.14}=0.14；二、性质：1、[x ]≤x <[x ]+1，x -1< [x ]≤x ；2、[n +x ]=n +[x ]，[x ]+[y ]≤[x +y ]，{x }+{y }≥{x +y }；3、[x ]=[y ]则|x -y |<1；三、例题：例1：计算[6.45]=_____，[10]=_____，{8}=_____，{6.32}=______；例2：北京市现在出租车的定价是：3公里以内（包括3公里）的是10元，以后每1公里2元，不足1公里的按1公里计算。
如果一个人乘车的费用是20元，那么他行驶的路程的范围是_____公里；（不考虑等待时间）例3：1⨯2⨯3⨯⋯⨯100计算结果的末尾有______个“0”；例4：求使10110210007k⨯⨯⨯为整数时，k 的最大值是______；例5：如果规定[]x 是不大于x 的最大整数，那么在1232007200820082007200621⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，，，中，共有______个值是1；例6：计算23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=_______；例7：解方程： （1）[]1.910x ＝（2）[]1625x x －＝ （3）[]13x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝ （4）[]2{}x x x +＝3例8：解不等式[]x x x {}<－1例9：证明n 整数，[]121[]n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++++＝数论专题：[x]与{x}测试1.[]1.919x ＝2.316123x x +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝3. 在数列22221231991[][][][]1991199119911991，，，，中有_____个不同的数； 4. []2x x x ＝+2{}5. 一个非零数A 的整数部分减去小数部分后结果是B ，如果A ＝2007×B ，那么A 是______；6. []1220073.14 3.14 3.14 3.14200820082008⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++++=_______；。
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高斯函数[x]的性质及应用定义：用[x]表示不超过x 的最大整数，函数y=[x]称为高斯函数．例如,5]5[=.2]2[-=-用{x}表示x- [x]称为x 的小数部分．例如,22}2{,0}5{-=-=等。
显然，.1}{0}.{][<≤+=x x x x1．函数y =[x]及y={x}的性质.0]}{[,0}][{],[]][[===x x x x ① .1][][1+<≤<-x x x x ②③若,y x <则].[][y x ≤即函数][x 是不减的，④若,0>b 由),0,(,b r z q r bq a ≤≤∈+=得⋅=q ba][⑤若,Z n ∈则,][][n x n x +=+}.{}{x n x =+ }.{}{}{],[][][y x y x y x y x +≥++≤+⑥⑦若,0,0≥≥y x 则].[][][y x xy ⋅≥⑧若,}{β=x 则⋅<≤∈=)10,(},{}{ββZ n n nx2．函数][x y =和}{x y =的图象：][x y = }{x y =由图象可以看出，函数y=[x]的图象是个阶梯形的图象， 而y={x}则是一个周期为1的周期函数．在解与[x]有关的题目时，通常可以利用[x]性质把问题转化为不等式求解，因此限定x 的范围，使问题得解，（1）与 [x] 有关的计算 例1 求和式]10123[1001nn ∑=的值例2. （1993年亚太地区竞赛题）求函数[]]4[]3[]35[]2[)(x x x x x x f ++++=在0≤x≤100上所取的不同的整数值的个数．例3. （1993年全国高中联赛）试求正整数]31010[3193+的末两位数字．例4. 设,N n k ∈、,41212+++=k k α求n α的整数部分][n α除以k 所得的余数．（2）运用 [x ] 的性质证明含[f (n )]的恒等式和不等式 例5. 对于任意),1(>∈n N n 试证明：][log ][log ][log ][][][323n n n n n n n n +++=+++例6. 若),7()1(,][+⋅⋅+=∈n n n x N x n 求证：.67][24++=n n x例7. ,N n ∈求证：①].[][2]2[1][nx nnx x x ≤+++例8. 设有n 个小于1 000的正整数：⋅n a a a 、、21其中任意两个数j i a a 、的最小公倍数,1000],[≥j i a a 求证：①⋅<∑=2311i ni a（3）运用 [x ] 的性质解含[α]的恒等式和不等式 例9. 解方程02][lg lg 2=--x x例10.（1989年第二十三届全苏竞赛题）当n 是怎样的最小自然数时，方程1989]10[=x n有整数解？例11. （第三届美国邀请赛题）前1000个正整数中可以表示成]8[]6[]4[]2[x x x x +++ 的正整数有多少个？例12. ,N n ∈求证：].[][])[1(][][ny nx y x n y x +≤+-++（4）运用 [x ] 的性质解含[α]的杂题 例13. 设集合},,23|{2N n n n a a A n n ∈-==}.],213[)(|)({N n n n n f n f B ∈++==求证：.,N B A B A =∅=例14. 设,=x求[x]的末三位数．+5(1000)62例15. 令],2[n a n 求证：在数列}{n a 中有无穷多个项是2的整数次方幂，例16. （1992年四川高中竞赛题）设正实数a >1，自然数n ≥2.且方程[ax ]=x 恒有n 个不同的解．求a 的取值范围．练习题1．用<x> 表示不小于x 的最小整数，则方程024][82=++><x x 的解为( )A. -5 <x< -4 B ． 一6<x< -5 C.x< -5 D. -5≤x≤-42．方程8082]310[3]310[31212-=+⨯-+⨯-++x x x x 的整数解的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 33．=++++]32[]32[]32[]31[10002 。
