第十四章 虚位移原理
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虚位移原理(精)
x y l
2 2
2
方程只与位置r 有关，是几何约束方程。
例 图13-2中，一个半径为r的车轮受到粗糙水 平直线道路的约束，它限制轮心必须作直线运 动，车轮则沿道路纯滚动，它们的约束方程为
yO＝r
vO—r＝0
dxO d r 0 dt dt
方程中包含了轮心的速度O和 车轮的角速度，或轮心坐标 xO和车轮转角对时间t的一阶 导数，因此这是运动约束方程。
k＝6N–s
如果质点系属于平面问题，例如在Oxy平面内， zi≡0，x＝y≡0，则为
k＝3N–s
例：自由刚体系：OA、AB；
自由度 ＝ 3×2 ＝ 6
约束方程： xO 0, yO 0,
x A x A , y A y A , yB 0
约束数 ＝ 5
质点系自由度 ＝ 6 — 5 ＝ 1
k＝3n–s
如果质点系属于平面问题，例如，在Oxy平面内，
zi≡0，则为
k＝2n–s
例：曲柄连杆机构：
自由质点系：A、B；
自由度 ＝ 2×2 ＝ 4
约束方程：
2 2 xA yA r 2 , yB 0
( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 l 2
约束数 ＝ 3
约束方程：用解析表达式表示的限制条件称为。
在静力学中，考虑的是：如何将约束 对物体的限制作用以约束力的形式表 现出来。 在虚位移原理中考虑的是：如何将约 束对物体的位置、形状以及运动的限 制作用，用解析表达式的形式表现出 来。
约束的分类
几何约束和运动约束
定常约束和非定常约束 完整约束和非完整约束 双面约束和单面约束
几何约束和运动约束
几何约束：约束只限制质点或质点系在空间 的位置。 运动约束：如果约束对于质点或质点系不仅有 位移方面的限制，还有速度或角速 度方面的限制，这种约束称为运动 约束。
第十四章虚位移原理.ppt
非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
第十四章 虚位移原理
xi δxi xi q1 δq1 ,q2 δq2 , ......,qk δqk
利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，
则有：
xi δxi
xq1 ,q2 ,.....,
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
xi
δxi
xq1 ,q2 ,.....,
约束与约束方程,自由度与广义坐标
1 约束
在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为 约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。
现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义 的定义：
如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的 限制，这种限制条件称为约束。
y 例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动
由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系 统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条 件去解决非自由质点系的平衡问题。
本章介绍虚位移原理，又称为分析静力学。 虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任 一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题 的最一般的原理。 刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚 体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。 由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且 相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复 杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质 点所可能发生的位移等。
2 A
yA
2
xB xA
l12 2 yB
yA
2
l22
o
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
约束为完整约束，所以在
理论力学第十四章 虚位移原理
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
三 虚功 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。
δW=Fδr 四、理想约束：
约束反力虚功之和为零的约束。
ΣδWN = ΣNδr = 0
那些约束为理想约束？ 回到动能定理里理想约束部分
1、光滑面 N δr
3、固定支座 Y X
Nδr = 0
δr = 0
2、可动支座 N
δr
因为： δrB = δxB = tanϕ δrA δyA
将虚位移间的关系代入虚 功方程，求解可得：
所以，同样可以得到：δrB = δrA ⋅ tanϕ
y A
FA = δrB = tanϕ FB δrA
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
切
δr1
平
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
质点：δr 质点系:(δr1 ,δr2 ,…,δrn )
说明: 1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同). 2.为约束所允许的(不能破坏约束). 3.无限小位移(不是有限位移).
4.任何无限小位移(不只一个;对质点 系来说不只一组).
