(完整版)高等数学基础知识点归纳

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大学全册高等数学知识点总结(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y fx y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

高等数学基本知识点大全

们论单值函数
函数相等
由函数的定可知个函数的构要素定域对关系和值域由于值域是由定域和对
关系决定的所如果个函数的定域和对关系完全
们就个函数相等
域函数的表示方法
⑷核解析法用数学式子表示自量和因量之间的对关系的方法是解析法例直角坐标系中
222
半径征圆心在原点的圆的方程是 x 为y =征
的元素完全
因集合 A 集合 B 相等记作 A B
真子集如何集合 A 是集合 B 的子集但在个元素属于 B 但属于 A 们集合 A 是集合
B 的真子集空集
们把
任何元素的集合做空集记作 ∅ 并规定空集是任何集合的子集
由述集合之间的基本关系可得到面的结论
任何个集合是它本身的子集
函数的
函数的表达式
函数的形
函数的性质
⑷核定域光样-∞主为∞核曲
⑸核是奇函数
干核在定域内是单调增
曲余
曲
们再来看
曲函数角函数的区曲函数的性质
s穷x t穷x 是奇函数干穷x 是偶函数
它们都是周期函数曲函数有和差式
⑷核定域光样-∞主为∞核
⑸核是偶函数
干核
像过点样0主1核
B
A B ｛x|x∈A 且 x∈B｝
的集合的集合
A B 的并集记作 A A B 的交集记作 A
补集
全集通常记作 U
般地如果个集合有们所研
题中所涉及的所有元素那就
个集合全集
补集对于个集合 A 由全集 U 中属于集合 A 的所有元素
的补集简集合 A 的补集记作 CUA

(完整版)高数知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

(完整版)高等数学基础知识点归纳

(完整版)高等数学基础知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A??。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

高等数学知识点总结

高等数学是大学理工科学生的一门基础课程，涉及到数学分析、线性代数、概率论和数学物理方法等内容。

本文将对高等数学的知识点进行总结，以供参考。

一、数学分析1.极限与连续极限是数学分析的基础概念，主要研究函数在某一点的邻域内的性质。

极限的性质包括保号性、保序性等。

连续性是极限的一种特殊情况，一个函数在某一点的极限等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。

2.导数与微分导数研究函数在某一点的切线斜率，是函数变化率的具体体现。

导数的计算方法包括定义法、导数法则和高阶导数等。

微分是导数的一种应用，主要研究函数在某一点的微小变化。

3.积分与不定积分积分是导数的逆运算，研究函数在某一区间内的累积变化。

积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等。

不定积分是积分的一种扩展，没有明确的积分界限，主要用于求解原函数。

级数是数学分析中的重要部分，研究函数的和式。

常见的级数包括幂级数、泰勒级数和傅里叶级数等。

级数的收敛性判断是级数研究的关键，常用的判断方法有比较判别法、比值判别法和根值判别法等。

5.多元函数微分学多元函数微分学研究多个变量之间的函数关系。

主要内容包括偏导数、全微分、方向导数和雅可比矩阵等。

重积分是研究函数在空间区域上的累积变化。

重积分的计算方法包括一重积分、二重积分和三重积分等。

7.常微分方程常微分方程是描述自然界和工程技术中具有变化规律的数学模型。

常微分方程的解法包括分离变量法、常数变易法和线性微分方程组等。

二、线性代数矩阵是线性代数的基本工具，用于描述线性方程组和线性变换。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。

矩阵的行列式用于判断线性方程组的解的情况。

2.线性方程组线性方程组是实际问题中常见的数学模型。

线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克莱姆法则等。

3.向量空间与线性变换向量空间是具有加法和数乘运算的向量集合。

线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。

4.特征值与特征向量特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要概念。

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点大全一、导数和微分在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。

微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。

1. 导数的定义和性质：- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗。

- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。

- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。

2. 微分的定义和性质：- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。

- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。

3. 一阶导数和高阶导数：- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。

- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。

二、积分和定积分积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。

它们是导数的逆运算。

1. 定积分的定义和性质：- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。

- 定积分的性质：定积分具有线性性、加法性、估值性等。

2. 积分基本公式和换元积分法：- 积分基本公式：包括常数乘法法则、分步积分法则和换元积分法则等。

- 换元积分法：利用换元积分法可以将一些复杂的积分问题转化为简单的积分形式。

3. 不定积分和定积分的关系：- 不定积分：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

高等数学知识点总结(精品文档)

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：2222122tan 11cos 12sin u dudx x u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a x x x x x x x x c x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )tan (sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x C x dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=± xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦e xxxxx x =+=∞→→)11(l i m 1s i n l i m·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan2cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±= ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：x arc x x x cot 2arctan arccos 2arcsin -=-=ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高数基础知识总结,助你轻松掌握数学要点

高数基础知识总结，助你轻松掌握数学要点
一、函数与极限
1. 函数的概念及其性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 函数的极限，包括趋近于无穷大时的极限和趋近于某点的极限，以及极限的四则运算法则。

