第三章 安培力的综合应用习题课五

答案 B 3.(安培力作用下的功能关系)(多选)如图 9 是“电磁炮”模型的原理结构示意图。光 滑水平金属导轨 M、N 的间距 L＝0.2 m，电阻不计，在导轨间有竖直向上的匀强 磁场，磁感应强度大小 B＝1×102 T。装有弹体的导体棒 ab 垂直放在导轨 M、N 上的最左端，且始终与导轨接触良好，导体棒 ab(含弹体)的质量 m＝0.2 kg，在导 轨 M、N 间部分的电阻 R＝0.8 Ω，可控电源的内阻 r＝0.2 Ω。在某次模拟发射时， 可控电源为导体棒 ab 提供的电流恒为 I＝4×103 A，不计空气阻力，导体棒 ab 由 静止加速到 4 km/s 后发射弹体，则( )
图1 解析 依题意，开关闭合后，电流方向从 b 到 a，由左手定则可知，金属棒所受 的安培力方向竖直向下。 开关断开时，两弹簧各自相对于原长伸长了 Δl1＝0.5 cm。由胡克定律和力的平衡 条件得 2kΔl1＝mg① 式中，m 为金属棒的质量，k 是弹簧的劲度系数，g 是重力加速度的大小。
开关闭合后，金属棒所受安培力的大小为 F＝BIL② 式中，I 是回路电流，L 是金属棒的长度。两弹簧各自再伸长了 Δl2＝0.3 cm，由 胡克定律和力的平衡条件得 2k(Δl1＋Δl2)＝mg＋F③ 由欧姆定律有 E＝IR④ 式中，E 是电池的电动势，R 是电路总电阻。 联立①②③④式，并代入题给数据得 m＝0.01 kg。 答案 方向竖直向下 0.01 kg [针对训练 1] 如图 2 所示，金属棒 MN 两端由等长的轻质细线水平悬挂，处于竖 直向上的匀强磁场中，棒中通以由 M 向 N 的电流，平衡时两悬线与竖直方向夹角 均为 θ。如果仅改变下列某一个条件，θ 角的相应变化情况是( )
1.(安培力作用下的平衡)如图 7 所示，用两根轻细金属丝将质量为 m、长为 l 的金 属棒 ab 悬挂在 c、d 两处，置于匀强磁场内。当棒中通以从 a 到 b 的电流 I 后， 两悬线偏离竖直方向 θ 角而处于平衡状态。为了使棒平衡在该位置上，所需的磁 场的最小磁感应强度的大小、方向为( )
mg A. Il tan
图9 A.导体棒 ab 所受安培力大小为 1.6×105 N B.光滑水平导轨长度至少为 20 m C.该过程系统产生的焦耳热为 3.2×106 J D.该过程系统消耗的总能量为 1.76×106 J 解析 由安培力公式有，F＝BIL＝8×104 N，选项 A 错误；弹体由静止加速到 4 km/s，由动能定理知 Fx＝12mv2，则轨道长度至少为 x＝m2Fv2＝20 m，选项 B 正确； 导体棒 ab 做匀加速运动，由 F＝ma，v＝at，解得该过程需要时间 t＝1×10－2 s， 该过程中产生焦耳热 Q＝I2(R＋r)t＝1.6×105 J，弹体和导体棒 ab 增加的总动能 Ek ＝12mv2＝1.6×106 J，系统消耗总能量 E＝Ek＋Q＝1.76×106 J，选项 C 错误，选项 D 正确。 答案 BD 4.(安培力与牛顿第二定律的结合)如图 10 所示，ab、cd 为两根相距 2 m 的平行金 属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，质量为 3.6 kg 的金属棒 MN 放在导 轨上。当金 属棒中通以 5 A 的电流时，金属棒沿导轨做匀速运动；当金属棒中的电流增大到 8 A 时，金属棒能获得 2 m/s2 的加速度。求匀强磁场的磁感应强度的大小。
图6 (1)在图中画出连线，完成实验电路。要求滑动变阻器以限流方式接入电路，且在 开关闭合后，金属棒沿箭头所示的方向移动。 (2)为使金属棒在离开导轨时具有更大的速度，有人提出以下建议： A.适当增加两导轨间的距离
B.换一根更长的金属棒 C.适当增大金属棒中的电流 其中正确的是________(填入正确选项前的标号)。 解析 (1)实物连线如图所示。
安培力和牛顿第二定律的结合
[要点归纳] 解决安培力作用下的力学综合问题，做好全面的受力分析是前提，其中重要的是 不要漏掉安培力，其次要根据题设条件明确运动状态，再根据牛顿第二定律和运 动学公式列方程求解。 [精典示例] [例 2] 如图 3 所示，光滑的平行导轨倾角为 θ，处在磁感应强度为 B 的匀强磁场 中，导轨中接入电动势为 E、内阻为 r 的直流电源。电路中有一阻值为 R 的电阻， 其余电阻不计，将质量为 m、长度为 L 的导体棒由静止释放，求导体棒在释放瞬 间的加速度的大小。
图8 A.磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为（m1N－ILm2）g B.磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为2mNgIL C.磁感应强度方向垂直纸面向外，大小为（m1N－ILm2）g D.磁感应强度方向垂直纸面向外，大小为2mNgIL 解析 由题目所给条件，先判断出磁场的方向再根据天平的工作原理列出对应关 系式。因为电流反向时，右边再加砝码才能重新平衡，所以电流反向后安培力竖 直向上，由左手定则判断磁场向里。电流反向前，有 m1g＝m2g＋m3g＋NBIL，其 中 m3 为线圈质量。电流反向后，有 m1g＝m2g＋m3g＋mg－NBIL。两式联立可得 B＝2mNgIL。故选项 B 正确。
大小和磁场力的最大功率。(轨道摩擦不计)
