二次函数的概念及一般式练习题
二次函数知识点总结及典型练习
二次函数知识点总结考点一：定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. a_____________b_____________ c _____________ 练习：当m 取何值时，函数是2m22)x (m y -+=是二次函数？(1)一般式:y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,x=___________,y 最小=___________; 当a<0时,x=___________,y 最大=___________. (2)顶点式: ()k h x a y +=2-,若a>0,当x=___________,y 最小=___________;若a<0,当x=___________,y 最大=___________. 练习：1．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )A.-2B.2C.-1D.1 2．已知抛物线y=x 2－（a ＋2）x ＋12的顶点在x=－3上，求a 的值及顶点的坐标． 3．已知抛物线y=x 2＋（m －1）x －41的顶点的横坐标是2，则m 的值是 _______ ．4、 已知二次函数y=x ²+4x+c 的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c 的值考点三：二次函数图象的平移：将抛物线解析式转化成顶点式，观察顶点的变化 口诀：y=a(x___________)²__________①y=2x ²+3 y=2(x+3)²+5是先向___平移____个单位，再向____平移____个单位②y=2x ²+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到______________________.③y =5(x-6)²+1是___________________先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的。
练习1．抛物线1)2(212-+=x y 可由抛物线221x y =（ ）而得到。
二次函数知识点总结及练习题
二次函数考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 注意： （1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0， 而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式）例1： 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= _______．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．例3：函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=2x1＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x1）（x-x2）（a ≠0）,对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________；对称轴是___________。
沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。
当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。
当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
新人教版初中数学——二次函数-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——二次函数知识点归纳及典型题解析一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例1如果y=（m–2）x2m m-是关于x的二次函数，则m=A．–1 B．2 C．–1或2 D．m不存在【答案】A【解析】依题意²220m mm-=⎧⎨-≠⎩，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a0≠.典例2 下列函数是二次函数的是（ ） A ．y =2x +2 B ．y =﹣2x C ．y =x 2+2 D ．y =x ﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可． A 、y =2x +2，是一次函数，故此选项错误； B 、y =﹣2x ，是正比例函数，故此选项错误； C 、y =x 2+2是二次函数，故此选项正确； D 、y =x ﹣2，是一次函数，故此选项错误． 故选C ．1．二次函数223y x =-+（）的图像的顶点坐标是A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）2．将一元二次方程2316x x +=化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为 A ．3，–6 B ．3，6C ．3，1D ．2 3x ，6x -考向二 二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3 函数y =ax 2+bx +a +b （a ≠0）的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，1）在y轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a>0 B．b<0C．ac<0 D．bc<03．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是A．B．C．D．4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是A．a<0 B．c>0C．a+b+c>0 D．b2–4ac<0考向三二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例5由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=4C．其顶点坐标为（4，2）D．当x>3时，y随x的增大而增大【答案】B 【解析】23(4)2y x =--，∴a =3>0，抛物线开口向上，故A 不正确；对称轴为4x =，故B 正确； 顶点坐标为（4，–2），故C 不正确；当4x >时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确； 故选B ．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+中，顶点坐标为(,)h k ，对称轴x h =．a 决定了开口方向.典例6 在函数2(1)3y x =-+中，当y 随x 的增大而减小时，则x 的取值范围是A ．1x ≥B ．0x >C ．3x <D ．1x ≤【答案】D【解析】二次函数2(1)3y x =-+的对称轴为直线1x =， ∵0a >，∴1x ≤时，y 随x 的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小6．关于下列说法：（1）反比例函数13y mx =，在每个象限内y 随x 的增大而减小；（2）函数13y x =-，y 随x 的增大减小；（3）函数213y x =-，当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．若二次函数2y a x bx c =++的图象经过A （m ，n ）、B （0，y 1）、C （3–m ，n ）、D ，y 2）、E （2，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．231y y y ＜＜ B ．132y y y ＜＜ C ．321y y y ＜＜D ．123y y y ＜＜考向四二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a （x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典例7如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2A．y=（x2B．y=（x+2）2+2C．y=（x–2D．y=（x–2）2+2【答案】D9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1考向五二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定. 1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的A．–0.03<x<–0.01 B．–0.01<x<0.02C．6.18<x<6.19 D．6.17<x<6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18<x<6.19，故选C．典例10如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是A．–1<x<5 B．x>5C．x<–1 D．x<–1或x>511．抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．考向六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典例11飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣3 2t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是s．A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y=600﹣150=450时，即60t﹣32t2=450，解得：t=10，t=30（不合题意舍去），∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10，故选A．