3. 无穷小量与阶的比较，包括无穷小量及其性质，以及阶的比较及其应用。

二、导数与微分
1. 导数的概念及其几何意义，包括导数的定义、几何意义、物理意义等。

2. 导数的运算法则，包括四则运算法则、复合函数求导法则等。

3. 微分概念及其运算，包括微分的定义、几何意义、运算性质等。

三、积分与级数
1. 定积分的概念及其性质，包括定积分的定义、几何意义、可积条件等。

2. 定积分的计算方法，包括直接法、换元法、分部积分法等。

3. 无穷级数的概念及其性质，包括无穷级数的定义、收敛性、绝对收敛与条件收敛等。

4. 无穷级数的求和运算，包括幂级数求和、交错级数求和等。

四、多元函数微积分
1. 多元函数的极限与连续性，包括极限的定义、性质，连续性的概念等。

2. 偏导数与全微分，包括偏导数的概念、全微分的概念及其计算方法等。

3. 二重积分，包括二重积分的概念、性质、计算方法等。

高等数学知识点

高等数学知识点
高等数学是大学理工科专业中的一门基础课程，它在数学分析、线性代数和概率论等方面提供了深入的理论知识和方法。

以下是高等数学的主要知识点总结：
1. 数学分析
- 极限的概念和性质
- 连续函数的定义和性质
- 导数和微分的定义、计算和应用
- 泰勒公式和麦克劳林公式
- 函数的极值和最值问题
- 曲线的凹凸性和拐点
- 不定积分和定积分的定义、计算和应用
- 广义积分和傅里叶级数
- 多元函数的偏导数和全微分
- 多元函数的极值和条件极值
- 重积分和曲线积分、曲面积分
2. 线性代数
- 矩阵的定义和基本运算
- 行列式的定义和性质
- 向量空间和子空间的概念
- 线性方程组的解法和理论
- 特征值和特征向量
- 二次型和正定矩阵
- 线性变换和矩阵对角化
- 欧几里得空间和内积
- 正交矩阵和酉矩阵
3. 概率论与数理统计
- 随机事件和概率的定义
- 条件概率和全概率公式
- 随机变量及其分布
- 期望值、方差和协方差
- 大数定律和中心极限定理
- 统计量和抽样分布
- 假设检验和置信区间
- 回归分析和方差分析
这些知识点构成了高等数学的核心内容，是理解和应用高等数学的基础。

通过学习这些内容，学生能够掌握数学分析的严密逻辑、线性代数的抽象思维以及概率论与数理统计的统计推断，为进一步的专业学习和科研工作打下坚实的基础。

高数基础知识点汇总

高数知识点汇总第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。

(完整版)大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx yf x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

(完整版)高数知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( y a x )，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无量小：高阶 +低阶 =低阶比方： limx 2x lim x 1xxx 0x(1)limsin x11 x4、两个重要极限： 1(2) lim 1 x xe lim 1ex 0xx 0x xx 0 , f ( x) 0, g( x)f ( x)g ( x) lim f ( x) g (x)经验公式：当 x， lim 1ex x 0xx 01lim3xxe 3比方： lim 1 3x xe x 0x 05、可导必然连续，连续未必可导。

比方： y | x |连续但不可以导。

6、导数的定义： limf (xx) f ( x)f '( x)lim f (x)f (x 0 )f ' x 0x 0xxx 0xx 07、复合函数求导： df g( x)f ' g( x) ? g'( x)dx112 x2 x 1比方： yxx , y'2 xx4 x 2x x8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出dy/dxx 2 y 2 1比方：解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x 2 yy' 0 y'xy法( 2), 左右两边同时微分 ,2xdx 2 ydy dy xdx y9、由参数方程所确定的函数求导：若yg(t) ，则 dy dy / dtg '(t)，其二阶导数：xh(t)dxdx / dth'(t)d 2 y d dy / dxd (dy / dx)d g' (t ) / h'(t )dt dtdx 2dxdx / dth' (t )10、微分的近似计算： f ( x 0 x) f ( x 0 )x ? f '( x 0 ) 比方：计算 sin 3111、函数中止点的种类： (1) 第一类：可去中止点和跳跃中止点；比方：y sin x （ x=0x 是函数可去中止点）， y sgn(x) （x=0 是函数的跳跃中止点）(2) 第二类：振荡中止点和无量中止点；比方：f ( x) sin1 （x=0 是函数的振荡中止点）， y 1（x=0 是函xx数的无量中止点） 12、渐近线：水平渐近线： ylim f (x)cx铅直渐近线：若，lim f ( x)，则 x a 是铅直渐近线 .x a斜渐近线：设斜渐近线为 yax b, 即求 a limf ( x), b lim f ( x)axxxx比方：求函数 yx3x 2x 1的渐近线x 2113、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 是驻点。

高等数学基础知识点大全整理版

10、函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则若已知x→x0(或x→∞)时，.则：推论：在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题：求解答：例题：求此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。

解答：注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。

我们先来看一个例子：例：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。

定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记：注：只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限一：注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...二：注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.例题：求解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。

(完整版)高数一知识点

第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。

当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。

（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。

幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。

结合变上限函数求极限。

二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。

三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续可导⇔可微可导⇔既左可导又右可导求导数：（１）复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２）隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。

高等数学上重要知识点归纳

高等数学上重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义以数列为例,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时,ε<-||a x n2、性质1 )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小; 2保号性若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时,0)(>x f ; 3无穷小乘以有界函数仍为无穷小; 二、求极限的主要方法与工具 1、两个重要极限公式 11sin lim=∆∆→∆ 2e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 1 夹逼准则 2单调有界准则 3、等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin 2∆∆~tan 3∆∆~arcsin 4∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( 6∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- 8nn ∆-∆+~11 4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类 1、连续的定义)(x f 在a 点连续2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义 2、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义 4、导数的物理意义5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。

