高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学 (1)

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华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

对弧长的曲线积分1、计算C，其中曲线C是y =02x a ≤≤的一段弧()0a >。

解：C 的参数方程为22cos 022cos sin x a y a θπθθθ⎧=≤≤⎨=⎩原式222202cos 4cos 4a a d a ππθθ===⎰⎰2、计算4433L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 星形线33cos ,sin x a t y a t ==在第一象限的弧02t π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭。

解：原式()47766244333200sin cos cos sin 3cos sin 36t ta t t a t tdt a a ππ⎡⎤-=+==⎢⎥⎣⎦⎰ 3、计算xyzds Γ⎰，其中Γ为折线ABC ，这里,,A B C 依次为点()()()0,0,0,1,2,3,1,4,3。

解：AB 段参数方程2013x t y t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，BC 段参数方程122013x y t t z =⎧⎪=+≤≤⎨⎪=⎩原式()11301212ABBCxyzds xyzds dt t dt =+=++⎰⎰⎰⎰11420012618t t ⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎥⎦ 4、计算()22xy ds Γ+⎰，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t t y t t z t ===上相应于t 从0到1的弧。

解：方法一原式11t t ==⎰⎰)(()2111222000111222222t dt t t t dt ⎫'⎡=+=+-+⎣⎰⎰100t =-⎰⎰原式(100111ln 222t ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰122=- 方法二、原式11tt ==⎰⎰)001112222t dt ===⎰⎰⎰2101112u +-=⎰(1101111222u ⎡=+--⎢⎣⎰⎰(10011ln 122u ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(011ln 222=-+⎰原式(1ln 24= 方法三、原式11t t ==⎰⎰因为422234t t '==(22'==(()ln 1t '⎛⎫+=+=所以(11ln 42t t '⎫+=⎪⎭原式((11111ln ln 14222t ⎤==-++⎥⎦5、计算22Lx y ds +⎰，其中22:0L x y ax a +=>解：22cos x y ax r a θ+=⇒=，曲线L 的参数方程为2cos 22sin cos x a y a θππθθθ⎧=-≤≤⎨=⎩原式222202cos 2cos 2a ad a πππθθθ-===⎰⎰6、计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成的扇形的边界。

微积分各章习题及详细答案(供参考)

微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。

2(4 3x)22、 lim2)。

xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。

4、 lim xksin10 建立的 k 为。

xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。

x 0在 x 0处连续，则 b 。

x 0。

8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。

9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。

10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。

xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。

12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。

1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。

x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。

xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。

n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。

2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。

1 x1（Ａ）是比高阶的无量小；（Ｂ）是比低阶的无量小；（ C ）与是同阶无量小；（ D ）~。

3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)

1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1）由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。

(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。

2）由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。

2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。

解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。

解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。

解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。

解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(3)

1、解微分方程：lny xy y x '= 解：ln y y y x x '=，令y u y xu x=⇒=，原方程可化为 ()ln ln 1du du u x u u x u u dx dx+=⇒=- 变量分离两边积分得()()11ln ln 1ln ln 1du dx u x C u u x =⇒-=+-⎰⎰1ln 1ln 1Cx y u Cx Cx y xe x+-=⇒=+⇒= 2、求解初值问题(()()00,10y dx xdy x y -=>=。

解：dy y dx x ==，令y u y xu x =⇒=，原方程可化为du du u xu x dx dx +==变量分离两边积分得(1ln ln dx u x C x =⇒=+⎰⎰ln ln y x C x ⎛ +=+ ⎝ 由()10y =可得0C =，所求函数为y x x =。

