复合函数和初等函数

2
t,
t 1 x .
* 例6
(1) y ln ln ln(1 x)
3 2
(2) y ln ln ln (1 x)
2 3
解： （1）原函数由
y u , u ln v, v w , w ln z, z ln t , t 1 x 复合而成
3
2
（2）原函数由 y ln u,
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsin u , u 2 x
2
不能复合。 复合后的函 数要有意义
4、注意复合次序：
f ( x ) sin x , g ( x ) x 2 ，
2 则 f [ g( x )] sin x 2 ， 而 g[ f ( x )] sin x 。
作业：习题1.1： 7 （ 1 ） ~（ 5 ）
预习：数列的极限
10．函数 y ln(arccos x ) 是由简单函数_____________
2
y _________________________ ln u, u arccos v, v x 复合而成的；
2
1 11．函数 y sin 是由简单函数______________ 2 x 1 2 y u , u sin v, v 2 ______________________________ 复合而成的. x
8．设 f ( x) ln x, g ( x) e
2 x 1
2x 1 ； , 则f [ g ( x)] _______
9．函数 y a
u
2 x
是由简单函数___________________
y a ,u 2 x ____________________________ 复合而成的；
(ai , b j 为常数 , i 0 ， 1， 2， ，n ；j 0 ， 1， 2， ，n)
都是初等函数．
1.1.5 分段函数
定义 1.8
若函数 y f ( x) 在它的定义域内
的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称 它为分段函数．
如
x, x 0 y | x | x , x 0 0 x 4, 5, y 5 1.3( x 4), 4 x 10, 12.8 1.9( x 10), x 10.
22
复合而成的
（4） y lg(1 1 x ) 是由
2
y lg u, u 1 v, v z , z 1 x
复合而成的
2
1
例4
ye
sin 2 x
u
：
1 ye ， u 2 , v sin x . v
例5
y
y
3
x 1 x ：
2
3
u , u x w, w
（3 ）
y
4
yx
2
2
1
y 1 x
-2
Ｏ
3
x
分段函数是初等函数吗？ 思考：
1 x0 符号函数 y sgn x 0 x 0 不是初等函数； 1 x 0
x 而 y | x | 0 x x0 x0
2 y | x | x . x 0 是初等函数， 因为
注意: (1) 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函 数，不能理解为几个函数;
(2) 它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;
(3) 求分段函数的函数值 f ( x0 ) 时， 要根据 x0 所在的 范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.
x 2 , 2 x 0; 例 7 设函数 f ( x ) 2, x 0; 1 x,0 x 3.
2
12．函数 y
x 1 x
2
是由简单函数________________
x 2 y ,u v, v 1 x u __________________________________ 复合而成的；
13．函数 y ln( x
x 2 1) 是由简单函数________
2
y ln u, u x v, v w , w x 1 复合而成的 ___________________________பைடு நூலகம்_______
2. 初等函数 – 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运 算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初 等函数. – 本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数. 3. 分段函数 – 分段函数是其定义域内的一个函数. – 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可 以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数 ．
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果 分段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
课堂练习
（
D ）1．下列函数为复合函数的是
1 x Ａ． y ( 2 )
3 2 y x 2 x 1 Ｃ．
Ｂ． Ｄ．
yx
1 e 2
y 1 sin x
（
D ）2．下列函数为复合函数的是
Ａ．
课后小结 1. 复合函数
（1）复合函数的特征是函数“套”函数。复合只是一种 形式，不是函数的新类型。 （2） 不是任何函数都可以复合成一个函数。 复合后的函 数要有意义。 （ 3 ）可以把 y f [ ( x)] 中的 y f (u ) 称为外层，
u ( x) 称为内层。
（4）分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层均 为简单函数为止。
yx
5 1
Ｂ． Ｄ．
y cos x 4
5 x y( ) Ｃ． e
y
x 1
5
2 ( x ) x 1 ， （ A ）3.设 f ( x) sin x ，且
2
则 f [ ( x)] Ａ． y sin(x 1)
2
2 y sin( x 1) Ｃ．
2
Ｂ． y sin ( x 1)
（1）求函数的定义域； （2）求 f ( 2), f ( 1), f (0), f (1) ； （3）作出函数的图象．
解：(1) 函数的定义域是 [2,3] ．
(2)由于 2 [2,0) ， f ( x) x 2 ， 故 f (2) ( 2) 2 4 ； 同理 f (1) (1) 2 1； f (0) 2 ； f (1) 1 1 2 ．
2 2
Ｄ． y sin x 1
2 2
（ B ）4.下列函数不是初等函数的为
x 1 Ａ． y x 1
2
x 1 x 1 Ｂ． y x 1 x 1
1 x x 1 Ｃ． y x 1 x 1
Ｄ． y arccos( x 2)
2
E. y x 3
2
2
y ln(1 sin x ) ， 等等。
多项式函数：
f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
(ai为常数 ， i0 ， 1， 2 ，， ... n)
有理函数：
an x n an 1 x n 1 a1 x a0 f ( x) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0
1 5．设函数 f ( x) tan x, g ( x) 2 , 则f [ g ( x)] x
1 tan 2 x _______.
u
6．设 y 3 , u v , v tan x ，则复合函数
2
tan 2 x y f ( x) _________；
3
9 x 14 ； 7．设函数 f ( x) 3x 5, 则f [ f ( x) 2] ________
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [ ( x)] 中的 y f (u) 称为外层， u ( x) 称为内层。
例如：
y arcsin x 2 可看作由 y arcsinu 和
2
u x
复合而成。
2 为内层。 u x y arcsin u 为外层， 其中，
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以 有多个。
例1 设 y u 2 , u ln v, v cos x 2 , 则这三个 函数的复合为
2 ln (cos x 2) y ln v
2
例2 函数 y
lg(sin x ) 可看成函数
2
2
y u , u lg v , v sinw , w x
y cot x
y tan x
y sec x
6、反三角函数
y csc x
y arcsin x
y arccosx
y arctan x
y arc cot x
1.复合函数
定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u ) ， u 又是 x 的函
数 u ( x) ， 如 果 函 数 u ( x) 的 值 域 包 含 在 函 数 则通过变量 u ，y 也是 x 的函数． 我 y f (u) 的定义域内， 们称这样的函数 y 为 y f (u ) 和 u ( x) 的复合函数， 记作 y f [ ( x)] ，其中 u 称为中间变量．
的复合。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数 （基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例3 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(3) y cos (3x 9)
2
(2) y e
1 x 2
(4) y lg(1 1 x 2 )
u v , v ln w, 3 w z , z ln t , t 1 x 复合而成
2
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算 或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数. 本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
2 x y ln x e 例如， y 1 x ， y sin x ，
1.1.4 复合函数、初等函数
课前复习
基本初等函数
1、常数函数
y C (C是常数)
2、幂函数 3、指数函数
4、对数函数
y xa
ya
x
(a是常数, a 0)
(a 0, a 1)
y log a x (a 0, a 1)
5、三角函数
y sin x
y cos x
解： （1）函数 y sin
x 是由
复合而成的
y sin u, u x
（2）函数 y e
u
1 x 2
是由
2
y e , u v , v 1 x
2 y cos (3x 9) 是由 （3）
复合而成的
u cos cosv v, v 3x 9 yyuu , , u