数字信号处理第三章总结
数字信号处理 第三章 图像信号分析基础讲解
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对于连续图像,定义阈值面积函数A(F)为具有灰 度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图 像,任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于 灰度值F的像素点的个数。
曝光过强(过弱)会导致大片白色(黑色),丢失 明暗、对比度、纹理等细节信息,即使采用插值 算法,也难以准确恢复。此时将在直方图的一端 或两端产生尖峰。
3.1.5 灰度直方图
直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数(或 频数)的统计结果,它只反映该图像中不同灰度 值出现的次数(或频数),而未反映某一灰度值 像素所在位置。也就是说,它只包含了该图像中 某一灰度值的像素出现的概率,而丢失了其所在
的卷积。 水印、验证码
三、减法运算
将多幅图像的对应点相减得到新图像。 可去除图像中不需要的加性图案。 可用于运动检测。 可以用来计算物体边界位置的梯度。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度
直方图的卷积。
四、乘除法运算
乘法运算可以用来去除原始图像中的一部 分:首先构造一副掩膜图像,在需要保留 区域,图像灰度值为1,而在被去除区域, 图像灰度值为0;然后将掩膜图像乘原始 图像。
显然, 若a 1,b 0,图象像素不发生变化; 若a 1,b 0,图象所有灰度值上移或下移; 若a 1,输出图象对比度增强; 若0 a 1,输出图象对比度减小; 若a 0,暗区域变亮,亮区域变暗,图象求补。
三、非线性点运算
s
s
s
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
数字信号处理 第三章
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:相位函数(phase function)或相位谱(phase spectrum)
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例:理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件(convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛,则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛(uniform convergence) 令X K e j
xne ,一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
数字信号处理知识点整理Chapter3.
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第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定,适用于平稳随机信号的最佳滤波;自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器.....、自适应格型滤波器........、最小二乘自适应滤波器..........。
3.2 自适应横向滤波器自适应...线性组合....器.和自适应....FIR ...滤波器...是自适应信号......处理的基础.....。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出:()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示,自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同,先考虑最小均方误差准则:()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数....,将其对每个权系数求微分,形成一个与权系数相同的列向量: 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零,可得最佳权系数此时最小均方误差为:22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ,先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法,但实际很难应用。
数字信号处理第三章
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FS:~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
(周期为T0
,Ω0
2
T0
)
对上式进行抽样,得:
(抽样间隔为T,s
2π ) T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注:DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
,并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ,因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数, x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series (DFS)
《数字信号处理教程》(第三版)第三章
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N 1 N 1
~ km ~ kn x1 (m ) WN X 2 (k ) WN n 0 m 0
1 N
N 1
N 1 m 0
~ ~ (m ) X (k ) W ( m n)k x1 2 N
n 0
N 1
~ ~ x1 ( m ) x2 ( n m )
域是连续周期的;若此时我们对频域的连续信号抽样,
人为的使其离散化,这样,频域的离散又导致时域的周 期化。于是有:
时域离散、周期
频域周期、离散
3.3 周期序列的离散傅立叶级数(DFS)
~ 设x (n)是周期为N的一个周期序列 ~ ~ x ( n) x (n rN ) ,r为任意整数
注:不论是离散的,还是连续的周期序列,均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周
第三章
离散傅立叶变换
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质,掌握周期卷 积过程
理解离散傅里叶变换及性质,掌握圆周移位、共 轭对称性,掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程
了解序列的抽取与插值过程
3.2Leabharlann 傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换
~ x (n) x(n模N ) x(( n)) N
其中,(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。
~ ~ 和 ~ 所对应的x(n)。 例: ( n)的周期为N=9,求 x ( 25) x ( 5) x
~ x (25) x(25模9) x(( 25))9 x(7) ~ x (5) x(5模9) x(( 5)) x(4)
数字信号处理主要知识点整理复习总结
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求出对应
的各种可能的序列的表达式。
解: 有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况: 三种收敛域对应三种不同的原序列。
时,
(1)当收敛域
令
,因为c内无极点,x(n)=0;
,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有
数字信号处理课程 知识点概要
第1章 数字信号处理概念知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号的特点及相互关系(时间和幅度的连续性考量) 2、数字信号的产生; 3、典型数字信号处理系统的主要构成。
量化、编码 ——————
采样 ————
模拟信号
离散时间信号
数字信号
5、部分分式法进行逆Z变换 求极点 将X(z)分解成部分分式形式 通过查表,对每个分式分别进行逆Z变换 注:左边序列、右边序列对应不同收敛域 将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的x(n)序列 6、Z变换的性质 移位、反向、乘指数序列、卷积
常用序列z变换(可直接使用)
7、DTFT与Z变换的关系
(a) 边界条件 时,是线性的但不是移不变的。
(b) 边界条件 时,是线性移不变的。
令
….
