第25章解直角三角形小结与复习(1)教案(华东师大版九年级上)
华东师大版九年级数学上册24.4《解直角三角形(第1课时)教案(含答案)
24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？ 学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，在炮台A 处测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，在炮台B 处测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan ∠CAB,∴BC=AB ·tan ∠CAB=2000×tan50°≈2384（米）. ∵AB AC=cos50°, ∴AC=20005050AB cos cos =︒︒≈3111（米）. 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC 还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确. 问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）【答案】1.6米2.9.4海里四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.第二课时解直角三角形【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.第三课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC =30°,斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3（即CD 与BC 的长度之比）.A 、D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°,则易求AC=6米，BC=63米.在Rt △BDC 中，i=13DC BC =.易得DC=13BC =.∴AD=AC-DC=（.三、运用新知，深化理解1.已知一坡面的坡度i=1则坡角α为（ ）A.15°B.20°C.30°D.45°2.彬彬沿坡度为150米，则他离地面的高度为（ ）B.50米C.25米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶______米.4.如图，一束光线照在坡度为1射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是______.5.如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.【答案】1.C 2.C 3.30°°5.（）m四、师生互动，课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.。
数学九年级上华东师大版25.3解直角三角形11教案
25.3解直角三角形一．教学目标：1． 认知目标：熟练掌握解直角三角形的基本条件和方法，能选择适当的边角关系合理解直角三角形，能运用解直角三角形的方法来解决生活实践中的某些问题。
2． 能力目标：（a ） 了解数形结合的思想方法，学会用代数方法列出方程解决几何问题。
（b ） 初步学会将某些实际问题通过数学建模把问题转化为数学问题。
3． 情感目标：（a ） 了解上海的发展变化，激发学生的兴趣。
（b ） 通过对问题的讨论、交流来提高学生的交往能力。
二．教学重点和难点：重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。
难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。
三．教学过程：先请大家欣赏屏幕上的一座美丽建筑（投影图片） 请说出这座高楼的名称，它坐落在什么地方？（这座高楼的名称叫世茂国际广场，坐落在南京路、西藏路口，中百一店对面，这幢集五星级酒店和大型高档商场于一体的建筑共63层，总面积达17万平方米，2006年交付使用，建成后的世茂国际广场已经成为繁华的南京路再添一条靓丽的风景线）问题一：你有什么方法测量出这座高楼的高度？请设计一个测量方案（分小组讨论） 提示：如果手中有测角仪、卷尺等工具呢? 可能出现的方案一：用相似形法可能出现的方案二：用解直角三角形法等（重点讲评方案二）我们已经将实际问题转化为解直角三角形数学问题，你能说出解直角三角形所必须的条件吗？说明：在直角三角形中有三条边、三个角共六个元素，除直角外，我们还必须知道另外两个元素，其中至少有一个是边就能求出另外的边和角刚才我们用方案二解决了这个问题，现在将问题改变一下，请看问题二： 学生小王在浦东某地，他想利用手中的测角仪、卷尺计算器工具不过江测量出世茂国际广场的高度（投影图片），ABCa高楼只要知道BC 的长及角C 的度数就能解直角三角形求出AB 的长AD现已测出,140=∠ADB 由于不能过江，因此无法知道BD 的长度，于是向前走407米到达江边的C 处测得020=∠ACB ，但小王在计算中碰到困难，请大家一起帮助小王想想办法，求出AB 的长。
华师大九年级(上)教案_第25章_解直角三角形(全).doc
第二十四章 解直角三角形24.1测量教学口标1、 在探索基础上掌握测量。
2、 掌握利用相似三角形的知识教学重难点重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。
难点：应用勾股定理吋斜边的平方等于两直角边的平方和。
教学过程当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道, 操场旗杆冇多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题.如图25. 1. 1,站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆 的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度.如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还 是利用相似三角形的知识.一如图25・1・2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部， 视线AB 与水平线的夹角ZBAC 为34° ,并已知口高AD 为1.5米.现在若按1 ： 500的比例将AABC 画在纸上，并记为AA' B‘ C',用刻度直尺量岀纸上B' C' 的长度，便可以算出旗杆的实际高度.你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图25. 1. 2 (1)中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度, 而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系.我们已经知道直角三角形的三 条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又冇什么关系？这就是本章要探 究的内容.练习1. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，ifc: ....♦ ♦ ■ ■ ♦图 25.1.1图 25.1.2(2)当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.2. 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度. 习题25. 1 1. 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30・0米处，目测其顶，视 线与水平线的夹角为40° , 口高1. 5米.试利用相似三角形的知识，求出该建筑 的高度.（精确到0. 1米）2. 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到 -边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3. 如图，在一棵树的1（）米高B 处有两只猴了，一只猴了爬卜•树走到离树20 米处的池塘A 处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两 只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度.小结与作业：小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形屮，知道两边可以求第三作业:一课一练1"划/< 40：zA 7 /QZ-30.0「n 匕（第1题）24. 2锐角三角函数教学目标正弦、余弦、正切、余切的定义。