3、做适当的变量代换，求下列方程的通解。

1）()2dy x y dx=+ 解：令u x y =+，则有1u y ''=+，原方程可化为21u u '-=关于u 这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得()21arctan arctan 1du dx u x C x y x C u =⇒=+⇒+=++⎰⎰()tan y x C x =+-2）求微分方程15dy y x dx x y -+=++ 解：解方程组： 1050y x x y -+=⎧⎨++=⎩得23x y =-⎧⎨=-⎩作变换： 23X x Y y =+⎧⎨=+⎩，则有 1,,5y x Y X dx dX dy dY x y X Y-+-===+++ 原方程化为：dY Y X dX X Y-=+ 令XY u =，则有 11du u X u dX u -+=+ 变量分离： 2111u du dX u X+=-- 两边积分： 2111u du dX u X +=--⎰⎰ 解得： ()21arctan ln 1ln 2u u X C --+=+ 原方程的通解为： ()()()()2222331arctan ln ln 2222x y y x C x x ++++--=++++ 3）()221x y y '+=解：令2u x y =+，则有12u y ''=+，原方程可化为： 222111222u u u u u+''-=⇒= 这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得2222122u du dx du x C u u ⎛⎫=⇒-=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰u x C =+2x y x C +=+4、求曲线()y y x =，使它正交于圆心在x 轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指交点处两曲线切线相互垂直）。

(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

大一高数微积分下册答案

第六章定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾，所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。