M（x,y,z)
切
δr1
平
由AB的速度瞬心P可知：
y
vB = PB = tanϕ
vA PA
A
P
于是：δrB = δrA ⋅ tanϕ
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
方法二：坐标变分法
yA = lsinϕ xB = lcosϕ
第十四章-虚位移原理讲义
第十四章-虚位移原理讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第十四章虚位移原理一、回顾：液压升降台如图所示，求油压举升缸筒的拉力。
本题目是物体系平衡问题。
图（a）1.取缸筒为研究对象∑M G(F)=0 求出F E2.取CG、DE+缸筒为研究对象∑M C(F)=0 求出F Dy（b）（c）23.取整体为研究对象∑M A(F)=0 求出F B4.取杆BD为研究对象∑M K(F)=0 求出F Dx（d）（e）5.取杆DE为研究对象∑M O(F)=0 求出F JH由上分析可知：（1）用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次研究对象，列5个方程，求解过程较为复杂。
（2）运算过程中出现了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消除这些约束反力，才能得到要求的量。
问题有无别的方法求解物体系统的平衡问题而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。
二、求解物体系统的平衡问题的两种方法⑴用静力平衡方程求解----刚体静力学（几何静力学）⑵用虚位移原理求解----分析静力学3虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
对于只有理想约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为方便。
三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点：⑴结构特点-----结构为几何可变体系⑵待求量特点-----数目较少⑶研究对象的选取-----取整体即可求解四、基本概念几何可变体系-----约束允许系统动几何不变体系-----约束不允许系统动举例：图图如图所示，约束允许结构动，受力后可以不动，该结构为几何可变体系。
如图所示，约束不允许结构动，受力后仍然不动，该结构为几何不变体系。
对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。
约束·虚位移·虚功一、约束及其分类4（1）概念约束——限制质点或质点系运动的条件。
14虚位移原理
F iδri 0
即 或记为
δW
Fi
0 ——虚功方程
虚位移原理（或虚功原理）
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功 的和等于零。
解析式为
F δ x F δ y F δ z 0
xi i yi i zi i
yG 3l sin
FBx
xB
δ xB 2lsin δ δ yG 3lcos δ
代入虚功方程
FBx 2l sin δ F 3l cos δ 0
x
3 FBx F cot 2
坐标法
如图在CG 间加弹簧，刚度k，且已有伸长量 0 ，仍求 FBx 在弹簧处也代之以力，如图
例14-1 解：以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 作受力图。
δ W
F
0
F
δ
FN δ s 2Flδ 0
δ δs 虚位移关系 2 h
FN h 2 Fl δ 0 2 FN h 2 Fl 0 消掉虚位移 2 4 l 几何法 FN F h
例14-3
(2) 坐标法
δW
F
0，
FB xB FA y A 0
有 xB l cos , y A l sin
δ xB lsin δ
得 FA FB tan
δ y A lcos δ
例14-3 (3) 虚速度法 rA rB 为虚速度 定义： vA , vB dt dt 代入 Fi δri 0 中，得
约束方程（只滚不滑）
vA r 0
或
A r 0 x
即 或记为
δW
Fi
0 ——虚功方程
虚位移原理（或虚功原理）
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功 的和等于零。
解析式为
F δ x F δ y F δ z 0
xi i yi i zi i
yG 3l sin
FBx
xB
δ xB 2lsin δ δ yG 3lcos δ
代入虚功方程
FBx 2l sin δ F 3l cos δ 0
x
3 FBx F cot 2
坐标法
如图在CG 间加弹簧，刚度k，且已有伸长量 0 ，仍求 FBx 在弹簧处也代之以力，如图
例14-1 解：以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 作受力图。
δ W
F
0
F
δ
FN δ s 2Flδ 0
δ δs 虚位移关系 2 h
FN h 2 Fl δ 0 2 FN h 2 Fl 0 消掉虚位移 2 4 l 几何法 FN F h
例14-3
(2) 坐标法
δW
F
0，
FB xB FA y A 0
有 xB l cos , y A l sin
δ xB lsin δ
得 FA FB tan
δ y A lcos δ
例14-3 (3) 虚速度法 rA rB 为虚速度 定义： vA , vB dt dt 代入 Fi δri 0 中，得
约束方程（只滚不滑）
vA r 0
或
A r 0 x
虚位移原理
第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。
这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。
1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标14.1.1约束质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。
按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。
例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。
理论力学第14章
双侧约束
单侧约束
单侧约束
双侧约束
定常约束
非定常约束
2.虚位移 在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的 任何无限小的位移称为虚位移。与约束条件有关。
虚位移用变分符号 δ表示
虚位移: δ r , δx, δ
实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、 时间、主动力以及运动的初始条件有关 .
δ xC
hδ sin2
Fh
M sin 2
例14-5
求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力.
解：解除A处约束，代之 FA ，给虚位移，如图
列虚功方程：
δWF FAδsA F1δs1Mδ F2δs2 0
δ δsA ,
8
δs1
3δ
3 8
δsA,
δsM
11δ
11 8 δsA
δs2
4 7
δ
sM
约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约 束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为 完整约束.
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时
xA r 0 微分形式
积分 xA r C
完整约束
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）. 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单 侧约束）
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束.
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
例14-3
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑
块A ,B与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示
位置平衡.
