2020年上海杨浦初三数学一模试卷及答案
∥3套精选试卷∥上海市杨浦区2020-2021中考数学毕业升学考试一模试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn =【答案】C【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．2．关于反比例函数y=2x，下列说法中错误的是（ ） A ．它的图象是双曲线B ．它的图象在第一、三象限C ．y 的值随x 的值增大而减小D ．若点（a ，b ）在它的图象上，则点（b ，a ）也在它的图象上【答案】C 【解析】根据反比例函数y=2x的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答． 【详解】A ．反比例函数2y x =的图像是双曲线，正确； B ．k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；C ．在每一象限内，y 的值随x 的增大而减小，错误；D ．∵ab=ba ，∴若点（a ，b ）在它的图像上，则点（b ，a ）也在它的图像上，故正确．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．3．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为()A．22B．4 C．32D．42【答案】B【解析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中CAD DBF AD BDFDB ADC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．5．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，当03x ≤≤时，11222y AP AB x x =⋅=⨯=； 当35x <≤时， ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()11123123325222x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-1922x =-+； 当57x <≤时，()1127722y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数解析式，可知选项B 正确.【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积． 6．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】C 【解析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【详解】∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE ，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．7．如果关于x 的不等式组2030x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x =、3x =，那么适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对(,)a b 共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】D【解析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜2a ≤2、3≤3b ＜4，求出2＜a≤4、9≤b ＜12，即可得出答案．【详解】解不等式2x−a≥0，得：x≥2a ， 解不等式3x−b≤0，得：x≤3b ， ∵不等式组的整数解仅有x ＝2、x ＝3，则1＜2a ≤2、3≤3b ＜4， 解得：2＜a≤4、9≤b ＜12，则a ＝3时，b ＝9、10、11；当a ＝4时，b ＝9、10、11；所以适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有6个，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a 、b 的值．8．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为（ ）米A．6.5B．9C．13D．15【答案】A【解析】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5考点：垂径定理的应用．9．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（）A．13B．2C．2D．3【答案】B【解析】根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，设a=x,则c=3x,b=229x x-=22x.即tanA=22x =24.故选B.【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.10．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A3B．2 C．23D．(123+【答案】C【解析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到CD=OC，求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出AB的长．【详解】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm ， 在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC 2+OC 2=OA 2，即AC 2+1=4，解得：AC=3cm ，则AB=2AC=23cm ．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .【答案】36或5【解析】（3）当B′D=B′C 时，过B′点作GH ∥AD ，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D 时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=36，得BE=3． 由翻折的性质，得B′E=BE=3，∴EG=AG ﹣AE=8﹣3=5，∴22'B E EG -22135-，∴B′H=GH ﹣B′G=36﹣33=4，∴22'B H DH +2248+5（3）当DB′=CD 时，则DB′=36（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；（3）当CB′=CD 时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E 、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为36或45．故答案为36或45．考点：3．翻折变换（折叠问题）；3．分类讨论．12．规定：()a b a b b ⊗=+，如：()2323315⊗=+⨯=，若23x ⊗=，则x ＝__.【答案】1或-1【解析】根据a ⊗b=（a+b ）b ，列出关于x 的方程（2+x ）x=1，解方程即可． 【详解】依题意得：（2+x ）x=1，整理，得 x 2+2x=1，所以 （x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=-1．故答案是：1或-1．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．13．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是℃．【答案】11.【解析】试题解析：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，∴这7天中最大的日温差是11℃．考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法．14．若关于x、y的二元一次方程组2133x y mx y-=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＞0，则m的取值范围是____．【答案】m>-1【解析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y＞0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．【详解】解：2133x y mx y-=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得1x+1y＝1m+4，则x+y＝m+1，根据题意得m+1＞0，解得m＞﹣1．故答案是：m＞﹣1．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x 2﹣2x+1＝﹣x 2+5x ﹣3：则所捂住的多项式是___．【答案】x 2+7x-4 【解析】设他所捂的多项式为A ，则22(53)(221)A x x x x =-+-++-；接下来利用去括号法则对其进行去括号，然后合并同类项即可.【详解】解：设他所捂的多项式为A ，则根据题目信息可得 22(53)(221),A x x x x =-+-++-2253221,x x x x =-+-++-27 4.x x =+-他所捂的多项式为27 4.x x +-故答案为27 4.x x +-【点睛】本题是一道关于整数加减运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握整数的加减运算；17．如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为1 cm ，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm 1．【答案】4π 【解析】根据直角三角形的性质求出OC 、BC ，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=12OB=1则边BC扫过区域的面积为：2 2112012012=3603604πππ⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭-故答案为4π．【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.18．如图，在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，若S四边形ABFE=9，则S三角形EFC=________．【答案】3【解析】分析：由已知条件易得：EF∥AB，且EF：AB=1：2，从而可得△CEF∽△CAB，且相似比为1：2，设S△CEF=x，根据相似三角形的性质可得方程：194xx=+，解此方程即可求得△EFC的面积.详解：∵在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF：AB=1：2，∴△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB=1：4，设S△CEF=x，∵S△CAB=S△CEF+S四边形ABFE，S四边形ABFE=9，∴194xx=+，解得：3x=，经检验：3x=是所列方程的解.故答案为：3.点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：AB ＝DC ；试判断△OEF 的形状，并说明理由．【答案】（1）证明略（2）等腰三角形，理由略【解析】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即BF ＝CE ．又∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），∴AB ＝DC ．（2）△OEF 为等腰三角形理由如下：∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ．∴OE=OF ．∴△OEF 为等腰三角形．20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图像与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ,N 两点.若点M 是AB 边的中点，求反比例函数k y x=的解析式和点N 的坐标；若2AM =，求直线MN 的解析式及OMN △的面积【答案】（1）18y x=，N(3，6)；（2）y ＝－x ＋2，S △OMN ＝3. 【解析】（1）求出点M 坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把N 点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标；（2）根据M 点的坐标与反比例函数的解析式，求得N 点的坐标，利用待定系数法求得直线MN 的解析式，根据△OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN 即可得到答案．【详解】解：(1)∵点M 是AB 边的中点，∴M(6，3)．∵反比例函数y ＝k x 经过点M ，∴3＝6k ．∴k ＝1． ∴反比例函数的解析式为y ＝18x ． 当y ＝6时，x ＝3，∴N(3，6)．(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．设直线MN 的解析式为y ＝ax ＋b ，则6226a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得18a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋2．∴S △OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN ＝36－6－6－2＝3．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，正方形的性质，求得M 、N 点的坐标是解题的关键．21．如图，△ABC 和△ADE 分别是以BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点D 在线段BC 上，AF 平分DE 交BC 于点F ，连接BE ，EF ．CD 与BE 相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；若∠BAC=90°，求证：BF 1+CD 1=FD 1．【答案】（1）CD=BE ，理由见解析；（1）证明见解析.【解析】（1）由两个三角形为等腰三角形可得AB ＝AC ，AE ＝AD ，由∠BAC ＝∠EAD 可得∠EAB ＝∠CAD ，根据“SAS”可证得△EAB ≌△CAD ，即可得出结论；（1）根据（1）中结论和等腰直角三角形的性质得出∠EBF ＝90°，在Rt △EBF 中由勾股定理得出BF 1＋BE 1＝EF 1，然后证得EF ＝FD ，BE ＝CD ，等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）CD ＝BE ，理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等腰三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵∠EAD ＝∠BAC ，∴∠EAD ﹣∠BAD ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠EAB ＝∠CAD ，在△EAB 与△CAD 中AE AD EAB CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAB ≌△CAD ，∴BE＝CD；（1）∵∠BAC＝90°，∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABF＝∠C＝45°，∵△EAB≌△CAD，∴∠EBA＝∠C，∴∠EBA＝45°，∴∠EBF＝90°，在Rt△BFE中，BF1＋BE1＝EF1，∵AF平分DE，AE＝AD，∴AF垂直平分DE，∴EF＝FD，由（1）可知，BE＝CD，∴BF1＋CD1＝FD1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合题意寻找出三角形全等的条件是解决此题的关键．22．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x的值．【答案】（1）300米/分；（2）y=﹣300x+3000；（3）7811分．【解析】（1）由图象看出所需时间．再根据路程÷时间=速度算出小张骑自行车的速度．（2）根据由小张的速度可知：B（10，0），设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可. （3）求出CD的解析式，列出方程，求解即可.【详解】解：（1）由题意得：240012003004-=（米/分），答：小张骑自行车的速度是300米/分；（2）由小张的速度可知：B （10，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，把A （6，1200）和B （10，0）代入得：10061200,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：3003000,k b =-⎧⎨=⎩ ∴小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；3003000y x =-+；（3）小李骑摩托车所用的时间： 24003,800= ∵C （6，0），D （9，2400），同理得：CD 的解析式为：y=800x ﹣4800，则80048003003000x x -=-+， 7811x = 答：小张与小李相遇时x 的值是7811分．【点睛】考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.23．先化简，再求值：（x+2y ）（x ﹣2y ）+（20xy 3﹣8x 2y 2）÷4xy ，其中x ＝2018，y ＝1．【答案】 (x ﹣y)2；2.【解析】首先利用多项式的乘法法则以及多项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】原式= x 2﹣4y 2+4xy(5y 2-2xy)÷4xy＝x 2﹣4y 2+5y 2﹣2xy＝x 2﹣2xy+y 2，＝(x ﹣y)2，当x ＝2028，y ＝2时，原式＝(2028﹣2)2＝(﹣2)2＝2．【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确利用多项式的乘法法则以及合并同类项法则是解题的关键.24．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？【答案】（1）y＝150﹣x；（2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【解析】（1）若购买x双（10＜x＜1），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75；当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1．②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．【详解】解：（1）购买x双（10＜x＜1）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，解得x1＝30，x2＝40；当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，解得x＝30或x＝70，但40＜x＜1，所以无解；答：第一批购买数量为30双或40双．②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；当40＜x＜1时，w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．25．解方程：.【答案】【解析】两边同时乘以（x-3），得到整式方程，解整式方程后进行检验即可得.【详解】两边同时乘以（x-3），得2-x-1=x-3，解得：x=2检验：当x=2时，x-3≠0，所以x=2是原方程的根，所以原方程的根是x=2.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键.26．计算：|2|82﹣π）0+2cos45°．解方程：33xx-=1﹣13x-【答案】（1）﹣1；（2）x=﹣1是原方程的根．【解析】（1）直接化简二次根式进而利用零指数幂的性质以及特殊角三角函数值进而得出答案；（2）直接去分母再解方程得出答案．【详解】（1）原式2﹣2﹣2=2﹣2=﹣1；（2）去分母得：3x=x﹣3+1，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，x﹣3≠0，故x=﹣1是原方程的根．【点睛】此题主要考查了实数运算和解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式组123122x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的正整数解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的正整数．【详解】解不等式1-2x ＜3，得：x ＞-1，解不等式12x +≤2，得：x≤3， 则不等式组的解集为-1＜x≤3，所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，故选C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出 一元一次不等式组的解集. 2．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AG GF的值是( )A ．43B ．54C ．65D ．76【答案】C【解析】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．设DE=a ，则AE=3a ，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.【详解】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴36552AG AE aGF FM a===，故选C．【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A．2402008x x=-B．2402008x x=+C．2402008x x=+D．2402008x x=-【答案】B【解析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可. 【详解】设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x+＝，故选B.【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．1326【答案】C【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A．B． C．D．【答案】BA C D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去【解析】试题解析：选项,,的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.6．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（）A．74 B．44 C．42 D．40【答案】C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.考点：众数.7．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ，∴AB ∥CD ∥EF∴△ABE ∽△DCE ， ∴，故选项B 正确，∵EF ∥AB ， ∴， ∴，故选项C ，D 正确，故选：A ．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．关于x 的不等式组0312(1)x m x x -<⎧⎨->-⎩无解，那么m 的取值范围为( ) A ．m≤－1B ．m<－1C ．－1<m≤0D ．－1≤m<0【答案】A【解析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m 的不等式，就可以求出m 的取值范围了. 【详解】()03121x m x x -<⎧⎪⎨->-⎪⎩①②， 解不等式①得：x<m ，解不等式②得：x>-1，由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.9．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据一次函数的位置确定a 、b 的大小，看是否符合ab<0，计算a-b 确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x- 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a b x-的图象过二、四象限， 所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x-的图象过一、三象限， 所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小10．下列四个多项式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋9【答案】D【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．故选D．考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需_____根火柴棒．【答案】2n+1．【解析】解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；……由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．12．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC 的周长为____．【答案】3【解析】试题分析：因为等腰△ABC的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3．考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．13．正五边形的内角和等于______度．【答案】540【解析】过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成3个三角形∴正五边形的内角和=3 180=540°14．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD是_____米．【答案】10【解析】首先证明△ABP∽△CDP，可得ABBP=CDPD，再代入相应数据可得答案．【详解】如图，由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴ABBP =CD PD，∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=15 CD，解得：CD=10米.故答案为10.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.16．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______． 【答案】1【解析】首先设黄球的个数为x 个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．解：设黄球的个数为x 个， 根据题意得：88x+=2/3解得：x=1． ∴黄球的个数为1．17．不等式组32132x x x ->⎧⎪⎨≤⎪⎩的解是____. 【答案】16x <≤【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】32132x x x ＞①②-⎧⎪⎨≤⎪⎩ 解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是1＜x≤1，故答案是：1＜x≤1．【点睛】考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．已知23-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】23+【解析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将3【详解】设方程的另一根为x 1，又∵3x 13，解得x 13． 故答案为：23【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：3，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，求点B到地面的距离；求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）【答案】（1）2；（2）宣传牌CD高（20﹣3m．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=BHAH333．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×12=2；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=1．cos30°3在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=15DE，得到3，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出3，于是得到DF=DE﹣EF=DE ﹣32．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，求得∠C=∠CBF=42°，得出3+12，即可求得结果．试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH33∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×12=2．答：点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=1．cos30°3在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=15DE，∴3，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴3+12，DF=DE﹣EF=DE﹣32．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，∴∠C=∠CBF=42°，∴3，∴CD=CF﹣3+12﹣（32）=20﹣3．答：广告牌CD的高度约为（20﹣320．如图，建筑物AB 的高为6cm ，在其正东方向有个通信塔CD ，在它们之间的地面点M （B ，M ，D 三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A 、塔项C 的仰角分别为37°和60°，在A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3=1.73，精确到0.1m ）【答案】通信塔CD 的高度约为15.9cm ．【解析】过点A 作AE ⊥CD 于E ，设CE=xm ，解直角三角形求出AE ，解直角三角形求出BM 、DM ，即可得出关于x 的方程，求出方程的解即可．【详解】过点A 作AE ⊥CD 于E ，则四边形ABDE 是矩形，设CE=xcm ，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠CAE=30°， 所以AE=330CE tan =︒xcm ， 在Rt △CDM 中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm ， DM=)36603x CD tan +=︒cm ， 在Rt △ABM 中，BM=63737AB tan tan =︒︒cm ，。