4．=++]134[2n n （n 为正整数）． 答：2n.5．=∑=]503305[5020nn6．求证：对任意实数x ，y 都有].[][][]2[]2[y x y x y x +++≥+7．解方程：.01][42=+-x x8．解方程：}.{][2x x x ⋅=9. ,10013121+++=S 求][S10．解方程：⋅=-3][3x x11．求正整数]31010[10020000+的个位数字．12. ,N n ∈定义},|min{)(N k knk n f ∈+=求证：].14[)]([+=n n f13. 求证：]1000[]1000[]1000[10003+++ ①].1000[log ]1000[log ]1000[log 100032+++=14. ,N n ∈ 求证：⋅=++]5[]52565[2nn n n15．求正整数])2129[(100+的末二位数．16．求证：存在,1),(,=∈n m N n m 、且,999≤n 使得⋅<-10001|3|n m17.证明：存在有理数,dc其中,100<d 使得]10073.[][k d c k =⋅对于9921、、 =k 均成立，实战练习题1. (2008．天津)设[x]表示不超过x 的最大整数，则]20092008[20081kk ∑=的值是 .2. (2008．湖北) 设[x]表示不超过x 的最大整数，则+]1[log 2=+++]500[log ]3[log ]2[log 222 .3. (2008．山东) 对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列}{n a 满足：,11=a ),1(21n n n a a s +=其中n S 为数列}{n a 的前n 项和，则]111[10021S S S +++ 等于( )．A 17 8 18 C. 19 D. 204. (2008．湖南) 某学校数学课外活动小组，在坐标纸上模拟设计沙漠植树方案如下：第k 棵树种植在点),(k k k y x P 处，其中,1,111==y x 当n≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅---+=-+--+=--]52[]51[],52[5]51[5111k k y k k k x x k k k γ 其中[a]表示实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.6]=0．按此方案，第2 008棵树种植点的坐标为 ．5. （1989年中国科大少年班入学试题）通项为d c n b a n ++=][的数列，逐项算得各项为l ，3，3，3，5，5，5，5，5，7，…，该数列由全体正奇数m 依次连续出现m 次组成，其中b ，c ，d 为待定的整数，那么b+c+d 的值是几？[解析] 显然,1,1≥-≥b c 以n=l ，2，5代入得,1]1[1=++=d c b a ,3]2[2=++=d c b a.5]5[5=++=d c b a又.11++<++<+c n c n c n],1[]1[][++≤++≤+∴c n c n c n故知0][]1[=+-++c n c n 或1．（当n+c+l 不是完全平方数时取“0”．当n+c+l 是完全平方数时取“1”)．.2])1[]2([12=+-+=-∴c c b a a.2=∴b.1]1[]2[=+-+c c2+∴c 是完全平方数，令22m c =+（m 为非负整数）由c≥-1知m≥1． 又由.225=-a a 知.1]3[3+=+m m 于是.133+≥+m m解得：m≤1．于是m=l ，c=-1． 再由ai =1，得d=1..1]1[2+-=∴n a n 下面证明这个式子正确．当k k n (2=为正整数）时，.121)1(2+=+-=k k a n而当n 取12,,2,1222++++k k k k 这2k +1个值时，都可由①得.12+=k a n 这说明由①求得的数列可依次由第m 个奇数连续出现m 次组成． 即由①给出的数列满足题意：．．．b+c+d=2．6. （2008．澳大利亚） 数列}n |][][{3+∈++=N n n n a n 不包含哪些正整数？7．（1994年美国邀请赛题）求使1994][log ]3[log ]2[log ]1[log 2222=++++n 成立的正整数n .8. （2008．克罗地亚）求]1[]2[]1[2-+++=n S n 的关于n 的简化代数表达式.9. (2008．安徽)设),2]([,111≥=≥-n na a a n n 其中[x]表示不超过x 的最大整数．证明：无论a n 取何正整数时，不在数列{a n }中的素数只有有限多个．10. (2004．瑞典)求所有的实数x ，满足方程],[][2]2[22x x x x =+-其中[a]表示不超过a 的最大整数．11. (2005．罗马尼亚) 已知方程).1,0(,}}{{∈=ααx x(1)证明：当且仅当q p q p Z q p m ,,0,,,<<∈互质，q m q p +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2α时，方程有有理数解； (2)当220052004=α时，求方程的一个解．12. (2005．斯洛文尼亚) 求所有正数x ，使得.2005][5.0}{20=+x x13. (2006．波斯尼亚、黑塞哥维纳) 证明：对于每个正整数n ，有>}7{n ,1473n其中{x}表示x 的小数部分．14. (2007．地中海地区) 设x 为大于1的非整数，证明：⋅>+-+++-+29)][}{}{][()}{][][}{(x x x x x x x x x x x x 其中[x]与{x}分别表示x 的整数部分和小数部分．15. (2007．泰国) 求出所有满足等式]53[]32[]3[xx x x +=+的正实数解，其中[x]表示不超过实数x 的最大整数．16. (2007．奥地利) 求所有的五元正整数组),,,,(54321x x x x x 满足,54321x x x x x >>>>且使得254243232221]3[]3[]3[]3[x x x x x x x x +⋅++++++=38成立，其中[x]表示不超过x 的最大整数．17. (2008．澳大利亚) 对任意的实数x 满足{x}=x-[x]，其中[x]表示不超过实数x 的最大整数，求下面方程组的全部实数解(a ，b ，c)：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.0.4){][}{,3.5}{][}{,9.2}{][}{b a c a c b c b a,2,≥∈n N n 求证：]))1([]2[]([1111k k k k k k k n n n x n n x n n x ---∞=-++++++∑ ⎩⎨⎧<+≥=.0,1][,0],[x x x x。