求：主动力 F与A F之B 间的关系。
解: (1)几何法 给虚位移 δrA , δrB ,
由虚功方程 Fi δ,r有i ：0
第14章虚位移原理-BW (1)
21
理论力学
虚位移原理
2.各点虚位移之间的关系 质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这 些关系通常有两种方法： ①几何法。本章研究的是定常约束，在定常约束下微小实 位移是虚位移中的一个。由运动学知，质点的位移与速度 成正比，因此可以用运动学中分析速度的 方法分析各点虚位移之间的关系。
25
理论力学 2、解析法 (OC=BC= a， OA=l ) 取为广义坐标，将点的坐 标表示成的函数，得
虚位移原理
xC a cos , yC a sin x A l cos , y A l sin x B 2a cos , y B 0
对 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影： δ x C a sin δ , δ y C a cos δ
qk广义坐标分别有变分各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为kqqq21?ir?kkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????21ni???25理论力学虚位移原理例141分析图示机构在图示位置时点ca与b的虚位移
δ x A l sin δ , δ y A l cos δ δ x B 2 a sin δ , δ y B 0
（定常约束条件下，变分运算同微分运算） 注意：解析法要用固定坐标！
26
理论力学 四、理想约束
虚位移原理 ：
力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为δW
17
理论力学
理论力学
虚位移原理
2.各点虚位移之间的关系 质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这 些关系通常有两种方法： ①几何法。本章研究的是定常约束，在定常约束下微小实 位移是虚位移中的一个。由运动学知，质点的位移与速度 成正比，因此可以用运动学中分析速度的 方法分析各点虚位移之间的关系。
25
理论力学 2、解析法 (OC=BC= a， OA=l ) 取为广义坐标，将点的坐 标表示成的函数，得
虚位移原理
xC a cos , yC a sin x A l cos , y A l sin x B 2a cos , y B 0
对 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影： δ x C a sin δ , δ y C a cos δ
qk广义坐标分别有变分各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为kqqq21?ir?kkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????21ni???25理论力学虚位移原理例141分析图示机构在图示位置时点ca与b的虚位移
δ x A l sin δ , δ y A l cos δ δ x B 2 a sin δ , δ y B 0
（定常约束条件下，变分运算同微分运算） 注意：解析法要用固定坐标！
26
理论力学 四、理想约束
虚位移原理 ：
力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为δW
17
理论力学
理论力学课件 虚位移原理
N
设AB杆与BC杆在B点用光滑
铰链连接.由N = -N 得
A
C Nr + Nr = Nr - Nr = 0
24
(3)连接两质点的无重刚杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重,均为二力杆. 设质点
M1和M2的虚位移分别为 r1
M2
与r2 则有:
r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2
n
Fi ri 0
i 1
n
或：
Fxixi Fyiyi 0
i 1
27
五、虚位移原理的应用 1.求解复杂系统(运动机构)的平衡条件.
1)画虚位移图.
2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系.
3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解平衡条件.
28
例题5. 套筒分别置于光 滑水平面上互相垂直的 滑道中,受力分别为P和 Q如图所示.长为 l 的连 杆和水平方向夹角为 , 摩擦均不计.求系统的平 衡条件.
以Ni表示质点系中质点Mi的约束力的合 力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想 约束条件可表示为
n
Ni·ri = 0
i 1
23
(1)光滑接触面
光滑接触面的约束反力恒垂直
N
于接触面的切面 , 而被约束质点的
r
虚位移总是沿着切面的 , 即N r
Nr = 0
r B N (2)连接两刚体的光滑铰链
l
A(x,y) x 图1-3
6
O
y 左图中摆锤A的约束方程为
l
(细绳)
x2 + y2 l 2
A(x,y) x
图1-4
14)虚位移原理
（2）解析法
先将质点系中各点的坐标写成某个可变量的函数 形式（广义坐标函数），再对函数进行变分运算
第十四章 虚位移原理
例题14-1 分别用几何法和解析法确定A，B两点虚位移
的关系
y
A
l
O
l
B
x
第十四章 虚位移原理
3、虚功
力在虚位移中作的功称为虚功，记作δW
W F r
解析式： W Fx x Fy y Fz z
4m
F3
N
4mCΒιβλιοθήκη 8mD8m7m
11m
第十四章 虚位移原理
习题14-1 图示机构中，AB杆与CD杆通过铰链D相连， 已知CD=BD=AD=l ，力F作用于点A且方向垂直于 AB杆，求支座C的水平约束力
A D
B
F
C
第十三章 达朗贝尔
（2）定常约束和非定常约束 非定常约束 约束条件随时间变化的约束 定常约束 约束条件不随时间改变的约束
x
v
l0
双侧约束 限制拉伸压缩双向位移 单侧约束 不限制缩短方向位移
( x, y )
y
x y l0 vt
2 2
2
第十四章 虚位移原理
2、虚位移
实位移 质点在微小时间间隔内实际发生的位移 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下， 可能实现的任何无限小的位移
第十四章 虚位移原理
Fi ri 0
虚位移原理
虚功方程
具有理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条
件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中 所作的虚功之和等于零
W
解析式
Fi
第14章 虚位移原理
实例
C
y r C M M o
ω vC
x
xC P
于是，轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
瞬心
yC = r vC－rω=0
yC = r
或
dxC d r 0 dt dt
运动约束方程
⒉定常约束和非定常约束 定常约束 ------约束方程中不显含时间 t的约束 。 f (x , y , z ) = 0 如 稳定约束 非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。 不稳定约束
如
f (x , y , z ，t )=0
o x
前面所列的单摆、曲柄连杆机构 及车轮的约束均为定常约束； 而对于变摆长的单摆则为非定常约束。
v
l