高数知识点整理

高数知识点整理高等数学是大学理工科和经济金融等专业的重要基础课程，其知识点繁多且复杂。

下面为大家整理了一些重要的高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

简单来说，对于定义域中的每个输入值，都有唯一的输出值与之对应。

2、函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。

单调性指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数关于原点对称（奇函数）或关于 y 轴对称（偶函数）；周期性是指函数在一定的区间内重复出现相同的取值规律；有界性则表示函数的值在一定范围内。

3、极限的概念极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的趋近值。

4、极限的计算方法包括直接代入法、因式分解法、有理化法、洛必达法则等。

直接代入法适用于简单的函数；因式分解法常用于分式函数；有理化法可用于消除根号；洛必达法则则用于求解 0/0 或∞／∞ 型的极限。

5、无穷小与无穷大无穷小是以 0 为极限的变量；无穷大是绝对值无限增大的变量。

无穷小的性质在极限计算中经常用到。

二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率。

2、导数的几何意义导数就是函数图像在某一点的切线斜率。

3、基本导数公式如常数的导数为 0，幂函数的导数，指数函数的导数，对数函数的导数等。

4、导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法的求导法则。

5、复合函数求导设 y ＝ f(u)，u ＝ g(x)，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 f'（u) g'（x)。

6、隐函数求导对于方程 F(x, y) ＝ 0 确定的隐函数 y ＝ y(x)，通过对方程两边同时求导来求解 y'。

7、微分的定义函数的微分是函数增量的线性主部。

8、微分的运算法则与导数的运算法则类似。

三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0。

高等数学知识点(全)

2、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数
称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。
3、基本积分表（P188，13 个公式）；
4、性质（线性性）。
（二）换元积分法 1、第一类换元法（凑微分）：
f [(x)](x)dx f (u)du u(x)
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；
3、利用极值（最值）。
（六）方程根的讨论
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阿樊教育 1、连续函数的介值定理；
永不改变年轻时的梦想
2、 Rolle 定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性。
（七）渐近线
1、铅直渐近线： lim f (x) ，则 x a 为一条铅直渐近线； xa
（二）微分
1）定义：y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) ，其中 A 与 x 无关。
2）可微与可导的关系：可微可导，且
dy f (x0 )x f (x0 )dx
第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理
1、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足： 1 ） f (x) C[a,b] ； 2 ） f (x) D(a,b) ； 3 ）
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ， 2
则称 f (x) 在区间 I 上的图形是凹的；若
x1, x2 I ,
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在区间 2
I

高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备

大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。

变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。

通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。

注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。

这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。

如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。

例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。

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（完整word版）高等数学复习资料大全《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 22=?>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-?x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.??=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

