《高等数学解题技巧》课程教学

《高等数学解题技巧》教学大纲Ver2.0

一、课程名称：高等数学解题技巧

Techniques for solving problems in Advanced Mathematics

二、学时与学分：32学时，2学分

三、考核方式：考试

四、先修课程：《高等数学》或《微积分》

五、适用专业：全校经济、管理类及理工类专业

六、课程教学目标：

面对数学基础较差的学生，介绍高等数学解题的基本思想和方法，提升其解题能力。通过大量的难度不同的高等数学例题，培养学生的“解题本能”，改善部分学生面对高等数学题目时“束手无策”、“毫无想法”、“盲目推导演算”的心理状况，帮助学生初步掌握“目标驱动”与“条件驱动”的数学解题思想和方法。

七、课程说明：

在《高等数学》课程中，学生学到了基本的知识，掌握了相关的公式和定理，也通过课堂上的例题了解了一些基本题目的做法。但高等数学题目浩如烟海，课后作业和各类教学辅导书中有大量的课堂上没有讲过的类型的题目，这对学生尤其是部分数学基础较差的学生会形成较大的压力。在缺乏对数学解题思想和方法的了解时，学生容易遇到解题效率低下，解题成功率低等问题，这将打击学生学习数学的积极性，增加数学学习中的畏难情绪，不利于学生后续数学课程的学习。

本课程尝试解决上面两个问题。一方面，介绍数学解题的基本思想和方法，

通过大量实例，帮助学生掌握“目标驱动”与“条件驱动”的数学解题思想和方法。另一方面，本课程的例题和习题都来自《高等数学》，有针对性地介绍了相关数学题目的思考方法和做法，是对学生课堂学习的一个有益的补充和拓展，对提升学生高等数学解题解题能力有着积极地作用。

八、基本教学内容：

§1 怎样解题（2学时）

介绍数学解题的一般思想和方法；

§2 怎样求极限（2学时）

讨论数列极限与函数极限的求法，重点应用洛必达法则；

§3 连续性及其应用（2学时）

介绍与分段函数的连续性，间断点的分类相关的问题，以及方程实根存在性的证明方法；

§4 导数（2学时）

重点介绍与导数极限定义的应用，复合函数的连锁法则，常用求导方法有关的题目及其解题方法；

§5 中值定理的应用（一）（2学时）

介绍函数单调性的判别，等式和不等式的证明中的数学思想和方法；

§6 中值定理的应用（二）（2学时）

专题讨论介值性结果的证明，拉格朗日中值定理与泰勒中值定理的应用，建立相关的直观易行的解题思路；

§7 极值与最值（2学时）

讨论极值的求法，最值的求法，最值应用问题的解法；

§8 积分的求法（一）（2学时）

介绍求积分的基本思想，换元积分与分部积分的应用；

§9 积分的求法（二）（2学时）

介绍一定可以求出的积分的求法，以及反常积分与含参量积分的应用；

§10 多元复合函数的链式法则（2学时）

强调讨论多元函数时认清变量的重要性，介绍多元复合函数的偏导与高阶偏导的求法；

§11 隐函数求导与条件极值（2学时）

讨论隐函数的求导，拉格朗日函数与条件极值的求法，条件极值的应用；

§12 多元函数的积分（一）（2学时）

专题总结重积分的求法，极坐标系下重积分的计算，重积分的变量替换法；

§13 多元函数的积分（二）（2学时）

介绍曲线积分与曲面积分的求法中对称性的应用；

§14 数项级数的敛散性（2学时）

介绍如何判别数项级数的敛散性，以比较判别法的应用为主；

§15 幂级数的求和（2学时）

介绍如何利用幂级数的性质求幂级数的和函数；

§16 函数的幂级数展开（2学时）

讨论怎样将函数展开成幂级数，间接展开的方法。

九、主要参考书：

［1］同济大学数学系编，《高等数学》（第六版）（上、下），高等教育出版社，2007年（普通高等教育“十一五”规划教材）

［2］钱昌本著，《解题之道—高等数学范例剖析240题》，西安交通大学出版社，2004年

［3］佟绍成等编，《高等数学思维训练与解题方法》，东北大学出版社，2006年［4］吴振奎编著，《高等数学（微积分）复习及试题选讲》（修订版），北京工业大学出版社，2010年