所以:
….
所以:
可见 是移一位的关系, 亦是移一位的关系。因此是移不变系统。
代入差分方程,得:
……..
所以:
因此为线性系统。
3. 判断系统是否是因果稳定系统。
Causal and Noncausal System(因果系统) causal system: (1) 响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n<0 (线性、时不变系统) Stable System (稳定系统) (1) 有界输入导致有界输出 (2) (线性、时不变系统) (3) H(z)的极点均位于Z平面单位圆内(因果系统)
数字信号处理第三章总结
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3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射:令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到: re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT , ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
(傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例,即s =j Ω,因而映射到z 平面上为单位圆,代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Z变换,等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
数字信号处理第三章补
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在此频谱图中就分辨不出来。
v(n) 6
4
T=1 / fs
2
0
0 0
2 2T
4 4T
6 6T
8 8T t p =1 / F
10 10 T
12 12 T
14 14 T
16 16 T
18
n t
(a) |V(k )| 40 30 20 10 0 0 0 2 2F 4 4F 6 6F F=1 / tp
8 8F fs =1 / T
m 0
M 1
用DFT算法也就是用圆周卷积来代替这一线性卷积时,为了
不产生混叠,其必要条件是使x(n),h(n)都补零值点,补到至少
N=M+L-1, 即:
x(n) x(n) 0
0≤n≤L-1 L≤n≤N-1
h(n) 0≤n≤M-1 h(n ) 0 M≤n≤N-1
然后计算圆周卷积
y (n) x(n)
N
h( n )
这时,y(n)就能代表线性卷积的结果。 用FFT计算y(n)的步骤如下:
① 求N点X(k)=DFT[x(n)], N点;
② 求H(k)=DFT[h(n)], N点;
③ 计算Y(k)=X(k)H(k);
④ 求y(n)=IDFT[Y(k)],N点。
率(单位: Hz)。
由图可知:
t p NT fs 1 1 F N NT t p
在实际应用中, 要根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求, 来确定T、tp和N的大小。 (1)首先,由采样定理,为保证采样信号不失真,fs≥2fh(fh为 信号频率的最高频率分量,也就是前置低通滤波器阻带的截止 频率), 即应使采样周期T满足
n
数字信号处理第三章小结
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本章小结
本章主要介绍离散傅里叶级数(DFS)的定义及性 质,离散傅里叶变换(DFT)基础知识:包括从离散傅里 叶级数导出离散傅里叶变换的过程、离散傅里叶变换的性 质、离散傅里叶变换与其它变换之间的关系。重点是离散 傅里叶变换的原理及性质。难点是对DFT实质性过程的理 解。应掌握以下主要内容:
1. 周期序列的离散傅里叶级数
X
p
k
N 1 n 0
x p n W N
N 1 k 0
nk
x p n
1 N
X
p
k W nk N
x p n 、 X p k
都是以为周期的周期序列,它们都是无
限长序列。
由于周期序列任取一个周期都包含整个序列的全部 信息,所以在周期序列上任意截取一个周期求离散傅里叶 级数的结果和在主值区求得的结果相同。 2. 离散傅里叶变换DFT
X k xn W nk N
n 0 N 1
0 k N 1
xn
1 N
N 1 k 0
X k W N
nk
0 n N 1
离散傅里叶变换的最大特点是其Байду номын сангаас域、频域都是离散 的有限长序列,这使得计算机大有用武之地,因而使离散 傅里叶变换成为数字信号处理的核心。
3. 离散傅里叶变换性质
在众多性质中,循环卷积特性和循环相关特性有其特 殊地位(参见4.7节)。
数字信号处理第三章chhy
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( K,m,N均为整数 WNk WNk mN ) , k , m, N
X ( k mN (2) X(k)隐含的周期性 (周期为N) )
n 0
N 1
( x ( n )WN k mN ) n
X ( k mN ) x ( n )W
kn x(n )W X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN
X ( k ) DFT [ x ( n )]
M-1 N 1
N 1
kn N
0 k N-1
X (k ) X ( z )
2 j k z e N
, ,
0 X( k ) ((kX X ((zzj)) )22 ,, k N-1 X k)(3.1.3) j X ) ( z j X e
3.1 离散傅立叶变换的定义及物理意义 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M, 其Z变换和N点DFT分别为:
X ( z ) ZT [[x (( n )] xxnnz n n X ( z ) ZT x n )] ( () )z
N 1 n 0
X (k )e
k 0
N 1 ~
