随机过程的模拟与数字特征

实验二随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。

2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。

二、实验原理
1. 正态分布白噪声序列的产生
MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列
的函数为randn。

函数：randn
用法：x = randn(m,n)
功能：产生 m Xn的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从 N ( ,「)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

如果X ~ N(0,1)，则—■- N (,)。

2. 相关函数估计
MATLAB提供了函数 xcorr用于自相关函数的估计。

函数：xcorr
用法：c= xcorr (x,y)
c= xcorr (x)
c= xcorr (x,y ,'opiti on') c= xcorr (x, ,'opiti on')
功能：xcorr(x,y)计算X (n )与Y (n)的互相关，xcorr(x)计算X (n )的自相关。

option选项可以设定为：
'biased'有偏估计。

'un biased'无偏估计。

'coeff m = 0时的相关函数值归一化为1。

'none'不做归一化处理。

3. 功率谱估计
对于平稳随机序列X (n)，如果它的相关函数满足
(2.1)
那么它的功率谱定义为自相关函数R X (m)的傅里叶变换：
(2.2)
功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。

我们实际所能得到的随机
信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。

功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。

(1 )自相关法
■
先求自相关函数的估计「X (m)，然后对自相关函数做傅里叶变换
N-L
R
fw) = 乂鞋(耐占皿
x
(2.3)
其中N表示用于估计样本序列的样本个数。

(2 )周期图法
先对样本序列x(n)做傅里叶变换
(2.4)
其中0 n| N-1，则功率谱估计为
s(u>) =
A
(2.5)
MATLAB函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。

函数：periodogram
用法：[Pxx,w] = periodogram(x)
[Pxx,w] = periodogram(x,wi ndow)
[Pxx,w] = periodogram(x,wi ndow, nft)
[Pxx,f] = periodogram(x,wi ndow, nfft,fs)
periodogram(...)
功能：实现周期图法的功率谱估计。

其中：
Pxx为输出的功率谱估计值；
f为频率向量；
w为归一化的频率向量；
window代表窗函数，这种用法种对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表 2.1列出了产生常用窗函数的 MATLAB函数
矩形窗boxcar BlackDLan 窗blackinan
三角窗triang Chebyshev 窗chebft'in
[tanning 窗hann Bartlett 窗bartlett
Ehming 窗hamming Kaiser 窗kaiser nfft设定FFT算法的长度;
fs表示米样频率;
如果不指定输出参数(最后一种用法) ，则直接会出功率谱估计的波形。

三、实验内容
1.按如下模型产生一组随机序列
x(n)=0.8x(n-1)晋|囲(n)
其中黴(n)是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。

估计过程的自相关函数和功率谱。

(1 )实验程序
m.文件如下:
#输入变量p表示x(n)里n的数值# fun ctio n f=fun c1(p) w=randn(1,p)*2+1;
#或 f=normrnd(1,2,1000,1)#
x=zeros(1,p);
for n = 2:1:p
x(n)=0.8*x(n-1)+ w(n); end figure(1) plot(x); c=xcorr(x);
plot(c);
figure(2);
title(' 'x(n) 的自相关函数 ');
figure(3);
periodogram(x);
title('x(n) 的功率谱 ');
end
（2）实验过程及结果：
在 command 命令栏里输入：
fun
c1(5000)
得到三个图的结果:
X 何的自相关函数
50 【
O D
-d l E e t r t *p p 」、
8p ) A o u a D 4 5 3 5
2 a 2
□
Q
o n
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
磁门)的功率谱
o
40
0.2 0.3 04 0.5 0.S 0.7 0.8 0.9 1
Narmalized Frequency (心 rad/sample)
40
30
20 o
o 1 20
30
1—
2.设信号为
x(n)=引"(2两皿)十 Z 工n) -F 细(n) n=0,1 , I , N-1
其中fi =0 .05 , f2 =0 .12为正态分布白噪声序列，试在N =256和N= 1024点时，分别产生随机序列x(n),画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。

(1)实验程序:
写出m.文件
#输入变量p表示x(n)里n的数值# function f=fun c2(p)
f1 = 0.05;
f2 = 0.12;
w=ra ndn (1,p);
x = zeros(1,p);
for n=0:1:p-1
x(n+1) = sin (2*pi*f1* n) + 2*cos(2*pi*f2* n) + w(n+1);
end
figure(1);
plot(x);
title(' N=p 时x(n)的波形');
c = xcorr (x);
figure(2);
subplot(1,2,1);
plot(c);
title(' N=p时x(n)的相关函数'); subplot(1,2,2);
periodogram(x);
end
(2)实验过程及结果
在 command 命令栏里输入：
Func2(256)
得到三个图的结果：
M=256吋爛）的波形
50
200 250
z ：
nn
5Q 100
3 2
1000
2256时K （n ）的相关函数
8Q0
6QD
0.5 1
Normalized Frequency (xu rad/sample)
Periodogram Power Spectral Density Estimate
20
20
l
30
-
400
200
-200 ■400
200 400 EOO
〔
2C J E n 5s *P B
」
*g p ) A u ua nh (L
n -
ra
o
-40
在comma nd 命令栏里输入:。