大学全册高等数学知识点（全套）

第 1 1 页页共 30 30 页页大学全册高等数学知识点(全套)极限与连续一. 数列函数: 1. 类型类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n na f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x £ì=í>î; *00()(),x x f x F x x x a ¹ì=í=î;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x j == (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =ìí=î (7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt=ò (8)级数和函数(数一,三): (),n n n S x a x x ¥==ÎW å 2. 特征特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x Þ"--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=Û=Þ=二. 极限性质: 1. 类型类型: *lim n n a ®¥; *lim ()x f x ®¥(含x ®±¥); *0lim ()x x x xf x ®(含0x x ±®) 2. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型未定型: 000,,1,,0,0,0¥¥¥-¥×¥¥¥ 4. 性质性质: *有界性有界性, *保号性保号性, *归并性归并性第 2 2 页页共 30 30 页页三. 常用结论: 四. 必备公式: 1. 等价无穷小等价无穷小: 当()0u x ®时, 2. 泰勒公式泰勒公式: (1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+; (3)341sin ()3!x x x o x =-+; (4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++; (5)22(1)(1)1()2!x x x o x a a a a -+=+++. 五. 常规方法: 前提前提: (1)准确判断准确判断0,,1,0M a ¥¥¥(其它如:00,0,0,¥-¥×¥¥); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小抓大弃小()¥¥, 2. 无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积 (M a ×) (注:1sin 1,x x£®¥) 3. 1¥处理(其它如:000,¥) 4. 左右极限左右极限(包括x ®±¥): (1)1(0)x x ®; (2)()xe x ®¥; 1(0)xe x ®; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比注意对比: 1ln lim 1x x x x ®-与0ln lim 1x x x x ®-) (2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e =(如: 1111111(1)x x xx xe e e e -++-=-) 第 3 3 页页共 30 30 页页 (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小 8. 极限函数极限函数: ()lim (,)n f x F x n ®¥=(Þ分段函数) 六. 非常手段非常手段 1. 收敛准则收敛准则: (1)()lim ()n x a f n f x ®+¥=Þ (2)双边夹: *n n n b a c ££, *,?n n b c a ® (3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ³ *?n a M £ *'()0?f x > 2. 导数定义导数定义(洛必达?): 0lim'()x ff x x®= 3. 积分和积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n nn ®¥+++=ò, 4. 中值定理中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f x ®+¥®+¥+-= 5. 级数和级数和(数一三): (1)1n n a ¥=å收敛lim 0nn a ®¥Þ=, (如2!lim nnn n n ®¥) (2)121lim()n n n n a a a a ¥®¥=+++=å, (3){}n a 与11()n n n a a ¥-=-å同敛散同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?nf x kx x ® (1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f ffa -=====Û()()!!n nna a f x x x x n n a =+ (2)0()x xn f t dt kt dtòò 2. 渐近线渐近线(含斜): (1)()lim ,lim[()]x x f x a b f x ax x®¥®¥==-()f x ax b a Þ++第 4 4 页页共 30 30 页页 (2)()f x ax b a =++,(10x®) 3. 连续性连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质上连续函数性质 1. 连通性连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01l "<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x l l +-=) 2. 介值定理介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x Þ=(根的个数); (2)()0(())'0x a a f x f x dx =Þ=ò. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念: 1. 差商与导数差商与导数: '()f x =0()()lim x f x x f x x®+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x ®-- (1)0()(0)'(0)lim x f x f f x ®-= (注:0()lim (x f x A f x ®=连续)(0)0,'(0)f f A Þ==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+; (3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数微分与导数: ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+Þ= (1)可微Û可导; (2)比较,f df D 与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式; (注: (())'f x ) 2. 法则法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤): 第 5 5 页页共 30 30 页页 1. 定义导定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()lim h f x h f x h h®+-- (注: 00()(),x x F x f x x x a ¹ì=í=î, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导初等导(公式加法则): (1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xa F x f t dt =òò, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'xbba a a f x t dt f x t dt f t dt òòòòòò) (3)0102(),()x x f x y x x f x <ì=í³î,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数) 3. 隐式隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d ydx dx (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导参式导(数一,二): ()()x x t y y t =ìí=î, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导高阶导()()n f x 公式: 注: ()(0)n f 与泰勒展式: 2012()nnf x a a x a x a x =+++++()(0)!n nf a n Þ=四. 各类应用: 1. 斜率与切线斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线) 2. 物理物理: (相对相对)变化率-速度; 3. 曲率曲率(数一二): 23"()(1'())f x f x r =+(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)第 6 6 页页共 30 30 页页五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ³Þ; '()0()f x f x £Þ; (2)分段函数的单调性分段函数的单调性 (3)'()0f x >Þ零点唯一; "()0f x >Þ驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点极值点: (1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim 0,lim 0,lim 00xx x x x x f x f x f x x x x x ®®®¹¹¹Þ=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =) 注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息); (2)实例: 由'()()()()f x x f x g x l +=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明不等式证明(()0f x ³) (1)区别: *单变量与双变量单变量与双变量? *[,]x a b Î与[,),(,)x a x Î+¥Î-¥+¥? (2)类型: *'0,()0f f a ³³; *'0,()0f f b £³ (3)注意: 单调性Å端点值Å极值Å凹凸性. (如: max ()()f x M f x M £Û=) 4. 函数的零点个数函数的零点个数: 单调Å介值介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y Þ表格; (0"()0f x =) 2. 