线性代数完美总结版

《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、几个定理(定理2。2，2.3,2.4） 按行展开：1122,1,2,,A =++

+=i i i i in in a A a A a A i n 按列展开：1122,1,2,

,A =+++=j j j j nj nj a A a A a A j n

定理2。4 11220,++

+=≠i j i j in jn a A a A a A i j ；

11220,++

+=≠i j i j ni nj a A a A a A i j 。

3、行列式的性质 （1) T

||||=A A 。

(2) 若行列式的某一列(行）可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即

111,,,,,,,,,,,,j j n j n j n ααβαααααβα+=+。

（2) 若行列式有两列（行)成比例，则行列式等于零. （3） 初等变换性质

1;;.i i i j j i i j

i j

k

k +l +l k ⨯⨯↔↔⎧−−−→⇒=⎪⎪⎪−−−−→⇒=⎨⎪−−−−→⇒=-⎪⎪⎩

或或或r c r r c c r r c c A B A B A B A B A B A B 4、行列式计算：三角化法（性质)；

降阶法（性质+展开定理）； 范德蒙德、三对角行列式的结论。

5、分块矩阵的行列式

A O A C A O A

B O B O B D B =

== (1)O A C

A

O A A B B O

B O

B D

===-m mn n

二、矩阵

1、矩阵及其运算（加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算） （1） 乘法的结合律

(2） 方阵的幂的求解 3.7

5.9⎧⎪

=⨯⎨⎪--⎩

二项式定理--例矩阵列行--例3.8、例3.38可对角化例

(3） 转置的性质：T T T T T T T

T T T ()()()()A A A B A B

A A A

B B A

⎧=⎪+=+⎪⎨=⎪

⎪=⎩k k （4） 方阵的行列式：T ||||;|||;||||||.n

|k k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩

A A A A A

B A B

(5) 分块运算（转置、乘法——例3。13、3.14) 2、初等变换及初等矩阵

(1) 左行右列（矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示）

[()];[()];[];[()];[()];[].r r r r r c c c c c A B E A B A B E A B A B E A B A C AE C A C AE C A C AE C ⨯↔⨯↔⎧⎧−−→⇔=⎪⎪⎪−−−→⇔+=⎪⎨⎪⎪−−−→⇔=⎪⎪⎩

⎨⎧−−−→⇔=⎪

⎪⎪⎪−−−→⇔+=⎨⎪

⎪⎪−−−→⇔=⎪⎩⎩

初等行变换初等列变换i i j i j

i j i

i j k

m +l m m k

n +l n n i k i j l i,j i k i j l i,j （2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即

[][][][][]1

1

1

1

()();()();

,,.

E E E E E E ---=+=+-⎡⎤⎣⎦=k i k i i j l i j l i j i j

3、可逆矩阵

(1) 定义、性质1111

T 11T 111111

()()()()A A A A A A A A AB B A

------------⎧=⎪=⎪⎪

=⎨⎪=⎪

⎪=⎩||||()k k

(2） 伴随矩阵 1

||||||()()()n r r ***-*⎧==⎪=⎨⎪⎩

A A AA A E A A A A 与的关系书111页38题

（3） 判定：A 可逆||0A ⇔≠

（4) 逆矩阵的求法 []1

1( 3.7),,*--⎧=⎪⎪⎪

=⎨⎪⎡⎤−−

→⎪⎣⎦⎪⎩

行

伴随矩阵法:及运算律命题初等变换法:A A A AB E A E E A

(5） 分块矩阵的逆

1

1

1111,.A O O A A O O B O B B O O

B A

O ------⎡⎤

⎡⎤

⎡⎤

⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（6） 矩阵方程的求解:AX C =,其中A 可逆。 法1 1

X A C -=.

法2 1[,][,]A C E X X A C -−−−−→⇒=初等行变换

n .

4、矩阵的秩与矩阵的相抵

（1） 矩阵的秩与性质(101页,105-107页）

① 0()min{,}r m n ≤≤A ；

② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ③ ()(),0;r k r k =≠A A ④ T

()()r r =A A ；

⑤ ()()r r r ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

A O A

B O B ;

⑥ ()()()r r r +≤+A B A B ；

⑦ ()()()()(A B AB A +-≤≤r r n r r 或())B r ； 若=AB O ，则()()r +r n ≤A B ，其中m n

⨯∈P A ,n s

⨯∈P

B 。

⑧ 设m n

⨯∈R

A ,则T

T

()()().r r =r =AA A A A

（2) 求矩阵的秩 （理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）

A R −−−−→初等变换

（行阶梯形矩阵），

则()()r r ==A R R 的非零行的个数.

（3) 矩阵的相抵(等价）

① ()(),,.A B A B P Q PAQ B ≅⇔=⇔∃=可逆使得r r ② ()()()()r r r r ===PAQ PA AQ A ，其中,P Q 可逆。 ③ ()r

r r ⎡⎤=⇒=⎢

⎥⎣⎦E O A PAQ O O 或r

⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

E O A P Q O O 。 三、线性空间

1、向量组的线性相关性的判断（命题4.

2、4.

3、4。

4、4。

5、定理4。1、4。2、4。4)

(1） 证明方法—-----,,--⎧⎪

⎪⎨⎪⎪⎩定义转化为齐次线性方程组的求解

秩矩阵、向量组的秩(定理4.1定理4.4命题4.5-4.6)

坐标化方法定理4.14基本结论