其中摆锤M可简化为质点，软 y M 线是摆锤的约束，初始长度为l0， 穿过固定的小圆环，以不变的 在任意瞬时t，其约束方程为 速度v向左下方拉拽。 2 2 2
xA2 y A2 r 2
x2 y 2 l 2
yB 0
( xA xB )2 ( y A yB )2 l 2
运动约束 ---当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束。
即：这种约束对质点或质点系不仅 有位移方面的限制，而且有速度或 角速度方面的限制。 如车轮在直线轨道上作纯滚动， 轨道限制轮心作直线运动， 且滚过的弧长等于轮心走过 的距离。
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。
约束方程
用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。
如
f ( x, y, z, x, y, z, t ) 0
约束的分类
⒈几何约束和运动约束 几何约束 ---只限制质点或质点系在空间的位 置， 这种约束称为几何约束。
第14章 虚位移原理
MA δφ
2m 1m 2m 1m
●
M A P 1 2 P 2 P 3 3 M 0
δyA
1 1 FAy y A P1 y A P2 y A M y A P3 y A 0 3 3
FAy
M A 7kNm
FAy 4kNm
P1
可得系统平衡位形： 2F 1 arctan( ) m1 g 2m2 g
2F 2 arctan( ) m2 g
3n s
k 1
zi
3n s
• 虚功方程
3n s 3n s xi yi zi W ( Fix qk Fiy qk Fiz qk ) i 1 k 1 qk k 1 qk k 1 qk n 3n s
n n xi yi zi [ Fix Fiy Fiz ] qk 0 qk qk qk k 1 i 1 i 1 i 1 3n s n n n xi yi zi Qk Fix Fiy Fiz 0 qk qk qk i 1 i 1 i 1 n
3n s
虚功方程为：
Q
k 1
பைடு நூலகம்
k
qk 0
Qk为广义力
因为每一个广义坐标的变分是独立的，所以虚功方程等 价于k 个广义力分别等于零。
Qk 0
k 1 ~ 3n s
• 广义力的计算 （1）、直接根据公式计算
n n xi yi zi Qk Fix Fiy Fiz qk qk qk i 1 i 1 i 1 n
代入求解得： D A δφ1 E P δrE P δr F G S1 1 S1H δrH δrG F
第十四章—虚位移原理
yB (a b) sin
xD a cos xE (a 2b) cos
yB (a b) cos xD a sin xE (a 2b) sin
主动力在坐标方向上的投影为
y
B
YB W X D F X E F
WN Ni ri 0
常见的理想约束有：
支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光 滑铰链、连接两个质点的无重杠杆、连接两个质点 不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。
具有双面、定常、理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的充要条件是：所有作用 于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位 移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式 为
三、双面约束与单面约束
任何瞬时都存在的约束，即质点不可能脱离的约束，称 为固执约束，也称为双面约束。 若约束有可能消失和“松弛”，即质点有可能脱离约束， 则称为非固执约束，也称为单边约束。其约束方程的一般形 式为
fr ( x1 , y1 , z1 , , xn , yn , zn ) 0
四、完整约束与非完整约束
第十四章 虚位移原理
• • 系统的约束及其分类 虚位移及其计算
引
言
虚位移原理，是用分析的方法来研究任意 质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力 学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质 点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决 质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移 原理和达朗贝尔原理相结合，可以导出动力学 普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点 系动力学问题的又一个普遍的方法。
即
P A rA
x
r B
O
( P)l cos (Q)(2l sin ) 0
xD a cos xE (a 2b) cos
yB (a b) cos xD a sin xE (a 2b) sin
主动力在坐标方向上的投影为
y
B
YB W X D F X E F
WN Ni ri 0
常见的理想约束有：
支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光 滑铰链、连接两个质点的无重杠杆、连接两个质点 不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。
具有双面、定常、理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的充要条件是：所有作用 于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位 移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式 为
三、双面约束与单面约束
任何瞬时都存在的约束，即质点不可能脱离的约束，称 为固执约束，也称为双面约束。 若约束有可能消失和“松弛”，即质点有可能脱离约束， 则称为非固执约束，也称为单边约束。其约束方程的一般形 式为
fr ( x1 , y1 , z1 , , xn , yn , zn ) 0
四、完整约束与非完整约束
第十四章 虚位移原理
• • 系统的约束及其分类 虚位移及其计算
引
言
虚位移原理，是用分析的方法来研究任意 质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力 学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质 点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决 质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移 原理和达朗贝尔原理相结合，可以导出动力学 普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点 系动力学问题的又一个普遍的方法。
即
P A rA
x
r B
O
( P)l cos (Q)(2l sin ) 0
第十四章 虚位移原理
C
M FvC 0
B点虚速度关系：
va ve vr
h ve OB sin ve h va vC 2 sin sin Fh M 2 sin
B v r M O
h
PAG 24
Northeastern University
⑶ 列虚功方程
y
F
G E C
D
FyG FBxxB 0
F (3l cos )
B
FBx (2l sin ) ) 0 A
3 FBx F cot θ 2
FBx
x
（二）CG间弹簧的刚度系数为k,图示位置弹簧已伸长δ0,求 FBx
PAG 21
Northeastern University
解：⑴ 取系统为研究对象,受力分析 约束为理想约束 ⑵ 给一组虚位移 B点虚位移关系?