初三数学 第25章 解直角三角形复习知识精讲 华东师大版
初三数学第25章解直角三角形复习知识精讲华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第25章解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角．2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝1cotα；（3）tanα＝sincosαα，cotα＝cossinαα．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝hl＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．【典型例题】例1. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝34用图形表示．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB22AC BC+22(4)(3)k k+5k．∴sinα＝BCAB＝35kk＝35cosα＝4455AC kAB k==，∴原式＝34553455+-＝－7．例2. 计算．（12sin45°－12cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）sin45sin30 cos45sin30︒-︒︒+︒；（4212sin30sin30 -︒+︒分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．解：（1sin45°－12cos60×2－12×12＝34；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2＝2．（3）sin45sin30cos45sin30︒-︒︒+︒＝122＝3－；（41－sin30º＝1－12＝12．点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4•题要特别注意先化简再代入计算．例3. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有sincosαα的式子，•再利用tanα＝sincosαα进行转化求解．解：将式子sin cossin cosαααα+-的分子、分母都除以cosα，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝－7规律总结：因为tanα＝34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．B AC D∵△ABC 的周长为14，底边BC ＝6，∴腰长AB ＝AC ＝4． 又∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3．在直角三角形ABD 中，∠ADB ＝90°，AD ＝22AB BD -＝2243-＝7cot ∠B ＝37BD AD=＝377． 答：等腰三角形底角的余切值是377．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．例5. Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，•根据下列条件解直角三角形．（1）a ＝4，c ＝10； （2）b ＝2，∠A ＝40°； （3）c ＝3，∠B ＝58°． 分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．解：（1）b ＝22c a -＝22104-＝221， 由sinA ＝410a c =＝0.4，∠A ≈°，∠B ＝90°－∠A ＝90°°°．（2）∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，由tanA ＝ab ，得a ＝b ·tanA ＝2×tan40°≈2×≈1.678，由cosA ＝b c，得c ＝22cos cos 400.7660b A =≈︒≈2.611． （3）∠A ＝90°－∠B ＝90°－58°＝32°， 由sinB ＝bc ，得b ＝c ·sinB ＝3·sin58°≈3×≈2.544， 由cosB ＝ac，得a ＝c ·cosB ＝3×cos58°≈3×≈1.590．点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．例6. 如图，一艘轮船从离A 观察站的正北203海里处的B 港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A 地北偏西30°的C 处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西︒60的D 处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC 的长，观察图形，DC ＝DB －CB ，•而BD在Rt △ABD 中可求，BC 在Rt △ABC 中可求．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB ×tan30°＝203×33＝20（海里）． 在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×tan60°＝203×3＝60（海里）．所以DC ＝DB －CB ＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝2623（海里）．答：船的速度是2623海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D•处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x 米，根据条件∠ADB ＝45°，可得BD ＝AB ＝x 米，在直角三角形ABC 中，根据∠C ＝30°，即tanC ＝ABBC 可求．解：设AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，且BC ＝CD+BD ＝30+x ，tanC ＝ABBC 所以tan30°＝30x x +，即33＝30xx +，x ＝（153+15）（米）．答：塔高AB 为153+15米．例8. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C 作AB 的垂线段CM ，把AM 、BM 用含x 3x ，x 表示，利用AM+MB ＝23＝2，解出CM 的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM 的长，列方程解题的思想方法．解：作CM ⊥AB ，垂足为M ，设CM 为x 千米，在Rt △MCB 中，∠MCB ＝∠MBC ＝45°，则MB ＝CM ＝x 千米． 在Rt △AMC 中，∠CAM ＝30°，∠ACM ＝60°tan ∠ACM ＝AMCM∴AM ＝CM ·tan60°＝3x 千米 ∵AM+BM ＝2千米 ∴3x+x ＝2∴x ＝3－1 ≈ ∴∴这条公路不会穿过公园．例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求迎水坡BC 的坡角∠C 和坝底宽CD ．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决． 解：过A 、B 作AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，垂足是E 、F ，根据题意有AE ＝BF ＝10，四边形ABFE 是矩形，EF ＝AB ＝3．在Rt △ADE 中，DE 22AD AE -222010-3（米），在Rt △BCF 中，10.6BF CF =××10＝6（米）所以CD ＝CF+EF+DE ＝3+3+6＝（3（米）．又在Rt △BCF 中，cot ∠C ＝0.6，所以∠C ≈59°．例10. 如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆问题图 D CB A证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∴AC ADC =sin ， ∴C b C AC AD sin sin =⋅=，又∵ADBC S ABC ⋅=∆21，∴CabSABCsin21=∆．