有关正方体表面展开图的解题规律

发挥学生的主体作用，培养学生的探索精神
-------正方体平面展开图的探讨
《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动；动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

这样既能在动手操作的教学情境中唤起他们对知识的渴望，激发他们的兴趣，又能让学生时刻处在体验、实践、参与、合作与交流活动中，使他们的技能、知识、情感态度，学习策略和文化素养得到了整体发展。

几何教学主要是培养学生的图形识别能力和直观推理和空间想象能力，立体几何的教学应该让学生体会转化的数学思想，即空间问题转化为平面问题加以解决。

正方体表面的展开图问题由空间回到平面，由平面上升到空间。

研究正方体的表面展开图问题有利于培养学生的立体与平面的转化的思想与能力。

通过正方体实物图的展开与折叠这一实践操作，更有利于培养学生的动手能力和实践操作能力。

一、探讨正方体平面展开图的各种形式。

每名学生准备一个正方体纸盒（很容易做到），学生把正方体的某些棱剪开，展成平面图形。

探讨以下两个问题。

（1）至少需要剪开几条棱？
（2）归纳展开图的各种形式。

教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人，充分体现以人为本的教学理念，尊重学生的个体差异，通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，丰富想象力，引发学生的发散思维和创新意识，可以不断提高解决问题的能力。

我们已经知道多面体可由平面图形围成，或者说把多面体展开以后可得到一个平面图形。

那么对于正方体展开以后的平面图形有哪些？能想出一个研究的方法吗？经过同学们的集体思考发现可以倒过来思考，即看有哪些平面图形可以围成正方体。

在此基础上同学们用剪刀剪下6个正方形，用透明胶把它粘连成一个平面图形。

在拼的过程中，发现可以拼很多图形，为了使拼出的图形不重复，那我们有没有什么好办法，或者说按照怎样的规律去拼呢？同学们最终得到可先并排拼四块，另外两块再放在旁边；然后并排三块，再考虑另外三块的放法；最后并排两个，再考虑另外四个的放法。

通过实践学生总结出如下规律：
正方体表面展开平面图形至少要剪开7条棱；
归纳全班同学的平面展开图形式有如下11种基本形式；
具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算．1．“一·四·一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，•共有6种．
2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2•个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二·二·二”型，成阶梯状．
4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连．
经过同学们自己动手折叠，自己总结，学生们获得了成功的体验，感受集体合作的重要性，同时也锻炼了克服困难的意志，建立自信心。

二、探讨展开图折叠成正方体的规律
1、哪些面是相邻的面？
2、哪些面是相对的面？
3哪些顶点折叠后是重合的？
同学们都知道对于正方体每个面都只有唯一的一个对面。

在折叠过程中同学们发现在同一行（或同一列）中隔开一个正方形的两个正方形必为对面。

如第一点中的第一种情况a和a′，b和b′，c和c′都为相对的两个面。

在此基础上，同学们又总结出不在同一行（或同一列）但中间隔着一行（或一列）的两个正方形也是对面。

如第一点中的第二种情况中b和b是对面，在第三种情况中a和a,b和b,c和c都是对面。

其实对于一个正方体不论如何剪切，展开后该面与它的对面的位置关系无非是如下两种：第一种是两
个对面在同一行（或同一列）中间隔着一个正方形.第二种是两个对面不同行也不同列，但中间隔着一列（或一行）。

总结规律如下：
相邻的面：正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A与D
相对的面：在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD中，A与C，B与D，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．
重合顶点：
规律：拐歪处的顶点为单独顶点；以拐歪出为中心，对称的顶点为重合顶点。

学生经过自身的实践操作，以及互相合作与交流探头了正方体展开图的规律；学生的动手能力得到了提高，更主要的是学生学生逐步养成研究探讨问题的习惯，学生之间的相互学习、合作学习得到了培养，新的课改精神得到了体验。