A B
h
rC
C
F
M
O
M F rC 0
PAG 23
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
va
ve
M F rC 0
A
vC
F
WN FNi ri 0
PAG 12
Northeastern University
§14-1
约束 ·虚位移 ·虚功
2、光滑铰链 F
1、光滑支承面 P r FN WN FN r 0
r '
' WN F r F r 0
F
3、无重刚杆
M FvC 0
B点虚速度关系：
va ve vr
h ve OB sin ve h va vC 2 sin sin Fh M 2 sin
B v r M O
h
PAG 24
Northeastern University
⑶ 列虚功方程
y
F
G E C
D
FyG FBxxB 0
F (3l cos )
B
FBx (2l sin ) ) 0 A
3 FBx F cot θ 2
FBx
x
（二）CG间弹簧的刚度系数为k,图示位置弹簧已伸长δ0,求 FBx
PAG 21
Northeastern University
解：⑴ 取系统为研究对象,受力分析 约束为理想约束 ⑵ 给一组虚位移 B点虚位移关系?
A B
h
rC
C
F
M
O
M F rC 0
PAG 23
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
va
ve
M F rC 0
A
vC
F
WN FNi ri 0
PAG 12
Northeastern University
§14-1
约束 ·虚位移 ·虚功
2、光滑铰链 F
1、光滑支承面 P r FN WN FN r 0
r '
' WN F r F r 0
F
3、无重刚杆
14.虚位移原理
建立坐标系如图:
O l
αA l
β
B
x
3. 混合法:
y xA lcos xA l sin yA l sin yA l cos xB l(cos cos )
P xB l sin l sin yB l(sin sin ) yB l cos l cos
例三. 曲柄滑块机构如图. 试用φ 角的变分表示B、C 点的虚位移.
i1
i1
对于理想约束:
n
F Ni ri 0
i1
n
F i ri 0
i1
( 充分性从略 )
◆:两种常 用的形式:
(1)矢量式
F i
ri
0
(几何法用)
(2) 直角坐标式 ( Fix xi Fiy yi Fiz zi ) 0 (解析法用)
例一. 图示螺旋压榨机. 其手柄上作用一水平面内的力偶, 其矩为2Fl . 设螺杆的螺距为h, 求平衡时作用于被压榨物体上的力. 解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向
FDx
M b
3Fa b
FDx
M
D xD
将D 处的固定铰支座代之以
yC yB
活动铰支座及铅垂力FDY.
a
a
a
F 给D 处以铅垂虚位移yD, 相
应各处的虚位移如图示
A
C
B
DC 杆呈‘ 瞬时平动’.
b yD
M
D
FDy
yD yC
yB
3 2
yC
由虚位移原理:
FDy yD F yB 0
3 FDy yD F 2 yC 0
re rB sin2
OB
h
由虚位移原理: Msin2 h
F
O l
αA l
β
B
x
3. 混合法:
y xA lcos xA l sin yA l sin yA l cos xB l(cos cos )
P xB l sin l sin yB l(sin sin ) yB l cos l cos
例三. 曲柄滑块机构如图. 试用φ 角的变分表示B、C 点的虚位移.
i1
i1
对于理想约束:
n
F Ni ri 0
i1
n
F i ri 0
i1
( 充分性从略 )
◆:两种常 用的形式:
(1)矢量式
F i
ri
0
(几何法用)
(2) 直角坐标式 ( Fix xi Fiy yi Fiz zi ) 0 (解析法用)
例一. 图示螺旋压榨机. 其手柄上作用一水平面内的力偶, 其矩为2Fl . 设螺杆的螺距为h, 求平衡时作用于被压榨物体上的力. 解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向
FDx
M b
3Fa b
FDx
M
D xD
将D 处的固定铰支座代之以
yC yB
活动铰支座及铅垂力FDY.
a
a
a
F 给D 处以铅垂虚位移yD, 相
应各处的虚位移如图示
A
C
B
DC 杆呈‘ 瞬时平动’.