评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21===∆（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.10 cos50︒2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，•使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•则此等腰梯形的周长为（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（•踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA•与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC•所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，•那么开挖点E离D的距离约为多少米?（精确到1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，•另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，•请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，•在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，•要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？【试题答案】1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．2. B3. C 点拨：根据图形找出对角关系．4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝OF OA，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如图．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝3.473sin32sin32AC=︒︒≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善后的台阶会加长1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝3.473tan32tan32AC=︒︒≈5.558m，∴≈1.96m．即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．8. 368m．9. 过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝DE AD，∴DE＝180×sin30°＝180×12＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝BF BD，word11 / 11 ∴BF ＝180·sin60°＝180×2＝，∴BC ＝BF+FC ＝+90＝90+1）m ．故小山的高度为90+1）m ．10. 根据题意有AF ∥BC ，∴∠ACB ＝∠GAF ．又∵∠ABC ＝∠AFG ＝90°，∴△ABC ∽△GFA ， ∴BC AB AF FG ，得BC ＝3.2（m ）．CD ＝（2+3）－3.2＝1.8（m ）．【励志故事】愚钝的力量大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮．爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水．愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来．聪明的人稍作选择也大干起来．两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水．聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖．又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水．这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了．而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出．比赛结果，这个愚钝的人获胜．爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！。
解直角三角形复习课华东师大版九年级数学上册精品PPT
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特殊角三角函数的记忆方法—— 图形记忆法
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设为1
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MN
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课堂小结
◆利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 解直角三角形问题）；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，应用直角 三角形的有关性质，解直角三角形；
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第24章 解直角三角形 复习课（一）
知识系统总结
利用相似解决测量问题
形解 直 角 三 角
直角三角形的性质 锐角三角函数 解直角三角形
三个三角函数的定义
特殊角的三角函数值 已知两边解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形
解直角三角形的应用
知识点回顾
1.解直角三角形的性质
性质 1
直角三角形两个锐角互余
性质 2
直角三角形的勾股定理
性质 直角三角形斜边上的中线等于
3
斜边的一半
性质
直角三角形30⁰所对直角边
4
等于斜边的一半
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第25章解直角三角形小结与复习(1)教案(华东师大版九年级上)
第二十五章 解直角三角形 小结与复习(1)数学目标：1、正确运用勾股定理2、掌握三角函数定义，正确运用直角三角形边角关系3、理解实际问题的相关概念教学过程：一、复习二、练习：△中一直角边为7，三边长都为正整数，则周长为 532. Rt △中，斜边上中线为1，周长为72+， 则面积为43 3. Rt △中，两边长为2， 4. 则第三边长为,32或52△被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4：9，则Rt △中最小角的正切为 36， 2. Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=,32,52=b 则=a 4 ，=c 6 ， △ABC 中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S △ADC=330，求BD ；解；S △ADC=3301221=⨯⨯AE ∴35=AE Rt △AED 中，,11=ED Rt △ABE 中，5=BE∴16115=+=BD4.△⊥BC ，M 为BA 中点，∠B=30°，cos ∠ACD=22，求tan ∠BCM 。