微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

华理高数下答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§9.1微分方程基本概念*1．微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 xx e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由xxe c e c y -+=21， xxe c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 3332321212s i n c o s ，''=----y e x e x x x 3332321212sin cos ，代入方程得''+'+=y y y 0，此外，，1)0(0)0(='=y y故y e x x =-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce xt xx=+⎰2d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明 '=+⋅+⎰y ee t e e Ce xt xx x x22d =++ye x x 2，即 2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y ee t Ce xt x x=+⎰2d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程：（1）31+=Cx y ；解将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ．（2）xC x C y 21+=．解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322xC y =''．从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy ．所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1，法线方程为y Y -=y '-1)(x X -，因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解：分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ，得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211xC y +-=．（2）222y x e yx y -='；解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe x x +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解： 12d 42d +-=-x xe y e yy ， C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-，即 ()()e x C y-+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．分离变量，)1)(1(y x y --='，x x yyd )1(1d -=-，并积分 x x y yd )1(1d -=-⎰⎰得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=2211．解法二（线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C e C x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Cey -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解： y '=21xy -，∴21d d xxy y -=(0≠y )， 21d d xx yy-=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，π6)21(e y -=，∴21arcsin 6Cee =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: 22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， 1)0(=y ， 101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）x e x y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： x e x y y cos cot =+'， ∴x x P c o t )(=，x e x Q cos )(=．∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y xx x x x d e e e d c o t c o s d c o t )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e(csc cos ⎰+=x x C x xx C x csc )e (cos -=，由1)2(=πy ，可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解：方程变形为 2112xx y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx ex x c e y dx x dx x 222)11( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x 22211x xc 1212-+= 由 0)1(=y ，得 21=c ，所以特解为：x xy 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）．解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中yy Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy ey c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x yx()d d =+2，即 d d y x xy x -=-2，分离变量得d d yy x x -=2，积分得y Ce x=+222，在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()．由初始条件0)0(=v ，得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e kmt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ．解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xy y 2='．设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yx y 2-='．这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221． ***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y的通解．解原方程可化为4122=++'y ye x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x eC ez x xx xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=．***10．作适当变换，求微分方程d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解．解：令ux y =2，代入方程整理得 x x u u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 xy u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx xy =2sin ．第9章（之3）（总第46次）教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1) )ln ln 1(d d x y xyx y -+=；解： )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+xy ln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=xdxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =．以 xy u =代入，得所求的通解为cxxe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=．解：方程可化为xy xy y arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 xy u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u x u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Ce yxyx 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解．解: 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2，令 yxu = ，则 u u dy du yu 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴⎰+uu du 1=⎰y dy，c y u ln ln )1ln(212+=+∴， cy u =+∴12，即 2221y c u =+ ，代回即得22yx +1=22y c ， 1)2(=y ， ∴52=c ，因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为11d d -+=-+=xy x yx y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='，代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ，分离变量x x u u u u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111c y b x a c y b x a f y ++++='在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=．并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++s b t a c y b x a sb t ac y b x a 2222211111 1221b a b a ≠ ，∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112b a b a c b c b h b a b a c a c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒x t ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒，令dt du t u dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ，⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dtdu u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t c t u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy xxy x y y ln 1'12-=-∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x， y y '-21+211y x =x 2， 21y u =，x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴ []x C xy +=-2121， ∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为： d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得 u Ce u x =，以u y =2代入上式，原方程通解为 y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x yx -=-2232，令xz -=1，则方程化为：322d d yz y y z =+，则通解 z eC y ey yy y y=+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y+= ，故原方程通解：1122x yC y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ．解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=- ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e xxe C e x e x C e x t xx x x x x x x x，****6．作适当的变换求方程12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得d d z x x x ze x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x exeC ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x e Ce x x +++=++原方程的通解为 sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x+='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得 212yy y '-=-，解得 y Ce x 21=+，由yx ==00，求得 C =-1，故原方程的解为：y e x 21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程．解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212yy xy x '-=- 令y z 2=，解得 z y x C x ==-2()由y ()11=，得 C =2，曲线方程为： x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时，容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+，于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(rghA t t h t t h πα=∆-∆+-，令0→∆t ，得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h gh r At h πα解得200222+=t g rAh πα，代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ， 62.0=α，得10304=t （秒）．第9章（之4）（总第47次）教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是（）（A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122()（D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是（）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解．（1）0='+''y y x ；解： 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程，令 y p '= ⇒ y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒pp d =x x d -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒ 1ln ln ln C x p +-= ⇒xC p 1=， ∴=x y d d x C 1， x x C y d d 1=， ⎰⎰=x xC y d d 1 ，21ln C x C y +=．（2）()1212+''+'=x y xy ；解：''++'=+y x x y x 211122，'=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan ．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ，令 y p '=，则 yppy d d =''，代入方程有 0d d 2=+⋅⋅p ypp y ， 0)d d (=+⋅⇒p ypy p ，因为求通解，所以 p 满足 0d d =+⋅p ypy ．由⎰⎰-=⇒-=y yp p yy p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒， ⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111212C x C y +=⇒． ∴ 通解：212C x C y +=．（4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ，即d d p p yy y =+212，得 p C y =+121()，所以 d d yyC x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章（之5）（总第48次）教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解．所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将 (1)、(2) 两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(2) 式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222xy x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y xy x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解．所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t e e -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t e t e te -'-"0421********=-⨯-+=t t t t e t te t e t e ，()()2222"41t t t e t e te ----'-=-+-⨯--=--241240222222e t e t te t e t t t t ()，故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e ee 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x ==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x 21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为： 1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明 x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章（之6）（总第49次）教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________．