应用应用: (1)泰勒估计泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论结论: ()()'()()0F b F a F f x x =Þ==第 7 7 页页共 30 30 页页 2. 辅助函数构造实例辅助函数构造实例: (1)()f x Þ()()x a a F x f t dt=ò (2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x x x x x +=Þ= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x x x x x -=Þ= (4)'()()()0f f x l x x +=Þ()()()x dxF x e f x l ò=; 3. ()()0()n ff x x =Û有1n +个零点(1)()n fx -Û有2个零点个零点 4. 特例特例: 证明()()n f a x =的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定) 5. 注: 含12,x x 时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b "Î,[,]a b x $Î,使:'()f c x = 八. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 1. 结论结论: ()()'()()f b f a f b a x -=-; (()(),'()0a b j j x j x <Þ$'>) 2. 估计估计: '()f f x x =九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x x =+-+-+-; 2. 应用应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数原函数()F x : (1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+ò第 8 8 页页共 30 30 页页注(1)()()x aF x f t dt=ò(连续不一定可导); (2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -ÞÞòò (()f x 连续) 2. 不定积分性质不定积分性质: (1)(())'()f x dx f x =ò; (())()d f x dx f x dx =ò (2)'()()f x dx f x c =+ò; ()()df x f x c=+ò二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式 2. 基本方法基本方法: 拆(线性性) 3. 凑微法凑微法(基础): 要求巧要求巧,简,活(221sin cos x x =+) 如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2dxd x x = 4. 变量代换变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,1xx t ax b t t e t x =+==+= (2)作用与引伸(化简): 21x x t ±-= 5. 分部积分分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xaxxf t dtò); (2)“反对幂三指”: ,ln ,n axnx e dxxxdxòò (3)特别: ()xf x dxò (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知已知'()()f x F x =) 6. 特例特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++ò; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdxòò快速法; (3)()()n v x dx u x ò 三. 定积分: 1. 概念性质概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) 第 9 9 页页共 30 30 页页 (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) (3)附: ()()b a f x dx M b a £-ò, ()()()bba af xg x dx Mg x dx £òò) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分变限积分()()xa x f t dt F =ò的处理(重点) (1)f 可积ÞF 连续, f 连续ÞF 可导可导 (2)(())'xa f t dt ò()f x =; (()())'()xx aax t f t dt f t dt-=òò; ()()()xa f x dt x a f x =-ò (3)由函数()()xaF x f t dt=ò参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题问题 3. N L -公式: ()()()ba f x dx Fb F a =-ò(()F x 在[,]a b 上必须连续!) 注: (1)分段积分分段积分, 对称性(奇偶), 周期性周期性 (2)有理式, 三角式, 根式根式 (3)含()ba f t dt ò的方程. 4. 变量代换变量代换: ()(())'()ba f x dxf u t u t dt ba=òò (1)00()()()aaf x dx f a x dx x a t =-=-òòòò, (2)0()()()[()()]a a aa af x dx f x dx x t f x f x dx--=-=-=+-òòò (如:4411sin dx xpp -+ò) (3)2201sin nn n n I xdx I n p--==ò, (4)2200(sin )(cos )f x dxf x dx pp=òò; 200(sin )2(sin )f x dxf x dx pp=òò, (5)00(sin )(sin )2xf x dx f x dx p pp =òò, 5. 分部积分分部积分分部积分 (1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =ò时, 求()baf x dx ò 6. 附: 三角函数系的正交性: 第 10 10 页页共 30 30 页页四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +¥+¥-¥-¥òòò (()f x 连续) (2)()ba f x dx ò: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法积分法ÅN L -公式Å极限(可换元与分部) 4. 特例: (1)11p dx x +¥ò; (2)101pdx xò 五. 应用: (柱体侧面积除外柱体侧面积除外) 1. 面积面积, (1)[()()];b a S f x g x dx=-ò (2)1()dcS f y dy -=ò; (3)21()2S r d b aq q =ò; (4)侧面积:22()1'()b aS f x f x dx p =+ò 2. 体积体积: (1)22[()()]b x a V f x g x dx p =-ò; (2)12[()]2()dby caV f y dyxf x dx p p-==òò (3)0x x V =与0y y V = 3. 弧长弧长: 22()()ds dx dy =+ (1)(),[,]y f x x a b =Î 21'()bas fx dx =+ò (2)12(),[,]()x x t t t t y y t =ìÎí=î 2122'()'()t t s x t y t dt =+ò (3)(),[,]r r q q a b =Î: 22()'()s r r d baq q q=+ò 4. 物理物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值平均值(中值定理): (1)1[,]()ba f ab f x dx b a =-ò; (2)0()[0)lim xx f t dt f x®+¥+¥=ò, (f 以T 为周期:0()Tf t dt f T=ò) 第 11 11 页页共 30 30 页页第四讲: 微分方程一. 基本概念基本概念 1. 常识常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程变换方程: (1)令()'""x x t y Dy =Þ=(如欧拉方程) (2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =Þ=Þ(如伯努利方程) 3. 建立方程建立方程(应用题)的能力的能力二. 一阶方程: 1. 形式形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b = 2. 变量分离型变量分离型: '()()y f x g y = (1)解法: ()()()()dyf x dx G y F x Cg y =Þ=+òò (2)“偏”微分方程: (,)zf x y x ¶=¶; 3. 一阶线性一阶线性(重点): '()()y p x y q x += (1)解法(积分因子法): 0()01()[()()]()xx p x dxxx M x ey M x q x dx y M x ò=Þ=+ò (2)变化: '()()x p y x q y +=; (3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y a+= 4. 齐次方程齐次方程: '()yy x=F (1)解法: '(),()y du dx u u xu ux u u x =Þ+=F =F -òò (2)特例: 111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++第 12 12 页页共 30 30 页页 5. 全微分方程全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y¶¶=¶¶ 6. 一阶差分方程一阶差分方程(数三): 1*0()()xx x x xn x xy ca y ay b p x y x Q x b+=ì-=Þí=î 三. 二阶降阶方程二阶降阶方程 1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++ 2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp y p x y f x p dx=Þ== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp y p y y pf y p dy=Þ==四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构通解结构: (1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+ (2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c l l ++= (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =Þ=-=五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距切线和法线的截距 2. 