上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．估计19﹣1的值为（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（）A．12B．13C．23D．343．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝kx的图象经过点D，则k值为（）A．﹣14 B．14 C．7 D．﹣74．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤3a b2 ．你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字6、7、8、1．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域的数字是奇数的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或107．如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）A ．3a+2bB ．3a+4bC ．6a+2bD ．6a+4b 8．下列计算正确的是A ．224a a a +=B ．624a a a ÷=C ．352()a a =D ．222)=a b a b --（ 9．解分式方程2x 23x 11x++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=- B ．()2x 23x 1-+=-C ．()()2x 231?x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=- 10．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．16C ．12D ．812．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且(3,0)A ，(2,)B b ，则正方形ABCD 的面积是（ ）A ．13B ．20C ．25D ．34二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .14．如图，在正六边形ABCDEF 中，AC 于FB 相交于点G ，则AG GC值为_____．15．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y=﹣4x图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 16．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ※n=mn ﹣m ﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=1．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是_____．17．分解因式：3x 3﹣27x ＝_____．18．如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=50°，则∠2的度数为_______.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知C 为线段AB 上一点，关于x 的两个方程()112x m +=与()23x m m +=的解分别为线段AC BC ，的长，当2m =时，求线段AB 的长；若C 为线段AB 的三等分点，求m 的值.20．（6分）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，AD 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线，交DA 的延长线于点E ，连接BD ，且∠E ＝∠DBC ．（1）求证：DB 平分∠ADC ；（2）若EB ＝10，CD ＝9，tan ∠ABE ＝12，求⊙O 的半径． 21．（6分）如图，⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，G 为弦AE 的中点，连接OG 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，使得FC=BC ，连接BC ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)⊙O 的半径为5，tanA=34，求FD 的长．22．（8分）已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.23．（8分）如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．24．（10分）如图，抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴的交于点C ，其中A 点的坐标为（﹣3，0），点C 的坐标为（0，﹣3），对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．25．（10分）某渔业养殖场，对每天打捞上来的鱼，一部分由工人运到集贸市场按10元/斤销售，剩下的全部按3元/斤的购销合同直接包销给外面的某公司：养殖场共有30名工人，每名工人只能参与打捞与到集贸市场销售中的一项工作，且每人每天可以打捞鱼100斤或销售鱼50斤，设安排x 名员工负责打捞，剩下的负责到市场销售．（1）若养殖场一天的总销售收入为y 元，求y 与x 的函数关系式；（2）若合同要求每天销售给外面某公司的鱼至少200斤，在遵守合同的前提下，问如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．26．（12分）在平面直角坐标系中，关于x 的一次函数的图象经过点(47)M ，，且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数表达式；（2）若点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，且点Q 在直线32y x =+的下方，求x 的取值范围．27．（12分）已知：如图，在矩形纸片ABCD 中，AB 4=，BC 3=，翻折矩形纸片，使点A 落在对角线DB 上的点F 处，折痕为DE ，打开矩形纸片，并连接EF ．()1BD 的长为多少；()2求AE 的长；()3在BE 上是否存在点P ，使得PF PC +的值最小？若存在，请你画出点P 的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案． 161925，∴119＜5，∴319﹣1＜1．故选C ．点睛：本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出119＜5是解题的关键，又利用了不等式的性质．2．D【解析】【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是34，故选：D.【点睛】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=.3．B【解析】过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为:（7,2）,∴k14=,故选B.4．D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴xb12a3=-=-，∴2b a3=-＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴b12a3=-=-，则3a b2=．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．5．A【解析】【分析】转盘中4个数，每转动一次就要4种可能，而其中是奇数的有2种可能．然后根据概率公式直接计算即可【详解】奇数有两种，共有四种情况，将转盘转动一次，求得到奇数的概率为：P （奇数）= = ．故此题选A ．【点睛】此题主要考查了几何概率，正确应用概率公式是解题关键．6．B【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x 2﹣8x+12=0，解得x 1=2，x 2=1．①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．所以它的周长是2．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 7．A【解析】【分析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a 的正方形的边长－边长为2b 的小正方形的边长＋边长为2b 的小正方形的边长的2倍代入数据即可.【详解】依题意有：3a ﹣2b+2b×2=3a ﹣2b+4b=3a+2b ． 故这块矩形较长的边长为3a+2b ．故选A ．【点睛】本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键. 8．B【解析】试题分析：根据合并同类项的法则，可知2222a a a +=，故A 不正确；根据同底数幂的除法，知624a a a ÷=，故B 正确；根据幂的乘方，知()326a a =，故C 不正确；根据完全平方公式，知()2222ab a b a b -=-+，故D 不正确.故选B.点睛：此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是灵活应用合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，乘法公式进行计算.9．D【解析】试题分析：方程22311xx x++=--，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.考点：解分式方程的步骤.10．C【解析】【分析】根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．【详解】由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，则△PBQ的面积S＝12PB•BQ＝12（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．11．B【解析】【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．12．D【解析】作BE⊥OA于点E.则AE=2-(-3)=5，△AOD≌△BEA（AAS）,∴OD=AE=5，22223534AD AO OD∴=+=+=,∴正方形ABCD的面积是:343434⨯=,故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．312π+.【解析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=26022 3603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）=229029012113 36036032πππ⨯⨯---⨯（）=32432ππ-+=12π+ 14．12． 【解析】【分析】由正六边形的性质得出AB=BC=AF ，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，证出AG=BG ，∠CBG=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG ，即可得出答案．【详解】∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝BC ＝AF ，∠ABC ＝∠BAF ＝120°，∴∠ABF ＝∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴AG ＝BG ，∠CBG ＝90°，∴CG ＝2BG ＝2AG ， ∴AG GC ＝12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15．y 1＜y 1【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 1与y 1的大小，从而可以解答本题． 详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵A （-4，y 1），B （-1，y 1）是反比例函数y=-4x 图象上的两个点，-4＜-1， ∴y 1＜y 1，故答案为：y 1＜y 1．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．16．45a ≤<【解析】【详解】解：根据题意得：2※x=2x ﹣2﹣x+3=x+1，∵a ＜x+1＜7，即a ﹣1＜x ＜6解集中有两个整数解，∴a 的范围为45a ≤<，故答案为45a ≤<．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．17．3x （x+3）（x ﹣3）．【解析】【分析】首先提取公因式3x ，再进一步运用平方差公式进行因式分解．【详解】3x 3﹣27x＝3x （x 2﹣9）＝3x （x+3）（x ﹣3）．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．65°【解析】因为AB ∥CD ，所以∠BEF=180°-∠1=130°，因为EG 平分∠BEF ，所以∠BEG=65°，因为AB ∥CD ，所以∠2=∠BEG=65°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）4AB =；（2）47=m 或1. 【解析】【分析】（1）把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC 、BC 的长，由C 为线段AB 上一点即可得AB 的长；（2）分别解两个方程可得m BC 2=，AC 2m 1=-，根据C 为线段AB 的三等分点分别讨论C 为线段AB 靠近点A 的三等分点和C 为线段AB 靠近点B 的三等分点两种情况，列关于m 的方程即可求出m 的值.【详解】（1）当m 2=时，有()1x 122+=，()2x 223+=， 由方程()1x 122+=，解得x 3=，即AC 3=. 由方程()2x 223+=，解得x 1=，即BC 1=. 因为C 为线段AB 上一点，所以AB AC BC 4=+=.（2）解方程()1x 1m 2+=，得x 2m 1=-， 即AC 2m 1=-.解方程()2x m m 3+=，得m x 2=， 即m BC 2=. ①当C 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，则BC 2AC =，即()m 22m 12=-，解得4m 7=. ②当C 为线段AB 靠近点B 的三等分点时， 则AC 2BC =，即m 2m 12?2-=，解得m 1=. 综上可得，4m 7=或1. 【点睛】本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C 点的位置，避免漏解是解题关键.20．（1）详见解析；（2）OA ＝152． 【解析】【分析】（1）连接OB ，证明∠ABE=∠ADB ，可得∠ABE=∠BDC ，则∠ADB=∠BDC ；（2）证明△AEB ∽△CBD ，AB=x ，则BD=2x ，可求出AB ，则答案可求出．【详解】（1）证明：连接OB ，∵BE 为⊙O 的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°，∴∠ABE+∠OBA＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠ABE+∠OAB＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠ADB，∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，∴∠EAB＝∠C，∵∠E＝∠DBC，∴∠ABE＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即DB平分∠ADC；（2）解：∵tan∠ABE＝12，∴设AB＝x，则BD＝2x，∴AD=，∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，∴△AEB∽△CBD，∴BE AB BD CD=，∴1029xx=，解得x＝∴AB＝15，∴OA＝152．【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．21．（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由点G是AE的中点，根据垂径定理可知OD⊥AE，由等腰三角形的性质可得∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD，从而∠OBD+∠CBF=90°，从而可证结论；（2）连接AD，解Rt△OAG可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG的长，再证明△DAG∽△FDG，由相似三角形的性质求出FG的长，再由勾股定理即可求出FD的长.【详解】（1）∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE，∵FC=BC，∴∠CBF=∠CFB，∵∠CFB=∠DFG，∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠D+∠DFG=90°，∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OA=5，tanA=，∴OG=3，AG=4，∴DG=OD﹣OG=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG，∴△DAG∽△FDG，∴，∴DG 2=AG•FG ，∴4=4FG ，∴FG=1∴由勾股定理可知：FD=5. 【点睛】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出∠CBF=∠DFG ，∠D=∠OBD 是解（1）的关键，证明证明△DAG ∽△FDG 是解（2）的关键.22．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.23．（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．24．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）；（3）94．【解析】【分析】（1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；（3）先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3），然后可得到QD与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的交点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，则抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12•OC•|a|＝2×12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，21）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，5）．∴点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）．（3）如图所示：设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则点Q 的坐标为（x ，﹣x ﹣3）．∴QD ＝﹣x ﹣3﹣（ x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x+3＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x 2+3x+94﹣94）＝﹣（x+32）2+94， ∴当x ＝﹣32时，QD 有最大值，QD 的最大值为94． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用．25．（1）y=﹣50x+10500；（2）安排12人打捞，18人销售可使销售利润最大，最大销售利润为9900元．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到y 关于x 的函数解析式，本题得以解决；（2）根据题意可以得到x 的不等式组，从而可以求得x 的取值范围，从而可以得到y 的最大值，本题得以解决．【详解】（1）由题意可得，y=10×50（30﹣x ）+3[100x ﹣50（30﹣x ）]=﹣50x+10500，即y 与x 的函数关系式为y=﹣50x+10500； （2）由题意可得，()()10050301005030200x x x x ⎧≥-⎪⎨--≥⎪⎩，得x 343≥， ∵x 是整数，y=﹣50x+10500，∴当x=12时，y 取得最大值，此时，y=﹣50×12+10500=9900，30﹣x=18，答：安排12人打捞，18人销售可使销售利润最大，最大销售利润为9900元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和不等式的性质解答．26．（1）2-1y x =；（2）3x >-．【解析】【分析】（1）由题意可设该一次函数的解析式为：2y x b =+，将点M （4，7）代入所设解析式求出b 的值即可得到一次函数的解析式；（2）根据直线上的点Q （x ，y ）在直线32y x =+的下方可得2x －1<3x+2，解不等式即得结果.【详解】解：（1）∵一次函数平行于直线2y x =，∴可设该一次函数的解析式为：2y x b =+，∵直线2y x b =+过点M （4，7），∴8+b=7，解得b=－1，∴一次函数的解析式为：y=2x －1；（2）∵点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，∴y=2x －1，又∵点Q 在直线32y x =+的下方，如图，∴2x －1<3x+2，解得x>－3.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一次函数与不等式的关系是解题的关键.27．（1）DB 5=；（2）AE 的长为32；（1）存在，画出点P 的位置如图1见解析，PF PC +的最小值为 5055． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）设AE=x ，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（1）延长CB 到点G ，使BG=BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴∠DAB=90°，AD=BC=1．在Rt △ADB 中，DB 2222345AD AB =+=+=． 故答案为5；（2）设AE=x ．∵AB=4，∴BE=4﹣x ，在矩形ABCD 中，根据折叠的性质知：Rt △FDE ≌Rt △ADE ，∴FE=AE=x ，FD=AD=BC=1，∴BF=BD ﹣FD=5﹣1=2．在Rt △BEF 中，根据勾股定理，得FE 2+BF 2=BE 2，即x 2+4=（4﹣x ）2，解得：x 32=，∴AE 的长为32； （1）存在，如图1，延长CB 到点G ，使BG=BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，则点P 即为所求，此时有：PC=PG ，∴PF+PC=GF ．过点F 作FH ⊥BC ，交BC 于点H ，则有FH ∥DC ，∴△BFH ∽△BDC ，∴FH BF BH DC BD BC==，即2453FH BH ==，∴8655FH BH ，==，∴GH=BG+BH 621355=+=．在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得：GF 2222218505555GH FH =+=+=（）（），即PF+PC 505． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握设未知数列方程的思想．。
【精校】2020年上海市杨浦区中考一模数学
2020年上海市杨浦区中考一模数学一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分) 1.如果5x=6y ，那么下列结论正确的是( ) A.x ：6=y ：5 B.x ：5=y ：6 C.x=5，y=6 D.x=6，y=5解析：直接利用比例的性质将原式变形， ∵5x=6y ， ∴65x y =. 故选项A 正确. 答案：A2.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是( ) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角解析：因为A ，B ，D 给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A ，B ，D 错误；C 、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C 正确. 答案：C3.如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是( ) A.BC ：DE=1：2B.△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2C.∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D.△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2解析：A 、BC 与EF 是对应边，所以，BC ：DE=1：2不一定成立，故本选项错误； B 、△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：4，故本选项错误； C 、∠A 的度数：∠D 的度数=1：1，故本选项错误；D 、△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2正确，故本选项正确. 答案：D4.如果2a b r r ＝(a b r r ，均为非零向量)，那么下列结论错误的是( ) A.||2a b r rB.20a b =-r rC.12b a =r rD.2a b r r ＝解析：A 、正确.因为2a b r r ＝(a b r r ，均为非零向量)，所以a r 与b r 是方向相同的向量，即||a b r r； B 、错误.应该是20a b =-r r；C 、正确.由2a b r r ＝可得12b a =r r ； D 、正确.因为2a b r r ＝所以2a b r r ＝. 答案：B5.如果二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，那么下列不等式成立的是( )A.a ＞0B.b ＜0C.ac ＜0D.bc ＜0.解析：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴x=﹣2ba＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴ac ＜0，bc ＞0. 答案：C6.如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED=∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是( )A.EA ED BD BF＝B.EA ED BF BD＝C.AD AE BD BF＝D.BD BA BF BC＝.解析：A、∵∠AED=∠B，EA EDBD BF＝，∴△ADE∽△BDF，正确；B、∵∠AED=∠B，EA EDBF BD＝，∴△ADE∽△BDF，正确；C、∵∠AED=∠B，AD AEBD BF＝，不是夹角，∴不能得出△ADE∽△BDF，错误；D、∵∠AED=∠B，BD ABBF BC＝，∴△ABC∽△BDF，∵∠A=∠A，∠B=∠AED，∴△AED∽△ABC，∴△ADE∽△BDF，正确；答案：C二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是_____.解析：∵抛物线y=x2﹣3，∴抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是：(0，﹣3)，答案：(0，﹣3)8.化简：112322a b a b--+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r=_____.解析：112322a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r=3232a b a b---r r r r=14 2a b-r r答案：14 2a b-r r9.点A(﹣1，m)和点B(﹣2，n)都在抛物线y=(x﹣3)2+2上，则m与n的大小关系为m_____n(填“＜”或“＞”).解析：∵二次函数的解析式为y=(x﹣3)2+2，∴该抛物线开口向上，对称轴为x=3，在对称轴y的左侧y随x的增大而减小，∵﹣1＞﹣2，∴m＜n.答案：＜10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0，4)的抛物线的表达式_____.解析：因为抛物线的开口向下，则可设a=﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)，则可设顶点为(0，4)，所以此时抛物线的解析式为y=﹣x2+4.答案：y=﹣x2+411.如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，如果EG=4，那么AC=_____.解析：∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，∵EG=4，∴AE=83，GC=163，∴AC=AE+EG+GC=12，答案：1212.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是_____.解析：∵在▱ABCD中，AO=12 AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13 CE，∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==， ∵S △AEF =4，219AEF BCE S AF S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴S △BCE =36. 答案：3613.Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=9，cosA=13，那么AB=_____. 解析：如图.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，cosA=13AC AB =， ∴913AB =， ∴AB=27. 答案：2714.如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1：_____.解析：由题意得，水平距离，则该斜坡的坡度i=50：120=1：2.4. 答案：2.415.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB=12，那么CO=_____.解析：∵∠C=90°， CM 是AB 边上的中线， ∴CM=12AB=6， ∵MH ⊥BC ，∴H是BC的中点，∴AH是BC边上的中线，∵AH与CM交于点O，∴O是△ABC的重心，∴23 COCM＝，∴CO=23CM=4，答案：416.已知抛物线y=ax2+2ax+c，那么点P(﹣3，4)关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是_____.解析：∵y=ax2+2ax+c，∴抛物线对称轴为x=﹣2aa=﹣1，∵P(﹣3，4)关于对称轴对称的点的坐标为(1，4)，答案：(1，4)17.在平面直角坐标系中，将点(﹣b，﹣a)称为点(a，b)的“关联点”(例如点(﹣2，﹣1)是点(1，2)的“关联点”).如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_____象限.解析：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)分别在一三象限，不合题意；若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)都在第二或第四象限，符合题意；答案：二、四18.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB=23，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是_____.