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期 延拓,因此离散傅里叶变换的时 域和频域都是离散的和周期的
引入
例1:连续时间、连续频率—傅里叶变换
例2:连续时间、离散频率—傅里叶级数
引入
例3:离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
例4: 离散时间、离散频率—序列的傅里叶级数
j
2π N
,将时域序列x(n)变换为频域序列X(k);
数字信号处理第三章-1
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N 1 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WNkn N k 0
式中
WN e
j
2 N
,N为DFT变换区间长度。
二、DFT和Z变换、傅立叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N,
Z变换为:
X ( z) ZT[ x(n)] x(n) z n
n 0
当 x1 (n) 和 x2 (n) 的长度N1和N2不等时,选择
二.*循环移位性质
1. 定义 一个有限长序列 x(n) 的循环移位定义为
y(n) xn mN RN n
这里包括三层意思: 先将 x(n) 进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列:
~ x (n) xn N
km N
X (k )
0 k N 1
3. 频域循环移位定理
如果:
Y (k ) X ((k l))N RN (k )
则有:
y(n) IDFTY (k ) WNnl x(n)
nl N
X ((k l))N RN (k ) W x(n)
x((n m))N RN (n) W
运用DFT要解决两个问题:
一是离散与量化,
二是快速运算。 傅氏变换 离散量化
信号处理
DFT(FFT)
一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓, 而一个域的非周期与另一个域的连续是相对应的。 要想在时域和频域都是离散的,那么两域必须都是 周期的。
§3.1 离散Fourier变换的定义
要求N≥M
一、定义
X (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
N 1 m 0
x(n) IDFTX (k ) x1(m) x2 n mN RN n
第三章--Z变换(数字信号处理)
![第三章--Z变换(数字信号处理)](https://img.taocdn.com/s3/m/3239c99f4128915f804d2b160b4e767f5acf8030.png)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1,
求其反变
解: 该例题没有给定收敛域, 为求出唯一旳原序 列x(n), 必须先拟定收敛域。 分析X(z), 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1, 这么 收敛域有三种选法, 它们是
n n1
设x(n)为有界序列, 因为是有限项求和, 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外, 整个z平面均 收敛。 假如n1<0, 则收敛域不涉及∞点; 如n2>0, 则 收敛域不涉及z=0点; 假如是因果序列, 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下:
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列, 设n1≤-1, 其收敛域为0≤|z|< ∞。 第二项为因果序列, 其收敛域为Rx-<|z|≤∞, Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与, 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列, 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论:如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点,则x(n) 是因果序列
数字信号处理第三章习题解答
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(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值。
解:
(1)已知
(2)
(3)
(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变,应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理,要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点),但相邻两段必须重叠V个点,然后计算各段与 的L点(本题取L=128)循环卷积,得到输出序列 ,m表示第m段计算输出。最后,从 中取出B个,使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列,长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中, , 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时,应与傅里叶变换的性质对照学习,要搞清两者的主要区别。我们知道,傅里叶变换将整个时域作为变换区间,所以在其性质中,对称性以原点为对称点,序列的移动范围无任何限制。
然而,DFT是对有限长序列定义的一种变换,也就是说,DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同,由于 及 区间在DFT变换区间以外,所以讨论对称性时,不能再以原点作为对称点,而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列,用 和 分别表示有限长(或圆周)共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性,周期为 。
