Lecture 3 运算器-浮点数的表示

主要内容



浮点数的表示格式 规格化 IEEE754
规格化
同一个浮点数表示不唯一，如：
1.11 × 20, 0.111 × 21
|x|>=0.5
①原码规格化后的尾数 正数为 0.1×…×的形式
负数为 1.1×…×的形式
②补码规格化后的尾数 正数为 0.1×…×的形式 负数为 1.0×…×的形式
浮点数在计算机中的表示格式如下：
MS E 数符 阶码 定点整数移码表示
或
M 尾数值 定点小数补码表示
ES E MS M 阶符 阶码 数符 尾数值 定点整数补码表示 定点小数补码表示
浮点数的表示格式
E 阶码 Es Ek-1 … E1E0 Ms Mn-1
阶 符 阶码的 数值部分 数 符 小数点位置
M 尾数
问题



写出+0.125, -0.125的补码和移码表示。为什么用补码，移 码？ 如何表示即有整数又有小数的数值数据，如12.25？ 12.25用浮点数怎么表示？ 为什么要对浮点数进行规格化？
引入

定点表示法的特点 定点数表示数的范围受字长限制，表示数的范围有 限; 定点表示的精度有限； 机器中，常用定点数表示纯整数和纯小数，表示即 有整数又有小数时比较麻烦。
浮点形式 定点机中
x = – (0.1110100000) × 2110 浮点机中
[x]原 = 1, 0000000 00111010 [阶]原 = 0, 0110 [阶]补= 0, 0110 存放在存 [x]补 = 1, 1111111 11000110 [阶]移= 1, 0110 [x]反 = 1, 1111111 11000101 [尾]原 = 1.1110100000 储器中形 式为 [尾]补 = 1.0001100000 B460H [x]阶移、尾补 = 1, 0110; 1. 0001100000
S符号位
阶码
即，如果要表示一个数，需要把该数写成： (-1)s × 1.M × 2(x)真值 而规格化浮点数形式是： (-1)s × 0.1M ×2(128+x)移码 = (-1)s × 1.M × 2(127+x)移码
e=127+x
相当于此时移码 的计算不是加 128，而是加 127
单精度数所表示的数值为 (-1)s × 1.M × 2e－127。 双精度数所表示的数值为 (-1)s × 1.M × 2e－1023。 其中： s=0表示正数，s=1表示负数；
…
M1 M0
尾数的数值部分
Ms n k Es 和 k
代表浮点数的符号 其位数反映浮点数的精度 其位数反映浮点数的表示范围 共同表示小数点的实际位置
例 将 –58 表示成二进制定点数和浮点数，并写出它 在16位定点机中的三种机器数和浮点机中阶码为移码、 尾数为补码的形式（尾数10位，尾符1位，阶码含阶符 5位）。 x = – 111010 解： 二进制形式 定点表示 x = – 0000 111010


②－5转换成二进制值为：－101
在IEEE754中规格化表示为1.01×22， e＝127＋2＝129， IEEE754编码为：1 10000001 01000000000000000000000
IEEE754标准浮点数表示
例 将十进制数9和5/32转换为IEEE754标准的单精度数, 并用8位十六进 制表示
=(-1)0×2124-127 ×1.01
二进制代码为： 0 01111100 01000000000000000000000 即：3E200000H
IEEE754标准浮点数表示

例
将IEEE754单精度数(8位十六进制表示)转换为十进制数

(1) C0A00000H
C0A00000H
(2)3F880000H
www.cs.berkeley.edu/~wkahan/ ieee754status/754story.html
Prof. William Kahan
IEEE754标准浮点数表示

单精度格式: 32位, 符号位1位，阶码 E=8位, 尾数 M=23位
1 E 8 M 尾数 23
S符号位
阶码 32位单精度形式
直到80年代初，各个机器内部的浮点数表示格式还没有统一 因而相互不兼容，机器之间传送数据时，带来麻烦 1970年代后期, IEEE成立委员会着手制定浮点数标准 1985年完成浮点数标准IEEE754的制定 现在所有计算机都采用IEEE754来表示浮点数 This standard was primarily the work of one person, UC Berkeley math professor William Kahan.

解答(1)
9= (-1)0×1001=(-1)0×23 ×1.001 =(-1)0×2130-127 ×1.001
二进制代码为：
0 10000010
00100000000000000000000
即：41100000H

解答(2)
5/32= (-1)0×0101×2-5
=(-1)0×2-5×22×1.01

注意：这里规格化尾数的最大负数的补码是1.01…1的形式，而 不是1.11…1的形式，是因为 1.11…1不是规格化数，

所以规格化尾数的最大负数应是 ：－0.10…01 ，(－ 0.10…1)补 =1.01…1 即： －(2－(n－1)＋2－1 )
表示范围
③规格化浮点数表示范围如下： 最小负数 最大负数 0 二进制补码 2011111×1.0…0 2100000×1.01…1 2100000×0.10…0 阶码用移码 2111111×1.0…0 2000000×1.01…1 2000000×0.10…0 － － － － － 十进制真值 －231×1 －2 32×(2 9＋2 1 ) 2 32×2 1 2011111×0.1…1 2111111×0.1…1 － 231×(1－2 9) 最小正数 最大正数
阶码用移码表示为： 0100 101101
表示范围
例 设浮点数的的阶码6位(含符号位)，尾数为10位(含符 号位)，阶码和尾数都用补码表示，求其表示范围（规 格化）。
【例题分析】 ① 阶码范围： 最小负数 二进制补码100000 5 十进制真值 －2 =－32
最大负数 0 111111 －1
最小正数 000001 ＋1