解析：如图所示，连接BD，AM，∵AB=AC，M是BC的中点，BC=6，∴AM ⊥BC ， ∵sinB=23，BM=3， ∴Rt △ABM 中，由勾股定理可得：， ∵∠ACB=∠ACD ，BC=DC ，∴BD ⊥AC ，BH=DH ，∴12BC ×AM=12AC ×BH ， ∴BH=BC AM AC⨯=4，∴BD=2BH=8，又∵M 是BC 的中点，N 是CD 的中点， ∴MN=12BD=4， 答案：4三、解答题：(本大题共7题，满分78分) 19.计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒.解析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案.答案：原式=12231122-+⨯=1222-=14.20.已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ：DB=2：3，DE ⊥BC.(1)求∠DCE 的正切值；(2)如果设AB a CD b u u u r r u u u r r ＝，＝，试用a b r r 、表示AC u u u r.解析：(1)设AC=3a ，AB=5a.则BC=4a.想办法求出DE 、CE ，根据tan ∠DCE=DECE即可解决问题；(2)根据AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出AD DC u u u r u u u r、即可解决问题； 答案：(1)∵∠ACB=90°，sinB=35， ∴35AC AB =， ∴设AC=3a ，AB=5a.则BC=4a. ∵AD ：DB=2：3，∴AD=2a ，DB=3a. ∵∠ACB=90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ， ∴AC ∥DE.∴DE BD CE ADAC AB CB AB ==，. ∴323545DE a CE a a a a a ==，. ∴DE=95a ，CE=85a ，∵DE ⊥BC ， ∴tan ∠DCE=98DE CE =.(2)∵AD ：DB=2：3， ∴AD ：AB=2：5，∵AB a CD b u u u r r u u u r r＝，＝， ∴25AD a DC b =-u u u r r u u u r r＝，，∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴25AC a b -u u u r r r ＝.21.甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.解析：首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案. 答案：由题意得：C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax 2+bx+1(a ≠0)，则据题意得：421.53661ba ab ⎧-⎪⎨⎪++⎩＝＝，解得：12413a b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：2111243y x x =-++， ∵()2154243y x =--+， ∴飞行的最高高度为：53米.22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tanα=6.求灯杆AB 的长度.解析：过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=10.设AF=x 知EF=AF=x 、tan 6AF xDF ADF ==∠，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF ﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8.答案：过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=10.由题意得∠ADE=α，∠E=45°. 设AF=x.∵∠E=45°， ∴EF=AF=x.在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF=AFDF， ∴tan tan 6AF x xDF ADF α===∠，∵DE=13.3， ∴x+6x=13.3. ∴x=11.4.∴AG=AF ﹣GF=11.4﹣10=1.4. ∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=120°﹣90°=30°. ∴AB=2AG=2.8，答：灯杆AB 的长度为2.8米.23.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF=∠BAC.(1)求证：△AED ∽△CFE ；(2)当EF ∥DC 时，求证：AE=DE.解析：(1)首先根据已知得出∠ABD=∠FEC ，以及∠DAE=∠ECF ，进而求出△AED ∽△CFE ， (2)根据相似三角形的判定得出△AEB ∽△DEC ，再利用相似三角形的性质解答即可. 答案：证明：(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD ， ∠BEC=∠BEF+∠FEC ， 又∵∠BEF=∠BAC ， ∴∠ABD=∠FEC ， ∵AD=AB ，∴∠ABD=∠ADB ， ∴∠FEC=∠ADB ，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECF，∴△AED∽△CFE；(2)∵EF∥DC，∴∠FEC=∠ECD，∵∠ABD=∠FEC，∴∠ABD=∠ECD，∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC，∴AE BE DE CE＝，∵AD∥BC，∴AE DE CE BE＝，∴AE AE BE DEDE CE CE BE⨯⨯＝.即AE2=DE2，∴AE=DE.24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当抛物线过点(1，﹣2)，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；(3)当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值.解析：(1)利用配方法将函数关系式变形为y=﹣(x﹣m)2﹣m+1，从而可得到点D的坐标；(2)将点(1，﹣2)代入抛物线的解析式可求得m的值，然后求得平移前后的抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线平移的方向和距离；(3)分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH=∠AHO可得到AG AODG HO=，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可.答案：(1)∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣(x﹣m)2﹣m+1，∴顶点D(m，1﹣m).(2)∵抛物线y=﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣m+1过点(1，﹣2)，∴﹣2=﹣1+2m ﹣m 2﹣m+1.整理得：m 2﹣m ﹣2=0. ∴m=﹣1(舍)或m=2.当m=2时，抛物线的顶点是(2，﹣1)，∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. (3)∵顶点D 在第二象限， ∴m ＜0.当点A 在y 轴的正半轴上， 如图(1)作AG ⊥DH 于点G ，∵A(0，﹣m 2﹣m+1)，D(m ，﹣m+1)，∴H(m ，0)，G(m ，﹣m 2﹣m+1) ∵∠ADH=∠AHO ，∴tan ∠ADH=tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴()22111m m m m m m m ---+=-----+. 整理得：m 2+m=0.∴m=﹣1或m=0(舍).当点A 在y 轴的负半轴上，如图(2).作AG ⊥DH 于点G ，∵A(0，﹣m 2﹣m+1)，D(m ，﹣m+1)，∴H(m ，0)，G(m ，﹣m 2﹣m+1) ∵∠ADH=∠AHO ，∴tan ∠ADH=tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴()22111m m m m m m m -+-=-----+. 整理得：m 2+m ﹣2=0.∴m=﹣2或m=1(舍).综上所述，m 的值为﹣1或﹣2.25.已知：矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. (1)如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； (2)如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；(3)请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.解析：(1)先由折叠得出∠AEM=∠PEM ，AE=PE ，再判断出AB ∥EP ，进而判断出CN=CE ，最后用锐角三角函数即可得出结论；(2)先由锐角三角函数求出 AE ，CE ，再用勾股定理求出PC ，最后勾股定理建立方程即可得出结论；(3)先确定出PC 最大和最小时的位置，即可得出PC 的范围，最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论.答案：(1)∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME.∴∠AEM=∠PEM ，AE=PE. ∵ABCD 是矩形， ∴AB ⊥BC. ∵EP ⊥BC ， ∴AB ∥EP.∴∠AME=∠PEM. ∴∠AEM=∠AME. ∴AM=AE ，∵ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC. ∴AM AECN CE＝. ∴CN=CE ， 设CN=CE=x.∵ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5.∴PE=AE=5﹣x. ∵EP⊥BC，∴454 sin55 EP xACBCE x-=∠=∴．＝，∴x=259，即CN=25 9(2)∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME.∴AE=PE，AM=PM.∵EP⊥AC，∴4tan3 EPACBCE=∠=.∴43 AECE=.∵AC=5，∴AE=207，CE=157.∴PE=207，∵EP⊥AC，∴257 =.∴PB=PC﹣BC=47，在Rt△PMB中，∵PM2=PB2+MB2，AM=PM.∴AM2=(47)2+(4﹣AM)2.∴AM=100 49；(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，由折叠知，AE=PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，∴0≤CP≤5，如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，∴BP=2，由折叠知，PM=AM，在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2=BP2，∴(4﹣BM)2﹣BM2=4，∴BM=32，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，=.当CP最大时，考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020-2021上海杨浦高级中学九年级数学上期末第一次模拟试卷及答案
2020-2021上海杨浦高级中学九年级数学上期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x ，则x 满足等式( )A ．16(1+2x)=25B ．25(1-2x)=16C ．25(1-x)²=16D ．16(1+x)²=252．下列命题错误．．的是 ( ) A ．经过三个点一定可以作圆B ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C ．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等3．抛物线2y x 2=-+的对称轴为A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0= 4．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56° 5．若关于x 的一元二次方程()26230a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2B ．﹣2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞47．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）A ．4m 或10mB ．4mC ．10mD ．8m 8．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、3 9．二次函数y=3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，–5)C ．(0，7)D ．(0，3) 10．如图，AB 为⊙O 的直径，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切，D 为切点，若∠BCD ＝125°，则∠ADP 的大小为（ ）A ．25°B ．40°C ．35°D ．30° 11．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜112．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ，AE ，FG 分别交射线CD 于点 PH ，连结 AH ，若 P 是 CH 的中点，则△APH 的周长为（ ）A ．15B ．18C ．20D ．24二、填空题13．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________．14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm ．15．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．16．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．17．抛物线21(2)43y x =++关于x 轴对称的抛物线的解析式为_______ 18．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．20．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．三、解答题21．若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果百位上的数字为a 、十位上的数字为b ，三位数t 是“差数”，我们就记：()()F t b a b =⨯-，其中，19a ≤≤，09b ≤≤．例如三位数514．∵514-=，∴514是“差数”，∴()()5141514F =⨯-=．（1）已知一个三位数m 的百位上的数字是6，若m 是“差数”，()9F m =，求m 的值；（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为n ，请判断n 是不是“差数”，若是，请求出()F n ；若不是，请说明理由．22．如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 Rt ∆ABC 和 Rt ∆BED 的边长，已知2=AE c ，这时我们把关于 x 的形如220++=ax cx b 二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”220+=ax cx b ，必有实数根；(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 220++=ax cx b 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是62，求 ABC的面积．23．解方程：（1）x2-3x+1=0；（2）x（x+3）-（2x+6）=0．24．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．25．如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x），第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2．∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2=16．故选C．2．A解析：A【解析】选项A，经过不在同一直线上的三个点可以作圆；选项B，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；选项C，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；选项D，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选A.3．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．4．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤193且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．【详解】根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，解得a≤193且a≠6，所以整数a的最大值为5.故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.6．B解析：B【解析】【分析】【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选B．7．C解析：C【解析】【分析】设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，根据题意列出方程x（28-2x）=80，解得x1=4，x2=10因为8≤x＜14∴与墙垂直的边x为10m故答案为C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.8．A解析：A【解析】【分析】让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．【详解】解：∵P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，∴-b+3=0，2+2a=0，解得a=-1，b=3，故选A．【点睛】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．9．C解析：C【解析】【分析】由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.【详解】∵y=3（x﹣2）2﹣5,∴当x=0时，y=7,∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.10．C解析：C【解析】【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【详解】连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=125°﹣90°=35°，∴∠AOD=2∠ACD=70°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠ADO=55°．∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12．C解析：C【解析】【分析】连结AC ，先由△AGH ≌△ADH 得到∠GHA ＝∠AHD ，进而得到∠AHD ＝∠HAP ，所以△AHP 是等腰三角形，所以PH ＝PA ＝PC ，所以∠HAC 是直角，再在Rt △ABC 中由勾股定理求出AC 的长，然后由△HAC ∽△ADC ，根据＝求出AH 的长，再根据△HAC ∽△HDA 求出DH 的长，进而求得HP 和AP 的长，最后得到△APH 的周长.【详解】∵P 是CH 的中点，PH ＝PC ，∵AH ＝AH ，AG ＝AD ，且AGH 与ADH 都是直角，∴△AGH ≌△ADH ，∴∠GHA ＝∠AHD ，又∵GHA ＝HAP ，∴∠AHD ＝∠HAP ，∴△AHP 是等腰三角形，∴PH ＝PA ＝PC ，∴∠HAC 是直角，在Rt △ABC 中，AC ＝＝10，∵△HAC ∽△ADC ，∴＝，∴AH ＝＝＝7.5，又∵△HAC ∽△HAD ，＝，∴DH ＝4.5，∴HP ＝＝6.25，AP ＝HP ＝6.25，∴△APH 的周长＝AP ＋PH ＋AH ＝6.25＋6.25＋7.5＝20.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.二、填空题13．【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案详解：从12345中随机取出1个不同的数共有5种不同方法其中3被抽中的概率为故答案为点睛：本题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 解析：15 【解析】 分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为15.故答案为15. 点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 14．1【解析】【分析】（1）根据求出扇形弧长即圆锥底面周长；（2）根据即求圆锥底面半径【详解】该圆锥的底面半径=故答案为：1【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长解析：1【解析】【分析】（1）根据180n R l π=，求出扇形弧长，即圆锥底面周长； （2）根据2C r π=，即2C r π=，求圆锥底面半径． 【详解】 该圆锥的底面半径=()1203=11802cm ππ⋅⋅ 故答案为：1．【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长． 15．【解析】试题分析：确定出偶数有2个然后根据概率公式列式计算即可得解∵标号为12345的5个小球中偶数有2个∴P=考点：概率公式解析：【解析】试题分析：确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P=． 考点：概率公式 16．2或-1【解析】【分析】根据已知题意求第三边的长必须分类讨论即8是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求出另一边的长再根据内切圆半径公式求解即可【详解】若8是直角边则该三角形的斜边的长为：∴内切圆解析：2-1【解析】【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可.【详解】若8， ∴内切圆的半径为：6+810=22-；若8=∴内切圆的半径为：812.故答案为2【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键. 17．【解析】【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变纵坐标变为相反数可求出抛物线关于x 轴对称的抛物线解析式【详解】∵∴关于x 轴对称的抛物线解析式为-即故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何 解析：()21243y x =-+- 【解析】【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可求出抛物线21(2)43y x =++关于x 轴对称的抛物线解析式． 【详解】 ∵21(2)43y x =++， ∴关于x 轴对称的抛物线解析式为-21(2)43y x =++，即()21243y x =-+-， 故答案为：()21243y x =-+-． 【点睛】 此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x 轴、y 轴对称点的特点．18．-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x 的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2=﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+解析：-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣=﹣=﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．19．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m根据正方形的性质则可得出BC坐标代入二次函数y=ax2+c中即可求出a和c从而求积【详解】设正方形的对角线OA长为2m则B（﹣mm）C（mm）A（02解析：－2．【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，①代入②得：am2+2m=m，解得：a=-1m，则ac=-1m2m=-2．考点：二次函数综合题．20．13【解析】【分析】【详解】试题分析：有6种等可能的结果符合条件的只有2种则完成的图案为轴对称图案的概率是考点：轴对称图形的定义求某个事件的概率解析：．【解析】【分析】【详解】试题分析：有6种等可能的结果，符合条件的只有2种，则完成的图案为轴对称图案的概率是..考点：轴对称图形的定义，求某个事件的概率 .三、解答题21．（1）633m =；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，n 是“差数”，()16F n =【解析】 【分析】（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，根据()=(6)F m x x -进行求解； （2）根据“差数”的定义列出小于300的所有“差数”，进而求解． 【详解】解：（1）设三位数m 的十位上的数字是x ， ∴()=(6)9F m x x -=， 解得，3x =，∴个位上的数字为：633-=， ∴633m =；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220， ∴101110202211220844n =++++=，显然n 是“差数”，()()8444(84)16F n F ==⨯-=． 【点睛】本题是新定义问题，考查了解一元二次方程，理解新的定义是解题的关键． 22．（1）235240x x ++=(答案不唯一)（2）见解析（3）1. 【解析】 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c 的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解. 【详解】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为235240x x ++=；（2）依题意得△=）2-4ab=2c 2-4ab,∵a 2+b 2=c 2,∴2c 2-4ab=2（a 2+b 2）-4ab=2（a-b ）2≥0， 即△≥0，故方程必有实数根；（3）把x=-1代入得c∵四边形 ACDE 的周长是，即，故得到c=2，∴a 2+b 2=4， ∵(a+b)2= a 2+b 2+2ab ∴ab=2, 故∆ABC 的面积为12ab=1. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.23．（1）x 1x 22）x 1=-3，x 2=2． 【解析】试题分析：（1）直接利用公式法求出x 的值即可； （2）先把原方程进行因式分解，再求出x 的值即可．试题解析：（1）∵一元二次方程x 2-3x+1=0中，a=1，b=-3，c=1， ∴△=b 2-4ac=（-3）2-4×1×1=5．∴x=(3)32212b a -±--±±==⨯．即x 1x 2 （2）∵因式分解得 （x+3）（x-2）=0， ∴x+3=0或x-2=0， 解得 x 1=-3，x 2=2．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．解一元二次方程-公式法．24．解：（1）90°；（2）【解析】试题分析：（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD 、∠BCD 的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE 的度数，故此可求得∠DCE 的度数；（2）由（1）可知△DCE 是直角三角形，先由勾股定理求得AC 的长，然后依据比例关系可得到CE 和DC 的长，最后依据勾股定理求解即可． 试题解析：（1）∵△ABCD 为等腰直角三角形， ∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴=．∵CD=3AD，∴，．由旋转的性质可知：．∴=考点：旋转的性质．25．（1）34.（2）公平.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．试题解析：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是34；（2）列表得：∴P（两张都是轴对称图形）=12，因此这个游戏公平．考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.。
上海市杨浦区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷(word原卷版)
2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷2019.12一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 把抛物线y =x2向左平移1个单位后得到的抛物线是（）A.y=(x+1)2B.y=(x-1)2C. y =x2 +1D. y =x2 -12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cos A = 34，那么AB的长是（）A.52B.83C.103D.23√73. 已知a⃗，b⃗⃗和 c⃗都是非零向量，下列结论中不能判定a⃗// b⃗⃗的是（）A.a⃗// c⃗，b⃗⃗// c⃗B.a⃗=12c⃗，b⃗⃗=2c⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. |a⃗|=|b⃗⃗|4. 如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A. 3 ：5 ：4B. 3 ：6 ：5C. 1 ：3 ：2D. 1 ：4 ：25. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y = -23x2+ 6 x（0 ≤ x ≤ 4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A. 1 米B. 2 米C. 5 米D. 6 米6. 如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A. AE = 2DEB. △CFP∼△APHC. △CFP∼△APCD. CP2 = PH · PB二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 如果cot α =√3，那么锐角α=__________度8. 如果抛物线y =-x2 + 3x -1+m经过原点，那么m =__________9. 二次函数y =x2 + 5x -1的图像与y轴的交点坐标为__________10. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y=(x-2)2上的两点，如果x1 < x2 < 2，那么y 1__________y 2（填“>”、“<”或“=”）11. 在比例尺为1：8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为__________千米12. 已知点P是线段AB上的一点，且BP2 = AP · AB，如果AB=10cm，那么BP=__________cm13. 已知点G是△ABC 的重心，过点G作MN//BC分别交边AB、AC于点M、N，那么S△AMN：S△ABC=__________14. 如图，某小区门口的栏杆从水平位AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为__________米15. 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡角为31°，AB的长为12米，那么大厅两层之间BC的高度为__________米（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.867，tan31°=0.601】16. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D = 90°，AB = 3，BC = 2，tan A = 43，那么CD=__________17. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=_____度18. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4，AB=α，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么α=__________三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y =x2 +bx +c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表：x … -3 -2 -1 0 1 … y … -4 -1 0 -1 -4 …（1） 求该抛物线的表达式；（2） 如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是____________________________________________________________。