【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程.典例12如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此变换进行下去，若点P（17，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为A．2 B．﹣2C．﹣3 D．3【答案】D【解析】∵y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1=4，∵OA1=A1A2=A2A3=A3A4......，∴OA1=A1A2=A2A3=A3A4 (4)∵点P（17，m）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点P（17，m）在C5上，∴x=17和x=1时的函数值相等，∴m=﹣1×（1﹣4）=﹣1×（﹣3）=3，故选D．【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.12．如图所示的是跳水运动员10m跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m高A处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M离墙1m，离水面403m，则运动员落水点B离墙的距离OB是A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．求：（1）铅球在行进中的最大高度； （2）该男生将铅球推出的距离是多少m ？考向七 存在性问题与动点问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．典例13 综合与探究： 已知二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于,A B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点 A B C ，，的坐标； （2）求证：ABC 为直角三角形；（3）如图，动点 E F ，同时从点A 出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒姨5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点F 停止运动时，点E 随之停止运动．设运动时间为t 秒，连结EF ，将AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到DEF ．当点F 在AC 上时，是否存在某一时刻t ，使得DCO BCO ≌？（点D 不与点B 重合）若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4,01,00,2A B C （）,（－）,（）；（2）证明见解析；（3）存在；3t 4=【解析】（1）当0y =时，2132022x x -++= 解得：121,4x x ==∴点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()1,0-当0x =时，2y =∴点C 的坐标为()0,224,01,00,2A B C （）（）,（－）,（）,41 2.OA OB OC ∴===，，5AB AC BC ∴=====，=22225AC BC AB ∴+==ABC ∴为直角三角形()3由()2可知ABC 为直角三角形.且90ACB ∠=︒2AE t AF t ==，，AF AB AE AC ∴==又EAF CAB ∠=∠，AEF ACB ∴∽，90.AEF ACB ∴∠=∠=︒AEF ∴沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处，由翻折知，DE AE =，24AD AE t ∴==， 当DCO BCO ≌时，BO OD =， 441OD t BO =-=，，441t ∴-=，解得：t =34，即：当t =34秒时，.DCO BCO ≌【名师点睛】本题考查二次函数解析式与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，综合性较强，掌握相关知识并灵活应用是本题的解题关键.14．抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ，C 点的坐标为（0，﹣2），连接BC ，以BC 为边，点O 为对称中心作菱形BDE C ．点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，交BD 于点M .（1）求抛物线的解析式.（2）x 轴上是否存在一点P ，使三角形PBC 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当点P 在线段OB 上运动时，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？请说明理由.1．抛物线2(2)(6)y x x =-+的对称轴是 A ．3x =B ．3x =-C ．2x =D ．2x =-2．将抛物线22y x =向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为 A ．22(4)1y x =+-B ．22(4)1y x =++C ．22(4)1y x =-+D ．22(4)1y x =--3．若b <0，则二次函数y =x 2+2bx ﹣1的图象的顶点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图是二次函数2 23y x x =--+的图象，使0y ≥成立的x 的取值范围是A ．31x ≤≤－B ．1x ≥C ．31x x <->或D ．31x x ≤-≥或5．直线y =ax +b 和抛物线y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．若函数y =mx 2+2x +1的图像与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值为 A ．m =1B ．m =1或m =2C ．m =0D ．m =1或m =07．如图，边长为2的正ABC ∆的边BC 在直线l 上，两条距离为1的平行直线a 和b 垂直于直线l ，a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记ABC ∆夹在a 和b 间的部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为A ．B ．C ．D ．8．如图，已知抛物线y 1＝﹣x 2+1，直线y 2＝﹣x +1，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 2．若y 1≠y 2，取y 1，y 2中的较小值记为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．例如：当x ＝2时，y 1＝﹣3，y 2＝﹣1，y 1<y 2，此时M ＝﹣3．下列判断中：①当x <0时，M ＝y 1；②当x >0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于1的x 值不存在；④使得M ＝12的值是﹣2或12，其中正确的个数有A ．1B ．2C ．3D ．49．抛物线y =（x –2）（x +3）与y 轴的交点坐标是__________．10．若A （–3.5，y 1）、B （–1，y 2）、C （1，y 3）为二次函数y =–x 2–4x +5的图象上三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________．（用>连接）11．二次函数y =x （x –6）的图象的对称轴是__________．12．已知一个二次函数的图象经过A （1，6）、B （–3，6）、C （0，3）三点，求这个二次函数的解析式，并指出它的开口方向．13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？14．已知二次函数y=–12x2–x+72．（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3）将二次函数y=–12x2的图象如何平移能得到二次函数y=–12x2–x+72的图象，请写出平移方法．15．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-，并且与y 轴交于点()03，C ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于点A (10)-，、B (40)，，与y 轴交于点C ．（1）a =__________；b =__________；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ， ①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．1．抛物线2362y x x =-++的对称轴是 A ．直线2x = B ．直线2x =- C ．直线1x =D ．直线1x =-2．抛物线244y x x =-+-与坐标轴的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．33．已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是A ．y x ＝B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣4．已知反比例函数y =abx的图象如图所示，则二次函数y =ax 2-2x 和一次函数y =bx +a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =--D ．