海森堡不确定关系的证明
维尔纳·海森堡不确定原理
维尔纳·海森堡不确定原理咱先说说这个海森堡是个啥样的人吧。
他呀，就像是一个闯进神秘宝藏洞穴的探险家，在微观世界这个神秘的“洞穴”里发现了不得了的东西。
海森堡是个超级聪明的物理学家，那脑袋瓜里装的可都是宇宙的小秘密呢。
然后咱就说到这个不确定原理啦。
你想啊，在我们日常生活里，我们觉得东西都是确定的。
比如说一个小皮球，它在那，它的位置、速度啥的，我们好像都能清楚地知道。
但是呢，到了微观世界，就像原子啊、电子这些超级小的东西的世界里，一切就变得神神秘秘的啦。
这个不确定原理就告诉我们，你不能同时精确地知道一个微观粒子的位置和动量。
啥叫动量呢？简单说就是和速度有关的一个东西啦。
就好像微观粒子在跟我们玩捉迷藏，你要是想准确地抓住它在哪，那它的速度就变得模糊不清了；你要是想搞清楚它跑得多快，那它到底在哪就变得不确定了。
这就像是那些调皮的小精灵，不想让我们完全看透它们似的。
我给你举个例子哈。
就好比你有一个特别小的宠物，小到你只能用显微镜看它。
这个小宠物一会儿在这儿，一会儿又好像在那儿，你刚觉得你能算出它跑得多快，结果你又不确定它到底在哪个小角落了。
微观粒子就是这么任性。
这可把科学家们给愁坏了，又觉得超级有趣。
这个原理一出来啊，就像在平静的物理学湖水里投下了一颗超级大的石子，激起了千层浪呢。
以前大家都觉得世界是可以被精确测量和预测的，就像牛顿那些经典的理论，让我们觉得只要知道了初始条件，就能算出所有东西的运动轨迹。
可是海森堡不确定原理就像是在说：“你们想得太简单啦，微观世界可不是那么听话的。
”从这个原理里啊，我们能感觉到宇宙是多么的奇妙。
它就像是一个巨大的谜题，一块一块地给我们展现它的神秘。
这个不确定原理也让我们知道，我们人类对世界的认知还是很有限的呢。
我们以为我们已经掌握了很多，但是微观世界就像一个隐藏着无数秘密的小盒子，每次我们打开一点，就会发现更多意想不到的东西。
而且啊，这个原理还让很多科幻作品有了新的灵感呢。
波粒二象性(不确定关系)概述
h
2
结果得
xPx h
4
xPx h
•若想得到单色光 即要求 0
那么波列必须 x ~
理想的波
•而实际的光波只能是 波列
即波列有限 由不确定关系式
则必然存在谱线宽度
5
2.粒子单缝衍射中的结论
x
被加速的电子通过狭缝a
h
P
a
I
P
粒子的动量值由加速电压决定
假设粒子均打在中央亮区(75%的粒子)
Δx ~ 1015 m
•由测不准关系
Px 2x
1020 kg m/s
Px ~ ΔPx ~ 1020 kg m/s
14
Px ~ ΔPx ~ 1020 kg m/s
•这样的动量对应的电子能量有多大？
E mc2 m0c2 2 Pc2
Pc 1020 3108 31012 J
20MeV
如例2所示的电子在示波管中的运动
故这时将电子看做经典粒子
2) 微观粒子的力学量的不确定性
意味着物理量与其不确定量的数量级相 同
即P与P量级相同 r与r量级相同
如例1所示的原子中运动的电子
13
例3：不确定关系在理论上的一个历史作用
判断电子不是原子核的基本成份
(电子不可能稳定在原子核内)
分析:
原子核线度
若电子Ek = 10eV 则
2E 10 6 m /s m
由不确定关系有 ΔP
2Δr
Δ ΔP 6105 m/s
m 2mΔr
轨道概念不适用! 代之以电子云概念 10
例2 给您以启示: 什么条件下可以使用轨道的概念 如电子在示波管中的运动
x
v
电子射线
海森堡的不确定性原理是怎么样得出来？
海森堡的不确定性原理是怎么样得出来？海森堡的父亲是一位古典学家（研究古希腊/罗马时期的经典著作），从这个角度海森堡在古典哲学方面是颇有家传的。
海森堡（右）与其兄送他们的父亲上一战战场。
那么海森堡提出量子力学和他的哲学素养有什么关系吗？读海森堡的早期著作以及他后来的回忆，我们发现海森堡提出量子力学还真和他的哲学倾向有关。
据海森堡自己回忆，他在德国一战后“内战”期间“从军”的空闲时间，曾阅读柏拉图的蒂迈欧篇，他发现自己极其厌恶柏拉图的那种把原子想象为具体的几何实体的思路，他认为这些都是不切实际的空想。
柏拉图的原子：五种正多面体，海森堡对这种具象原子模型的反感代表着他对机械原子模型的否定。
海森堡自己后来构建量子力学的思路就是不从粒子的位置和动量出发，转而从原子光谱实验里的跃迁法则及跃迁强度出发，由实验可以观测到的量出发构建量子力学。
这就是后来的矩阵力学。
类似地，海森堡也习惯用一种操作主义的语言来描述自己发现的海森堡不确定原理（或测不准关系）。
测不准关系论证示意图。
海森堡的原始论证是这样的：考虑电子双缝干涉，两个缝之间的距离是l，为了测量电子的位置（或电子是从哪个缝出射），光源P发出的测量光子必须具备至少l的分辨本领，即光波波长要小于等于l。
这意味着光子的动量大于等于h/l。
光子在测量电子位置的同时，会把动量转移给电子，这样电子动量测量的不确定度就是大于等于h/l。