解：设,k MN =则k BN k AM BM 3,2===， ∵M 为AB 中点 ∴k DN k AD 3,2==5.计算或化简： ①︒-︒︒-︒30cos 60tan 45tan 45sin （ 3326-） ②2cot tan 1tan 22-++-ααα（45°＜α＜90° （1cot tan 2--αα） E D C B A N M D CB A（三）.1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上，从甲处看路灯顶部仰角为 α ，从乙处看路灯顶部仰角 β ，若路灯高h 米，求甲、乙两人相距多少米？分析：应考虑两种情况：1） 路灯在线段BC 上，BC=h （βαcot cot +）2）路灯在线段BC 延长线上，BC=h （βαcot cot -）2、一登山运动员在山脚C 处仰望山顶B ，仰角 α=45°.他沿坡比为3:1的坡面走了1000m 到达D 处，此时仰角︒=60β，则山高多少米？略解：Rt △CDF 中500==EA DF 米，3500=CF 米设x AF DE ==，在Rt △BDE 中，x BE 3=∵∠BCA=45°，∴AC=AB ∴50033500+=+x x ∴500=x 米三、课作：P.85. A 组1——5.60F E D C B A。
数学：第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)
7．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H． 由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6． CH 在Rt△ACH中，tan∠CAH=AH ， 3 ∴CH=AH· tan∠CAH=6tan30°=6× =2 3 3 ∵DH=1.5，∴CD=2 3 +1.5． 在Rt△CDE中 ， CD ∵∠CED=60°，sin∠CED= ∴CE=
CD 2 3 1.5 sin 60 3 2
CE
=（4+
3 ）（米）．
答：拉线CE的长为（4+ 3 ）米．
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8．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
3 CF=CD· cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°· x= 3 x（米）． 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
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6.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定，CD与 • 地面成40°夹角，且DB=5m，现要在 C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的 高为多少米？（• 结果保留三个有效数字） 6．解：在Rt△BCD中， ∠BDC=40°，DB=5m，BC ∵tan∠BDC=DB ， ∴BC=DB· tan∠BDC =5×tan40°≈4.195． ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20． 答：略．
九年级数学上册《解直角三角形》教案华东师大版
解直角三角形解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础．解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下：1、明确解直角三角形的依据和思路在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝cotB ＝b a ，cotA ＝tanB ＝ab ． （2）两锐角之间的关系：A ＋B ＝90°．（3）三条边之间的关系：． （4）三角形面积：．（5）同角三角函数的关系： 平方关系：； 商数关系：A A A cos sin tan =，AA A sin cos cot =；倒数关系：1cot tan =A A 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．2、解直角三角形的基本类型和方法在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下： 已知条件 解法一边及一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°－A ，b ＝a ·cotA ，A a c sin = 斜边c 及锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA两边两条直角边a 和b22b a c +=，B ＝90°－A ，22a c b -= 直角边a 和斜边cca A =sin ，B ＝90°－A ，22a cb -= 例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长．[分析一]：所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．[解法一]：在Rt △ADE 中，∵ADAE A =cos ，且∠A ＝α，AE ＝1， ， 在Rt △ADC 中， ，在Rt △ABC 中，．[分析二]：观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解．[解法二]：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，．点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形．这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，在解直角三角形时经常要用到．例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线．若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；[分析]：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解．[解析]：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC ·tanB＝2，在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，∴．点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形．这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形．例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD ＝1，求AB．分析：已知的角度告诉我们，Rt △ABC 和Rt △ADC 都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解．解：在Rt △ADC 中，设DC ＝x ，∵∠ADC ＝60°，∴AD ＝2x ，AC ＝x ，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝45°，BD ＝1，∴1＋x ＝x ， ∴x ＝，∴AB ＝AC ＝x ＝．点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列方程．例4、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝10，，解这个直角三角形． [分析]：因Rt △ABC 的面积为，故用已知条件可求出b 的值，这样一来，Rt △ABC 就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函数定义，便可求出锐角和斜边．[解析]：∵∠C ＝90°，，∴＝，∵a ＝10，∴b ＝，∴3331010tan ===b a A ，∴∠A ＝60°，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝90°－60°＝30°，∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ，∴c ＝． ∴b ＝，c ＝，∠A ＝60°，∠B ＝30°．点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多．例5、已知：如图，在△ABC 中，BC ＝＋1，∠B ＝30°，∠C ＝45°，求△ABC 的面积．[分析]：构造Rt△ABD，利用特殊角的三角函数值，求出BC边上的高AD即可．[解析]：过A作AD⊥BC，垂足为D，设AD＝x，则DC＝x，BD＝x，∵BC＝BD＋DC＝＋1，∴x＝1，∴点评：本题体现了基本图形基本性质的综合应用．