2020-2021上海杨浦高级中学九年级数学上期中第一次模拟试卷及答案
2020-2021上海杨浦高级中学九年级数学上期中第一次模拟试卷及答案一、选择题1．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（）A．16B．29C．13D．232．如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（32，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（）A．（6048，0）B．（6054，0）C．（6048，2）D．（6054，2）3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④4．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．5．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为（）A．1B．2C．2D26．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A ．55°B ．110°C ．120°D ．125° 7．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．±1D ．2 8．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角 9．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=011．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x += D ．()247x += 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y 轴上______________14．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．15．如图，矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，四边形OCED 为菱形，若将菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ，则线段ME 的长度可取的整数值为___________________．16．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．17．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．18．如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，若3080BAC CBD ∠︒∠︒＝，＝，则BCD∠的度数为______．19．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．解方程（1）2250x x --= （2） x （3－2x ）= 4 x －622．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场 决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？23．已知关于x 的方程x 2+4x +3-a =0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解．24．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值. 25．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P （一红一黄）=26=13．故选C ． 2．D解析：D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 2018的坐标．【详解】∵A （32，0），B （0，2）， ∴OA ＝32，OB ＝2， ∴Rt △AOB 中，AB 22352()22+=， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2（6，2），∴B 4的横坐标为：2×6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是（6054，2）．故选D ．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．C解析：C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D 、不是中心对称的图形，不合题意．故选C ．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．5．D解析：D【解析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．D解析：D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 详解：根据圆周角定理，得∠ACB=12（360°-∠AOB ）=12×250°=125°． 故选D ． 点睛：此题考查了圆周角定理．注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．7．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．8．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.9．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．11．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 12．A解析：A【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a -=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a =-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．14．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为OC ＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C 的位置然后求出翻转B 前进的距离连接CE 过点D 作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝23，即可得出点C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×32＝3，∴点C的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．15．345【解析】【分析】连接OE交CD与点M根据矩形与菱形的性质由勾股定理求出OE的长在旋转过程中求出OM的取值范围进而得出ME的取值范围进而求解【详解】如图连接OE交CD与点M∵矩形ABCD对角线A解析：3，4，5【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M ，根据矩形与菱形的性质，由勾股定理求出OE 的长，在旋转过程中，求出OM 的取值范围，进而得出ME 的取值范围，进而求解．【详解】如图，连接OE 交CD 与点M ，∵矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，∴90BAD ︒∠=，OA OB OC OD ===，∴由勾股定理知，10BD =，∴5OA OB OC OD ====，∵四边形OCED 为菱形，∴OE CD ⊥，132DM CD ==， ∴由勾股定理知，4OM =，即8OE =，∵菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ， ∴当OE AD ⊥或OE BC ⊥时，OM 取得最小值3， 当OE 与OA 或OB 或OC 或OD 重合时，OM 取得最大值5，∴35OM ≤≤，∵8OE =，∴35ME ≤≤，∴线段ME 的长度可取的整数值为3，4，5，故答案为：3，4，5．【点睛】本题考查矩形与菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，将求ME 的取值范围转化为求OM 的取值范围是解题的关键．16．【解析】【分析】设BD ＝x 则EC ＝3xAE ＝6﹣3x 根据S△DEB＝·BD·AE 得到关于S 与x 的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD ＝x 则EC ＝3xAE ＝6﹣3x∵∠A＝90°解析：32【解析】【分析】设BD ＝x ，则EC ＝3x ，AE ＝6﹣3x ，根据S △DEB ＝12·BD ·AE 得到关于S 与x 的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD ＝x ，则EC ＝3x ，AE ＝6﹣3x ，∵∠A ＝90°，∴EA ⊥BD ，∴S △DEB ＝12•x （6﹣3x ）＝﹣32x 2+3x=﹣32（x ﹣1）2+32， ∴当x ＝1时，S 最大值＝32. 故答案为：32． 【点睛】 本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.17．m 【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径那么就能求得扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径∴扇形的半径为：m ∴扇形的弧长为：＝πm ∴圆锥的底面半径为：π÷m ． 【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，∴扇形的半径为：2m ，∴扇形的弧长为：902180π⨯m ，∴圆锥的底面半径为：4π÷2π＝8m ． 【点睛】 本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．18．70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出的度数再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】∵四边形ABCD 是内接四边形故答案为：70°【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补解析：70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出BAD ∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】80CBD ∠︒Q ＝，80CAD CBD ∴∠∠︒＝＝．． 30BAC ∠︒Q ＝3080110BAD ∴∠︒+︒︒＝＝．∵四边形ABCD 是O e 内接四边形，180********BCD BAD ∴∠︒∠︒︒︒＝﹣＝﹣＝．故答案为：70°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 19．【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m 的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故 解析：18【解析】【分析】根据“关于x 的一元二次方程2x 2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m 的一元一次方程，解之即可．【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0， 整理得：1-8m=0，解得：m=18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．20．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．三、解答题21．(1) 1211x x ==；(2) 123,22x x ==-. 【解析】【分析】(1)将方程2250x x --=移项得225x x -=，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，即可得出结论；(2)将方程()3246x x x =-－移项得32640x x x +-=－，提公因式后，即可得出结论.【详解】解：(1)2250x x --=，移项，得：225x x -=，等式两边同时加1，得：2216x x -+=，即：()216x -=，解得：11x =21x =，(2)()3246x x x =-－，移项，得：32640x x x +-=－，提公因式，得：3220xx +=－，解得:13 2x =，22x =-，故答案为：(1)11x =21x =；(2)132x =，22x =-. 【点睛】本题考查配方法、因式分解法解一元二次方程.配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.因式分解法的一般步骤：(1)移项，将方程右边化为0；(2)再把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积；(3)分别令每个因式等于零，得到一元一次方程组；(4)分别解这两个一元一次方程，得到方程的解.22．（1） 2x 50－x（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.【解析】【分析】【详解】（1） 2x 50－x ．(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100解之得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．∴x ＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．23．（1）a ＞-1;(2) x 1=-3,x 2=-1.【解析】试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a 的取值范围；（2）把a 代入后解方程即可.试题解析：（1）∵方程有两个不相等的实数根∴16-4（3-a ）＞0,∴a ＞-1 .（2）由题意得：a =0 ,方程为x 2+4x +3=0 ,解得12-3,-1x x == .点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．（1）详见解析；（2）实数m 的值为【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=b 2-4ac ，即可得出△249m =+，结合4m 2≥0可得出△＞0，进而可证出：无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得出212127,10x x x x m +==-Q g ，结合x 12+x 22=33可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）证明：Q 关于x 的一元二次方程225x x m --=（（）整理，得227100x x m -+-=249410m =--V （）249404m =-+249m =+2240490m m ∴≥∴+>∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）： 212127,10x x x x m +==-Q g221233x x +=()21212233x x x x ∴+-=()24921033m --=解得m =答：实数m的值为【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 12+x 22=33，找出关于m 的一元二次方程．25．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-.（2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.。
上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为（ ） A ．205万B ．420510⨯C ．62.0510⨯D ．72.0510⨯3．下列运算正确的是（ ） A ．5ab ﹣ab=4 B ．a 6÷a 2=a 4 C ．112a b ab+= D ．（a 2b ）3=a 5b 34．某校航模小分队年龄情况如表所示，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ） 年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 12252A ．2，14岁B ．2，15岁C ．19岁，20岁D ．15岁，15岁5． “保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（ ） 月用水量（吨） 4 5 6 9 户数（户） 3421A ．中位数是5吨B ．众数是5吨C ．极差是3吨D ．平均数是5.3吨6．3 1-的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣37．若()292m m --=1，则符合条件的m 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣39．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（ ）A．（﹣4，﹣2﹣3）B．（﹣4，﹣2+3）C．（﹣2，﹣2+3）D．（﹣2，﹣2﹣3）10．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（）A．25πcm B．210πcm C．215πcm D．220πcm11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是AB的中点，若OM＝4，AB＝6，则BD 的长为（）A．4 B．5 C．8 D．1012．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（）A．13B．23C．12D．25二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．下列结论①BE平分∠ABC；②AE=BE=BC；③△BEC周长等于AC+BC；④E点是AC的中点．其中正确的结论有_____（填序号）14．如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将»AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的»AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）15．如果2()a xb x +=+v v v v，那么=_____（用向量a r ，b r 表示向量x r ）． 16．用换元法解方程221231x x x x +-=+时，如果设21x y x +=，那么原方程化成以y 为“元”的方程是________．17．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____． 18．不等式组2332x x -<⎧⎨+<⎩的解集是 _____________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．20．（6分）如图，在▱ABCD 中，AB=4，AD=5，tanA=43，点P 从点A 出发，沿折线AB ﹣BC 以每秒1个单位长度的速度向中点C 运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交折线AD ﹣DC 于点Q ，将线段PQ 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PR ，连接QR ．设△PQR 与▱ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）．（1）当点R 与点B 重合时，求t 的值；（2）当点P 在BC 边上运动时，求线段PQ 的长（用含有t 的代数式表示）；（3）当点R落在▱ABCD的外部时，求S与t的函数关系式；（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值．21．（6分）如图，已知∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE与BD相交于点O．求证：EC=ED．22．（8分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；若∠1=40°，求∠BDE的度数．23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作⊙O切线DF，连接AC并延长交DF于点E．（1）求证：AE⊥EF；（2）若圆的半径为5，BD＝6 求AE的长度．24．（10分）解不等式组：2(2)3{3122x xx+>-≥-，并将它的解集在数轴上表示出来.25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于点G 、H ，如果BG ：GH ：HC ＝2：4：1．求ADEFGHS S △△的值．26．（12分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=600，CD是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）若3，求⊙O 的直径．27．（12分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 错误；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断. 2．C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05，所以2 050 000用科学记数法表示为：20.5×106， 故选C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．B 【解析】 【分析】由整数指数幂和分式的运算的法则计算可得答案. 【详解】A 项, 根据单项式的减法法则可得:5ab-ab=4ab,故A 项错误;B 项, 根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可得: a 6÷a 2=a 4，故B 项正确;C 项,根据分式的加法法则可得:11a b a b ab++=,故C 项错误; D 项, 根据 “积的乘方等于乘方的积” 可得:2363()a b a b =,故D 项错误; 故本题正确答案为B. 【点睛】 幂的运算法则:(1) 同底数幂的乘法: ·m n m n a a a +=(m 、n 都是正整数) (2)幂的乘方:()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)积的乘方:()n n n ab a b = (n 是正整数)(4)同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=(a≠0,m 、n 都是正整数,且m>n)(5)零次幂:01a=(a≠0)(6) 负整数次幂:1ppaa-=(a≠0, p是正整数).4．D【解析】【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【详解】解：数据1出现了5次，最多，故为众数为1；按大小排列第6和第7个数均是1，所以中位数是1．故选D．【点睛】本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5．C【解析】【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．【详解】解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；C、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；D、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．6．B【解析】【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【详解】因为（-1）3=-1，31-=﹣1．故选：B．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,7．C【解析】【分析】根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出.【详解】Q()29m--=12m∴m2-9=0或m-2= ±1即m= ±3或m=3,m=1∴m有3个值故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法.8．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，解得b=4.故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.9．D【解析】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=10°，∴BC=4，∴AB=23，∴AD=AB ACBC⋅=232⨯=3，∴BD=2ABBC=223（）=1．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，3）．∵BD=1，∴BD1=1，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣2，﹣3）．∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣2，﹣3﹣2）．故选D．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．10．B【解析】试题解析：∵AC=10，∴AO=BO=5，∵∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∵矩形的对角线把矩形分成了四个面积相等的三角形，∴阴影部分的面积=扇形AOD的面积+扇形BOC的面积=2扇形BOC的面积=27252360π⨯⨯=10π ．故选B．11．D【解析】【分析】利用三角形中位线定理求得AD的长度，然后由勾股定理来求BD的长度．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAD=90°，点O是线段BD的中点，∵点M是AB的中点，∴OM是△ABD的中位线，∴AD=2OM=1．∴在直角△ABD中，由勾股定理知：2222AD AB=86=10++．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键．12．B 【解析】 【分析】本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算. 【详解】①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为23，第二次，摸到白球的概率为12，则有211323⨯＝；②若第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为13，第二次摸到白球的概率为1，则有11133⨯＝，则两次摸到的球的颜色不同的概率为112333+＝. 【点睛】掌握分类讨论的方法是本题解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．①②③ 【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC 、∠C 的度数，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB ，根据等腰三角形的判定定理和三角形的周长公式计算即可． 解：∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴EA=EB ，∴∠EBA=∠A=36°， ∴∠EBC=36°， ∴∠EBA=∠EBC ，∴BE 平分∠ABC ，①正确； ∠BEC=∠EBA+∠A=72°， ∴∠BEC=∠C ， ∴BE=BC ，∴AE=BE=BC ，②正确；△BEC 周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=AC+BC ，③正确； ∵BE ＞EC ，AE=BE ， ∴AE ＞EC ，∴点E 不是AC 的中点，④错误， 故答案为①②③．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．14．①②【解析】【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．【详解】如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．由题知：»AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O∴OF=OA=12OB∴∠AOF=∠BOF=60°∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，①②正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE 和EF∵△ACD 是等边三角形，E 是CD 中点∴AE ⊥BD （三线合一）又∵OF ⊥AB∴F 是AB 中点即，EF 是△ABE 斜边中线∴AF=EF=BF即，E 点在以AB 为直径的圆上运动．所以，如图3，当E 、O 、F 在同一直线时，OE 长度最小此时，AE=EF ，AE ⊥EF∵⊙O 的半径是2，即OA=2，OF=1∴3（勾股定理）∴3所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案是：①②．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 15．2b a -v v【解析】 ∵2(a r +x r )=b r +x r ,∴2a r +2x r =b r +x r ,∴x r =b r -2a r ,故答案为2b a -v v.点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.16．y-23y= 【解析】分析：根据换元法，可得答案． 详解：21x x +﹣221x x +=1时，如果设21x x +=y ，那么原方程化成以y 为“元”的方程是y ﹣2y =1． 故答案为y ﹣2y=1． 