小结一下：电子位置测量的不确定度是l，而电子动量测量的不确定度是大于等于h/l，因此位置测量不确定度乘以动量测量不确定度的乘积就必须大于等于h。
这里h是普朗克常数，需要说明的是以上给出的是海森堡初始的证明思路，现在我们讲解（论证）不确定原理时并不强调测量，换句话说不确定原理是量子力学本身的内在属性，和是否测量、怎么测量没有关系。
这（不确定原理）很客观。
schrodinger方程
— ^ ^ ^
坐标 x , 动量 p i, 角动量 L x p 等, 证明如 下对易关系：, p x ] i [x 量子态中任一个力学量 的平均值： A u ( r ) A u ( r )d r
* — ^ ^ ^
22013-2-28
几个定态问题
一维无限深势阱
势垒隧穿 一维简谐振子
2013-2-28
量子力学中的力学量
知道定态波函数后，求 坐标平均值: x u * ( x) xu( x)dx 动量平均值: p u * ( x)(i
^ ^ —
)u ( x)dx x 量子力学中的力学量都 由算符来表示，例如
2013-2-28
海森堡不确定关系实例
电子单缝衍射举例
例题3.1 例题3.2
2013-2-28
不确定关系引发的争论
2013-2-28
Schrodinger方程
( r , t ) 2 2 i [ V ( r , t )] ( r , t ) t 2m p V ( r , t )中，能量E和动量 p 分别替换成 2m 2
量子力学理论体系
2013-2-28
波函数
2013-2-28
算符公设
2013-2-28
波函数内积
2013-2-28
厄米算符
2013-2-28
海森伯不确定原理及其它的数学推导
海森堡的不确定原理及其它的数学推导 今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日；1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作，1927年提出了著名的“不确定原理”；这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。
同时，他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进，并于1932年获得诺贝尔物理学奖金，他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一；本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾，以示对这位伟人最真挚的纪念。
不确定原理海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理，他早就认识到，把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅，相当于要从量子理论来重新解释运动学，亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动．1926年薛定谔（Schrodinger ）创立了波动力学，随后又证明了波动力学与量子力学完全等价．实际上，海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象，薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象．电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出，而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚，电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系．紧接着薛定谔的工作，玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程，提出了波函数的统计诠释，指出薛定谔波函数是一种几率振幅，它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布．认识到了量子力学规律的统计性质，这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础．使海森伯疑惑不解的是：既然在量子力学中不需要电子轨道的概念，那又怎么解释威尔逊（C.Wilson ）云室里观察到的粒子径迹呢？经过几个月的思索，1927年初海森伯忽然想起，年前在一次讨论中，当他向爱因斯坦（Einstein ）表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时，爱因斯坦说道：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的．实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”[7]．