复变函数与积分变换A2012-2013答案-重庆大学

重庆大学《复变函数与积分变换》课程试卷答案

A卷

B卷

2012 ~2013学年 第 1 学期

开课学院： 数学学院 课程号：10001430

考试日期： 2013.1

考试方式：

开卷闭卷 其他 考试时间： 120 分钟

一、单项选择题(每小题2分，共20分)

1．若复数3

x iy +=⎝⎭

，则 【 D 】

A. 0,1x y ==

B. 0,1x y ==-

C. 1,0x y ==

D. 1,0x y =-=

2．连接1i +与1i -的直线段方程为 【 A 】 A. 1(2)01z i i t t =++-≤≤， B. 1(2)z i i t t =++--∞<<+∞， C. 1201z i t t =++≤≤，

D. 12z i t t =++-∞<<+∞，

3．极限0Re lim z z

z →的值为 【 D 】

A. 11i +

B. 11i

- C. 1 D. 不存在

4．设()2

()f z z =，则下列说法正确的是 【 B 】 A. ()f z 仅在(0,0)处连续 B. ()f z 在(0,0)处可导 C. ()f z 在复平面上处处不可导 D. ()f z 至少有一个解析点

5．2cos(5)i π+的值为 【 B 】 A. 5

5

e e -+ B. 5

5

e e --- C. 5

5

e e -- D. 5

5e

e --

6．设23

()(2)f z x i y =+，则(3)f i '+的值为

【 C 】

A. 66i +

B. 66i -

C. 6

D. 6i

7．积分

dz z z

z ⎰

=

+-2

1

12

1

4sin

π

的值为 【 C 】

A.

2 B. 4

C. 2i

D. 4i 8．幂级数

(2)n

n

n n z

+∞

=+∑的收敛半径为 【 B 】

A. 0

B.

1

2

C. 2

D. +∞ 9．拉氏变换[sin 2]t

L e t -等于 【 A 】 A.

22(1)4s ++ B. 22(1)4s -+ C. 2(1)4s s ++ D. 2(1)4

s

s ++

10．设傅氏变换[()]()F f t F ω=，则[()]F tf t 等于 【 D 】 A. ()F ω'- B. ()iF ω'- C. ()F ω' D. ()iF ω'

二、填空题（每小题3分，共30分）

命

题人

：

组

题

人

：

审

题人：

命

题时间：

教务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

1．22i +的指数表达式为

2．方程3

80

z +=的所有复数根为 1．

3．函数()(3)f z Ln z =-在复平面上除去实轴上一区间(],3-∞外是解析的．

4.221

22z

z z e dz z z ==++⎰ 0 ．

5．1

21()3

z i f z e z -

=

-在0z =处展成泰劳级数的收敛半径R = 2 ． 6．如果0z 为()f z 的本性奇点，则()f z 在0z 的去心邻域内的罗朗级数含0z z -的 无穷多 个负幂项． 7．2z =-是

()

33

2

8

4z z

+-的 2 阶极点．

8．留数21Res ,11z z ⎡⎤

+⎛⎫=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦

4 ．

9．

()sin 3t tdt π

δ+∞

-∞

-=⎰

10．设()f t 的拉氏变换21[()]1L f t s =

+，则()f t '的拉氏变换[()]L f t '=2

1

s

s +． 三、计算题 (每小题7分, 共21分)

1．设ζζζζζd z z f ⎰

=

-++=

3

21

73)(，求

(1)f i '+．

解：由柯西积分公式得，当z < 2

()2(371)

z

f z i ζπζζ==++

22(371)i z z π=++，

故()2(67)f z

i z π'=+，而1i +在圆盘z <内．从而 [](1)26(1)7f i i i π'+=++

1226i ππ=-+．

2．利用留数计算积分dx x x x ⎰+∞

∞-++2

522

42

. 解： 取)

12)(2(252)(222

242++=

++=z z z z z z z R , 则()R z 在上半平面的有限奇点为i z 21=

和i z 2

2

2=

，于是 ],)([Re 22522

1242

k k z z R s i dx x x x ∑⎰=+∞

∞

-=++π ()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=→→)(lim )(lim 22121z R z z z R z z i z z z z π

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

++

+++=→→)2)((2lim )12)(2(lim 2222

222222z i z z z i z z i i z i z π ππ6

2)12262(2=+-

=i i i 3. 利用拉氏变换求解初值问题：⎪⎩

⎪

⎨⎧='==-'+''==-103200t t t

y y e y y y

解：设拉氏变换)()]([s Y t y L =，对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得

1

1

)(3)(21)(2+=

-+-s s Y s sY s Y s