点睛：本题考查了换元法解分式方程，把21x x +换元为y 是解题的关键． 17．13【解析】【分析】将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39＝13． 故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．x ＜－1【解析】2332x x -<⎧⎨+<⎩①②解不等式①得:x<5,解不等式②得:x<-1所以不等式组的解集是x<-1.故答案是:x<-1.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为1元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元．【解析】【分析】（1）若设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程．（2）利用乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可；（3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可．【详解】（1）设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元，根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x ）-500=67，解得：x=300，500-x=1．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为1元．（2）∵乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，∴设每件乙服装进价的平均增长率为y ，则 22001y 242（）+=， 解得：1y =0.1=10%，2y =-2.1（不合题意，舍去）．答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元）∵商场仍按9折出售，设定价为a 元时0.9a-266.2＞0解得：a＞2662295.8 9故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题20．（1）127；（2）45（9﹣t）；（3）①S =﹣23t2+163t﹣327；②S=﹣27t2+1．③S=24175（9﹣t）2;（3）3或215或4或173．【解析】【分析】（1）根据题意点R与点B重合时t+43t=3，即可求出t的值；（2）根据题意运用t表示出PQ即可；（3）当点R落在□ABCD的外部时可得出t的取值范围，再根据等量关系列出函数关系式；（3）根据等腰三角形的性质即可得出结论.【详解】解：（1）∵将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，∴PQ=PR，∠QPR=90°，∴△QPR为等腰直角三角形．当运动时间为t秒时，AP=t，PQ=PQ=AP•tanA=43t．∵点R与点B重合，∴AP+PR=t+43t=AB=3，解得：t=127．（2）当点P在BC边上时，3≤t≤9，CP=9﹣t，∵tanA=43，∴tanC=43，sinC=45，∴PQ=CP•sinC=45（9﹣t）．（3）①如图1中，当127＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．作KM⊥AR于M．∵△KBR∽△QAR，∴KMQP=BRAR，∴KM4t3=74373tt，∴KM=47（73t﹣3）=43t﹣167，∴S=S△PQR﹣S△KBR=12×（43t）2﹣12×（73t﹣3）（43t﹣167）=﹣23t2+163t﹣327．②如图2中，当3＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．S=S△PQR﹣S△KBR=12×3×3﹣12×t×47t=﹣27t2+1．③如图3中，当3＜t＜9时，重叠部分是△PQK．S=47•S △PQC =47×12×35（9﹣t ）•45（9﹣t ）=24175（9﹣t ）2． （3）如图3中，①当DC=DP 1=3时，易知AP 1=3，t=3．②当DC=DP 2时，CP 2=2•CD•324=55， ∴BP 2=15， ∴t=3+121=55． ③当CD=CP 3时，t=4．④当CP 3=DP 3时，CP 3=2÷310=53， ∴t=9﹣103=173． 综上所述，满足条件的t 的值为3或215或4或173． 【点睛】本题考查四边形综合题、动点问题、平行四边形的性质、多边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 21．见解析【解析】【分析】由∠1=∠2，可得∠BED=∠AEC ，根据利用ASA 可判定△BED ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可得证.【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠AED=∠2+∠AED ，即∠BED=∠AEC ，在△BED 和△AEC 中，，∴△BED ≌△AEC （ASA ），∴ED=EC ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．22．（1）见解析；（1）70°．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED ；（1）由（1）可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠BDE 的度数.【详解】证明：（1）∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠1．又∵∠1=∠1，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED （ASA ）．（1）∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ．在△EDC 中，∵EC=ED ，∠1=40°，∴∠C=∠EDC=70°，∴∠BDE=∠C=70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.23．（1）详见解析；（2）AE ＝6.1．【解析】【分析】(1)连接OD ，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD ∥EA ，即可证得结论；(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】(1)连接OD ，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵点D是弧BC中点，∴∠EAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥EA，∴AE⊥EF；(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵圆的半径为5，BD=6∴AB=10，BD=6，在Rt△ADB中，22221068AD AB BD-=-=，∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，∴△AED∽△ADB，∴AD AE AB AD=，即8108AE=，解得：AE=6.1．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．24．-1≤x<4,在数轴上表示见解析.【解析】试题分析: 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．试题解析:() 223{3x122x x+>-≥-①②，由①得，x<4；由②得，x⩾−1.故不等式组的解集为：−1⩽x<4.在数轴上表示为：25．2516【解析】【分析】先根据平行线的性质证明△ADE∽△FGH，再由线段DF=BG、FE=HC及BG︰GH︰HC=2︰4︰1，可求得ADEFGHSS∆∆的值.【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∵FG∥AB，∴∠FGH=∠B,∴∠ADE=∠FGH,同理：∠AED=∠FHG,∴△ADE∽△FGH,∴2ADEFGHS DES GH∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵DE∥BC ，FG∥AB，∴DF=BG,同理：FE=HC,∵BG︰GH︰HC=2︰4︰1，∴设BG=2k，GH=4k，HC=1k,∴DF=2k，FE=1k，∴DE=5k,∴2525416ADEFGHS kS k∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形相似的判定和相似比.26．（1）见解析（2）23【解析】解：（1）证明：连接OA，∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=2．又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=2．∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=3．∴OA⊥PA．∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=2，∴PO=2OA=OD+PD．又∵OA=OD，∴PD=OA．∵PD=3，∴2OA=2PD=23．∴⊙O的直径为23．．（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2，再由AP=AC得出∠P=2，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．（2）利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=3，可得出⊙O的直径．27．（1）12；（2）规则是公平的；【解析】试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．试题解析：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，所以P（小王）=34；（2）不公平，理由如下：∵P（小王）=34，P（小李）=14，34≠14，∴规则不公平．点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
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3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1解析：D【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n 的值，代入计算可得．【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故选D．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.2．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣8B．7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣10解析：C【解析】【分析】本题根据科学记数法进行计算.【详解】因为科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表10﹣，示为7×9故选C.【点睛】本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.3．某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（）A．5.035×10﹣6B．50.35×10﹣5C．5.035×106D．5.035×10﹣5解析：A【解析】试题分析：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．考点：科学记数法—表示较小的数．4．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm解析：D【解析】【分析】解答此题要延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，再用勾股定理进行计算．【详解】延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15-3）2+（1-4）2=122+162=400，所以BC=1．则剪去的直角三角形的斜边长为1cm．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算．5．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )A．左、右两个几何体的主视图相同B．左、右两个几何体的左视图相同C．左、右两个几何体的俯视图不相同D．左、右两个几何体的三视图不相同解析：B【解析】【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【详解】A、左、右两个几何体的主视图为：，故此选项错误；B、左、右两个几何体的左视图为：，故此选项正确；C、左、右两个几何体的俯视图为：，故此选项错误；D、由以上可得，此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．6．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥B ．1m £C ．1m >D ．1m <解析：D【解析】【分析】 由抛物线与x 轴有两个交点可得出△=b 2-4ac ＞0，进而可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m ＞0，解得：m ＜1．故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，牢记“当△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点”是解题的关键．7．二次函数y=x 2+bx –1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2–2x –1–t=0（t 为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t 的取值范围是A ．t≥–2B ．–2≤t<7C ．–2≤t<2D ．2<t<7解析：B【解析】【分析】 利用对称性方程求出b 得到抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），再计算当﹣1＜x ＜4时对应的函数值的范围为﹣2≤y＜7，由于关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，然后利用函数图象可得到t 的范围．【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣2b =1，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2）， 当x=﹣1时，y=x 2﹣2x ﹣1=2；当x=4时，y=x 2﹣2x ﹣1=7，当﹣1＜x ＜4时，﹣2≤y＜7，而关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，∴﹣2≤t＜7，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键.8．如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，点D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则线段DB 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．7cm 解析：D【解析】【分析】先求AC,再根据点D 是线段AC 的中点，求出CD ，再求BD.【详解】因为，AB=10cm ，BC=4cm ，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm ）因为，点D 是线段AC 的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm ）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.9．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC⊥BC 于点C ，CD⊥AB 于点D ，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（ ）A ．CD BCB ．AC AB C ．AD AC D ．CD AC。
2020年上海市杨浦区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市杨浦区初三一模数学试卷2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）； C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D ．273． 3．已知a r 、b r 和c r都是非零向量，下列结论中不能判定//a b r r 的是A ．////a c b c r u u r r r，；B ．12a c =r r，2b c =r r ；C ．2a b =r r；D ．a b =r r .4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot 3α=，那么锐角α= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9．二次函数2251y x x =+-的图像与y 轴的交点坐标为 ▲ ．10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么 ▲ ． AD BCE PF H第6题图第4题图（填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M 、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：x (3)-2- 1-1… y…4-1-1-4-…（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ . 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD=7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB ABC第15题图31°第16题图第14题图交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，联结AF ，请用向量a r 、b r 表示向量AF u u u r．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值． 22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =； （2）求证：22AC AE AD =⋅.24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．第21题图ABCD第23题图A BCDE30º 45º 第22题图A B C DFEM（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分）∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分） （2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ． 在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分） 在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC=. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC∠=得BC =x . ················· （2分）又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC ∠=得AC =. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分）∴x =20. ··············································································· （1分）∴MF =MC+CF =56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CDBC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分） （3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H.在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH =，................................. （2分）在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-==，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH =，. ∴在Rt PCH ∆中，142CH x PC =-==，........... （1分） 设PC 与对角线BD 交于点G .∵AB//CD ，∴4BP PG BG xCD GC GD ===.∴BG CG =··················································· （1分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .∴PB BG CQ CG =，∴x y ··················································· （1分）∴y =08x ≤<）. ······················································ （2分）（3）i ）当点P 在射线BA 上，点E 在边BC 的延长线时.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC=1302ABC ∠=︒.∵△PBG ∽△QCG ，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . ∴∠QPG =∠QBC 30=︒， 又∠PBQ =∠PCQ 30=︒，∴60CQE QPC QCP ∠=∠+∠=︒. ∴ 60CQE PBC ∠=∠=︒. ···································································· （1分） ∵PCB E ∠>∠，∴ PCB QCE ∠=∠.又180PCB QCE PCQ ∠+∠+∠=︒，∠PCQ 30=︒，∴ 75PCB QCE ∠=∠=︒. 过C 作CN BP ⊥，垂足为点N ，∴在Rt CBN ∆中，2BN CN ==，∴在Rt PCN ∆中，PN CN ==∴2BP = . ................................................................................................................. （2分） ii ）当点P 在边AB 的延长线上，点E 在边BC上时，同理可得2BP = . ...... （3分）。
名师详解：2020年上海杨浦区一模九年级数学试卷
9.二次函数 y = 2x2 + 5x −1 的图像与 y 轴的交点坐标为
.
【考点】二次函数与 y 轴的交点 【能力目标】基础知识和基本技能
【答案】 (0, −1)
【解析】要求函数与 y 轴交点，即将 x=0 代入，求得 y 的值为-1，所以与 y 轴交点坐标为 (0, −1)
10.已知点 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) 为抛物线 y = (x − 2)2 上的两点，如果 x1＜x2＜2 ，那么 y1 ____ y2 . （填“＞”、“＜”或“=”） 【考点】二次函数单调性比大小 【能力目标】基本知识和基本技能，能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图、推理 【答案】＞ 【解析】开口向上，对称轴是直线 x=2，可知在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减小
（2）角度存在性问题 （2）相似存在性问题
【选择部分】
1. 把抛物线 y = x2 向左平移一个单位后得到的抛物线是（
）
A. y = ( x +1)2
B. y = (x −1)2； C. y = x2 +1； D. y = x2 -1；
【考点】二次函数图像平移 【能力目标】基础知识和基本技能； 【答案】A 【解析】 二次函数平移规律：上加下减（y），左加右减（x）
3. 已知 a 、 b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a∥b 的是（ ）
A. a∥c,b∥c
B. a= 1 c ， b=2c 2
【考点】向量的平行判定
【能力目标】基础知识和基本技能
【答案】D
【解析】 D 只是说明了两个向量大小关系
C. a=2b
D. a = b
4. 如图，在 6×6 的正方形网格中，联结小正方形两个顶点 A、B,如果线段 AB 与网格线的其中
2020届上海市杨浦区初三一模数学试卷+详解答案
杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）；C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D3．已知a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定//a b 的是A ．////a c b c ，；B ．12a c =，2bc =；C ．2a b =；D ．a b =.4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot αα= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9ADBCEP F H第6题图第4题图10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么1y ▲ 2y ． （填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .ABC第15题图31°第16题图第14题图20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量a 、b 表示向量AF ．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =； （2）求证：22AC AE AD =⋅.第21题图ABCD第20题图第23题图A CDE30º 45º 第22题图A B C DFEM24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分） ∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分） （2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分）在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC =. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC ∠=得BC =x . ················· （2分）又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC∠=得AC=. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分）∴x=20+. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF=56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CD BC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分） ∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH =∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H.在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH ==，................................. （2分）在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-==，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH ==，. ∴在Rt PCH ∆中，142CH x PC =-， ............ （1分） 设PC 与对角线BD 交于点G .∵AB//CD ，∴4BP PG BG xCD GC GD ===.∴BG CG ==. ···················································· （1分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .∴PB BG CQ CG =，∴x y . ···················································· （1分）∴y =08x ≤<）. ······················································ （2分）（3）i ）当点P 在射线BA 上，点E 在边BC 的延长线时.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC=1302ABC ∠=︒.∵△PBG ∽△QCG ，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . ∴∠QPG =∠QBC 30=︒， 又∠PBQ =∠PCQ 30=︒，∴60CQE QPC QCP ∠=∠+∠=︒. ∴ 60CQE PBC ∠=∠=︒. ···································································· （1分） ∵PCB E ∠>∠，∴ PCB QCE ∠=∠.又180PCB QCE PCQ ∠+∠+∠=︒，∠PCQ 30=︒，∴ 75PCB QCE ∠=∠=︒. 过C 作CN BP ⊥，垂足为点N ，∴在Rt CBN ∆中，2BN CN ==，∴在Rt PCN ∆中，PN CN ==∴2BP = . ................................................................................................................. （2分） ii ）当点P 在边AB 的延长线上，点E 在边BC上时，同理可得2BP = . ...... （3分）。
2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷及答案解析