在这一回忆的启发下，海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法，马上领悟到：云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道，它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写．在这种想法指导下，他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制，立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制：海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下．对于位置坐标q 的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出：[8]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=22)(2exp )(q q q δψ常数 （11） 其中δq 是高斯凸包的半宽度，根据玻恩的几率诠释，它表示一个距离的范围．粒子几乎肯定处于此范围中，因而表示位置的测不准量（δq ＝q q ∆∆,2为标准偏差）。
海森堡测不准原理公式
海森堡测不准原理公式海森堡测不准原理公式，这可是个相当有趣又有点让人挠头的概念。
咱先来说说啥是海森堡测不准原理。
简单来讲，它说的是在微观世界里，你没法同时准确地知道一个粒子的位置和动量。
就好像你想抓住一只特别调皮的小猴子，你越想紧紧抓住它的位置，就越难搞清楚它跑的速度有多快；反过来，你越想搞清楚它跑得多快，就越难确定它到底在啥位置。
海森堡测不准原理的公式是ΔxΔp≥h/4π 。
这里的Δx 表示位置的不确定度，Δp 是动量的不确定度，h 呢，是普朗克常数。
我给您举个例子啊。
有一次我在实验室里观察电子的运动，那家伙，跑得飞快，一闪一闪的，就像个调皮的小精灵。
我想努力确定它的位置，可越是集中精力去看，就越觉得它的速度变得模糊不清。
这让我深深感受到了海森堡测不准原理的神奇之处。
这个原理可不是随便说说的，它对我们理解微观世界有着至关重要的作用。
比如说在量子力学的研究中，它让科学家们意识到微观粒子的行为和我们日常生活中的宏观物体完全不一样。
在宏观世界里，我们可以很准确地知道一个球的位置和速度，但在微观世界里，这可就行不通啦。
它还影响了我们对物质本质的认识。
以前人们觉得，只要我们足够聪明，足够努力，就能搞清楚所有的事情。
但海森堡测不准原理告诉我们，在微观世界里，有些事情就是没法完全确定的，存在着一种内在的不确定性。
而且，这个原理也不仅仅局限在物理学的领域。
在生活中，其实也有类似的情况。
就好比我们在做决策的时候，有时候我们越想把所有的因素都考虑得清清楚楚，结果反而越容易陷入纠结和迷茫。
因为生活中很多事情本身就存在着不确定性，我们不可能完全准确地预测和把握一切。
再回到海森堡测不准原理公式本身。
这个公式虽然看起来简单，但背后蕴含的意义却极其深刻。
它挑战了我们传统的思维方式，让我们重新审视我们对世界的认知。
总之，海森堡测不准原理公式虽然有点让人费解，但它却为我们打开了一扇通往微观世界神秘大门的钥匙。
让我们对这个神奇的世界有了更多的好奇和探索的欲望。
海森堡不确定关系公式
海森堡不确定关系公式
不确定关系严格从量子力学推导出来是Δx·Δp≥h/4π，但在一般使用时只是数量级的关系，因此用上面几个公式都可以，这个公式一般是定性说明，并不进行定量的计算。
不确定性原理(Uncertaintyprinciple)是由海森堡于1927年提出，这个理论是说，你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度，粒子位置的不确定性，必然大于或等于普朗克常数(Planckconstant)除于4π(ΔxΔp≥h/4π)，这表明微观世界的粒子行为与宏观物质很不一样。
此外，不确定原理涉及很多深刻的哲学问题，用海森堡自己的话说：“在因果律的陈述中，即‘若确切地知道现在，就能预见未来’，所得出的并不是结论，而是前提。
我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的事情。
”。
2021-2022学年高二物理竞赛海森堡坐标和动量的不确定关系 课件
不确定关系
xpx h ypy h zpz h
3
物理意义
(1) 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时 准确测量，它们的精度存在一个终极的不可逾越 的限制 .
(2)不确定的根源是“波粒二象性”这是微观粒 子的根本属性 .
(3) 对宏观粒子，因 h 很小，xpx 0
可视为位置和动量能同时准确测量 .