解：)4sin 4cos (213x c x c e y x +=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________．解：x x C C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________．解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx +=，则=p ___，=k _____．解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ，通解为：xe x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ，所以特解为：xex y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ；解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c ey x+=-．代入初始条件有： πππe c c ey =⇒=+=-221)0()2(，)5c o s 55s i n 5()5s i n 5c o s (2)2(212212x c x c e x c x c ey x x+-++-='--π，得：πe c -=1．特解为：)5sin 5cos (2x x e y x +-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解： 0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ，所以通解为 x x e c e c y 321--+=．代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x x e e y 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x210100d () 解：将原方程对x 求导得''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为：y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ，故所求问题的解为：xe y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='xxu u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得： )()(x x ϕϕ=''，且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为：x x e C e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ，故所求函数为： x e e x x xch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100，即 010022=-x gdtx d ．又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x gdt x d ，解得方程的通解为：tg tgec ec x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x所以 tg tgeex 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg e e 10101010100-+=，即： 510=t gch， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期．解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xtg g x gx =-+=- ，其中g =980厘米/秒2 其解为：x C g t C g t =+1222cossin ，振动周期为 T g ==≈222490028ππ.．第9章（之7）（总第50次）教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式（）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式（）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解（1）122+=-'-''x y y y ；解：∵ 022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0 不是特征根．设 01b x b y p +=，代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,010-=b b ，特解为：x y -=．（2）xe y y y -=+'+''2．解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y xp -=， 0202b e x b xe y xxp ---='，02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''，代入 xe y y y -=++'2''，解得：210=b ，特解为：xe x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x 32满足条件y y ()()000='=的特解．解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x h e C e C y 221+=，设特解为x p e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ．故方程的通解为xxx e x x eC e C y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为 x xe x x e y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=1222．**5．求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ，特征根：2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 x h e c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ，由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ，所以特解为：x x y p 212-=．所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h 212221-++=+=-．2）对于方程xe y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y xp =，代入方程有：810=b ， xp e y 281=，所以方程的通解为：x xp h e ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为： x b x b y p sin cos 10+=，代入方程有：x b x b y p cos sin '10+-=， x b x b y p sin cos "10--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 1010=+---，得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h sin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x 6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r 123,=，相应齐次方程的通解为x h e x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x p x=+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为 y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(00y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得''=+y y 1其通解为： y C e C exx=+--121 ，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==，故所求曲线方程为：y e e x xx =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m Stmg mg d d sin cos 22=-θμθ 且 S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ 代入初始条件得C v C 1020==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xtkx mg d d 22+=，且 0)0(0)0(='=x x ，．方程的通解为： x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ，代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos ．***10．求下列方程的通解：（1）02)4(=''+'''-y y y；解： 02234=+-λλλ，0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y ．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c e c e c y x x 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dya b dty d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ；（2）x x y y x y x ln 22=+'-''．证明：令 x t ln =， t e x =，dtdy x dx dt dt dy dx dy 1==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111，将y y ''',代入方程有：()()te f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222，得证．（1）令 x t ln =， te x =，原方程化为：0222=--y dt dydty d ．其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xc x c y 221+=．（2）令 x t ln =， te x =，原方程化为：tte y dt dy dty d =+-2222，上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t h sin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()10b t b e y t p +=，代入方程得：0,110==b b ，即：t e y t p =．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系．解： ma B F F =--阻重， a 为加速度， ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===，所以 22dtxd m B dt dx k mg =--，即 m B g dt dx m k dtx d -=+22 ，其特征方程为： 02=+λλmk ，解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c e c x t mkh +=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=，代入方程有：m B g b m k -=0，得 kB mg b -=0．所以微分方程的通解为：t kBmg c e c x t mk-++=-21，因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c m k c c 求得：222221,kgm Bm c k Bm g m c -=-=，所以x 与t 的关系可表示为： t k B m g e k g m Bm x t m k-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程．证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为 f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12 （3） '='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C C C C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos所以原方程的解为： f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝⎫⎭⎪1111．第9章（之8）（总第51次）教学内容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章（之9）（总第52次）教学内容：§9.7 差分方程1. 已知t t e y 3=是二阶差分方程t t t e ay y =+-+11的一个特解，求a ．解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t t y y ；解：tt C y )27(-=(2) 431-=--t t y y ；解：23+=t t C y(3) 051021=-++t y y t t ；解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) t t t y y 2124=-+；解：144-+=t t t t C y (5) t t t t y y 21⋅=-+．解：t t t C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y y t t sin 1=-+；解：t B t B Y t cos sin 21+=(2) t y y t t πcos 31-=++．解：)sin cos (21t B t B t Y t ππ+=4. 设t y 为第t 期国民收入，t C 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知t y ，t C ，I 之间有关系 I C y t t +=，βα+=-1t t y C ，其中10<<α，0>β，试求t y ，t C ．解：t y 满足：βα+=--I y y t t 1，解得 αβα-++=1I C y tt ，从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t．5. 已知差分方程t t t cy y by a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意 ,2,1=t ，有0>t y ；(2) 在变换tt y u 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3) 求方程t t t y y y =++1)21(的满足初始条件20=y 的解．解：（1）归纳法证明．（2）令 t t y u 1=，即t t u y 1=，111++=t t u y ，则原方程化为线性差分方程 b au cu t t =-+1，其一般解为 a c ≠时， ac bcaC u tt -+=)( ； a c =时， b C u t +=．（3）令 tt y u 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ，所以原方程的一般解为 t t u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ，所以特解为 2=t y ．第 10 章（之1）（总第53次）教学内容：§10.1向量及其运算* 1. 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)a b ∧= ．答：65π． ** 2.设向量 a 与 b 不平行，c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为．答：||||b a =．** 3.设直线L 经过点0P 且平行于向量a , 点0P 的径向量为0r ，设P 是直线L 的任意一点，试用向量0r ，a 表示点P 的径向量r ．解：∵a P ||0， ∴a t P=0，而P r r 00+=，∴a t r r+=0∴P 点的径向量为 a t r+0．** 4．设 3,2==b a ，a 与b 的夹角等于π32，求：（1）b a ⋅；（2）)2()23(b a b a +⋅-；（3）b a )(；（4）b a 23-．解：（1）〉〈=⋅b a b a a ,cos b 332cos 32-=⨯⨯=π．（2）()()b a b a223+⋅-b a b a 44322+-=()3634342322-=-⨯+⨯-⨯=．（3）()133-=-=⋅=bb a a b．（4）()()b a b a b a 2323232-⋅-=-b a b a124922-+=()108312342922=-⨯-⨯+⨯=，3610823==-b a．** 5．设5,4==b a ，a 与b 的夹角等于π31，求：（1）b a b a -+)(；（2）b a 25+与b a -的夹角．解：（1）()()b a ba b a--=-⋅2b a b a 222-+=213cos 5425422=⨯⨯-+=π，∴21=-b a，()()()b a b a b a ba ba--+=+⋅-2122b a -=215422-=7213-=．（2）()()b a ba-+⋅25b a b a 32522--=03cos543524522=⨯⨯-⨯-⨯=π，∴向量b a b a-+,25垂直．** 6. 若a ，b 为非零向量，且b a b a -=+，试证b a ⊥．解：b a b a -=+，∴ 22b a b a -=+，∴()()()()b a ba b a ba --=++⋅⋅，∴b a b a b a b a222222-+=++， ∴0=⋅b a ， ∴b a ⊥．***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角．解：如图所示，AC 为直径，B 为圆周上任一点， =→--OA →---OC ， ||→--OB ==→--||OA ||→--OC ，则有 →--AB →--=OB →---OA ，→--CB →--=OB →---OC →--=OB →--+OA ，→--AB →--⋅CB →--=OB (⋅→---)OA →--OB ()→--+OA 0||||22=-=→--→--OA OB ，∴ 半圆的圆周角必为直角．第 10 章（之2）（总第54次）教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数1.填空题*(1) 点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ ．答：（4,5,3-)**(2) 设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231243313----，则 D 点为______ ．答：（5,8,7--）**(3) 已知{}{}a b z =-=-45314,,,,,，且a b a b +=-，则z =______ ．答：8-**2. A,B 两点的坐标分别为)1,3,(),,5,2(--q p ，线段AB 与y 轴相交且被y 轴平分，求qp ,之值及交点坐标．B。