积分等式变方程积分等式变方程(含变限积分); 可设可设 ()(),()0xa f x dx F x F a ==ò第 13 13 页页共 30 30 页页 3. 导数定义立方程导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程的方程 4. 变化率变化率(速度) 5. 22dv d x F ma dt dt=== 6. 路径无关得方程路径无关得方程(数一): Q Px y ¶¶=¶¶ 7. 级数与方程级数与方程: (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:21201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++== 8. 弹性问题弹性问题(数三) 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念二元微分学概念 1. 极限极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y D =++D =+D =+ (2)lim ,lim ,limy x x y f f f f f xyD D D ==D D (3)22,lim()()x y f df f x f y df x y D -++ (判别可微性判别可微性) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例特例: (1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ì¹ï+=íï=î: (0,0)点处可导不连续; 第 14 14 页页共 30 30 页页 (2)22(0,0)(,)0,(0,0)xy f x y x y ì¹ï=+íï=î: (0,0)点处连续可导不可微; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)x x y z ; (3)含变限积分含变限积分 2. 复合函数的一复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y = 熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用的准确使用 3. 隐函数隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =ìí=î (存在定理) (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别) 2. 条件极值条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用) (1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y j =Å=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y l lj =+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值有界闭域上最值(重点). (1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y j =ÅÎ=£ (2)实例: 距离问题距离问题第 15 15 页页共 30 30 页页四. 二重积分计算: 1. 概念与性质概念与性质(“积”前工作): (1)Dd s òò, (2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称字母轮换对称; *重心重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶奇偶 2. 计算计算(化二次积分): (1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用极坐标使用(转换): 22()f x y + 附: 222:()()D x a y b R -+-£; 2222:1x yD a b+£; 双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +£ 4. 特例特例: (1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +òò, 且已知D 的面积D S 与重心(,)x y 5. 无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L s WÞW W G S ò): 1. “尺寸”: (1)D Dd S s Ûòò; (2)曲面面积(除柱体侧面); 2. 质量质量, 重心(形心), 转动惯量; 3. 为三重积分为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备. 第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. 级数概念级数概念第 16 16 页页共 30 30 页页 1. 定义定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)l im lim n n S ®¥ (如1(1)!n nn ¥=+å) 注: (1)lim nn a ®¥; (2)nq å(或1n a å); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-å收敛{}n a Û收敛. 2. 性质性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a ®¥=; (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®; 二. 正项级数正项级数 1. 正项级数正项级数: (1)定义: 0n a ³; (2)特征: n S ; (3)收敛n S M Û£(有界) 2. 标准级数标准级数: (1)1p n å, (2)ln kn n a å, (3)1ln kn n å 3. 审敛方法审敛方法: (注:222ab a b £+,ln ln baa b=) (1)比较法(原理):np ka n(估计), 如1()nf x dx ò; ()()P n Q n å (2)比值与根值: *1lim n n n u u+®¥ *lim nn n u ®¥ (应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项): 1(1)n n a +-å(0n a >) 1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a ®; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若1lim 1n n n a a r +®¥=>,则nu å发散发散 2. 标准级数标准级数: (1)11(1)n n +-å; (2)11(1)n pn +-å; (3)11(1)ln n pn +-å 3. 莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提: na å发散; (2)条件: ,0nn a a ®; (3)结论: 1(1)n n a +-å条件收敛. 第 17 17 页页共 30 30 页页 4. 补充方法补充方法: (1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®. 5. 注意事项注意事项: 对比对比对比 na å; (1)nna -å; na å; 2n a å之间的敛散关系之间的敛散关系四. 幂级数: 1. 常见形式常见形式: (1)nn a x å, (2)0()n n a x x -å, (3)20()nn a x x -å 2. 阿贝尔定理阿贝尔定理: (1)结论: *x x =敛*0R x x Þ³-; *x x =散*0R x x Þ£- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x Þ=- 3. 收敛半径收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),nn n n a na x x n åå与n n a x å同收敛半径同收敛半径 (2)nn a x å与20()nn a x x -å之间的转换之间的转换 4. 幂级数展开法幂级数展开法: (1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) (2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx fÞ=+ò (4)考察原函数: 0()()xg xf x dxò()'()f x g x Þ= 5. 幂级数求和法幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换变量替换): (1)(),S x =+åå (2)'()S x =,(注意首项变化) (3)()()'S x =å, (4)()"()"S x S x Þ的微分方程的微分方程第 18 18 页页共 30 30 页页 (5)应用:()(1)n n n n a a x S x a SÞ=Þ=ååå. 6. 方程的幂级数解法方程的幂级数解法方程的幂级数解法 7. 经济应用经济应用(数三): (1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+ 五. 傅里叶级数(数一): (2T p =) 1. 傅氏级数傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ¥==++å 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x Þ(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdxa f x dx nb f x nxdx ppp pp p p pp ---ì=ïï==íï=ïîòòò 4. 题型题型: (注: ()(),?f x S x x =Î) (1)2T p =且(),(,]f x x p p =Î-(分段表示) (2)(,]x p p Î-或[0,2]x p Î (3)[0,]x p Î正弦或余弦正弦或余弦 *(4)[0,]x p Î(T p =) *5. 2T l = 6. 附产品附产品: ()f x Þ01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ¥==++å 第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. 向量基本运算向量基本运算第 19 19 页页共 30 30 页页 1. 12k a kb +; (平行b a l Û=) 2. a ; (单位向量(方向余弦) 1(cos ,cos ,cos )aaaa b g =) 3. a b ×; (投影:()a a b b a ×=; 垂直垂直:0a b a b ^Û×=; 夹角夹角:(,)a b ab a b ×=) 4. a b ´; (法向:,n a b a b=´^; 面积面积:S a b =´) 二. 平面与直线平面与直线 1.