6
p 0.01% p 2104 kg m s1
位置的不确定范围
x
h p
6.63 10 34 2 10 4
m
3.310 30
m
例2 一电子具有 200 ms-1 的速率， 动 量的不确范围为动量的 0.01% (这也是足 够精确的了)，则该电子的位置不确定范围 有多大？
7
解 电子的动量
p mv 9.1 1031 200 kg m s1
海森堡坐标和动量的不确定关 系
海森堡坐标和动量的不确定关系
电子经过缝后 x 方向动量不确定
sin b
px
p sin
p
b
h
p
px
h b
x
b ph
y
o
ph
xpx h
电子的单缝衍射实验
2
考虑衍射次级有
xpx h
海森堡于 1927 年提出不确定原理
对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的 动量来描述 .
辐射光谱线固有宽度
5
例 质量10 g 的子弹，速率 200 m .s1
其动量的不确定范围为动量的 0.01% (这在宏观
范围是十分精确的 ) ， 该子弹位置的不确定量范 围为多大？
解 子弹的动量 p mv 2 kg m s1
海森堡不确定性原理
海森堡不确定性原理
关于不确定性究竟是测量的不确定还是本质的不确定,有一个判决性的实验的,那就是EPR悖论以及后来的贝尔不等式.EPR悖论就是爱因斯坦提出来的反对本质不确定性的思想实验,按照哥本哈根解释的话这个实验将是荒谬的.后来贝尔提出一个不等式,如果不确定是测量造成的,那么比如说某个统计值一定是小于2的,然而量子理论却预言说这个值将可能突破2,甚至达到2倍根号2.这个实验是可以实际操作的,量子理论的荒谬预言已经在八十年代得到了证实.在现在的情况下,物理学家不得不承认,如果要继续反对本质的不确定性,势必要以牺牲定域性为代价,也就是说必须允许某种瞬时的超距作用.然而玻姆他们据此建立的隐变量解释也并不如哥本哈根解释成功.
有公式如下：
△x△p≥h/4π
△t△E≥h/4π
其中△x为位置的不确定性,△p为动量的不确定性,△t为时间的不确定性,△E为能量的不确定性,h为普朗克常数.。
海森堡不确定性原理
•
qmk＝Av与坐标qkn=A相乘可用如以下数集表示：
Cmneiwmnt=AmkAkne ^i〔ωmk+ωkn〕·t----mk,kn为下标
•
或者Cmn =AmkAkn。----mn,mk,kn为下标。这正是代数中的矩阵。所以
叫矩阵力学，在矩阵力学中
•
用量子力学的泊松括号表示量子力学的运动方程，即q=[q，H]，P=[P，
•
④物理系统〔如原子〕的光谱线频率由hvmn=Emm-
Enn决定。Emm为H的本征值。
评价
• 真理往往掌握在少数人手中。
谢谢
• 该原理说明：一个微观粒子的某些物理量〔如位 置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量 等〕，不可能同时具有确定的数值，其中一个量 越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一 对共轭量的误差的乘积必然大于常数 h/2π 〔h是 普朗克常数〕，它反映了微观粒子运动的根本规 律，是物理学的重要原理。
• 在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的 动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬 间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的 大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越 不准确，反之亦然。
• 海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分 析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的 不确定性△E就越小。再加上德布罗意关系λ=h/p，海森伯 得到△E△T<h，并且作出结论：能量的准确测定如何，只 有靠相应的对时间的测不准量才能得到。
这些矩阵来预测。