高等数学练习册（1-5章）带答案

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域。

（3）xxy +-=11的反函数。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(1)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、写出下列条件所确定的微分方程：1）曲线在点(),M x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段QM 被y 轴平分。

解：设此曲线方程为()y y x =，由已知Q 点坐标为(),0x -，曲线在点(),M x y 处的法线方程为()1Y y X x y -=--'，其与y 轴交点为0,x y y ⎛⎫+ ⎪'⎝⎭，因此 202y x y yy x y '=+⇒+='2）曲线上任意点(),M x y 处的切线与线段OM 垂直。

解：设此曲线方程为()y y x =，线段OM 的斜率为y x，因此 10y y y y x x ''⋅=-⇒+= 3）曲线上任意点(),M x y 处切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2a 。

解：曲线过点(),M x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-此切线与x 的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭所求微分方程为 212y y x a y ⎛⎫-= ⎪'⎝⎭()2220a xy y y '-+=2、求曲线族12x x xy C e C e -=+（12,C C 为任意常数）所满足的微分方程。

解：方程两边关于x 求导得12x x y xy C e C e -'+=-两边再关于x 求导得122x x y xy C e C e -'''+=+所求微分方程为2y xy xy '''+=3、潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉速度成正比例，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件。

解：设潜水艇下沉所遇阻力为F ，下沉速度为v ，由牛顿第二运动定理有mg F ma mv '-==而由已知F kv =，其中k 为常数，所以mv kv mg '+=因此此问题满足的初值问题为()00mv kv mg v '+=⎧⎪⎨=⎪⎩。

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1、选择题1）对于级数1n n a ∞=∑，"lim 0"n n a →∞=使它收敛的( B )条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 2）“部分和数列{}n S 有界”，是正项级数1nn a∞=∑收敛的（ C ）条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 3）若级数1nn a∞=∑绝对收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ A ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛 4）若级数1nn a∞=∑条件收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ B ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛2、用适当的方法判别下列级数的敛散性 1）()11ln 1n n ∞=+∑解：用比较判别法，和调和级数11n n∞=∑比较因为()11ln 1n n >+，级数()11ln 1n n ∞=+∑发散。