b yD
M
D
FDy
yD yC
yB
3 2
yC
由虚位移原理:
FDy yD F yB 0
3 FDy yD F 2 yC 0
re rB sin2
OB
h
由虚位移原理: Msin2 h
F
理论力学 第十四章虚位移原理
7
§14–1 约束和约束方程
导弹A追击目标B，要求导弹速度方向 总指向目标。
A A x y 0, xB xA yB y A A A x z 0 xB xA zB z A
图
8
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x y l0 vt
O
r
l
B
x
6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自
由度
17
§14–2 广义坐标和自由度
二、广义坐标
一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便， 可选择任意变量来表示质点系的位置。 用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数， 称为广义坐标。
xA r cos （x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。 y A r sin yB 0
q1 q2 qk
j 1
q j
k yi yi yi yi yi q1 q2 qk qj q1 q2 qk j 1 q j k zi zi zi z zi q1 q2 qk i q j q1 q2 qk j 1 q j
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束 （用等式表示） i , y i , z 双面约束：约束在两个方向都能起限制运动的作用。 i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x
单面约束：约束只在一个方向起作用，另一方向能 i , y i , z i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x （不等式表示） 松弛或消失。
1
第十四章
虚位移原理
虚位移原理
2
§14-1 约束,虚位移和虚功
一 定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件 约束方程： 限制条件的数学方程
二 约束分类
3
1, 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f (x, y, z) 0 x2 y2 l2 0
4
x
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1 约束,虚位移和虚功 §14-2 虚位移原理
1,学会给机构虚位移
2,学会求虚功
（几何法和解析法）
3,学会虚位移原理解题
1
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 节省多少华年,增添巨大方便。 力学之金律
对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！
将约束解除，代之相应的约束反力，并视 为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
23
解题类型
D P
θ
l
B
l
51
据虚位移原理
→rA Mo
A
M
rA
a
PrD
0
虚位移关系
§14-1 约束,虚位移和虚功
一 定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件 约束方程： 限制条件的数学方程
二 约束分类
3
1, 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f (x, y, z) 0 x2 y2 l2 0
4
x
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1 约束,虚位移和虚功 §14-2 虚位移原理
1,学会给机构虚位移
2,学会求虚功
（几何法和解析法）
3,学会虚位移原理解题
1
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 节省多少华年,增添巨大方便。 力学之金律
对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！
将约束解除，代之相应的约束反力，并视 为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
23
解题类型
D P
θ
l
B
l
51
据虚位移原理
→rA Mo
A
M
rA
a
PrD
0
虚位移关系
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rA sin rB cos
y FA
A
O
B
FB x
rB
几何法
PAG 15
⑶ 列虚功方程 ( Fx ixi Fyiyi Fzizi ) 0
FA rA FB rB 0 FArB cot FBrB 0 FA FB tan
x B 2l cos xB 2l sin yG 3l sin yG (3l cos )
A y G D k C B E
F
FBx
x
⑶ 列虚功方程 ( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
FBx xB FyG 0 FBx (2l sin ) F (3l cos ) 0
PAG 12
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
应用虚位移原理的步骤:
⑴ 取研究对象
⑵ 对研究对象进行受力分析
⑶ 确定虚位移的关系 ① 作几何关系图; ② 选择一个自变量,确定有关的坐标后再变分; ③ 应用虚速度关系确定虚位移.
⑷ 应用虚位移原理求解未知量
PAG 13
xB l cos y A l sin
xB (l sin ) y A (l cos )
B
FB x
rB
FB (l sin ) ( FA )(l cos ) 0 FA FB tan
PAG 16
Northeastern University
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
F2 4 m
y yM 2
11m
7m
例14-4 求图中无重组合梁支座A的约束反力。
y A
A
F1 3 m B y1
8m
F3 4 m
N C
11m 8m
M
D
FA
解:⑴ 取系统为研究对象 解除A点约束,以力FA代替 3y A 11y A 4yM 11y A ⑵ 给一组虚位移 y1 ;yM ;y2 8 8 7 7 8 ⑶ 列虚功方程 FAy A F1y1 F2y2 0
Fi Fx i i Fyi j Fzi k ri xi i yi j zi k
Fi ri 0
WFi ( Fx ixi Fyiyi Fzizi ) 0 — 虚功方程
约束不是理想约束时,把约束力看作主动力代入
虚位移原理
例14-1 椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的 摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力 FA和FB之间的关系 解:⑴ 取系统为研究对象,画受力图 约束为理想约束,主 动力为FA和FB 。 rA ⑵ 给一组虚位移 rA , rB [rA ] AB [rB ] AB AB是刚性杆
§14-2
虚位移原理