• 1925年6月，海森堡的上司马克斯·玻恩，在阅读了海森堡交给他发表 的论文后，觉察了位置与动量无限矩阵有一个很显著的性质，那就是， 它们不互相对易，称为正那么对易关系。那时，物理学家还没能很清 楚地了解这重要的结果。因此，无法给予一个合理的物理诠释。
海森堡测不准原理
海森堡测不准原理
海森堡测不准原理，又称海森堡测不准关系，是量子力学中的一个重要概念，
由德国物理学家海森堡于1927年提出。
它揭示了在微观世界中，存在着一种不确
定性，即无法同时准确测量粒子的位置和动量。
这一原理的提出，对于人们理解微观世界的规律和特性产生了深远的影响。
海森堡测不准原理的核心思想是，对于微观粒子，无法同时准确测量其位置和
动量。
在经典物理学中，我们可以通过精确的测量来确定一个物体的位置和速度，然而在量子力学中，当我们试图准确测量微观粒子的位置时，其动量将变得模糊不清；反之亦然。
这种不确定性并非是测量工具的不准确性所致，而是微观世界本身的固有特性。
海森堡测不准原理深刻地揭示了微观世界的奇特性质，挑战了人们对于自然界
的直观认识。
它告诉我们，微观粒子并不遵循经典物理学中的规律，其行为具有一定的随机性和不可预测性。
这种不确定性的存在，不仅限制了人类对微观世界的认知，也对技术和工程领域提出了挑战。
海森堡测不准原理的重要性不仅体现在理论物理学中，也在实际应用中发挥着
重要作用。
例如，在量子计算和量子通信领域，人们需要充分理解和利用测不准原理，以设计出更加可靠和高效的量子技术。
同时，海森堡测不准原理也为人们重新审视了测量和观测的本质，提出了新的思考和挑战。
总之，海森堡测不准原理的提出，深刻地改变了人们对于自然界的认识，揭示
了微观世界的奇特规律。
它的重要性不仅在于理论物理学的发展，更在于对技术和工程领域的影响。
我们应当深入理解海森堡测不准原理，不断探索微观世界的奥秘，推动科学技术的发展，为人类的未来开辟新的可能性。
量子力学 -不确定关系
一. 海森伯坐标和动量的不确定关系
微观粒子的运动要由概率波来描述，概率波只能给出粒 子在各处附近出现的概率。即：微观粒子任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
电子的单缝衍射
x
电子一个一个 地通过单缝
y
电子束
屏 幕
长时间积累后 出现衍射图样
a
缝
2
衍射图样
X方向电子的位置不准确量为： x a
32
3 电子位置的不确定范围为 x 2p 2.95 10 m
电子位置的不确定范围甚至比原子的大小还要 大几亿倍。
例2： 电视显像管中电子的加速度电压为10 kV，电子 枪的枪口的直径为0.01 cm。试求电子射出电子枪后的 横向速度的不确定量。 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm 解：
5.28 1029 Vx 5.28 1026 m / s m
不确定关系对宏观物体来说,实际上是不起作用的
不确定关系可以用来判别系统行 E E0 3.39eV, 例4：已知电子处于某能级
求：该能级能量的最小不确定量E ； 由该能级跃迁到基态，辐射光子的 、 。
px 不能同时具有确定值 . 对于微观粒子, h 不能忽略, x、 此时，只有从概率统计角度去认识其运动规律 . 在量子力学 中，将用波函数来描述微观粒子.
不确定关系是量子力学的基础
例1：一电子具有200 m/s 的速率，动量的不确定 范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范 围有多大？ 电子的动量为 p mv 9.1 1031 200 1.8 1028 解： 动量的不确定范围为 p 0.01% p 1.8 10
v x 0.58 m s 2mx
2eU 7 v 6 10 m/s m
海森堡的不确定性原理是怎么样得出来？
海森堡的不确定性原理是怎么样得出来？1924年，德布罗意提出了物质波，1925年1月，泡利提出了不相容原理，这是一个星光灿烂的年代，论文如雨后春笋般冒出来，稍微晚一步就会被人抢先，海森堡当然不会落后。
1925年，海森堡、波恩、约当提出了矩阵方程，这还不是测不准原理，不过这已经是量子力学的第一个数学表达形式了，不过好玩的是当初海森堡并不知道矩阵这种数学形式，都打算自己定义了，后来被提醒这东西早就有了，这说明海森堡数学水平一般，这一点很重要，后面会提到。