平面平面P (1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C Å= (2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D p -+-+-=Þ+++= (3)其它: *截距式截距式1x y za b c++=; *三点式三点式三点式 2.直线直线L (1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p Å= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p ---== (3)一般方程(交面式): 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=ìí+++=î (4)其它: *二点式二点式; *参数式参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-ìï=+-Îíï=+-î) 3. 实用方法实用方法: (1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D p l +++++++=第 20 20 页页共 30 30 页页 (2)距离公式: 如点如点0(,)M x y 到平面的距离000222Ax By Cz Dd A B C+++=++ (3)对称问题; (4)投影问题. 三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面曲面曲面 (1)形式S : (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F a b g =Þ (或(,1)x y n z z =--) 2. 曲线曲线曲线 (1)形式():()()x x t y y t z z t =ìïG =íï=î, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =ìí=î; (2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =´) 3. 应用应用应用 (1)交线, 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算. 四. 常用二次曲面常用二次曲面 1. 圆柱面圆柱面: 222x y R += 2. 球面球面: 2222x y z R ++= 变形: 2222x y R z +=-, 222()z R x y =-+, 3. 锥面锥面: 22z x y =+ 变形: 222x y z +=, 22z a x y =-+ 4. 抛物面抛物面: 22z x y =+, 第 21 21 页页共 30 30 页页变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面马鞍面: 22z x y =-, 或z xy = 五. 偏导几何应用偏导几何应用 1. 曲面曲面曲面 (1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =Þ=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =Þ=- (2)切平面与法线: 2. 曲线曲线曲线 (1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===Þ= (2)切线与法平面切线与法平面 3. 综合综合: :G 00F G =ìí=î , 12s n n=´ 六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导方向导(l 方向斜率): (1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p a b g =Þ (2)计算(充分条件:可微): cos cos cos x y z uu u u la b g ¶=++¶ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l q q==cos sin x y z f f lq q ¶Þ=+¶ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lq q q q¶=++¶ 2. 梯度梯度(取得最大斜率值的方向) G : (1)计算: (2)结论结论()b 取l G =为最大变化率方向; 第 22 22 页页共 30 30 页页 ()c 0()G M 为最大方向导数值. 第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Wòòò) 1. W 域的特征(不涉及复杂空间域): (1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xyD x y x y R z x y z z x y =+£Å££ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+£Å££ (4)其它: 长方体长方体, 四面体四面体, 椭球椭球椭球 2. f 的特征: (1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法选择最适合方法: (1)“积”前: *dvWòòò; *利用对称性(重点) (2)截面法(旋转体): ()baD z I dzfdxdy=òòò(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +) (3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdyfdz=òòò (4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI ddf d paqj jr r=×××òòò, (5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V W =+++ 4. 应用问题应用问题: (1)同第一类积分: 质量质量, 质心, 转动惯量, 引力引力 (2)Gauss 公式公式二. 第一类线积分(Lfds ò) 1. “积”前准备: 第 23 23 页页共 30 30 页页 (1)Lds L =ò; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式表达式 2. 计算公式计算公式: 22()[,]((),())'()'()()b a L x x t t a b fds f x t y t x t y t dt y y t =ìÎÞ=+í=îòò 3. 补充说明补充说明: (1)重心法: ()()Lax by c ds ax by c L ++=++ò; (2)与第二类互换: LLA ds A drt ×=×òò 4. 应用范围应用范围应用范围 (1)第一类积分第一类积分 (2)柱体侧面积柱体侧面积 (),Lz x y ds ò三. 第一类面积分(fdS åòò) 1. “积”前工作(重点): (1)dS S=S òò; (代入代入:(,,)0F x y z S =) (2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片分片 2. 计算公式计算公式: (1)22(,),(,)(,,(,))1xyxy x yD z z x y x y D I f x y z x y z z dxdy =ÎÞ=++òò (2)与第二类互换: A ndSA d S S S×=×òòòò四: 第二类曲线积分(1): (,)(,)LP x y dx Q x y dy +ò (其中其中L 有向) 1. 直接计算直接计算: ()()x x t y y t =ìí=î,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt®Þ=+ò 常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: 第 24 24 页页共 30 30 页页 (1)()LDQ P Pdx Qdy dxdy xy¶¶+=-¶¶òòò; (2)()L A B ®ò: *P Q y y ¶¶=Þ¶¶换路径; *P Q y y ¶¶¹Þ¶¶围路径围路径 (3)Lò(x y Q P =但D 内有奇点) *LL =òò(变形) 3. 推广推广(路径无关性):P Qy y ¶¶=¶¶ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u ®Û=ò(道路变形原理) (2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +ò与路径无关(f 待定): 微分方程微分方程. 4. 应用应用应用功(环流量):IF dr G=×ò (G 有向t ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz t ==) 五. 第二类曲面积分: 1. 定义定义: Pdydz Qdzdx RdxdyS ++òò, 或(,,)R x y z dxdySòò (其中其中S 含侧) 2. 计算计算: (1)定向投影(单项): (,,)R x y z dxdySòò, 其中:(,)z z x y S =(特别:水平面); 注: 垂直侧面, 双层分隔双层分隔 (2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- (3)化第一类(S 不投影): (cos ,cos ,cos )n a b g = 3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R div A x y z¶¶¶=++¶¶¶ (2)Gauss 公式: S 封闭外侧, W 内无奇点内无奇点 (3)注: *补充“盖”平面:0SS +òòòò; *封闭曲面变形Sòò(含奇点) 4. 通量与积分通量与积分: 第 25 25 页页共 30 30 页页A d S åF =×òò (S 有向n ,(),,A P QR =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==) 六: 第二类曲线积分(2): (,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz G++ò 1. 参数式曲线参数式曲线G : 直接计算(代入) 注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):IF drG=×ò 2. Stokes 公式: (要求: G 为交面式(有向), 所张曲面所张曲面å含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z¶¶¶=Ñ´=´¶¶¶ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00F G =ìÞí=î同侧法向{,,}x y z n F FF =或{,,}x y zG G G ; (3)Stokes 公式(选择): ()A drA ndSG å×=Ñ´×òòò (a )化为Pdydz Qdzdx RdxdyS++òò; (b )化为(,,)R x y z dxdySòò; (c )化为fdS åòò高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay=)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