双精度格式: 64位,符号位1位， E=11位, M=52位
1 E 11 M 尾数 52
S符号位
阶码
64位双精度形式
IEEE754标准浮点数表示

阶码用移码、尾数用原码，因为规格化原码尾数的最高为恒为1，为增加一 位的精度，该1在尾数中不表示出来，计算时在尾数前面自动加1. 1 8 23 E 1.M （ 原 码 规 格 化 ） 尾数 32位单精度形式

解答(1)
1 10000001 01000000000000000000000 (-1)1×(1.25)×2129-127=-1×1.25×22 =-1.25×4=-5.0

解答(2) 3F880000H
0 01111111 00010000000000000000000 (-1)0×(1.0625)×2127-127=1×1.0625×20 =1.0625×1=1.0625
IEEE754的表示范围(单精度)
最大正数 最小正数
数符 阶码 0 11111110 0 00000001 尾数 11…11 00…00 真值 (2-2-23) ×2127 1 ×2-126
绝对值最大 1 的负数(最 小负数) 绝对值最小 1 的负数(最 大负数)
11111110
11..11
-(2-2-23) ×2127
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反码
规格化
补码
IEEE754
移码
主要内容



浮点数的表示格式 规格化 IEEE754
浮点数的表示格式
对任意一个二进制数N，总可以写成： N= 2E×M ，式中： E为数N的阶码，M为数N的尾数； 可见浮点数是由阶码和尾数两个部分组成的。
解： ∵
214 = 16384
215 = 32768
∴ 15 位二进制数可反映 ±3 万之间的十进制数 215 × 0.××× … ××× k = 4， 5， 6， …
满足 最大精度 可取 k = 4，n = 18
?位
主要内容



浮点数的表示格式 规格化 IEEE754
“Father” of the IEEE 754 standard
浮点数的表示范围：－231×1 ～ 231×(1－2－9)
1 2
25 1
~ (1 2 ) 2
9
25 1
表示范围
根据以上分析若某机字长为k＋n，其中阶码k位(含一位符号位)，
尾数n位(含一位符号位)；
设 a＝2(k－1)－1 b＝－2(k－1) （阶码的最大值） （阶码的最小值）
则规格化数所能表示的范围为： 最大正数：(1－2－(n－1))×2a
IEEE754标准浮点数表示

例 写出下列十进制数据的IEEE754编码 ① 0.15625 ②－5
解：① 0.15625转换成二进制值为0.00101，

在IEEE754中规格化表示为1.01×2－3， e＝127－3＝124，
IEEE754编码为：0 01111100 01000000000000000000000
最大正数 011111 5 2 －1=31
表示范围
最小正数 0 0.100000000 －1 2 最大正数 0.111111111 －9 1－2
② 规格化尾数表示范围如下： 最小负数 最大负数
二进制补码 1.000000000 1.011111111 －9 －1 十进制真值 －1 －(2 ＋2 )
00000001
00..00
-1 ×2-126
小结



理解规格化的意义、IEEE754表示中隐含隐含尾数最高拉 的意义； 给定一个真值，能用规格化浮点数表示该值(含IEEE754表 示)； 给定一个浮点数表示的机器数(含IEEE754表示)，能计算 其真值。
浮点数精度问题

1994年11月间各报纸有关Pentium处理器浮点瑕疵问题的 报告。Pentium芯片中浮点除法存在的问题甚至上了电视 节目David Leeterman Late Show的十大新闻排行榜。为 了换回所有问题芯片，Intel一共为此损失了3亿美元的资 金。
例
将下列十进制数表示成浮点规格化数，阶码 4 位 ( 含符
号)，分别用补码和移码表示；尾数 6位(含符号)，用补码 表示（要求规格化）。 ① 19/512 ② －19/512
解： ① 19/512=10011×2－9=0.10011×2－4 阶码用补码表示为： 1100 010011
阶码用移码表示为： 0100 010011 ② －19/512=－10011×2－9=－0.10011×2－4 阶码用补码表示为： 1100 101101
阶码采用移码不影 响表示范围，但机 器数与补码表示时 不同
最小正数：2－1×2b
最大负数：－(2－(n－1)＋2－1)×2b （绝对值最小的负数） 最小负数：－1×2a （绝对值最大的负数）
浮点数的阶码决定了浮点数的表示范围；浮点数的尾数决 定了浮点数的表示精度。
练习
设机器数字长为 24 位，欲表示±3万的十进制数， 试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各 取1 位外，阶码、尾数各取几位？
IEEE754标准浮点数表示

几个特殊数值：

当E的二进制位全为1时为特殊数值：此时，


若M的二进制位全为0，则n表示无穷大。若S为1则为负 无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)， 表示这不是一个合法实数。


E为全0时：M全为0时，表示机器0；M不全为0时， 表示非规格化的数。 单精度数e的取值为1～254（8位表示），M为23位， 共32位；双精度数e的取值为1～2046（11位表示）， M为52位，共64位。
浮点数的溢出
作业3
3-1. 将下列十进制数表示成浮点规格化数，阶码4位（含符 号），分别用补码和移码表示；尾数6位（含符号），用 补码表示。 （1）19/512 (2) -19/512 3-2. 浮点数阶码4位(含阶符)，尾数9位(含数符)，均用补码表 示，求规格化和非规格化时数值范围。 3-3.设浮点数的格式为：第15位为符号位，第14位到第8位为 阶码，采用补码表示；第7位到第0位为尾数，与符号位一 起采用规格化的补码表示，基数为2。问：它能表示的正 数和负数的数值范围是什么？