虐猫狂人薛定谔表示不服，矩阵那东西看不太明白，还是用爵爷创造的微积分吧，1926年，薛定谔用微积分推导出来了波动方程，大家一阵欢呼，因为大家都对微积分比较熟悉，可是这是不是说明海森堡错了呢？当然不是，薛定谔证明矩阵方程和波动方程是等价的。
不过，海森堡感到很郁闷，明明是自己先提出了矩阵的思想，可是因为数学不行，被弄成了和波恩约当合作，薛定谔还证明了波动方程和矩阵方程等价，这该咋办啊。
1927年，海森堡提出了测不准原理，这次别人可抢不了了。
测不准原理是说不可能同时准确测出粒子的位置和速度，这个说法有点太玄妙了，已经有点不象物理学了，有点哲学意味了，没错，海森堡确实是一个哲学家。
这个原理一提出就引起了轩然大波，爱因斯坦那句“上帝不掷骰子”就是从这开始的，后来爱因斯坦提出EPR，就是俗称的量子纠缠，就是为了反对测不准原理，泡利第一个要海森堡做出解释，泡利啊，你这不是趁火打劫吗？虽然你自认为是爱神的马仔，也不能这样吧，毕竟你也是量子力学的一员大将不是，海森堡想了想没说话，薛定谔干脆扔出一只不死不活的猫来恶心量子学派，薛定谔你这是干嘛呢？你也是量子学派的一颗星星好不好？扯远了，继续说测不准原理，虽然说测不准原理充满了哲学思辨，但也是计算出来的，海森堡虽然数学不咋地，但加上哲学家的思维就无往不利了。
对于量子力学和经典力学有一个比喻，是这么说的，经典力学的科学家是看看一场歌剧，无论观众如何叫好，都不会影响故事的情节，而量子力学就好比看一场足球比赛，观众的呐喊助威是会影响比赛的结果的。
海森堡不确定原理证明
海森堡不确定原理证明
《海森堡不确定原理证明》
嘿，咱今天就来聊聊海森堡不确定原理。
话说我之前有一次去菜市场买菜，我就想着要买些西红柿回去。
我站在那一堆西红柿面前，看着这个红红的，那个也红红的，我就想挑个又大又好的。
我一会儿觉得这个好像挺不错，刚要伸手去拿，又觉得那个好像更好一点。
哎呀，就在我纠结的时候，我突然就想到了海森堡不确定原理。
你看啊，我在挑西红柿的时候，我确定了这个西红柿的大小，可能就没办法同时确定它是不是最甜的；我确定了它的外观很好看，可能就不能确定它里面有没有坏的地方。
这不就跟海森堡不确定原理说的似的嘛，你不可能同时精确地知道一个粒子的位置和动量。
就像我挑西红柿，我要是过于专注在大小这个方面，可能就会忽略其他方面的不确定性。
而且啊，这种不确定还挺好玩的，有时候你觉得自己好像了解了，但是又好像没那么确定。
总之呢，海森堡不确定原理就像我挑西红柿一样，充满了各种奇妙的不确定性，让我们对这个世界的认识变得更加有趣和复杂啦！以后我再去菜市场，估计都会想起这个原理呢！哈哈！。
不确定性原理的证明
不确定性原理的证明不确定性原理是由德国物理学家海森堡于1927年提出的。
简单来说，它指出，在量子力学中，无法同时精确测量粒子的位置和动量。
也就是说，如果我们知道一个粒子的位置，那么它的动量就无法确定，反之亦然。
为了证明不确定性原理，我们需要先了解一些基本概念和数学工具。
在量子力学中，对于一个粒子的状态，可以用波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它的绝对值的平方代表了找到这个粒子在不同位置上的概率分布。
假设我们有一个波函数表示一个粒子在空间中的位置分布。
为了测量它的位置，我们可以使用一个位置算符X来表示位置的期望值。
类似地，我们可以使用一个动量算符P来表示动量的期望值。
量子力学中的算符是一个数学对象，它可以作用于波函数上，得到另一个波函数。
现在，假设我们同时知道一个粒子的位置和动量。
我们可以使用位置算符和动量算符来测量它们的值，得到确定的结果。
但是，根据量子力学的原理，测量的结果只能是其中一个值，因为我们的测量会干扰到粒子的状态。
让我们先来看一下如何测量位置。
设粒子的波函数为Ψ(x)，其中x为位置。
我们可以使用位置算符X作用于波函数，得到位置的期望值<x>：<x> = ∫x Ψ(x) ^2 dx类似地，我们使用动量算符P来测量动量的期望值<p>：<p> = ∫p Ψ(p) ^2 dp其中p为动量。
现在，我们想测量这个粒子的位置和动量。
假设我们同时知道它们的值，那么它们的波函数可以分别表示为Ψ(x)和Φ(p)。
由于位置和动量是彼此的傅里叶变换对，我们可以通过傅里叶变换将Ψ(x)变换到动量空间上的Φ(p)：Φ(p) = F{Ψ(x)}这里的F{Ψ(x)}表示对Ψ(x)进行傅里叶变换。