2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，二次函数是（）A．y＝x+1B．y＝x（x+1）C．y＝（x+1）2﹣x2D．2．（4分）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A．B．2C．D．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：cot30°＝．8．（4分）计算：＝．9．（4分）如果函数f（x）＝2x2﹣3x+1，那么f（2）＝．10．（4分）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．11．（4分）已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞NP），如果MN＝10，那么线段MP ＝．12．（4分）已知在△ABC中，AB＝13，BC＝17，tan B＝，那么AC＝․13．（4分）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．14．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m ＝．15．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝﹣x2+6x（0≤x≤4）．水珠可以达到的最大高度是（米）．16．（4分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°，那么小球在最高和最低位置时的高度差为厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）17．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝CB，点E、F分别在线段AB、AD上．如果CE⊥BF，那么的值为．18．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，点A、D分别落在点A′、D′处，边A′B′、A′C分别与边AD交于点M、N，那么线段MN的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．20．（10分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（1）设，＝（用向量表示）；（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．21．（10分）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）22．（10分）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BD、BC上，AB2＝AD•AC，∠BAE＝∠CAF．（1）求证：△ABE∽△ACF；（2）联结EF，如果BF＝CF，求证：EF∥AC．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．25．（14分）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE ＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝x（x+1）是二次函数，故此选项符合题意；C、y＝（x+1）2﹣x2可化为y＝2x+1，不是二次函数，故此选项不合题意；D、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．2．【分析】根据题意，画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理可以得到OA的长，从而可以计算出cosα的值．【解答】解：连接OA，作AB⊥x轴于点B，则∠ABO＝90°，∵点A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射线OA与x轴正半轴的夹角为α，∴cosα＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出OA的长．3．【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【解答】解：A、得出的是向量n的方向不是单位向量，故不符合题意；B、符合向量的长度及方向，故符合题意；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；D、左边得出的是向量m的方向，右边得出的是向量n的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了向量的性质．注意：平面向量既有大小，又有方向．4．【分析】由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝＝＝3，∴物体从A到B所经过的路程为3，故选：A．【点评】本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．5．【分析】根据题意，易证明△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可选择．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．6．【分析】根据相似三角形的判定逐一判定即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，故A正确；∵△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠BAG＝∠CAE，∴△ADE∽△ACG，故B正确；∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACE∽△ABG，故C正确；由已知条件无法证明△ADE∽△CGE，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值知：cot30°＝，故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．8．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+＝﹣+＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．9．【分析】计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝2代入f（x）＝2x2﹣3x+1得：f（2）＝2×22﹣3×2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．10．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的对应高的比为：2：3，故答案为：2：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．11．【分析】由黄金分割的定义得PM＝MN，即可得出结论．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，MN＝10，∴PM＝MN＝×10＝5﹣5，故答案为：5﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．12．【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝，AB＝13，BC＝17，∴设AD＝5x，则BD＝12x，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1（负值舍去），∴AD＝5x＝5，BD＝12x＝12，∴CD＝BC﹣BD＝17﹣12＝5，由勾股定理得：AC＝＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解此题的关键．13．【分析】由题意可得抛物线开口向上，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a＞0，故答案为：a＞0．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．14．【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向下平移2个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x 轴上，∴m＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．15．【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x，＝﹣（x2﹣4x），＝﹣[（x﹣2）2﹣4]，＝﹣（x﹣2）2+6，∴当x＝2时，y有最大值6，∴水珠可以达到的最大高度为6米．故答案为：6．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．16．【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．【解答】解：如图：过A作AB⊥OC于B．Rt△OAB中，OA＝50厘米，∠AOB＝74°÷2＝37°，∴OB＝OA•cos37°＝50×cos37°．∴BC＝OC﹣OB＝50﹣50×cos37°＝50（1﹣cos37°）≈50×0.2＝10（厘米）．故答案为：10．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．17．【分析】连接AC，过C作CG⊥AB于G，由AB＝BC，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，即可得＝＝，根据∠DAB＝90°，CE⊥BF，可证△ABF∽△GCE，故＝＝．【解答】解：连接AC，过C作CG⊥AB于G，如图：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AG＝AC＝AB，∴CG＝＝AG，∴＝＝，∵∠DAB＝90°，CE⊥BF，∴∠AFB+∠AEC＝180°，∵∠AEC+∠CEG＝180°，∴∠AFB＝∠CEG，∵∠FAB＝90°＝∠CGE，∴△ABF∽△GCE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．18．【分析】过点A′作A′E⊥AD于点E，先根据勾股定理求出AC＝10，再根据旋转的性质可得BC＝B′C＝8，AB＝A′B'＝6，∠B＝∠AB′M＝∠A′B′C＝90°，则AB′＝2，再证明△AB′M∽△ADC，由相似三角形的性质求出B′M＝，AM＝，则A′M＝，再证明△A′ME∽△AMB′，由相似三角形的性质求出A′E＝，ME＝，则DE＝，设EN＝x，则DN＝，易证明△A′NE∽△CND，相似三角形的性质列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥AD于点E，∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝，∵将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，∴BC＝B′C＝8，AB＝A′B′＝6，∠B＝∠AB′M＝∠A′B′C＝90°，∵AB′＝AC﹣B′C＝10﹣8＝2，∵∠AB′M＝∠D，∠B′AM＝∠CAD，∴△AB′M∽△ADC，∴，即，∴B′M＝，AM＝，∴A′M＝A′B′﹣B′M＝，∵A′E⊥AD，∴∠A′EM＝∠AB′M，∵∠A'ME＝∠AMB′，∴△A′ME∽△AMB′，∴，即，∴A′E＝，ME＝，∴AE＝AM+ME＝，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，设EN＝x，则DN＝，∵∠A′EN＝∠D＝90°，∠A′NE＝∠CND，∴△A′NE∽△CND，∴，即，解得：x＝，∴EN＝，∴MN＝ME+EN＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】（1）当m＝n时，则点A和点B为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴；（2）先利用一次函数解析式确定点A、B的坐标，再把点A、B的坐标分别入y＝ax2+bx+2得a、b的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵A（1，m）、B（3，n），m＝n，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；故答案为：x＝2；（2）把A（1，m）、B（3，n）分别代入y＝x﹣1得m＝0，n＝2，∴A（1，0）、B（3，2），把A（1，0）、B（3，2）分别代入y＝ax2+bx+2得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．20．【分析】（1）连接AG并延长交BC于M，由G是△ABC的重心，DE∥BC，可得＝＝＝，而＝，即得＝；（2）证明△ACD∽△ABC，可得AC2＝AB•AD，即得AC＝3．【解答】解：（1）连接AG并延长交BC于M，如图：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝BC，∵＝，DE∥BC，∴＝；故答案为：；（2）∵AB＝9，由（1）知＝，∴AD＝6，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC2＝AB•AD，∴AC2＝9×6，解得AC＝3（负值已舍去），∴边AC的长为3．【点评】本题考查平面向量和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．21．【分析】过P作PH⊥AB于H，由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，BH＝＝50≈86.6米，可得AB＝AH+BH≈136.6米，而136.6÷＝8.196（秒），即可得到答案．【解答】解：过P作PH⊥AB于H，如图：由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，∵∠PAH＝45°，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，tan30°＝，∴BH＝＝50≈86.6米，∴AB＝AH+BH≈136.6米，∵60千米/小时＝米/秒，而136.6÷≈8.2（秒），∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．22．【分析】（1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求S△ABC，过A作AD⊥BC于D，用面积法可求AD的长，在Rt△ABD中可得sin∠ABC；（2）取格点E，F，连接EF交AB于P，由AE＝BF可知AP＝BP，从而AP＝AB，＝S△ABC，故P是满足条件的点．即可得S△ACP【解答】解：（1）由图可得：S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，过A作AD⊥BC于D，如图：∵וAD＝4，∴AD＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：4，；（2）如图：点P即为所求点．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．23．【分析】（1）由AB2＝AD•AC可得△ABC∽△ADB，有∠ACB＝∠ABD，又∠BAE＝∠CAF，故△ABE∽△ACF；（2）由△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，可得＝，＝，即得＝，而BF＝CF，可得＝，△EBF∽△DBC，从而∠BEF＝∠BDC，EF∥AC．【解答】证明：（1）如图：∵AB2＝AD•AC，∴＝，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴∠ACB＝∠ABD，∵∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF；（2）如图：由（1）知△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，∴＝，＝，∴＝，∵BF＝CF，∴＝，即＝，∵∠EBF＝∠DBC，∴△EBF∽△DBC，∴∠BEF＝∠BDC，∴EF∥AC．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）用待定系数法可得y＝﹣x2﹣x+3；（2）由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），可得PH＝﹣m2﹣3m，由△AHG∽△ACO，可得AH＝m+5，故﹣m2﹣3m＝m+5，即可解得P（﹣，）；（3）作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），证明△BDK∽△CDO，可得BK＝，DK＝，从而BE＝2BK＝2，又△EWB∽△DKB，即可得EW＝2，BW ＝4，E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，故E 在直线直线AP上．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），C（0，3）代入x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图：由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），则H（m，m+3），∴PH＝（﹣m2﹣m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，HG＝m+3，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴＝，即＝，∴AH＝m+5，∵PH＝AH，∴﹣m2﹣3m＝m+5，解得m＝﹣或m＝﹣4（与A重合，舍去），∴P（﹣，）；（3）点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，如图：由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），∴D（﹣，0），BD＝，∵C（0，3），∴CD＝，∵B，E关于直线CD对称，∴∠BKD＝90°＝∠DOC，BK＝EK，∵∠CDO＝∠BDK，∴△BDK∽△CDO，∴＝＝，即＝＝，∴BK＝，DK＝，∴BE＝2BK＝2，∵∠EWB＝90°＝∠DKB，∠WBE＝∠DBK，∴△EWB∽△DKB，∴＝＝，即＝＝，∴EW＝2，BW＝4，∴OW＝BW﹣OB＝3，∴E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，在y＝2x+8中，令x＝﹣3得y＝2，∴E在直线直线AP上，即B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．25．【分析】（1）可推出△BEF是等边三角形，从而BE＝EF，设DE＝DF＝x，从而表示出EF和BE，进一步得出结果；（2）①延长EG，交BC于T，作CR∥ET，可证得△BCF≌△CDR，进而得出BE＝ET，根据AD∥BC得出，从而得出；②作EQ⊥BD于Q，设DE＝2a，从而AE＝2﹣2a，EQ＝DQ＝a，在Rt△ABE 中可表示出BE2＝4a2﹣8a+16，在Rt△EQH中，EH2＝EQ2+HQ2＝4a2﹣6a+9，由①知，，从而，从而得出，求得a的值，从而得出EQ，BE，EH，根据△BHG∽△EHQ可得出BG＝，进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，BD＝4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（HL），∴BE＝BF，AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠EBF＝60°，∴BE＝EF＝BF，设DE＝DF＝x，则AE＝2﹣x，EF＝x，∴BE2＝（2）2+（2﹣x）2＝x2+16﹣4x，∴（x）2＝x2+16﹣4x，∴x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴DE＝2﹣2；（2）①证明：如图2，延长EG，交BC于T，作CR∥ET，∵ET⊥BF，∴CR⊥BF，∴∠RCD+∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°，∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC，∴△BCF≌△CDR（AAS），∴CR＝BF，∴ET＝BF，∵BE＝BF，∴BE＝ET，∵AD∥BC，∴，∴；②如图3，作EQ⊥BD于Q，设DE＝2a，则AE＝2﹣2a，EQ＝DQ＝a，在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2＝（2）2+（2﹣2a）2＝4a2﹣8a+16，在Rt△EQH中，HQ＝BD﹣DQ﹣BH＝3﹣a，EH2＝EQ2+HQ2＝（）2+（3﹣a）2＝4a2﹣6a+9，由①知，，∴，∴，∴a1＝0（舍去），a2＝，∴EQ＝＝，EH2＝4×＝，BE2＝4×＝，∴EH＝，BE＝，∵∠EQH＝∠HGB＝90°，∠EHQ＝∠BHG，∴△BHG∽△EHQ，∴，∴，∴BG＝，∵BF＝BE＝，∴FG＝BF﹣BG＝＝，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．。
上海市杨浦区2020-2021学年初三上学期数学一模(word版含答案)
上海市杨浦区2020-2021学年初三上学期数学一模学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于抛物线2yx x ，下列说法中，正确的是（ ） A ．经过坐标原点 B ．顶点是坐标原点 C ．有最高点 D ．对称轴是直线1x =2．在ABC 中，如果1sin 2A =，cot =B ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 3．如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65° 4．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，能判定//DE BC 的是（ ）A ．AD DE AB BC = B ．AD AE DB EC = C ．DB AE EC AD = D ．AD AE AC AB = 5．下列命题中，正确的是（ ）A ．如果e 为单位向量，那么a a e =B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b =C ．如果a b =-，那么//a bD ．如果a b =，那么a b = 6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（ ）A ．AOB DOC S S =△△ B ．AOB BOC S OD S OB =△△ C ．AOD BOC S OA S OC =△△ D ．ABD ABC S AD S BC =△△二、填空题7．计算：()()322a b a b +--=______．8．已知抛物线()211y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是______． 9．如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了______米． 10．已知线段AB 的长为4厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），那么线段AP 的长是______厘米．11．抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，则△ABC 的面积＝__．12．已知抛物线2y x ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点()2,2A ，那么平移后的抛物线的表达式是______．13．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m ．14．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AO OC的值为_____．15．如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．16．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为______．18．如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D的值为______．三、解答题19．计算：22tan 602sin 304cos 45cot 30+︒-︒． 20．已知一个二次函数的图像经过点()1,0A -、()0,3B 、()2,3C ．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点()11,P x y 、()22,Q x y 在这个二次函数图像上，且120x x <<，那么1y _____2y ．（填“<”或者“>”）21．如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值； （2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ． 22．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC 中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．1.41≈，sin640.90︒=，cos640.44︒=，tan64 2.05︒=）23．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴的负半轴相交，求m 的取值范围．25．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．参考答案1．A【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果．【详解】解：2y x x ，二次项前面的系数大于0，∴抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，∴抛物线经过坐标原点，2y x x 21124x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴为直线12x =，顶点坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，-， 综上所述，B 、C 、D 选项均不正确，只有A 选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键．2．D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A ＝30°，∠B ＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∵ 1sin 2A =，cot 3=B ， ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°，∴ 这个三角形一定是直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．3．A根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．【详解】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B 处小明看点A 处小丽的仰角是35°，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键．4．A【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．【详解】A 、AD DE AB BC=,可证明DE ∥BC,故本选项正确； B 、AD AE DB EC=,不可证明DE ∥BC,故本选项错误； C 、DB AE EC AD=,不可证明DE ∥BC,故本选项不正确； D 、AD AE AC AB =不可证明DE ∥BC,故本选项不正确． 故选A ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．5．C【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项．【详解】A 、如果e 为单位向量，则有1e =，但e 不等于1，所以a a e ≠，故错误；B 、长度等于1的向量是单位向量，故错误；C 、如果a b =-，那么//a b ，故正确；D 、a b =表示这两个向量长度相等，而a b =表示的是长度相等，方向也相同的两个向量，故选C ．【点睛】本题主要考查向量的定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键．6．C【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．【详解】解：如图所示：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，ABC DBC SS =，ABD ABC S AD S BC =△△，故D 正确， ∴OA OD OC OB =， ∴22AOD BOC S OA S OC =△△，故C 错误； ∵,DOC OBC ABC AOB OBC DBC S S S S S S =+=+△△，∴AOB DOC S S =△△，A 正确； ∴AOB BOC S OA S OC=△△，即AOB BOC S OD S OB =△△，故B 正确； 故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．7．8a b +根据向量的线性运算可直接进行求解．【详解】解：()()32236228a b a b a b a b a b +--=+-+=+；故答案为8a b +．【点睛】本题主要考查向量的运算，熟练掌握向量的运算是解题的关键．8．1a <【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行求解．【详解】解：由抛物线()211y a x =-+的开口向上，可得： 10a ->，解得：1a <；故答案为1a <．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 9．3256【分析】设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，然后根据勾股定理解答即可．【详解】解：设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，130= ，解得h=50．故答案为50．【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h 的方程成为解答本题的关键．10．6-【分析】根据黄金比值可知AP BP BP AB ==，计算得出结果即可． 【详解】 解：点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），∴12AP BP BP AB==，可知122BP AB ==（厘米），6AP BP ==-（厘米）故答案为：6-．【点睛】是解题的关键． 11．3【分析】先根据题意求出AB 的长。