2）n ∞= 解：用比较判别法，因为431n n n →∞==，而级数4131n n ∞=∑收敛，级数1n ∞=3）2n n n ∞=+解：用比较判别法，因为2322lim 12n n n n n→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭级数3121n n∞=∑收敛，由比较判别法极限形式可得12n n n ∞=+收敛。

4）411!n n n ∞=+∑解：用比值判别法，因为()()()4444111!111limlim 01111!n n n n n n n n n →∞→∞+++++=⋅=<+++，级数411!n n n ∞=+∑收敛 5）()112n n n n ∞=++∑解：用比较判别法，因为()121lim lim 112n n n n n n n n →∞→∞+++==+，级数()112n n n n ∞=++∑发散。

6）()11,,0n a b na b∞=>+∑解：用比较判别法，因为11lim lim 1n n na b a b a n n →∞→∞+==+，级数11n na b ∞=+∑发散。

(完整版)高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学(6)

《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）A ．平行于平面π；B ．在平面π上；C ．垂直于平面π；D ．与平面π斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）A ．连续、偏导数存在；B ．连续、偏导数不存在；C ．不连续、偏导数存在；D ．不连续、偏导数不存在.3．设()f x 为连续函数，1()d ()d ttyF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ）A ．2(2)f ；B ．(2)f ；C ．(2)f -D ．0.4．设∑是平面132=++z yx 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分(326)d x y z S ∑++⎰⎰＝（ D ）A ．7；B ．221； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A ．e x a b +；B ．e x ax b +；C ．e x a bx +；D ．e x ax bx +.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan1x yz xy-=+，则d |z ＝24dx dy-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2e d x Ly =⎰ 0 ；4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为π6，则正数=0Z 32； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .三、（本题7分）设由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及xv∂∂与y v ∂∂.解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u uu udx vdu vdvdy vdu vdv⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u uu u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪⎨-⎪=-+=⎪+⎩从而222222,,u x v y v x x x y x x y y x y∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫-=⎨⎬---⎩⎭，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333u AB∂⎧⎫=-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭五、（本题8分）计算累次积分 24112211d e d d e dx xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1:24,2xD D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤ 从而()2242222112112111d e d d e d d e d e e d xxxy y y y yx y x y x y y x y y y y +==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2222211e e2e e e e yy e =-=---=六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.解：先二后一比较方便，111220122zD z I zdz dxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰七．（本题8分）计算32()d x y z S ++∑⎰⎰，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分.解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而223222()d()d ()d 2xy x y z Sz S x y S +++=+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222220(2D x y drr πθπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰(4041115t ππ⎫=+-=+⎪⎪⎝⎭⎰八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y +-⎰，L 是点ππ(,)22A 到点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(>y 上2223222322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Qx y y y y y y y y x∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续，从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y πππππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面221y x z --=上侧.解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d ()d d ()d d x y y z y zz x z x x y ∑+∑∑+++++=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122223211133132D Dx y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=⋅⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2113400011922244d r dr r πππθππ=+=+⋅=⎰⎰ 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t sx =适合042222=∂∂+∂∂sy t y ，求)(x f y =．解：21,y s y f f t t s t∂-∂''=⋅=⋅∂∂222223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ∂∂--∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''==+⋅== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由已知222223222440,0,y y s s f f f t s t t t∂∂-⎛⎫'''''+=⇒+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭即()()()()()()()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '⎡⎤'''''++=+=+=⎣⎦()()1122,arctan 422c c xf x f x c x '==++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦ 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为()()*12cos sin cos2sin 2,k xn n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+⎡⎤⎣⎦**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4a xb x x a b -+=⇒==121cos 2sin 2sin 24y c x c x x x =+++十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。

《微积分》各章习题及详细答案

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

华南理工数学试题及答案

华南理工数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 矩阵A=\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]的行列式是（）。

A. -2B. 2C. 5D. 8答案：A4. 函数y=e^x的反函数是（）。

A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x^2答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数f(x)=x^2-4x+4的值域是（）。

A. [0, +∞)B. (-∞, 0]C. (-∞, 4]D. [4, +∞)答案：A8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)的值是（）。

A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A9. 函数y=ln(x)的定义域是（）。

A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：A10. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数是______。

答案：3x^2-32. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值是______。

答案：03. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是______。

答案：2和44. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x+C5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调递增区间是______。