同时要注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形来解决实际问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决．例1、如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°和60°．已知测角仪器高为1.5米，CD＝20米，求铁塔的高．（精确到0.1米）．[解析]：设BG＝x，在Rt△BGF中，∵cot∠BFG＝，∴FG＝BG·cot∠BFG＝x·cot60°＝x，在Rt△BGE中，EG＝BG·cot∠BEG＝x．∵EG－FG＝EF，且EF＝CD＝20，∴x－x＝20，解得x＝10，∴AB＝BG＋AG＝10＋1.5≈18.8（米）答：铁塔的高约为18.8米．点评：把应用性问题问题，设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．例2、如图，在等腰三角形ABC 中，底边BC 为5，α是底角且tan α＝，求AC ． [解析]：作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ADB 中，∵tan α＝，∴设AD ＝2k ，BD ＝5k ， 则AB ＝k BD AD 2922=+, 又∵BC ＝5，∴BD ＝, ∴5k ＝,得k ＝． ∴AC ＝AB ＝．点评：作等腰三角形ABC 底边上的高AD ，则构造出直角三角形．例3、一艘船以32.2海里／小时的速度向正北航行，在A 处看见了灯塔S 在船的北偏东 20°，半小时后，航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°，求灯塔S 和B 处的距离．（精确到0.1海里）[解析]：依题意作简图,如图，作BE ⊥AD 于E ．∵AB ＝32.2×＝16.1（海里）， A 在Rt △AEB 中，sin20°＝，∴BE ＝AB ·sin20°＝5.5062（海里）．在Rt △BES 中，∠BSA ＝65°－20°＝45°，∵sin45°＝，∴BS ＝7.8（海里）．答：灯塔S 和B 处的距离约为7.8海里．点评：画简图时，先确定正北方向，然后按已知条件确定各角；由于△ABS 是斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形．例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD ，斜边AB 的坡度为1∶，坡面AB 的水平宽度为3米，上底AD 宽为4米，求坡角∠B ，坝高AE 和坝底BC 的宽（精确到0.1米）．[解析]：B BE AE i tan 31===，ο30=∴B ， 又∵坡面AB 的水平宽度为3米，即BE ＝3米，∴AE＝3（米）．∴BC＝2BE＋AD＝6＋4≈14.4（米）．答：坡角∠B为30°，坝高AE为3米，坝底宽约为14.4米．点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形来解．。
最新华东师大版九年级数学上册《解直角三角形》复习课教学设计
本章复习【知识与技能】1.通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算.2.了解仰角、俯角、坡度等相关概念，掌握直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，能应用这些关系解决相关问题.【过程与方法】应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力.【情感态度】通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生学习数学的热情.【教学重点】解直角三角形及其应用.【教学难点】解直角三角形及其应用.一、知识结构框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.直角三角形的边角关系：在Rt △ABC 中，∠A+∠B=90°,a 2+b 2=c 2， sinA=cosB=a c,cosA=sinB=bc,tanA=ab,tanB=ba.2.互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°,sinA=cosB，cosA=sinB,tanA·tanB=1,3.同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1.4.特殊角的三角函数5.解直角三角形的基本类型及其解法如下表：解直角三角形注意：（1）一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求解.（2）解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切），宁乘毋除，取原避中”.其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据来求解时，则取原始数据，忌用中间数据.6.应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义.第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.三、典例精析，复习新知例1（内蒙古呼和浩特中考）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10千米，∠A=30°,∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）例2（湖南娄底中考）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两处探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1米，参考数据：2≈1.414,3≈1.732）解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.设CD=xm.在Rt △CBD 中，∵∠CBD=45°,∠D=90°,∴BD=CD=xm.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD 4CD x AD x ==+, ∵∠CAD=30°,∴334x x =+. 解得x=23+2≈5.5.答：生命所在点C 的深度约是5.5m.四、复习训练，巩固提高1.（江苏连云港中考）在Rt △ABC 中，∠C=90°,若sinA=513，则cosA 的值是（ ）A.5/12B.8/13C.2/3D.12/132.（广东深圳中考）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是（）第2题图 第3题图 3.（湖北荆门中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6,sinA=3/5,则DE=_______.4.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡角A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶点C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1∶3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD 的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732）【答案】1.D 2.D 3.15/4 4.2.7米五、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些知识？还有哪些知识没有掌握？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课通过学习归纳本章内容，让学生系统掌握锐角三角函数的有关知识，熟练应用三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识的能力，在解决问题时，注意方程思想、构造直角三角形思想的应用.。
华东师大版数学九年级上册《解直角三角形》复习课件
B 3C
5
4
A
FE
D
13
六.作辅助线分割图形
1.作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形. 2.作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形. 3.连线割补，可以把不规则四边形转化为含直角三角形的图形.