数字信号处理第三版第三章
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第三章.离散傅里叶变换(DFT )一 离散傅里叶变换的定义及物理意义1 DFT 定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列10()[()]()0,1,,1N kn N n X k D FT x n x n Wk N -====-∑ 逆变换:101()[()]()N kn N k x n ID FT X k X k W N --===∑2 DFT 与傅里叶变换和z 变换的关系2()()j kN z e X k X z π== 3 DET 的隐含周期性在进行DFT 时,有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。
因此,凡是涉及DFT 关系,都隐含有周期性意义二:离散傅里叶变换的基本性质1. 线性性质1212[()()]()()D FT ax n bx n aX k bX k +=+ a ,b 为常数2. 循环移位性质2,1序列的循环移位长度为N 的有限长序列x (n )的圆周移位定义为N N y(n )x ((n m ))R (n )=+2.2 时域循环移位定理设x (n )是长度为N 的有限长序列,y (n )为x (n )圆周移位则圆周移位后的DFT 为()[()][(())()]()m k N N N Y k D FT y n D FT x n m R n W X k -==+=2.3频域循环移位定理频域有限长序列X (k ),也可看成是分布在一个N 等分的圆周上由于频域与时域的对偶关系,有如下性质若 ()[()]X k DFT x n =则 2[(())()]()()j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n ex n π-+==3 循环卷积定理3.1定义:设x 1(n )和x 2(n )都是点数为N 的有限长序列(0≤n ≤N -1),且有:1122[()]()[()]()DFT x n X k DFT x n X k ==若12()()()Y k X k X k =则11201210()[()]()(())()()(())()N N N m N N N m y n ID FT Y k x m x n m R n xm x n m R n -=-===-=-∑∑上式所表示的运算称为x 1(n )和x 2(n )的N 点圆周卷积3.2 循环卷积定理若12()()()y n x n x n = x 1(n ),x 2(n )皆为N 点有限长序列则 1120121012()[()]1()(())()1()(())()1()()N N N l N N N l Y k D FT y n X l X k l R k NX l X k l R k NX k X k N -=-===-=-=∑∑ 3.3 复共轭序列的DFT设x *(n )为x (n )的共轭复序列,已知X (k )= DFT[x (n )]则DFT [x *(n )]=X *(N-k ) 0≤k ≤N -1且 X (N )=X (0)3.4 共轭对称性三 频域采样1频域采样定理如果序列x (n )长度为M ,则只有当频域采样点数N>M 时,才有()()()()()()N N N N r x n x n R n x n rN R n x n ∞=-∞==+=∑即由频域采样X (k )恢复原序列x (n ),否则产生时域混叠现象。
数字信号处理--第三章2
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复共轭序列的DFT
nk 证:DFT [ x * ( n )] x * ( n )WN RN ( k ) n 0 N 1
)] X * ((k )) N [RN (n)] X **(( N k )) N)) NNRk ) k ) X * (( N k )) N RN (k ) DFT x* k ) X (( k R ( N (
其中: 共轭对称分量:
* xe (n ) xe ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
共轭反对称分量:
o ( n ) xo ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] * x 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
(若不等,分别为N1、N 2点,则取N max( N1 , N 2 ), 对序列补零使其为N 点)
DFT [ x1 (n)] X 1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
证明:
m
n
循环卷积过程: 1)补零 2)周期延拓 3)翻褶,取主值序列 4)圆周移位 5)相乘相加
实数序列的共轭对称性 (2)
序列
Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )] 0 xep ( n ) xop ( n )
DFT
X ep ( k ) X ( k ) X op ( k ) 0 Re[ X ( k )] j Im[ X (k )]
(3)纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[ x ( n )] 0 j Im[ x ( n )] xep ( n ) xop ( n )
数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
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周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
返回
回到本节
DFT和DFS之间的关系:
周期延拓
取主值
有限长序列