22(2)3y x =+-6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =7．在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是 A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2yx 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到8．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1<1<x 2，则c 的取值范围是 A ．c <-3 B ．c <-2 C ．c <14D ．c <19．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是A ．25 min~50 min ，王阿姨步行的路程为800 mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5 min~20 min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤12．小飞研究二次函数y =–（x –m ）2–m +1（m 为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y =–x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当–1<x <2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③D ．④13．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点．拱高为78米（即最高点O 到AB 的距离为78米），跨径为90米（即AB =90米），以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A ．y =26675x 2B ．y =-26675x 2C ．y =131350x 2D ．y =-131350x 214．二次函数y =-（x -6）2+8的最大值是__________．15．在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y =x -a +1和y =x 2-2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是__________． 16．当03x ≤≤时，直线y a =与抛物线2(1)3y x =--有交点，则a 的取值范围是_________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A （-1，P ），B （3，q ）两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是__________．18．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米．19．已知二次函数2y x x a =++的图象与x 轴交于12(0)(0)A x B x ，、，两点，且2212111x x +=，求a 的值．20．已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点．（1）求c 的取值范围；（2）若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由．21．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；（2）对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x __________时，y 的值随x 的值增大而增大；（3）若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．22．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？23．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）24．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？25．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．26．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．27．随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=12x+12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？28．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．1．【答案】A【解析】∵223y x =-+（），∴二次函数223y x =-+（）的图象的顶点坐标是（2，3），故选A.【名师点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其顶点式一般形式的特点. 2．【答案】A【解析】一元二次方程3x 2+1=6x 化为一般形式是3x 2–6x +1=0，各项的系数分别是：3，–6．故选A【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 相交，D 选项符合．故选D ． 4．【答案】D【解析】根据一次函数的图象可得a >0，b <0．则二次函数开口向上，对称轴在y 轴的右侧． 故选D ． 5．【答案】C【解析】∵由图象知，开口向上，∴a >0，故A 错误；由图象知，与y 轴的交点在负半轴，∴c <0，故B 错误；令x =1，则a +b +c >0，故C 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ= b 2–4ac >0，故D 错误．故选C ． 6．【答案】C【解析】（1）反比例函数113=3m y mx x=，当m >0时，图象在第一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，当m <0时，图象在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大，故（1）的说法错误；（2）函数13y x =-中k =103-＜，y 随x 的增大减小，故（2）的说法正确； （3）函数213y x =-中a =103-＜，函数图象开口向下，对称轴为直线x =0，所以当0x >时，y随x 的增大而减小，故（3）的说法正确.故选C.【名师点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握它们的性质是解决此题的关键. 7．【答案】A【解析】∵经过A （m ，n ）、C （3–m ，n ），∴二次函数的对称轴x =32，∵B （0，y 1）、D ，y 2）、E （2，y 3）与对称轴的距离B 最远，D 最近， ∵|a |>0，∴y 1>y 3>y 2；故选A ．【名师点睛】此题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键． 8．【答案】B【解析】∵抛物线C ：y =x 2+2x –3=（x +1）2–4，∴抛物线对称轴为直线x =–1．∴抛物线与y 轴的交点为A （0，–3）．则与A 点关于直线x =–1对称的点是B （–2，–3）．若将抛物线C 平移到C ′，并且C ，C ′关于直线x =1对称，就是要将B 点平移后以对称轴x =1与A 点对称，则B 点平移后坐标应为（4，–3）．因此将抛物线C 向右平移4个单位长度．故选B ． 9．【答案】B【解析】∵把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y =12（x –1）2–3，故选B ． 10．【答案】A【解析】由图可知，对称轴为直线x =2，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（–1，0），又∵抛物线开口向下，∴不等式ax 2+bx +c >0的解集是–1<x <5．故选A ． 11．【答案】x 1=–1，x 2=3【解析】观察图象可知，抛物线y =2x 2–4x +m 与x 轴的一个交点为（–1，0），对称轴为x =1，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x 2–4x +m =0的解为x 1=–1，x 2=3．故答案为：x 1=–1，x 2=3．。
二次函数全部知识点及典型例题(全)