图5 解析 电磁炮在安培力的作用下，沿轨道做匀加速运动。因为通过 100 m 的位移 加速至 6 km/s，利用动能定理可得 F 安 x＝ΔEk，即 BILx＝12mv2－0。 代入数据可得 B＝1.8×104 T。 运动过程中，磁场力的最大功率为 P＝Fvm＝BILvm＝1.08×1011 W。 答案 1.8×104 T 1.08×1011 W
图 10 解析 设磁感应强度为 B，金属棒与轨道间的动摩擦因数为 μ，金属棒的质量为 m， 金属棒在磁场中的有效长度为 L＝2 m。当棒中的电流为 I1＝5 A 时，金属棒受到 的安培力与轨道对棒的滑动摩擦力平衡，金属棒做匀速直线运动。由平衡条件可 得 BI1L＝μmg① 当金属棒中的电流为 I2＝8 A 时，棒做加速运动，加速度大小为 a， 根据牛顿第二定律得 BI2L－μmg＝ma② 将①代入②得 B＝（I2－maI1）L＝33.6××22 T＝1.2 T。 答案 1.2
图2 A.金属棒中的电流变大，θ 角变大 B.两悬线等长变短，θ 角变小 C.金属棒质量变大，θ 角变大 D.磁感应强度变大，θ 角变小 解析 选金属棒 MN 为研究对象，其受力情况如图所示。根据平衡 条件及三角形知识可得 tan θ＝BmIgL，所以当金属棒中的电流 I 或磁 感应强度 B 变大时，θ 角变大，选项 A 正确，D 错误；当金属棒 质量 m 变大时，θ 角变小，选项 C 错误；θ 角的大小与悬线长短无关，选项 B 错 误。 答案 A
图4 解析 在导轨上通有电流 I 时，炮弹作为导体受到磁场施加的安培力为 F＝BIL① 设炮弹的加速度为 a，则有 F＝ma② 炮弹在两导轨间做匀加速运动，因而有 v2＝2ax③ 联立①②③代入数据得 I＝6×105 A 答案 6×105 A
安培力作用下的功能关系
[要点归纳] 安培力做功的特点和实质 (1)安培力做功与路径有关，这一点与电场力不同。 (2)安培力做功的实质是能量转化 ①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的机械能或其他形式的能。 ②安培力做负功时将机械能转化为电能或其他形式的能。 [精典示例] [例 3] 电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如图 5 所示，利用这种装置可以 把质量为 2.0 kg 的弹体(包括金属杆 EF 的质量)加速到 6 km/s。若这种装置的轨道 宽 2 m，长为 100 m，通过的电流为 10 A，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度
(2)根据公式 F＝BIL 可得，适当增加导轨间的距离或者增大电流，可增大金属棒 受到的安培力，根据动能定理得，Fs－μmgs＝12mv2，则金属棒离开导轨时的动能 变大，即离开导轨时的速度变大，A、C 正确；若换用一根更长的金属棒，但金 属棒切割磁感线的有效长度即导轨间的宽度不变，安培力 F 不变，棒的质量变大， 速度 v＝ 2mFs－2μgs变小，B 错误。 答案 (1)见解析图 (2)AC
[针对训练 2] 据报道，最近已研制出一种可投入使用的电磁轨道炮，其原理如图 4 所示。炮弹(可视为长方形导体)置于两固定的平行导轨之间，并与轨道壁密接。 开始时炮弹在导轨的一端，通以电流后炮弹会被磁力加速，最后从位于导轨另一 端的出口高速射出。设两导轨之间的距离 L＝0.10 m，导轨长 x＝5.0 m，炮弹质 量 m＝0.30 kg。导轨上的电流 I 的方向如图中箭头所示。可以认为，炮弹在轨道 内运动时，它所在处磁场的磁感应强度始终为 B＝2.0 T，方向垂直于纸面向里。 若炮弹出口速度为 v＝2.0×103 m/s，求通过导轨的电流 I。忽略摩擦力与重力的影 响。
θ，竖直向上
图7
mg B. Il tan
θ，竖直向下
mg C. Il sin
θ，平行悬线向下
mg D. Il sin
θ，平行悬线向上
解析 要求所加磁场的磁感应强度最小，应使棒平衡时所受的安培力有
最小值。由于棒的重力恒定，悬线拉力的方向不变，由画出的力的三角
形可知，安培力的最小值为 Fmin＝mgsin θ，即 IlBmin＝mgsin θ，得 Bmin ＝mIlg sin θ，方向应平行于悬线向上，故选项 D 正确。
习题课五 安培力的综合应用
安培力作用下导体的平衡 [要点归纳] 解决安培力作用下的平衡问题与一般物体平衡方法类似，只是多画出一个安培力。 一般解题步骤为： (1)明确研究对象。 (2)把立体图画成平面图。 (3)受力分析，然后根据平衡条件 F 合＝0 列方程。 [精典示例] [例 1] (2015·全国卷Ⅰ)如图 1 所示，一长为 10 cm 的金属棒 ab 用两个完全相同的 弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为 0.1 T，方向垂直于纸面 向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一电动势为 12 V 的 电池相连，电路总电阻为 2 Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量为 0.5 cm；闭合 开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了 0.3 cm。重 力加速度大小取 10 m/s2。判断开关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属 棒的质量。