2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模） 题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 小明从右边的二次函数y =ax 2+bx +c 图象中，观察得出了下面的五条信息：①a <0，②c =0，③函数的最小值为−3，④当0<x 1<x 2<2时，y 1>y 2，⑤对称轴是直线x =2.你认为其中正确的个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 52. 如图，cosB =√22，sinC =35，AC =10，则△ABC 的面积是( ) A. 42B. 43C. 44D. 453. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的( )A. 俯角30°方向B. 俯角60°方向C. 仰角30°方向D. 仰角60°方向4. 如图，点F ，G 分别在直线AB ，CE 上，AE//FG//BC ，若AB =3FB ，EG =6，则GC 长为( )A. 3B. 52C. 2D. 325. 已知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 都是非零向量，如果a ⃗ =2c ⃗ ，b ⃗ =−2c ⃗ ，那么下列说法中，错误的是( )A. a⃗//b⃗B. |a⃗|=|b⃗ |C. a⃗+b⃗ =0D. a⃗与b⃗ 方向相反6.如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积比为()A. 12B. 14C. 18D. 116二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：3(a⃗+12b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=______．8.如果抛物线y=(k−2)x2+k的开口向上，那么k的取值范围是______．9.小明沿坡比为1：√3的山坡向上走了100米．那么他升高了______米．10.若线段AB=6厘米，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则线段AC=____厘米．11.已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则m2−m+2017的值为_______．12.把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y=x2−2x−2，那么a+b+c=________．13.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式y=−18x2+12x+32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米．14.如图，平行四边形ABCD的边长AD=3，AB=2，∠BAD=120°，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC.AF与DE交于点G，则AG的长为______．15.在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是______．16.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为______．.则AB边的长为______．17.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，cosC=3518.如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′//BB′，则∠CAB′的度数为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：4cos230°−cot45°．tan60∘+2sin45∘20.已知二次函数y=ax2−2x+c的图象经过点A(−2,0)、B(3,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标．21.如图，已知O为△ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且ADDB =13，AEAC=14，设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =n⃗，试用m⃗⃗⃗ ，n⃗表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．22.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．(结果精确到1米，参考数据：sin33°=0.54，cos33°≈0.84，tan33°=0.65，√2≈1.41)23.在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，BD=BC，点E在对角线BD上，且∠DCE=∠DBC．(1)求证：AD=BE；(2)延长CE交AB于点F，如果CF⊥AB，求证：4EF⋅FC=DE⋅BD．24.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=−2x−1与y轴交于点A，与直线y=−x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(Ⅰ)求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx−1解析式；(Ⅱ)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t(−1<t<1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．25.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是边BC的中点，点D、E分别是射线AC、射线BA上一个动点，且∠DPE=90°，联结DE，设BE=x，CD=y．(1)如图1，当D、E分别在边AC、边BA上时，试求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．(2)若△BEP为等腰三角形，求出CD的长．(3)若△DEP与△ABC相似，求出AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①由抛物线开口向上，得到a>0，本选项错误；②由抛物线过原点，得到c=0，本选项正确；③当x=2时，函数的最小值为−3，本选项正确；④当0<x1<x2<2时，函数为减函数，得到y1>y2，本选项正确；⑤对称轴是直线x=2，本选项正确，则其中正确的个数为4．故选：C．根据抛物线开口向上得到a大于0，由抛物线过原点，得到c=0，观察图象得到顶点坐标确定出函数最小值，利用函数的增减性做出判断．此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度，本题属于基础题型．过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵sinC=AD，AC∴AD=AC⋅sinC=6，∴由勾股定理可知：DC=8，∵cosB=√2，2∴∠B=45°，∴BD=AD=6，∴BC=14，∴△ABC的面积为12BC⋅AD=12×6×14=42．故选：A．3.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．【解答】解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角30°，∴乙处看甲处为：仰角为30°．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．先由AB=3FB，AB=AF+FB，得出AF=2FB.再由AE//FG//BC，根据平行线分线段成比例定理得出EGGC =AFFB=2，进而求出GC即可．【解答】解：∵AB=3FB，AB=AF+FB，∴AF=2FB．∵AE//FG//BC，∴EGGC =AFFB=2，∴GC=1EG，2∵EG=6，∴GC=3．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．考查了向量，向量是既有方向又有大小的．【解答】解：A.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；B.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以|a⃗|=|b⃗ |=|2c⃗|，故选项说法正确；C.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =0，故本选项说法错误；D.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由梯形ABCD中，AD//BC，可得△AOD∽△COB，又由AD=1，BC=4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOD与△BOC的面积比．【解答】解：∵梯形ABCD中，AD//BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，即AD：BC=1：4，∴△AOD与△BOC的面积比等于1：16．故选D．7.【答案】a⃗+72b⃗【解析】解：3(a⃗+12b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=3a⃗+32b⃗ −2a⃗+2b⃗ =(3−2)a⃗+(32+2)b⃗ =a⃗+72b⃗ ．故答案是：a⃗+72b⃗ ．平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．8.【答案】k>2【解析】【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：k−2>0，∴k>2，故答案为：k>2．9.【答案】50【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题.坡度坡角的概念是解题的关键．设BC=x米，根据坡度的概念得到AC=√3x米，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵坡比为1：√3，∴设BC=x米，则AC=√3x米，由勾股定理得，BC2+AC2=AB2，即x2+(√3x)2=1002，解得，x1=50，x2=−50(舍去)，∴BC=50米，故答案为：50．10.【答案】(3√5−3)【解析】【分析】本题考查黄金分割问题，根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC=√5−12AB，代入数据即可得出AC的长度．【解答】解：由于C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=6厘米，则AC=√5−12AB=√5−12×6=(3√5−3)厘米．故答案为(3√5−3).11.【答案】2018【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和代数式求值，利用整体思想直接求出m2−m=1是解题的关键.将(m,0)代入y=x2−x−1，即可直接求得m2−m的值，从而求出m2−m+2017的值．【解答】解：将(m,0)代入y=x2−x−1得，m2−m−1=0，整理得，m2−m=1，∴m2−m+2017=1+2017=2018．故答案为2018．12.【答案】6.【解析】【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．由y=x2−2x−2=(x−1)2−3，可知得到的抛物线顶点坐标为(1,−3)，根据平移规律得到原抛物线顶点坐标为(1−2,−3+5)，即(−1,2)，抛物线平移时，二次项系数不变，可用顶点式写出原抛物线解析式，展开可得a、b、c的值，进而得解．【解答】解：∵y=x2−2x−2=(x−1)2−3，∴平移后抛物线顶点为(1,−3)，根据平移规律可知平移前抛物线顶点坐标为(−1,2)又二次项系数为1，∴原抛物线解析式为y=(x+1)2+2=x2+2x+3，∴a=1，b=2，c=3，∴a+b+c=6，故答案为6．13.【答案】2【解析】解：∵函数解析式为：y=−18x2+12x+32，∴y最值=4ac−b24a=4×32×(−18)−(12)24×(−18)=2．故答案为：2．直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．14.【答案】34【解析】解：延长DE交直线BC于H，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=3，AD//BC，∴∠B=180°−∠BAD=180°−120°=60°，∵AD=3，AB=2，BF=2FC，∴BF=2=AB，∴△ABF为等边三角形，∴AF=AB=2，∵E为AB的中点，∴AE=BE，而∠H=∠ADE，∠AED=∠BEH，∴△ADE≌△BEH，∴BH=AD=3，∵AD//FH，∴△ADG∽△FHG，∴AGGF =ADFH=35，∴AGAF =38，∴AG=38×2=34．故答案为34．延长DE交直线BC于H，如图，利用平行四边形的性质和边长之间的关系证明△ABF为等边三角形得到AF=AB=2，再证明△ADE≌△BEH得到BH=AD=3，然后证明△ADG∽△FHG得到AGGF =ADFH=35，最后利用比例性质计算出AG．本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．15.【答案】23【解析】解：如图，连接CG并延长交AB于点D，∵点G为重心，CG=2∴CD是△ABC的中线，CD=3，∴CD=BD，过点D作DE⊥BC于点E，则CE=BE，∵AD=DB，∴DE=12AC=2，∵sin∠GCB=DE CD=23故答案为23；作出草图，连接CG并延长交AB于点D，根据重心定义可知点CD是△ABC的中线，求出CD，BD的长度，再过点D作DE⊥BC于点E，根据三角形中位线定理求出DE的长度，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．本题考查了三角形的重心，锐角三角函数的定义，明确三角形的重心是三边中线的交点，并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．16.【答案】4【解析】解：作AH⊥BC于H，交DG于P，如图所示：∵△ABC的面积=12BC⋅AH=9，BC=6，∴AH=3，设正方形DEFG的边长为x．由正方形DEFG得，DG//EF，即DG//BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG//BC得△ADG∽△ABC∴DGBC =APAH．∵PH⊥BC，DE⊥BC∴PH=ED，AP=AH−PH，即DGBC =AH−PHAH，由BC=6，AH=3，DE=DG=x，得x6=3−x3，解得x=2．故正方形DEFG的面积=22=4；故答案为：4．由DG//BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．17.【答案】165【解析】解：如图，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ACH 中，∵∠AHC =90°，AC =2，COSC =35， ∴CHAC =35， ∴CH =65， ∴AH =√AC 2−CH 2=√22−(65)2=85， 在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =30°，∴AB =2AH =165，故答案为165．如图，作AH ⊥BC 于H.解直角三角形求出AH ，再根据AB =2AH 即可解决问题．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 18.【答案】75°【解析】解：∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB =AB′，∴∠AB′B =12(180°−110°)=35°， ∵AC′//BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B =35°，∴∠CAB′=∠CAC′−∠C′AB′=110°−35°=75°．故答案为：75°．先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=110°，AB =AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B =35°，再根据平行线的性质得出∠C′AB′=∠AB′B =35°，然后利用∠CAB′=∠CAC′−∠C′AB′进行计算即可得出答案．此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．也考查了平行线的性质． 19.【答案】解：原式=4×(√32)2−1√3+2×√22=√3+√2=2√3−2√2．【解析】把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意，得{4a +4+c =09a −6+c =0解得{a =2c =−12， ∴所求二次函数的解析式为y =2x 2−2x −12，(2)对称轴：x =−b 2a =24=12;令x =12，得y =2×(12)2−2×12−12=−252． 即：顶点坐标为(12,−252)∴此抛物线的对称轴为x =12，顶点坐标为(12,−252)．【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，二次函数的坐标轴和顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．分别将点A 和点B 的坐标代入函数解析式，然后即可得出a 和c 的值，得出函数解析式后也即可得出抛物线的坐标轴和顶点坐标．21.【答案】解：∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ，∵AD DB =13，∴AD AB =14．又∵AE AC =14，∴DE//BC∴DE BC =AE AC =14，∴DE =14BC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ).【解析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．根据AD DB =13，AE AC =14推知DE//BC ，根据平行线分线段成比例来求DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 22.【答案】解：如图，延长CA 交BE 于点D ，则CD ⊥BE ，由题意知，∠DAB =45°，∠DCB =33°，设AD =x 米，则BD =x 米，CD =(20+x)米，在Rt △CDB 中，DB CD =tan∠DCB ，∴x20+x ≈0.65，解得x ≈37，答：这段河的宽约为37米．【解析】延长CA 交BE 于点D ，得CD ⊥BE ，设AD =x ，得BD =x 米，CD =(20+x)米，根据DBCD =tan∠DCB 列方程求出x 的值即可得．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23.【答案】证明：(1)∵AB =CD ，AD//BC ，∴∠ABC =∠DCB ，∠ADB =∠EBC ．∵∠DCE =∠DBC ，∠ABC =∠ABD +∠DBC ，∠DCB =∠DCE +∠ECB ，∴∠ABD =∠ECB ．在△ABD和△ECB中，{∠ADB=∠EBC BD=CB∠ABD=∠ECB，∴△ABD≌△ECB(ASA)，∴AD=BE．(2)连接AC，∵AD//BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∵BD=BC，∴AC=BC，∵CF⊥AB，∴BF=AF，∴BF=12AB，∵∠DCE=∠DBC，∴△DCE∽△DBC，∴CDDB =DECD，∴CD2=DB⋅DE，∵∠DCE=∠DBC，∴∠FBE=∠FCB，∴△BFE∽△CFB，∴BFCF =EFBF，∴BF2=CF⋅EF，∵BF2=14AB2=14CD2，∴14CD2=CF⋅EF，∴14DE⋅DB=CF⋅EF，∴4EF⋅FC=DE⋅BD．【解析】(1)证明△ABD≌△ECB，可得结论；(2)连接AC，根据四边形ABCD是等腰梯形，得AC=BD，则BD=BC，由等腰三角形三线合一得：BF=12AB，证明△DCE∽△DBC，得CD2=DB⋅DE，再证明△BFE∽△CFB，得BF 2=CF ⋅EF ，由BF 2=14AB 2=14CD 2代入可得结论．本题考查了全等、相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质，第二问有难度，证明△BFE∽△CFB 和△DCE∽△DBC 是关键． 24.【答案】解：(Ⅰ)联立两直线解析式可得{y =−xy =−2x −1，解得{x =−1y =1， ∴B 点坐标为(−1,1)，又C 点为B 点关于原点的对称点，∴C 点坐标为(1,−1)，把B 、C 三点坐标代入可得{a −b −1=1a +b −1=−1, 解得{a =1b =−1, ∴抛物线解析式为y =x 2−x −1；(Ⅱ)①当四边形PBQC 为菱形时，则PQ ⊥BC ，∵直线BC 解析式为y =−x ，∴直线PQ 解析式为y =x ，联立抛物线解析式可得{y =x y =x 2−x −1， 解得{x =1−√2y =1−√2或{x =1+√2y =1+√2， ∴P 点坐标为(1−√2,1−√2)或(1+√2,1+√2)；②当t =0时，四边形PBQC 的面积最大．理由如下：如图，过P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，作x 轴的垂线，交直线BC 于点E ，则S四边形PBQC=2S△PBC=2×12BC⋅PD=BC⋅PD，∵线段BC长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，又∠PED=∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大，∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t,t2−t−1)，E点坐标为(t,−t)，∴PE=−t−(t2−t−1)=−t2+1，∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．【解析】本题考查二次函数的综合应用、待定系数法、菱形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建方程组确定两个函数交点坐标．学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．(Ⅰ)首先求出B、C两点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；(Ⅱ)①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．25.【答案】解：(1)如图1中，作EF⊥BC于F．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵EF//AC，∴BEBA =BFBC=EFAC，∴x5=BF4=EF3，∴EF=35x，BF=45x，第21页，共25页∵PC=PB=2，∴PF=2−45x，∵∠C=∠EFP=∠DPF=90°，∴∠DPC+∠EPF=90°，∠EPF+∠PEF=90°，∴∠DPC=∠PEF，∴△PDC∽△EPF，∴EFPC =PFCD，∴35x2=2−45xy，∴y=20−8x3x，当y=4时，x=1，当y=0时，x=52，∴1≤x≤52．(2)①如图2−1中，当EP=EB时，作EF⊥PB于F．∵EP=EB，EF⊥PB，∴PF=BF，∴45x=1，∴x=54，∴CD=y=20−8×5 43×54=83．②如图2−2中，当BP=BE时，x=2，CD=y=20−8×23×2=23第22页，共25页第23页，共25页③如图2−3中，当PE =PB 时，点D 在AC 的延长线上，同法可得y=8x−103x ． 作PM ⊥BE 于M ，则BM =BE =3×45=85，∴x =165，∴CD =y =8×165−203×165=712．综上所述，满足条件的CD 的值为83或23或712．(3)①如图3−1中，当△DPE∽△BCA 时，则有DP PE =BC AC =43，∵△DCP∽△PFE ，∴PD PE =PC EF =43，∴EF =32，∴35x=32，∴x=52，此时CD=y=0，∴AD=AC=3．②如图3−2中，当大王E在BA的延长线上时，△EPD∽△BCA，则有EPPD =BCAC=43，同法可得EFPC =43，∴EF=83，∴35x=83，∴x=409，∴CD=y=8×409−203×409=76，∴AD=AC+CD=3+76=256，综上所述，满足条件的AD的值为3或256．【解析】(1)如图1中，作EF⊥BC于F.利用相似三角形的性质构建关系式即可．(2)分三种情形：①如图2−1中，当EP=EB时．②如图2−2中，当BP=BE时．③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，分别求解即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，当△DPE∽△BCA时，则有DPPE =BCAC=43，构建方程即可解决问题．②如图3−2中，当大王E在BA的延长线上时，△EPD∽△BCA，则有EPPD=第24页，共25页BC AC =43，构建方程即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．第25页，共25页。
2020学年上海市杨浦区中考一模数学及答案解析
2020年上海市杨浦区中考一模数学一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分) 1.如果5x=6y ，那么下列结论正确的是( ) A.x ：6=y ：5 B.x ：5=y ：6 C.x=5，y=6 D.x=6，y=5解析：直接利用比例的性质将原式变形， ∵5x=6y ，∴65x y =.故选项A 正确. 答案：A2.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是( ) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角解析：因为A ，B ，D 给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A ，B ，D 错误；C 、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C 正确. 答案：C3.如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是( ) A.BC ：DE=1：2B.△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2C.∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D.△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2解析：A 、BC 与EF 是对应边，所以，BC ：DE=1：2不一定成立，故本选项错误； B 、△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：4，故本选项错误； C 、∠A 的度数：∠D 的度数=1：1，故本选项错误；D 、△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2正确，故本选项正确. 答案：D4.如果2a b ＝(a b ，均为非零向量)，那么下列结论错误的是( ) A.||2a b B.20a b =-C.12 b a =D.2a b＝解析：A、正确.因为2a b＝(a b，均为非零向量)，所以a与b是方向相同的向量，即||a b；B、错误.应该是20a b=-；C、正确.由2a b＝可得12b a=；D、正确.因为2a b＝所以2a b＝.答案：B5.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列不等式成立的是( )A.a＞0B.b＜0C.ac＜0D.bc＜0.解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣2ba＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，bc＞0.答案：C6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE∽△BDF的是( )A.EA ED BD BF＝B.EA ED BF BD＝C.AD AE BD BF＝D.BD BA BF BC＝.解析：A、∵∠AED=∠B，EA EDBD BF＝，∴△ADE∽△BDF，正确；B、∵∠AED=∠B，EA EDBF BD＝，∴△ADE∽△BDF，正确；C、∵∠AED=∠B，AD AEBD BF＝，不是夹角，∴不能得出△ADE∽△BDF，错误；D、∵∠AED=∠B，BD ABBF BC＝，∴△ABC∽△BDF，∵∠A=∠A，∠B=∠AED，∴△AED∽△ABC，∴△ADE∽△BDF，正确；答案：C二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是_____.解析：∵抛物线y=x2﹣3，∴抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是：(0，﹣3)，答案：(0，﹣3)8.化简：112322a b a b--+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =_____.解析：112322a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3 232a b a b---=142a b-答案：142a b-9.点A(﹣1，m)和点B(﹣2，n)都在抛物线y=(x﹣3)2+2上，则m与n的大小关系为m_____n(填“＜”或“＞”).解析：∵二次函数的解析式为y=(x﹣3)2+2，∴该抛物线开口向上，对称轴为x=3，在对称轴y的左侧y随x的增大而减小，∵﹣1＞﹣2，∴m＜n.答案：＜10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0，4)的抛物线的表达式_____.解析：因为抛物线的开口向下，则可设a=﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)，则可设顶点为(0，4)，所以此时抛物线的解析式为y=﹣x2+4.答案：y=﹣x2+411.如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，如果EG=4，那么AC=_____.解析：∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，∵EG=4，∴AE=83，GC=163，∴AC=AE+EG+GC=12，答案：1212.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是_____.解析：∵在▱ABCD中，AO=12AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴13 AF AEBC CE==，∵S△AEF=4，219 AEFBCES AFS BC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭，∴S△BCE=36. 答案：3613.Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=9，cosA=13，那么AB=_____.解析：如图.∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，cosA=13 ACAB=，∴913 AB=，∴AB=27.答案：2714.如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1：_____.解析：由题意得，水平距离=22 13050=120，则该斜坡的坡度i=50：120=1：2.4.答案：2.415.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO=_____.解析：∵∠C=90°，CM是AB边上的中线，∴CM=12AB=6，∵MH⊥BC，∴H是BC的中点，∴AH是BC边上的中线，∵AH与CM交于点O，∴O是△ABC的重心，∴23 COCM＝，∴CO=23CM=4，答案：416.已知抛物线y=ax2+2ax+c，那么点P(﹣3，4)关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是_____.解析：∵y=ax2+2ax+c，∴抛物线对称轴为x=﹣2aa=﹣1，∵P(﹣3，4)关于对称轴对称的点的坐标为(1，4)，答案：(1，4)17.在平面直角坐标系中，将点(﹣b，﹣a)称为点(a，b)的“关联点”(例如点(﹣2，﹣1)是点(1，2)的“关联点”).如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_____象限.解析：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)分别在一三象限，不合题意；若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)都在第二或第四象限，符合题意；答案：二、四18.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB=23，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是_____. 解析：如图所示，连接BD，AM，∵AB=AC，M是BC的中点，BC=6，∴AM⊥BC，∵sinB=23，BM=3，∴Rt△ABM中，由勾股定理可得：655955，∵∠ACB=∠ACD，BC=DC，∴BD⊥AC，BH=DH，∴12BC×AM=12AC×BH，∴BH=BC AMAC=4，∴BD=2BH=8，又∵M是BC的中点，N是CD的中点，∴MN=12BD=4，答案：4三、解答题：(本大题共7题，满分78分)19.计算：cos45tan45sin60cot60 cot452sin30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒.解析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案.答案：原式=23312231122---+⨯=21222-=214-.20.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=35，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB=2：3，DE⊥BC.(1)求∠DCE的正切值；(2)如果设AB a CD b＝，＝，试用a b、表示AC.