根据傅里叶变换的性质，我们知道波函数Ψ(x)和Φ(p)之间存在一个不确定性关系：ΔxΔp ≥1/2其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度。
现在，让我们来证明这个不确定性关系。
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在前面我们已经得到：
p p
2 2
= x x dx
三角不等式完全适用于左矢右矢，现在我们可以 把向量A，B看成是左矢或右矢。由于 是实数，它 们是左矢或者右矢都无关紧要。 现在我们描叙向量A: A x x 表示向量A的波函数是 x x 。换句话说就是算子 x作用在 上。 d 同理，我们描叙向量B： B i dx
2 d x = - dx x 2 dx
在这里我们要用到数学中的分部积分法，积分公 式为：
dG dF F dx dx dx Gdx
2
在这里我们可以将 x 看成是F，
有：
d x dx
看成是G则
d d x p dx x dx dx
我们将波函数看出X的函数，它的关系由傅立叶 变换表示：
x
dp ~ ipx p e 2
x 越窄， p 越宽，反之亦然。如果 p 很窄这意 味着它只是单一的平面波。 在此会证明稍微简化版本的定理，这个简化版本 也包含了基本要素。首先，一个变量里的不确定性 是什么意思？ △x
1 dx 2 dy 2 A B dx dy 4 dx dy
2
由于：
dx dy 1 dx dy
2
1 2 2 则有： A B dx dy 4
这是全空间概率积分，所以如果函数 归一化了，这两个积分就是1，我们假设波函 数已经归一化了，设状态量已经归一化了， 因此整个式子就为四分之一。
海森堡
维尔纳· 卡尔· 海森堡（1901年12 月5日－1976年2月1日），德国 物理学家，量子力学的主要创 始人，哥本哈根学派的代表人 物，1932年诺贝尔物理学奖获 得者。量子力学是整个科学史 上最重要的成就之一，他的《 量子论的物理学基础》是量子 力学领域的一部经典著作。鉴 于他的重要影响，在《影响人 类历史进程的100名人排行榜》 ，海森堡名列第46位。
浅谈狄拉克方程
我们谈论的模型是能 量的哈密顿： P值可为正，可为负。 对于一个给定的P其波函 数为：
H CP
e
ipx
负能量粒子和正能量粒子
如果有能量为负的粒子，真空空 间会不会是最低能的状态？
我们可以取一个真空，然后说它的能量为零。你 可以将负能量粒子放进去，负能量粒子会降低总能 量，因为万物都是趋向与低能态的。 如果粒子具有负能量，那么真空不是稳定的了， 不稳定是说它会产生很多的正能量粒子和负能量粒 子。因为能量不能无中生有，所以粒子与反粒子对 中一个参与者有正能量而另一个参与者有负能量。 由能量守恒可知，必须同时制造两种粒子。相反， 如果只有正粒子呢？这也是不可能的，因为能量守 恒不允许这一点。 而且我们知道良好的稳定世界要求所有的粒子具 有相对真空为正的能量。
A B A B
2 2
两边再同时平方
2
A B A B
在这里我们用到了两个简单假设，第一个简单假 设是:x,和p的期望值是0，这样可以减少大量的代数 运算，这个假设前面已经用到。 第二个简单假设是：波函数 是实数，如果不是 和 就要换算，这样我们又可省下一堆代数 实数， 运算。
=
d d x dx x dx dx
在此p不确定性为负值的问题得到了完美解决。
构造不等式
我们都知道三角形两边之和一定大于 第三边，将三条边进行向量可得：
A B A B
C
B
两边同时取平方可得：
A B 2 A B A B 2A B
A
可得：
2
2
2
2
表示 B向量的波函数是 ： i
d dx
d x B i dx
A x x
A x x dx x
2 2 2 2
B p p 2
2 2
பைடு நூலகம்
x x dx
由不等式：
2
A B A B
2
2
2
d d A B x x dx y y dy dx dy
在这里不必担心i和
由积分公式：
d 2 d 2 dx dx
，因为最终会取绝对值。
1 d 2 d 2 dx dx
可得:
2 2 1 d d 2 A B x dx y dy 4 dx dy
我们再一次的运用到前面的分部积分法，即积分 公式为：
dG dF F dx dx G dx dx
p
ˆ p ˆ2 p
2
p2
id dx d2 d x2
由上述可知：
x 2 x 2 p 2