例14-2 杆OA可绕O转动,通过滑块B带动水平杆BC,忽略摩擦 及各构件重量,求平衡时力偶矩M与水平拉力F 之间的关系。 解:⑴ 取系统为研究对象,画受力图 r rC e A 约束为理想约束, F rC ra C B 主动力为F、 M rr h ⑵ 给一组虚位移 M x O B点虚位移 ra re rr x
FBx 3F cot 2
PAG 18
Northeastern U示结构各杆都以光滑铰链连接且AC=BC=CD=GE=l, 在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束力。 ⑵ 利用解析法求解 FC FG k 0
x B 2l cos 变分 xB 2l sin yC l sin yC l cos y 3l sin y 3l cos G G
5m B
rE
E
FE
rB rA 4 ;
4 rE 5 5 3 3 ⑶ 列虚功方程 3 M M FrE 0 F 20
rB
rB
O
3m
D
M 4m
A
rA
PAG 21
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质点M在固定曲面上的运动
M
约束方程： f ( x, y, z) 0
PAG 5
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
一、约束及其分类
1、几何约束和运动约束
O y l x y
M
单摆 约束方程： x 2 y 2 l 2 曲柄连杆滑块机构 约束方程：
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束
PAG 8
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
二、虚位移 (可能位移)
实位移：dr , ds, dx, d
虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可 能实现的任何无限小的位移。 r , s, x, δ— 变分符号
rC ra
re h 2 sin sin
C
⑶ 列虚功方程
h Fh M FrC 0 M F 0 M 2 2 sin sin
PAG 17
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§14-2
虚位移原理
例14-3 图示结构各杆都以光滑铰链连接且AC=BC=CD=GE=l, 在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束力。 解:⑴ 取系统为研究对象 解除B点水平约束,以水平力FBx 代替,此时系统主动力为F、FBx,系 统约束为理想约束。 ⑵ 利用解析法求解
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§14-2
虚位移原理
例14-1 椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的 摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力 FA和FB之间的关系 解:⑴ 取系统为研究对象,画受力图 约束为理想约束,主 动力为FA和FB 。 ⑵ 给一组虚位移 rA , rB rA rB vA ; vB dt dt
理论力学
东北大学理学院力学系
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第十四章 虚位移原理
达朗贝尔原理: 用静力学方法求解动力学问题 虚位移原理: 应用功的概念分析系统的平衡问题 研究对象: 理想约束系统 (理想约束系统约束反力不做功)
PAG 2
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vA
x
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
一、约束及其分类
2、定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的为非定常约束,否则称定常约束。
绳长变化的单摆 约束方程： x 2 y 2 (l ut) 2
3、其它分类
u
O
y
x
约束方程中含坐标对时间的导数,且不能积分为有 限形式的称非完整约束,否则为完整约束；约束方程为 等式的是双侧约束,约束方程为不等式的是单侧约束。
A
R
l
B
F
O
2 2 x A y A R 2 — 限制点A作圆周运动
x
( xB x A ) 2 ( yB y A ) 2 l 2 — 限制AB间距保持不变
yB 0 — 限制滑块B只能沿滑道作直线运动
PAG 6
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
y G D
F
FC
k
FG
C
E B
⑶ 列虚功方程 ( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
FBx xB FCyC FGyG FyG 0
A
FBx
x
3 FB F cot θ kδ0 cot θ 2
图示位置弹 簧已伸长δ0
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§14-2
虚位移原理
例14-1 椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的 摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力 FA和FB之间的关系 方二 解析法
( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
rA
O
y FA
A
FBxB ( FA )y A 0
y FA
rA
O
A
B
FB x
由速度投影定理得 v A sin vB cos ⑶ 列虚功方程 Fi ri 0
FAv A FB vB 0 FA FB tan
rB
虚速度法
PAG 14
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§14-2
第十四章 虚位移原理
1
约束 · 虚位移 · 虚功
2
虚位移原理
PAG 3
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§14-1
§17-1 约束 虚功 约束 · 虚位移 ·虚位移 虚功
一、约束及其分类
运动受到周围物体的限制,不能任意运动的质点 系称为非自由质点系。
曲柄连杆 滑块机构
y
M
A
l
R
O
B F x
rA
O
A
r
O
rA
B
rB
rB
PAG 9
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
三、虚功、理想约束
y FA
A
O
B
FB x
rB
几何法
PAG 15
⑶ 列虚功方程 ( Fx ixi Fyiyi Fzizi ) 0
FA rA FB rB 0 FArB cot FBrB 0 FA FB tan
x B 2l cos xB 2l sin yG 3l sin yG (3l cos )
A y G D k C B E
F
FBx
x
⑶ 列虚功方程 ( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
FBx xB FyG 0 FBx (2l sin ) F (3l cos ) 0
PAG 12
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§14-2
虚位移原理
应用虚位移原理的步骤:
⑴ 取研究对象
⑵ 对研究对象进行受力分析
⑶ 确定虚位移的关系 ① 作几何关系图; ② 选择一个自变量,确定有关的坐标后再变分; ③ 应用虚速度关系确定虚位移.