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第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。

记作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。

通常记作U。

⑷、补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集。

简称为集合A 的补集，记作C U A。

即C U A＝｛x|x∈U，且x 不属于A｝。

⑸、运算公式：交换律：A∪B=B∪A A∩B=B∩A结合律：（A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C）分配律：（A∪B)∩C=（A∩C）∪（B∩C)（A∩B)∪C=（A∪C）∩（B∪C)对偶律：C U（A∪B)=C U A∩C U BC U（A∩B)=C U A∪C U B集合中元素的个数⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card 来表示有限集中元素的个数。

例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。

⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。

⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。

在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间[a，+∞)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。

⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x 的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

3、函数⑴、函数的定义：如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则f 总有确定的数值与它对应，则称y 是x 的函数。

变量x 的变化范围叫做这个函数的定义域。

通常x 叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y 的变化范围叫做这个函数的值域。

注：为了表明y 是x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。

这里的字母"f"、"F"表示y 与x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。

如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I 的所有x 值总有│f(x)│≤M 成立，其中M 是一个与x 无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I 有界，否则便称无界。

注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。

函数的有界性，单调性应与相关点集I 联系起来，离开了点集I 。

这些概念是没有任何意义的。

⑵、函数的单调性：如果函数在定义域区间(a,b)内随着x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x 1 及x 2，当x 1＜x 2时，有)()(21x f x f 〈，则称函数)(x f 在区间(a,b)内是单调增加的。

如果函数)(x f 在定义域区间(a,b)内随着x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x 1及x 2，当x 1＜x 2 时，有)()(21x f x f 〉，则称函数)(x f 在区间(a,b)内是单调减小的。

⑶、函数的奇偶性如果函数)(x f 对于定义域内的任意x 都满足)()(x f x f =-，则)(x f 叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足)()(x f x f -=-，则)(x f 叫做奇函数。

注：偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

奇偶函数的定义域必关于原点对称。

⑷、函数的周期性设)(x f 的定义域为I 。

若存在0〉T ，对任意的I x ∈，都使得))(()(I T x x f T x f ∈+=+，则称函数)(x f 为周期函数，称T 为其周期。

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

周期函数的定义域必是无限的点集，但也不能说是全体实数，如x y tan =的定义域为（-∞，+∞）。

且≠x k π±π/2(k=0,1,2....)A.奇函数+奇函数=奇函数B.偶函数+偶函数=偶函数C.奇函数·偶函数=奇函数D.奇函数·奇函数=偶函数 E 偶函数·偶函数=偶函数若)(x f 以T 为最小正周期，则)(x f ω以)0(〉ωωT为最小正周期4、反函数⑴、反函数的定义：若由函数)(x f y =得到)(y x ϕ=，则称)(y x ϕ=是)(x f y =的反函数，)(x f y =为直接函数，反函数也可记为)(1x f y -=注：x x f f x f f ==--)]([)]([11⑵、反函数的存在定理：若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 例题：2x y=，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y 取定的非负值,可求得y x ±= .若我们不加条件，由y 的值就不能唯一确定x 的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。

如果我们加上条件，要求x ≥0，则对y ≥0、x= 就是2x y =在要求x ≥0 时的反函数。

即是：函数在此要求下严格增(减).⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x 对称的。

例题：函数x y 2=与函数x y 2log =互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线x y =对称的。

如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：若y 是u 的函数：)(u f y = ，而u 又是x 的函数：)(x u ϕ= ，且)(x ϕ的函数值的全部或部分在)(u f 的定义域内，那么，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数)(u f y =及)(x u ϕ=复合而成的函数，简称复合函数，记作)]([u f y ϕ=，其中u 叫做中间变量。

注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

例题：函数与函数是不能复合成一个函数的因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x 值所对应的u 值（都大于或等于2），使u y arcsin =都没有定义。

6、初等函数⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。

下面我们用表格来把它们总结一下：⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.注：初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不能叫初等函数7、数列的极限⑴、数列的极限：设{n x }为一数列，如果存在常熟a ，对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N ，使得当N n 〉时，不等式ε〈-a x n 都成立，那么就称常数a 是数列{n x }的极限，或者称数列收敛于a ，记为a x n n =∞→lim或)(∞→→n a x n注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a 无限接近的意思。

且定义中的正整数N 与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。

在利用数列极限定义证明某个数列是否存在极限时，重要的是对于任意给定的正数ε，只要能够指出定义中所说的这种正整数N 确实存在，但没有必要去求最小的N 。

如果知道a x n -小于某个量（这个量是n 的一个函数），那么当这个量小于ε时，ε〈-a x n当然也成立若令这个量小于ε来定出N 比较方便的话，就可以采用这种方法。

⑵、数列的有界性：对于数列，若存在着正数M ，使得一切都满足不等式│ │≤M ，则称数列是有界的，若正数M 不存在，则可说数列是无界的。

⑶、收敛数列的几个重要性质：A.极限的唯一性：如果数列{n x }收敛，那么它的极限唯一。