解析：(1)设AC=3a，AB=5a.则BC=4a.想办法求出DE、CE，根据tan∠DCE=DECE即可解决问题；(2)根据AC AD DC=+，只要求出AD DC、即可解决问题；答案：(1)∵∠ACB=90°，sinB=35，∴35ACAB=，∴设AC=3a，AB=5a.则BC=4a.∵AD：DB=2：3，∴AD=2a，DB=3a. ∵∠ACB=90°即AC⊥BC，又DE⊥BC，∴AC∥DE.∴DE BD CE AD AC AB CB AB==，.∴323545DE a CE aa a a a==，.∴DE=95a，CE=85a，∵DE⊥BC，∴tan∠DCE=98DECE=.(2)∵AD：DB=2：3，∴AD：AB=2：5，∵AB a CD b＝，＝，∴25AD a DC b=-＝，，∵AC AD DC=+，∴25AC a b-＝.21.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.解析：首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案.答案：由题意得：C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1(a≠0)，则据题意得：421.53661ba ab ⎧-⎪⎨⎪++⎩＝＝， 解得：12413a b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：2111243y x x =-++，∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为：53米.22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tanα=6.求灯杆AB 的长度.解析：过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=10.设AF=x知EF=AF=x 、tan 6AF xDF ADF ==∠，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF ﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8.答案：过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=10.由题意得∠ADE=α，∠E=45°.设AF=x.∵∠E=45°，∴EF=AF=x.在Rt△ADF中，∵tan∠ADF=AF DF，∴tan tan6AF x xDFADFα===∠，∵DE=13.3，∴x+6x=13.3.∴x=11.4.∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4.∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°.∴AB=2AG=2.8，答：灯杆AB的长度为2.8米.23.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.(1)求证：△AED∽△CFE；(2)当EF∥DC时，求证：AE=DE.解析：(1)首先根据已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，进而求出△AED∽△CFE，(2)根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性质解答即可.答案：证明：(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD，∠BEC=∠BEF+∠FEC，又∵∠BEF=∠BAC，∴∠ABD=∠FEC，∵AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∴∠FEC=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECF，∴△AED∽△CFE；(2)∵EF∥DC，∴∠FEC=∠ECD，∵∠ABD=∠FEC，∴∠ABD=∠ECD，∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC，∴AE BE DE CE＝，∵AD∥BC，∴AE DECE BE＝，∴AE AE BE DEDE CE CE BE⨯⨯＝.即AE2=DE2，∴AE=DE.24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当抛物线过点(1，﹣2)，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；(3)当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值.解析：(1)利用配方法将函数关系式变形为y=﹣(x﹣m)2﹣m+1，从而可得到点D的坐标；(2)将点(1，﹣2)代入抛物线的解析式可求得m的值，然后求得平移前后的抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线平移的方向和距离；(3)分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH=∠AHO可得到AG AODG HO=，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可. 答案：(1)∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣(x﹣m)2﹣m+1，∴顶点D(m，1﹣m).(2)∵抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点(1，﹣2)，∴﹣2=﹣1+2m ﹣m 2﹣m+1.整理得：m 2﹣m ﹣2=0.∴m=﹣1(舍)或m=2.当m=2时，抛物线的顶点是(2，﹣1)，∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位.(3)∵顶点D 在第二象限，∴m ＜0.当点A 在y 轴的正半轴上，如图(1)作AG ⊥DH 于点G ，∵A(0，﹣m 2﹣m+1)，D(m ，﹣m+1)，∴H(m ，0)，G(m ，﹣m 2﹣m+1)∵∠ADH=∠AHO ，∴tan ∠ADH=tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO =. ∴()22111m m m m m m m ---+=-----+. 整理得：m 2+m=0.∴m=﹣1或m=0(舍).当点A 在y 轴的负半轴上，如图(2).作AG ⊥DH 于点G ，∵A(0，﹣m 2﹣m+1)，D(m ，﹣m+1)，∴H(m ，0)，G(m ，﹣m 2﹣m+1)∵∠ADH=∠AHO ，∴tan ∠ADH=tan ∠AHO ，∴AG AO DGHO=.∴()22111m m mmm m m-+-=-----+.整理得：m2+m﹣2=0.∴m=﹣2或m=1(舍).综上所述，m的值为﹣1或﹣2.25.已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；(2)如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；(3)请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.解析：(1)先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判断出AB∥EP，进而判断出CN=CE，最后用锐角三角函数即可得出结论；(2)先由锐角三角函数求出 AE，CE，再用勾股定理求出PC，最后勾股定理建立方程即可得出结论；(3)先确定出PC最大和最小时的位置，即可得出PC的范围，最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论.答案：(1)∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME.∴∠AEM=∠PEM，AE=PE.∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∵EP⊥BC，∴AB∥EP.∴∠AME=∠PEM.∴∠AEM=∠AME.∴AM=AE，∵ABCD是矩形，∴AB∥DC.∴AM AECN CE＝.∴CN=CE，设CN=CE=x.∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5.∴PE=AE=5﹣x.∵EP⊥BC，∴454 sin55 EP xACBCE x-=∠=∴．＝，∴x=25 9，即CN=25 9(2)∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME.∴AE=PE，AM=PM.∵EP⊥AC，∴4tan3 EPACBCE=∠=.∴43 AECE=.∵AC=5，∴AE=207，CE=157.∴PE=20 7，∵EP⊥AC，∴257=.∴PB=PC﹣BC=4 7，在Rt△PMB中，∵PM2=PB2+MB2，AM=PM.∴AM2=(47)2+(4﹣AM)2.∴AM=100 49；(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，由折叠知，AE=PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，∴0≤CP≤5，如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，∴BP=2，由折叠知，PM=AM，在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2=BP2，∴(4﹣BM)2﹣BM2=4，∴BM=3 2，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，2235BCBM+=. 当CP最大时MN=35，。
2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷含答案
2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）将抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（）A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣1）2C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1 2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cos A＝，那么AB的长是（）A．B．C．D．3．（4分）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定∥的是（）A．，B．＝，＝2C．＝2D．||＝||4．（4分）如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米6．（4分）如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE＝2DE B．△CFP～△APH C．△CFP～△APC D．CP2＝PH•PB二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分)7．（4分）如果cotα＝，那么锐角α＝度．8．（4分）如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝．9．（4分）二次函数y＝2x2+5x﹣1的图象与y轴的交点坐标为．10．（4分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．（4分）在比例尺为1：8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为千米．12．（4分）已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝cm．13．（4分）已知点G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交边AB、AC于点M、N，那么＝．14．（4分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．15．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°（结果保留一位小数）＝0.867，tan31°＝0.601】16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．17．（4分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC ＝度．18．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝．三、解答题：(本大题共7题，满分78分）19．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣4﹣10﹣1﹣4…（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2，4）的位置，那么其平移的方法是．20．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝12，CD＝7，点E在边AD上，＝，过点E作EF∥AB交边BC于点F．（1）求线段EF的长；（2）设＝，＝，联结AF，请用向量、表示向量．21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，延长边BA至点D，使AD ＝AC，联结CD．（1）求∠D的正切值；（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．22．（10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）23．（12分）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD 上，CE＝CD．（1）求证：＝；（2）求证：AC2＝2AE•AD．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S＝10，求点F的坐标；四边形OEFB（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．25．（14分）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）将抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（）A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣1）2C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是y＝（x+1）2，故选：A．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cos A＝，那么AB的长是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，又∵cos A＝＝，∴AB＝，故选：B．3．（4分）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定∥的是（）A．，B．＝，＝2C．＝2D．||＝||【解答】解：A、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意．B、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意．C、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意．D、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意．故选：D．4．（4分）如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：2【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米【解答】解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．6．（4分）如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE＝2DE B．△CFP～△APH C．△CFP～△APC D．CP2＝PH•PB 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∵△APB是等边三角形，∴∠P AB＝∠PBA＝∠APB＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AE＝2DE，故①正确，∵AB∥CD，∴∠PFE＝∠ABP＝∠APH＝60°，∵∠AHP＝∠PBA+∠BAH＝60°+45°＝105°，又∵BC＝BP，∠PBC＝30°，∴∠BPC＝∠BCP＝75°，∴∠CPF＝105°，∴∠PHA＝∠CPF，∴△CFP∽△APH，故②正确，∵∠CP A＝60°+75°＝135°≠∠CPF，∴△PFC与△PCA不相似，故③错误，∵∠PCH＝∠PCB﹣∠BCH＝75°﹣45°＝30°，∴∠PCH＝∠PBC，∵∠CPH＝∠BPC，∴△PCH∽△PBC，∴＝，∴CP2＝PH•PB，故④正确，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分)7．（4分）如果cotα＝，那么锐角α＝30度．【解答】解：∵cotα＝，∴锐角α＝30°．故答案为：30．8．（4分）如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝1．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），∴﹣1+m＝0，∴m＝1．故答案为1．9．（4分）二次函数y＝2x2+5x﹣1的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1，所以二次函数y＝2x2+5x﹣1的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．故答案为（0，﹣1）．10．（4分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1＞y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．（4分）在比例尺为1：8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为320千米．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，∵比例尺═，∴1：8000000＝4：x，∴x＝32000000，∴甲、乙两地的实际距离为是320km，故答案为：320．12．（4分）已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝（5﹣5）cm．【解答】解：∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝5﹣5．故答案为：（5﹣5）．13．（4分）已知点G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交边AB、AC于点M、N，那么＝．【解答】解：如图，，连接AG并延长交BC于点E，∵点G是△ABC的重心，∴，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，故答案为：14．（4分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 2.4米．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．15．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．17．（4分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC ＝145度．【解答】解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵对角线BD是它的相似对角线，∴△ABD∽△DBC，∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，∴∠A+∠C＝∠ADC，又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，∴∠ADC＝145°，故答案为：145．18．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；三、解答题：(本大题共7题，满分78分）19．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣4﹣10﹣1﹣4…（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2，4）的位置，那么其平移的方法是向右平移3个单位，向上平移4个单位．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），（1，﹣4），∴，解得，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；（2）∵新顶点M（2，4），∴y＝﹣（x﹣2）2+4，∵y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣1向右平移3个单位，向上平移4个单位可得到y＝﹣（x﹣2）2+4，故答案为：向右平移3个单位，向上平移4个单位．20．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝12，CD＝7，点E在边AD上，＝，过点E作EF∥AB交边BC于点F．（1）求线段EF的长；（2）设＝，＝，联结AF，请用向量、表示向量．【解答】解：（1）过D作DM∥BC交EF于N，交AB于M，则BM＝FN＝CD＝7，∴AM＝AB﹣BM＝12﹣7＝5，∵＝，∴＝＝∴EN＝2，∴EF＝EN+FN＝2+7＝9；（2）∵EF＝9，AB＝12，∴＝，∵＝，∴＝＝，∵＝，＝，∴＝，∴＝+＝+．21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，延长边BA至点D，使AD ＝AC，联结CD．（1）求∠D的正切值；（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠B，在△ABC中，sin B＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，∴sin∠ACG＝＝＝sin B，∴AG＝x，CG＝x，∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；（2）过点C作CF∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，∴HC＝AB＝5x，由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．22．（10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．23．（12分）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD 上，CE＝CD．（1）求证：＝；（2）求证：AC2＝2AE•AD．【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD；（2）∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴AC2＝CD•CB，∵△ACE∽△BAD，∴＝，∴AE•AD＝BD•CE，∴2AE•AD＝2BD•CE＝BC•CD，∴AC2＝2AE•AD．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S＝10，求点F的坐标；四边形OEFB（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．【解答】解：（1）由y＝mx2﹣2mx+4＝m（x﹣1）2+4﹣m得到：抛物线对称轴为直线x ＝1．∵AB＝6，∴A（﹣2，0），B（4，0）．将点A的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+4＝0，解得m＝﹣．故该抛物线解析式是：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，联结OF，设F（t，﹣t2+t+4），则S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB＝×2t+×4（﹣t2+t+4）＝10．∴t1＝1，t2＝2．∴点F的坐标是（1，）或（2，4）；（2）由题意得，F（2，4），如图2，设PF与y轴的交点为G．，∵tan∠EBO＝＝＝，tan∠HFB＝＝，∴tan∠EBO＝tan∠HFB．∴∠EBO＝∠HFB．又∵∠PFH＝∠EGF＝∠FBE，∴∠PFB＝∠PBF．∴PF＝PB．设P（a，0）．则PF＝PB，∴（a﹣4）2＝（a﹣2）2+42，解得a＝﹣1．∴P（﹣1，0）25．（14分）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．【解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB2+2，综上所述，满足条件的PB的值为2+2．。
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为 ▲ 米．（结果保留一位小数） 【参考数据： sin31°＝ 0.515， cos31°＝ 0.867， tan31°＝ 0.601】
16．如图，在四边形
ABCD 中，∠ B=∠ D=90 °， AB=3， BC=2， tan A
4 ，那么 CD =
▲
．
3
D
A
A
OB
C
E
第 14 题图Bຫໍສະໝຸດ 31 °AC
如图，已知在梯形 ABCD 中， AB//CD ，AB=12， CD=7，点 E 在边 AD 上， DE AE
交边 BC 于点 F.
D
（ 1）求线段 EF 的长；
E
（ 2）设 AB a ， AD b ，联结 AF，请用向量 a 、 b 表示向量 AF ．
2 ，过点 E 作 EF //AB
3 C
F
A
B
考前八步法
1. 考前检查进入考场前，检查一下自己是否带齐了应带的证件和文具 2. 拿到试卷不要急于答题 3. 迅速统览全卷 4. 按序号先易后难答题 5. 仔细审题，避免失误 6. 量分用力 7. 规范答卷 8. 审阅检查
杨浦区 2019 学年度第一学期期末质量调研
初三数学试卷
2019.12
（ 测试时间： 100 分钟，满分： 150 分）
（填“ >”、“ <”或“ =”）
11．在比例尺为 1： 8 000 000 地图上测得甲、乙两地间的图上距离为 4 厘米，那么甲、乙两地间的实际距
离为 ▲ 千米．
12． 已知点 P 是线段 AB 上的一点，且 BP2 AP AB ，如果 AB=10cm ，那么 BP= ▲ cm． 13．已知 点 G 是△ ABC 的重心，过点 G 作 MN ∥ BC 分别交边 AB、 AC 于点 M、 N，那么 S AMN =
考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、
本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步 骤．
一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．把抛物线 y x 2 向左平移 1 个单位后得到的抛物线是
第 20 题图
21. （本题满分 10 分，第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题 5 分）
如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB= 90o， sin B
18．在 Rt△ ABC 中，∠ A=90 °， AC=4， AB=a，将△ ABC 沿着斜边 BC 翻折，点 A 落在点 A1 处，点 D、 E 分别为边 AC、 BC 的中点，联结 DE 并延长交 A1B 所在直线于点 F，联结 A1E，如果△ A1EF 为直角三 角形时，那么 a= ▲ ．
三、解答题： （本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分）
A ． y （ x 1）2 ；
B ． y （ x 1）2 ；
C． y x2 1；
D． y x2 1 .
2．在 Rt△ ABC中，∠ C=90 °，如果 AC=2， cosA
A． 5 ； 2
B． 8； 3
3 ，那么 AB的长是
4
C． 10 ； 3
D． 2 7 ． 3
3．已知 a 、 b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a // b 的是
D． 6 米．
6．如图， 在正方形 ABCD 中， △ ABP 是等边三角形， AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E、F，联结 AC、
CP， AC 与 BF 相交于点 H，下列结论中错误的是
A
D
A ．AE ＝2DE ； C．△ CFP ∽ △APC；
B ．△ CFP ∽△ APH ； D． CP2＝ PH ?PB．
二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．如果 cot
3 ，那么锐角 = ▲ 度．
2
8．如果抛物线 y x 3x 1 m 经过原点，那么 m =
▲ ．
PF
E H
B
C
第 6 题图
2
9．二次函数 y 2x 5x 1 的图像与 y 轴的交点坐标为 ▲ ．
10．已知点 A（x1， y1）、 B（ x2， y2）为抛物线 y （ x 2）2 上的两点，如果 x1 x2 2 ，那么 ▲ ．
A ． a // c ，b // c ；
1 B ． a c ， b 2c ；
2
C． a 2b ；
D． a b .
4．如图，在 6× 6 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点
A、B，如果线段 AB
1
与网格线的其中两个交点为 M 、N，那么 AM ∶ MN ∶ NB 的值是
A ．3∶ 5∶ 4；
B ．3∶ 6∶ 5；
抛物线 y＝ ax2+bx+c 中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应关系如下表：
x
…
3
2
1
0
1
…
y
…
4
1
0
1
4
…
（ 1）求该抛物线的表达式；
（ 2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点
M （ 2， 4）的位置，那么其平移的方法是
▲.
20．（本题满分 10 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分）
2第 15 题图
D
C
B
第 16 题图
17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全
等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形
ABCD 中，对角线 BD 是它的相似
对角线，∠ ABC=70°， BD 平分∠ ABC，那么∠ ADC= ▲ 度．
C． 1∶ 3∶ 2；
D． 1∶ 4∶2.
5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上
水珠的高度 y（米）关于水珠和喷头的水平距离 x（米）的函数解析式是
y
32 x
6 x（0
x
4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是
2
A ．1 米；
B ．2 米；
C． 5 米；
第 4 题图
S ABC
▲．
14．如图， 某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC ，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米 ，OA
的长为 3 米 ，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米 ，那么栏杆端点 D 离地面的距离为 ▲ 米．
15．如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的坡角为 31°， AB 的长为 12 米，那么大厅两层之间 BC 的高度