14
本单元知识结构
7
练习:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°，解此直角三角形。
①.∠A=60°,c=8，则a=__4__3__ ,b=__4__.
②.a=2，cosA= 2 ,c=__3_. ③.sinA= 1 ,则tanB=___3__ .
3
2
2. 在□ABCD中AB=6 ,BC=8,∠B=60°求平行四边形的
的面积
⑵ 锐角之间的关系：A B 900
⑶ 边角之间的关系：
A
c a
┏
b
C
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
c
c
b
a
b
a
b
a
sin B , cosB , tan B , cot B .
c
c
a
b
3
二.锐角三角函数的性质：
(1) 0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 tanA＞0 cotA＞0
在Rt△BDC中,∠CBD=45°
∴BD=CD=x 在Rt△ACD中,因∠CAD=29°
30米
D
450
∴CD/AD=tan∠CAD=tan29 °=3/5,
而AD=AB+BD=30+x,
x 3 30 x 5
华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-1 教案
华师大版 九年级（上） 《 第二十五章·解直角三角形 》 第三节25.3 解直角三角形 教 案【三维教学目标】知识与技能：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标） ②学生自学 ③分组交流、探究④展示（探究结果） ⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点：运用三角函数解直角三角形。
教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
【课堂导入】我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1： 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为26241022=+26＋10＝36（米）.所以，大树在折断之前高为36米.【教学过程】A 自 学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B 交 流：在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
C 探 究：例2：如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）解： 在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜， ABBC ＝tan ∠CAB , ∴ BC ＝AB •tan ∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米).又∵︒=50cos ACAB ， ∴ AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈︒=︒AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米。
华师版【第25章】《解直角三角形》整章教案
§25.1 测量【教学目标】 一、知识目标1. 复习巩固相似三角形知识。
2. 回顾有关直角三角形的知识。
二、能力目标1、通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。
2、在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。
三、情感态度目标通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。
【重点难点】重点：学生通过探究，概括出测量的一般方法。
难点：用不同的方法解决同一实际问题。
【教学设想】 课型：新授课教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高． 【课时安排】1课时。
【教学过程】 1.情境导入观察导图，并思考：三角形是测量中经常用到的平面图形，我们已经知道直角三角形的哪些特征呢？ 2、课前热身根据观察的结果以前所学知识，请说出几个属于三角形性质的结论。
3、合作探究 （1）整体感知讨论应用太阳光线和其他器材测量旗杆高度的方法。
讨论应用太阳光线测量旗杆高度的方法。
鼓励学生运用自己设计的方法测量旗杆的高度。
（2）四边互动互动1：师：观察本章导图，它向我们展示了本章将学到的哪些内容？ 生：学生讨论交流。
明确：本章告诉我们如何利用直角三角形来解决有关的测量问题。
互动2：师：导图中的旗杆高度都在直角三角形中吗？ 生：举手回答。