2 x dx
x2 p2
到了这里你或许有点担心，这里有一个负号，为 什么p的不确定性会是负数呢？P具有负的不确定性 是什么意思？这里一个负号到底是什么意思？ 2 d x 很简单，因为积分 dx x 的值为 2 dx 负。
所以狄拉克说：看我有一个十分简单的解。试想 一下，真空空间这个状态里负能量的粒子真的会同 时填满真空，但你不能放入更多的粒子，因为不允 许存在相同状态的粒子。假设绝对真空是绝对的最 低能的状态，那现在再来看看绝对真空，你会把它 看成普通真空吗？这是能量最低状态吗？ 答案是NO，我们可以放入一个负能量的粒子来降 低能量，这样就有了更底状态了。不管是何状态我 们可以再放入一个负能量粒子，并降低其能量。 所以说通往绝对最低的能态的唯一途径就是简单的 用负能量粒子填满它。但是你只能针对具有某种特 性的粒子这么做，那些粒子不能处于同一个状态。
海森堡不确定性原理 证明
物理与科学技术学院：陈涛 2014.11.21
狄拉克
保罗· 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8日－ 1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者 之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主 持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位，并在佛罗里达州立大学 度过他人生的最后十四个年头。 他给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预 测了反物质的存在。 1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式” （即量子力学的基本方程——薛定谔方程和狄拉克方程）， 狄拉克和埃尔温· 薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
2 dx
从上述可得：
1 x p 4
2 2
即：
1 x p 2
x p 2
证毕
又由 x p
而H=CP不是一良好稳定的世界， （因为P可正可负）那怎么办呢？
狄拉克知道怎么办。
但是只有在费米子的情况下
什么是费米子？
简单的来说，费米子就是不能处与相同状态的简 单粒子。符合泡利不相容原理的粒子就叫费米子。
什么是玻色子？
简单的来说，玻色子与费米子相反，玻色子可以 处于相同的状态的粒子，且不符合不相容原理。
x2
对于一个给定的概率分布，首先x的平均值为0，那 么x的不确定性为：
x
2
x x
2
2
如果波函数已知，如何计算△x呢？很简单。
x
2
x x x dx
2
同理，动量不确定性定义方式本质上是相同的，你 可以用波函数的傅立叶变换来定义： 2 ~ p p p p 2d p
如果你可以将多于一个的粒子放入同一状 态，那么将会发生什么？ 那么你就无法阻止负能量粒子不断的进入 真空，世界将不会是稳定的，所以这是一个 合理的理论。
H CP e
ipx
P可为正，可为负。这就是狄拉克方程最简单 版本，这个理论可以用来描叙一维中微子。 但是不适用于光子，光子是玻色子，玻色子 的玩法根本不一样。
不确定性原理
不确定性原理来自何方？它来自于一个事实， 即坐标X和P不对易。当两个坐标或两个观测值不对 易时，我们不可能同时测量两者。 特别是X的本征矢和P的本征矢完全不同，X的本 征矢是窄而尖高度局域化的。而动量的本征矢首先 是复数eipx，但它们的实部和虚部都在完全空间中振 动。 所以它覆盖全空间，而不是填满全空间。不是粒 子填满空间，仅仅是粒子可能出现在空间的任意地 方。原因是它的动量已知，所以这就是不确定原理 中原始版本，如果你知道粒子的位置，你就不可能 知道它的动量。
x
2
该变量的分布已知，在 讨论它不确定性之前的第 一件事是，我们总是可以 移动坐标轴使得x的平均值 为0。即<x>=0。
x
不确定性是什么？由不 确定性的定义可知，就是x 平方的平均值。
实际上原点是x2为0的唯一位置，所以x2的平均值 不可能为0。事实上波函数分布越广泛，x2的平均值 就越大，这是很明显的。所以x2是描述分布宽度的 良好指标，你可以称之为x的不确定性。事实上x不 确定性的定义就是x2的平均值，即：