⑷ 应用虚位移原理求解未知量
PAG 13
xB l cos y A l sin
xB (l sin ) y A (l cos )
B
FB x
rB
FB (l sin ) ( FA )(l cos ) 0 FA FB tan
PAG 16
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§14-2
虚位移原理
F2 4 m
y yM 2
11m
7m
例14-4 求图中无重组合梁支座A的约束反力。
y A
A
F1 3 m B y1
8m
F3 4 m
N C
11m 8m
M
D
FA
解:⑴ 取系统为研究对象 解除A点约束,以力FA代替 3y A 11y A 4yM 11y A ⑵ 给一组虚位移 y1 ;yM ;y2 8 8 7 7 8 ⑶ 列虚功方程 FAy A F1y1 F2y2 0
Fi Fx i i Fyi j Fzi k ri xi i yi j zi k
Fi ri 0
WFi ( Fx ixi Fyiyi Fzizi ) 0 — 虚功方程
约束不是理想约束时,把约束力看作主动力代入
虚位移原理
例14-1 椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的 摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力 FA和FB之间的关系 解:⑴ 取系统为研究对象,画受力图 约束为理想约束,主 动力为FA和FB 。 rA ⑵ 给一组虚位移 rA , rB [rA ] AB [rB ] AB AB是刚性杆
§14-2
虚位移原理
例14-2 杆OA可绕O转动,通过滑块B带动水平杆BC,忽略摩擦 及各构件重量,求平衡时力偶矩M与水平拉力F 之间的关系。 解:⑴ 取系统为研究对象,画受力图 r rC e A 约束为理想约束, F rC ra C B 主动力为F、 M rr h ⑵ 给一组虚位移 M x O B点虚位移 ra re rr x
FBx 3F cot 2
PAG 18
Northeastern U示结构各杆都以光滑铰链连接且AC=BC=CD=GE=l, 在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束力。 ⑵ 利用解析法求解 FC FG k 0
x B 2l cos 变分 xB 2l sin yC l sin yC l cos y 3l sin y 3l cos G G
5m B
rE
E
FE
rB rA 4 ;
4 rE 5 5 3 3 ⑶ 列虚功方程 3 M M FrE 0 F 20
rB
rB
O
3m
D
M 4m
A
rA
PAG 21
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质点M在固定曲面上的运动
M
约束方程： f ( x, y, z) 0
PAG 5
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
一、约束及其分类
1、几何约束和运动约束
O y l x y
M
单摆 约束方程： x 2 y 2 l 2 曲柄连杆滑块机构 约束方程：
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束
PAG 8
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
二、虚位移 (可能位移)
实位移：dr , ds, dx, d
虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可 能实现的任何无限小的位移。 r , s, x, δ— 变分符号
rC ra
re h 2 sin sin
C
⑶ 列虚功方程
h Fh M FrC 0 M F 0 M 2 2 sin sin
PAG 17
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§14-2
虚位移原理
例14-3 图示结构各杆都以光滑铰链连接且AC=BC=CD=GE=l, 在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束力。 解:⑴ 取系统为研究对象 解除B点水平约束,以水平力FBx 代替,此时系统主动力为F、FBx,系 统约束为理想约束。 ⑵ 利用解析法求解
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§14-2
虚位移原理
例14-1 椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的 摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力 FA和FB之间的关系 解:⑴ 取系统为研究对象,画受力图 约束为理想约束,主 动力为FA和FB 。 ⑵ 给一组虚位移 rA , rB rA rB vA ; vB dt dt
理论力学
东北大学理学院力学系
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第十四章 虚位移原理
达朗贝尔原理: 用静力学方法求解动力学问题 虚位移原理: 应用功的概念分析系统的平衡问题 研究对象: 理想约束系统 (理想约束系统约束反力不做功)
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vA
x
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
一、约束及其分类
2、定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的为非定常约束,否则称定常约束。
绳长变化的单摆 约束方程： x 2 y 2 (l ut) 2
3、其它分类
u
O
y
x
约束方程中含坐标对时间的导数,且不能积分为有 限形式的称非完整约束,否则为完整约束；约束方程为 等式的是双侧约束,约束方程为不等式的是单侧约束。
A
R
l
B
F
O
2 2 x A y A R 2 — 限制点A作圆周运动
x
( xB x A ) 2 ( yB y A ) 2 l 2 — 限制AB间距保持不变
yB 0 — 限制滑块B只能沿滑道作直线运动
PAG 6
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
y G D
F
FC
k
FG
C
E B
⑶ 列虚功方程 ( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
FBx xB FCyC FGyG FyG 0
A
FBx
x
3 FB F cot θ kδ0 cot θ 2
图示位置弹 簧已伸长δ0
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§14-2
虚位移原理
例14-1 椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的 摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力 FA和FB之间的关系 方二 解析法
( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
rA
O
y FA
A
FBxB ( FA )y A 0
y FA
rA
O
A
B
FB x
由速度投影定理得 v A sin vB cos ⑶ 列虚功方程 Fi ri 0
FAv A FB vB 0 FA FB tan
rB
虚速度法
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§14-2
第十四章 虚位移原理
1
约束 · 虚位移 · 虚功
2
虚位移原理
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§14-1
§17-1 约束 虚功 约束 · 虚位移 ·虚位移 虚功
一、约束及其分类
运动受到周围物体的限制,不能任意运动的质点 系称为非自由质点系。
曲柄连杆 滑块机构
y
M
A
l
R
O
B F x
rA
O
A
r
O
rA
B
rB
rB
PAG 9
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§14-1
约束 · 虚位移 · 虚功
三、虚功、理想约束