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2, M 1
周期序列 xN (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换(DFT)实现了信号首次在频域 表示的离散化,使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值,是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2பைடு நூலகம்3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o
2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
回到本节
变量
、f k
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域
胡广书数字信号处理第3章_2
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x(n), n = 0,1,L , N − 1
h(n), n = 0,1,L , M − 1
∞
都是非周期
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) =
k =−∞
∑ x ( k ) h( n − k )
DFT有快 速算法
L = N + M −1 如何用DFT来实现
存在什么矛盾
于 时
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 (a) N=6 0.2 0 度
间 长 度 反 比
用计算机分析和处理信号时,信号总是有 限长,其长度即是矩形窗的宽度,要想分辨出
ω1 , ω 2 处的两个频谱,数据长度必须满足:
4π k < ω1 − ω 2 N k 对矩形窗,k = 1 ,其他类型的窗函数, > 1
几点建议:
1. 抽样频率应为正弦频率的整数倍; 2. 抽样点数应包含整周期,数据长度 最好是2的整次幂; 3. 每个周期最好是四个点或更多; 4. 数据后不要补零。 按以上要求,对离散正弦信号做 DFT 得到的频谱正好是线谱,完全等同于 连续正弦信号的线谱。
3.9
二维傅立叶变换
多用于图像处理:
x(0,1) L x(0, N 2 − 1) x(0, 0) x(1, 0) x(1,1) L x(1, N 2 − 1) x(n1 , n2 ) = M M M M x( N1 − 1, 0) x( N1 − 1,1) L x( N1 − 1, N 2 − 1)
L = N + M −1
x( n) n = 0,1,L , N − 1
y ( n)
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) = x′(n) ⊗ h′(n)
数字信号处理第三章3.1
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1
N 1 N 1
1 N 1 k n m r x p1m x p 2r W N m 0 r 0 k 0 N
N 1 N 1
1 N
N 1 k 0
W
k nmr N
1 r n m 0 r n m
1 (e
j
2 10
k 5
)
1 e
5 10 sin(
j
2 10
k
e
j
5 10 j
k
10
e e
j
5 10
k
e
k
j
10
e
j
5 10
k
sin(
k )
k
e
j
10
k
e
k)
j
4 10
k
10
• 所以
X
p
k
5 sin k 10 sin k 10
1 (e
j
2 10
k
)
5
1 e j 10 k
2
5 sin k 10 sin k 10
e
j
4 10
k
求得的傅里叶级数系数与(1)中结果相同。
第三章 离散傅里叶变换
数字信号处理第三章3.3
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~r1,2
n
N 1
x1
m0
mx2
mnN
R
N
n
R1,2
k
X
1
k
X
2
k
0 k N 1
~r2,1
n
N 1
x2
m0
mx1
mnN
R
N
n
R
2,1
k
X2kX 1k
0 k N 1
3.3.6 帕斯瓦尔定理 (Parseval Theory)
Yk XkHk
yn IDFT Y k N1xmh nmN RN n m0 N1hmx nmN RN n m0
证明:
IDFT Y k
1 N
N 1
X
k
H
k
W
nk N
k 0
同理可证
IDFT Y k N1hmxnmN RN n m0
3.3.4 对称特性
由于实际问题中遇到的序列绝大多数是实序列, 因此本节重点介绍实序列离散傅里叶变换的两条 对称特性。
1. 实序列的离散傅里叶变换为复数,其实部为偶 函数,虚部为奇函数。
X k
r1,2 n
x1
(m)x2
m
n
m
x1
n
l
x2
l
l nm
l
g
l
x1
n
l
gl x2 l
l
gn x1n
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3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射:令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到: re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT , ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
(傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例,即s =j Ω,因而映射到z 平面上为单位圆,代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Z变换,等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