二次函数一．复习1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.2.函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：二．二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．例1.下列函数一定是二次函数的是__________.①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x 2 例2.若是221(3)2a a y a x --=--二次函数，则a=__________例 3.中的二次项系数=__________,一次项系数=__________,常数项=__________.例4.边长为12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2)与x(cm)之间的函数关系式为_______________．例 6.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）c bx ax y ++=2xy 3-=1342+-=x x y c bx x m y ++-=2)1(2y =(2x -1)-6a b c练习：1.下列函数中是二次函数的有（ ）个.（1）1y x x=+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x =+ A.4 B.3 C.2 D.1 2．当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．3.若267(1)m m y m x-+=-是二次函数，则m 的值是( )．A.5B.1C.1或5D.以上都不对.4.将化成二次函数的一般式是：________________.5.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式___________________.6.（2014秋·温岭市校级月考） 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x 元，求每周的利润y （元）与涨价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(23)(1)3y x x =+--三．二次函数的图像及性质：二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象：二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值. （2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质x y要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：a 2(0)y ax c a =+≠例1．二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例2．已知y=(m+1)x 2m m +是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式例3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．2132y x =-+2y x =-21y x =-+(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________． 练习：1.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D.2.在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下21y x =-+2y x =-21y x =-+21y x =-+25y x =212y x =-2y x =213y x =22y x =22y x =-212y x =C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点3.抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B.直线x=﹣ C ．y 轴 D ． x轴4.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，当x ＞0时，y 随x 的增大而________．5.函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．6.抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．7.已知直线与x 轴交于点A ，抛物线的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；2y x =212y x =23y x=2y ax c =+23y x =1y x =+22y x =-(2)若点B(，)，C(，)在抛物线C 上，且，试比较，的大小．8．（2014春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2 (a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质1x 1y 2x 2y 1212x x -<<1y 2y2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或例1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(222(1)3y x =-+(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．例2.二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．例3．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，抛物线解析式为______________.例4．已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线； （1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象； （3）观察的图象，当________时，y 随x 的增大而增大；当________时，函数y 有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y 的取值范围吗？21(3)42y x =-+212y x=212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+x x y =2()y a x h k =-+x例5．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．练习：1.抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ）A.y=(x －1)2+2 B.y=(x －1)2+ C.y=(x －1)2－3 D.y=(x+2)2－1 3．抛物线y=x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )2(2)3y x =-+-21212121212121A.y=(x+3)2－2 B.y=(x －3)2+2 C.y=(x －3)2－2 D.y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．由二次函数，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线C ．其最小值为1D ．当时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.7. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．21212121122--=x x y 2)1(-=x y 2)1(2--=x y 1)1(2++=x y 2)1(2-+=x y 22(3)1y x =-+3x =-3x <2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+二次函数与之间的相互关系：1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是2(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2()y a x h k =-+2b h a=-244ac b k a -=2y ax bx c =++2bx a=-24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2bx a=-，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++二次函数的图象与性质2(0)=++≠y ax bx c aa<a>02.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系20()y ax bx c a =++≠要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况．例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．例2.把一般式化为顶点式．2(0)y ax bx c a =++≠2b x a =-244ac b y a-=最值2ba-2bx a=-244ac b y a-=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值2bx a=-2142y x x =-+-2286y x x =-+-（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标.例3．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．例4．求二次函数的最小值.例5.已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：； （2）求bc 的最大值．例6. 抛物线与y 轴交于(0，3)点：211322y x x =++21y x bx c =+++24c b =--2(1)y x m x m =-+-+(1)求出m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小练习：1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（ ）．A ．0，5B ．0，1C ．-4，5D ．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为（ ）． A .b=2，c=2 B . b=2，c=0 C . b= -2，c= -1 D . b= -3，c=25.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+223y x x =-+2()y x h k =-+2(1)4y x =++2(1)4y x =-+2(1)2y x =++2(1)2y x =-+2y ax bx c =++0a >0c <240b ac -<0a b c ++>25y x bx =++2(2)y x k =-+2y x bx c =++223y x x =--的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.7.