明确：测量过程中，为了达到目的，通常将高度分成两部分，使一部分在直角三角形中，另一部分在四边形中。
互动3：师：你知道直角三角形中的边之间的关系吗？角之间呢？ 生：举手回答。
明确：直角三角形的三边满足勾股定理，两锐角之和等于90度，出示课本第72页图:25.1.1。
互动4：师：在图25.1.1中为了测量旗杆的高度，除了知道有太阳光线外，还需要我们测量哪些值？图19.1.1生：讨论举手回答。
明确：测量出人的影长和旗杆的影长，人自己的身高通常是知道的，这就知道了AC 、''''C 和B C A ，而△ABC ∽△'''C B A ，所以''''C B BCC A AC ，解出BC 的长度。
华师大版九年级上册第25章解直角三角形复习教案
华师大版九年级上册第25章解直角三角形复习教案4(解直角三角形复习目标1(知识与技能((1)了解锐角三角函数的概念((2)知道角的三角函数值((3)会用计算器由已知锐角求它的三角函数值( (4)会利用直角三角形的边角关系解直角三角形( (5)能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题( 2(过程与方法((1)经历运用三角形的边角关系解直角三角形的过程( (2)探索运用三角函数解决简单的实际问题的方法 (3)体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力与创新精神 3(情感、态度与价值观((1)体会数学活动中充满发现与创新((2)感受数学与生括实际的密切联系((3)形成热爱数学和钻研数学的学习习惯(重难点、关键1(重点:运用三角函数(解决简单的实际问题( 2(难点:将实际问题转化为解直角三角形问题( 3(关键:熟悉解直角三角形的条件与方法(复习准备1(教师准备:小黑板((展示本章内容的总结)2(学生准备:本章学习中的问题记录(复习过程一、复习联想，温故知新完成下列练习，并说说你所依据的理由(1(数学课外兴趣测得学校旗杆在太阳光下的影长为a米，同一时刻(测得身高为b米的同学在太阳光下的影长为c米，若设旗杆的高为x米，则利用相似三角形可得关系___________________________2(如图F一4—1，在Rt?ABC中，?C=90?，AC=6，BC=8，则sinA=______，cosA=_____，tanA=_______,cotA=______ 3(已知是锐角，则,22 sin,，cos,,______.tan,,cot,,_______4(sin30?=______,cos30?=______，tan50?=______,cot45?=_______ 5(如图F 一4—2，Rt?ABC中，?C=90?,BC=a，Ac=b,AB=c,则:(1)22?A+?B= ______，(2)(3)sinA=_______，a，b,______,(4)cosA=_______,(5)tanA=_______(6)cotA=______，(7)sinB=______,(8)cosB=______(9)tanB=_______,(10)cotB=_______6.已知sina=2.2335，则锐角a?__________7(斜坡AB的坡度i=1:2.5(则坡角a?____________ 8(若0<A<90?，则sinA的值随角度A的增大而____________若0<A<90?，则cosA的值随角度A的增大而____________若0<A<90?，则tanA的值随角度A的增大而_____________若0<A<90?，则cotA的值随角度A的增大而_____________二、范例学习，加深理解5 例:如图F--4--3(已知在Rt?ABC中，?ACB=90?，CD?AB，D为垂足，CD=，2BD=，求:1(taaA;2(cos?ACD;3(AC的长(解:1(?CD上AB??ADC=?BDC=90???A+?1=90?又??ACB=90???1+?2=90???A,?2同理，?B,?1BD210tan，2,,,在Rt?BCD中， CD9510? tanA,52(在Rt?BCD中，由勾股定理得，22257BC,BD，CD,，,214BDcoscos1cos，ACD,，,，B,,,7BC7143(由(2)得，， cos，1,7CD5cos，1,,又?在Rt?ACD中，， ACAC51470,,AC,? AC72三、合作交流，探索新知1(如图F一4—4，AB?x轴，垂足为B，?BOA,30?，OA=2(则点A的坐标为 ( )3 A((1，) B. ，，3,1C( D. ，，，，,1,3,3,12 2(在?ABC中，?C=90?，如果sinA=，那么cotB的值等于( ) 325553A.B.C.D. 53253(计算((1)sin45?+cos45? (2)sin30??cos60?,sin30 (3)0.5—sin60? (4) ,cos302sinA, 4(在Rt?ABC中，?C=90?