3.4.3. 抽样序列x(n)的z 变换X(z)和连续信号x a (t)的拉普拉斯变换X a (s)3.4.4采样定理*抽样序列的z 变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。
*Z 变换是连续信号的拉普拉斯变换过渡到离散信号上j j eˆ()(e )(j )(2.94)TT az X z X X ΩΩΩ===3.4.5 抽样序列x(n)的z 变换X(z)和连续信号x a (t)的傅里叶变换X a (j Ω)的关系。
序列的傅里叶变换 *单位抽样响应的傅里叶变换称为系统频率响应*对于线性移不变系统,输出系列的傅氏变换等于输入系列的傅氏变 换和频率响应的乘积。
∑∞-∞=∧Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=Ω==Ωk a a Tj e z k T j j X T j X eX z X Tj π21)()()(∑∞-∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛-==k a j ez T k j X T e X z X j πωωω21)()(s ,0j σ=Ω=r ,=Ω=T ω抽样序列在单位圆上的z 变换, 就等于其理想抽样信号单位圆上的z 变换是和信号的频谱相联系的,因而常称单位圆上的z 变换为序列的傅里叶变换。
()[]()()∑∞-∞=-==n nj j en x eX n x DTFT ωω3.5利用Z 变换分析信号和系统的频域特性离散系统的系统函数、系统的频率响应 对线性移不变系统:性移不变系统的系统函数可见,H (z )与h (n )是一对z 变换例:因果离散时间系统的差分方程y (n )-3y (n -1)+2y (n -2)=x (n )+2x (n -1),求单位脉冲响应h (n )。
解:设初始状态为零,对差分方程进行z 变换展开为部分分式h (n )为因果序列。
对H (z )取逆z 变换,得线性移不变系统的频率响应)()()(n h n x n y *=)()()(z H z X z Y ⋅=[]∑∞-∞=-===n nz n h n h ZT z X z Y z H )()()()()(∑∞-∞=-=n nj j en h e H ωω)()(121()3()2()()2()Y z z Y z z Y z X z z X z ----+=+12122()122()()13232Y z z z zH z X z z z z z ---++===-+-+()3412z zH z z z -=+--()(342)()n h n u n =-+⨯3.5.1因果稳定系统系统稳定的充要条件: 因果系统的充要条件:h(n)=0,n<0z 变换 : 收敛域满足:系统稳定要求收敛域包含单位圆|z|=1即)(ωj e H 存在且连续;因果系统要求H(z)的收敛域一定包含∞点,即∞点不是极点,极点分布在某个圆的圆内,收敛域在某个圆外。
因果稳定系统要求H(z)的收敛域为: r<|z|≤∞, 0<r<1 即全部极点必须在单位圆内。
3.5.2系统函数和差分方程的关系一个线性移不变系统,可以用常系数线性差分方程来描述:若系统起始状态为零,取z 变换:零点 极点 由差分方程系数决定 但系统的确定还与收敛域的确定有关。
()n h n ∞=-∞<∞∑∑∞-∞=-=n nz n h z H )()(∞<∑∞-∞=-n nzn h )(()()∑∑==-=-Mm kN k km n x b k n y a 0()()∑∑=-=-=Mm mkN k k kn X zb z Y z a 0MMH (3.5.3利用Z 变换求解差分方程N 阶线性常系数差分方程 差分方程 输出序列Z 变换 逆Z 变换 利用移位性质 代数方程 解方程 Z 变换式∑∑==--=NMr m m kkz X z b z Y z ak 0)()(3.5.4系统的频率响应的意义系统的频率响应(或频域表示法)主要是为了明确系统对输入频谱的处理作用。
设当输入为正弦序列时,输出为同频的正弦序列,其幅度受频率响应幅度|H(ej ω)|加权,而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。
对于一般的输入x(n),由()∑∞-∞=-=n nj j en h eH ωω)(∞<<∞-=n e n x nj ω)(()()ωωωωωj n j m mj nj m m n j e H e em h eem h n y ===∑∑∞-∞=-∞-∞=-)()()()()()(n h n x n y *=)()()(ωωωj j j e H e X e Y =⎰-=ππωωωωπd e e X e H n y nj j j )()(21)(⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(00()()NMk r k r a y n k b x n r ==-=-∑∑上式可进一步说明频率响应的意义:若系统的频率响应为H(e j ω),输入为x(n),则系统的每个复指数微分分量ωπωωd e e X n j j )(21的输出响应为ωπωωωd e e X e H n j j j )()(21。
总的输出响应等于系统对于x(n)的每个复指数微分分量的响应的叠加。
3.4.5频率响应的几何确定法系统的频率响应为系统函数在单位圆上的值:因此,幅频响应:相频响应: LSI 的频率响应的幅度等于各零点至e j ω点矢量长度之积除以各极点矢量至e j ω点矢量长度之积,再乘以常数|K|。
LSI 的频率响应的相角等于各零点至e j ω点矢量相角之和减去各极点矢量至e j ω点矢量相角之和,再加常数K 的相角,再加线性相移分量ω(N-M)。
()()()()()∏∏∏∏==-=-=---=--=Nk kMm mMN N k kMm md z c z Kzz dzcKz H 11111111)(()()()[])(arg 11)()(ωωωωωωj e H j j Nk kjMm mjMN j j ee H d e c e Kee H =--=∏∏==-()()∏∏==--=Nk kjMm mjj d e c e K e H 11)(ωωω[][]()()()ωωωωM N d e c e K e H Nk k j Mm m j j -+---+=∑∑==11arg arg arg )(arg。