如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴.第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是__________第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是_________8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．例1. 已知抛物线c bx ax y 2++=经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.例2. 形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为 ． 例3. 已知抛物线c bx ax y 2++=的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.例4.已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．练习：1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.2．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x时，y＞0．4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．5．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．。
二次函数专题复习
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在 点坐P标，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3） C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0） x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点， 最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符 号
二次函数知识点总结与典型例题
二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数得概念与图像1、二次函数得概念一般地,如果,那么y叫做x 得二次函数。
叫做二次函数得一般式。
2、二次函数得图像二次函数得图像就是一条关于对称得曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线得主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像得画法---五点法:二、二次函数得解析式二次函数得解析式有三种形式:(1)一般式:(2)顶点式:(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根与存在时,根据二次三项式得分解因式,二次函数可转化为两根式。
如果没有交点,则不能这样表示。
三、抛物线中,得作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中得完全一样、(2)与共同决定抛物线对称轴得位置、由于抛物线得对称轴就是直线,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧、(3)得大小决定抛物线与轴交点得位置、当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴、以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧,则、四、二次函数得性质1、二次函数得性质一元二次方程得解就是其对应得二次函数得图像与x轴得交点坐标。
因此一元二次方程中得,在二次函数中表示图像与x轴就是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。
补充:函数平移规律:左加右减、上加下减六、二次函数得最值如果自变量得取值范围就是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量得取值范围就是,那么,首先要瞧就是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内得增减性,如果在此范围内,y随x得增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x得增大而减小,则当时,,当时,。
典型例题1、已知函数,则使y=k成立得x值恰好有三个,则k得值为( )A.0B.1C.2D.32、如图为抛物线得图像,A、B、C为抛物线与坐标轴得交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确得就是( )A.a＋b=－1B. a－b=－1C. b<2aD. ac<03、二次函数得图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中得大致图象就是( )、4、 如图,已知二次函数得图象经过点(－1,0),(1,－2),当随得增大而增大时,得取值范围就是 .5、 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y 轴得交点旋转180°,所得抛物线得解析式就是( ).A. B.C. D.6、 已知二次函数得图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确得结论就是( )A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤ 7.x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知,下列说法中正确得就是 .(①抛物线与轴得一个交点为(3,0); ②函数得最大值为6;③抛物线得对称轴就是; ④在对称轴左侧,随增大而增大.8、 如图,在平面直角坐标系中,O 就是坐标原点,点A 得坐标就是(－2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 得面积; (2)若抛物线经过点A . ①求c 得值;②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到得抛物线顶点落在△OAB 得内部(不包括△OA B 得边界),求m 得取值范围(直接写出答案即可).9.已知二次函数y =14 x 2+ 32x 得图像如图.(1,-2)-1(1)求它得对称轴与x 轴交点D 得坐标;(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与x 轴、y 轴得交点分别为A 、B 、C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线得解析式;(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断直线CM 与⊙D 得位置关系,并说明理由.10、 如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB ＝10,以AB 为直径得⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC 、CD 就是⊙O′得切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD ＝,抛物线过A ,B ,C 三点、(1)求证:∠CAD ＝∠CAB ; (2)①求抛物线得解析式;②判定抛物线得顶点E 就是否在直线CD 上,并说明理由;(3)在抛物线上就是否存在一点P ,使四边形PBCA 就是直角梯形、若存在,直接写出点P得坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由、11、 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 就是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 就是BC 得中点,A 、B 、D 三点得坐标分别就是A (-1,0),B ( -1,2),D ( 3,0),连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .(1)求抛物线得解析式(2)抛物线上就是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 得坐标;若不存在.请说明理由。
二次函数知识点经典例题及相应练习