，若，则sinB=__________( 24 5(如图F一4—5，AC?BC，cos?ADC=，?B=30?,AD=10，求5BD的长(116(若sinA=，则?A=_______，则若cotA=，则?A=_______( 22更多资料请访问 中学数学网中小学学科网7(Rt?ABC中，?C=90?，?B=60?，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积(8(如图F一4,6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32?和1米) 28?，求路基下底的宽((精确到0(四、归纳总结，提高认识I(综述本节课的主要内容(2(谈谈本节课的收获与体会(五、布置作业，专题突破选用课时作业优化设计(六、课后反思(略)课时作业优化设计 1(计算{(1)sin30?+cos30?一(cot60?一1)+tan37?cot37?( ,,sin30,cos30,(2)cos45?+tan45? ,,tan60,cot452(Rt?ABC中，?C为90?，?A=30，?A、?B、?C所对的边为a、b、c，则a:b:c= ( )1:2:31:2:3A( B.1:3:21:2:3C( D(13(在?ABC中，?c=90?，若AC>BC，则( )A(tanA>tanB B(sinA>sinBC(cotA>cotB D(cosA<cosB 4(在Rt?ABC中，?C=90?，若AC=3，AB=5，则cosB 的值为__________(5.(1)巳知cotx=0.1950，则锐角x?___________((精确到1’)3 (2)已知:cos(a+28)=，则锐角a=__________度( 223 6.菱形的两条对角线长分别为和6，则菱形较小的内角为_________度163 7(Rt?ABC中，?C=90?，AC=8，?A的平分线AD=，求?B的度数以及边BC、3 AB的长(8(如图F一4—7，根据某市气象台预报(该市距台风最近点为P)，一台风中心在该市正西?的OM 方向移动，方向800千米的O处，正迅速向北偏东63如果距台风中心350千米的范围内为受台风影响的区域，问该市是否受到这台风的影响?更多资料请访问 中学数学网中小学学科网。
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第二十五章 解直角三角形 小结与复习(1)
数学目标：1、正确运用勾股定理
2、掌握三角函数定义，正确运用直角三角形边角关系
3、理解实际问题的相关概念
教学过程：
一、复习
知识结构与学习要点；书P.84
二、练习：
（一）.1.Rt △中一直角边为7，三边长都为正整数，则周长为 53
2. Rt △中，斜边上中线为1，周长为72+， 则面积为4
3 3. Rt △中，两边长为2， 4. 则第三边长为,32或52
（二）1.一Rt △被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4：9，则Rt △中最小角的正切
为 3
6， 2. Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=,32,52=b 则=a 4 ，=c 6 ， 3.如图△ABC 中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S △ADC=330，求BD ；
解；S △ADC=330122
1=⨯⨯AE ∴35=AE Rt △AED 中，,11=ED Rt △ABE 中，5=BE
∴16115=+=BD
4.△ABC 中.AD ⊥BC ，M 为BA 中点，∠B=30°，cos ∠ACD=
22，求tan ∠BCM 。
解：设,k MN =则k BN k AM BM 3,2=
==， ∵M 为AB 中点 ∴k DN k AD 3,2==
5.计算或化简： ①
︒-︒︒-︒30cos 60tan 45tan 45sin （ 3326-） ②2cot tan 1tan 22-++-ααα（45°＜α＜90° （1cot tan 2--αα）
E D C B A N M D C
B A
（三）.1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上，从甲处看路灯顶部仰角为 α ，从乙处看路灯顶部仰角 β ，若路灯高h 米，求甲、乙两人相距多少米？
分析：应考虑两种情况：
1） 路灯在线段BC 上，BC=h （βαcot cot +）
2）路灯在线段BC 延长线上，BC=h （βαcot cot -）
2、一登山运动员在山脚C 处仰望山顶B ，仰角 α=45°.他沿坡比为3:1的坡面走了1000m 到达D 处，此时仰角︒=60β，则山高多少米？
略解：Rt △CDF 中500==EA DF 米，3500=CF 米
设x AF DE ==，在Rt △BDE 中，x BE 3=
∵∠BCA=45°，∴AC=AB ∴50033500+=+x x ∴500=x 米
三、课作：
P.85. A 组1——5.
60F E D C B A。