二次函数知识点经典型例题及相应练习一、基础知识点：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2ba ；（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x x=－2ba 时，函数有最大值244ac b a -3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线 y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 4.小知识点总结： （1）、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向下，则a ＜0．（2）b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2ba ＜0即2ba ＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－2ba ＞0，即2b a ＜0．则a 、b 异号．简称“左同有异”．（3）c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．（4）△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．（5）a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a －b+c 是抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号.二.题型(一)考查二次函数定义1、下列函数中，不是二次函数的是（ ）A ．y=2x 2＋2xB ．y=－x 2 +x 3 +1C ．y=－x 2 +x3 +1 D ．y=3－x(2－x)2、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 3、当____m =时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数(二)配方1、通过配方把函数y =－12 x 2－2x －1表示为y____________,它的图象的顶点坐标是__________.2、若将二次函数 y=x 2－2x+3配方为y=（x —h ）2＋k 的形式_______________(三)已知解析式确定开口方向.顶点坐标和对称轴及性质 1、函数y=－12（x －2）2+5的顶点坐标为（ ）A ．（2，5）B ．（－2，5）．C ．（2，－5）D ．（－2，5） 2、函数2283y x x =+-的对称轴为（ ）A 、y =－2B 、y =－2C 、x =2D 、x =－23、已知 y ＝（a －3）x 2+2x －l 是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y 轴的交点坐标是________．4、抛物线y=－34 x 2 的开口，在对称轴左边，y 随x 的____________而增大．5、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .6、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .(四)二次函数的最值1、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.2、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.3、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. 4、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；5．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。
二次函数知识点及例题详解最终
二次函数知识点及例题详解最终文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a，b，c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2．⑵a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax的性质：2.y ax c 的性质：上加下减。
3.y a x h的性质：左加右减。
4.y a x h k的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线y ax的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y a x h k与y ax bx c的比较从解析式上看，y a x h k与y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a(x+b2a )24ac− b24a，其中h= -b2a，k4ac− b24a五、二次函数y ax bx c 的性质当a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x2a ,顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x-b2a时，y随x的增大而减小；当x b2a时，y随x的增大而增大；当x= b2a 时，y有最小值4ac− b24a.当时，抛物线开口向下，对称轴为x-b2a , 顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x- b 2a时， y 随 x 的大而增大y;当随 x b 2a时,y 随 x 的增大而减小;当x = b2a时 , y 有最大值4ac − b 24a.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax bx c（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：y a(x h)k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：y a(x x)(x x)（a0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax bx c 0 是二次函数y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当b 4ac 0 时，图象与x 轴交于两点Ax1，0，B x2，0(x1x2) ，其中的x1，x 2是一元二次方程ax bx c 0a 0的两根．②当 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2 ' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{3=a −b +c3=a +b +c 6=4a +2b +c 解得 {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x 2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴4a (−3a )−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x -x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知: 抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0. 对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(). 分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a 的正负左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;)来判别b 的符号抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定2 直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D. 3. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 2=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.2 2 ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n2=m 2+m 2. ∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P 、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 y x 24x 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 y 2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y 2(x 1)2B. y 2(x 1)2C. y 2x2 1D. y 2x2 13.函数y kx2 k 和y k(k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当x1和x 3时,函数值相等;③4a b 0 ④当y 2时, x 的值只能取 0.其中正确的个数是( )个个 C. 3 个个5.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1和x2（）Ａ．已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x2=2x的正根的个数为（）个个个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2 x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ，则b 。
二次函数知识点总结及练习
二次函数知识点总结及练习知识点1：二次函数的概念（1）一般地，形如 （a,b,c 是常数， ）的函数，叫做二次函数。
注意：①a ②最高次数为 ③代数式一定是 （2）二次函数的一般形式是 （a,b,c 是常数， ） 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．练习：1.已知函数35)1(12-+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。
2.若函数y=(m 2+2m-7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
知识点2：二次函数的图像和性质（1）y=ax 2的图像和性质：练习：1. y=-2x 2的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当 时，y 的值随x 值的增大而减小 2.当m= 时，抛物线mm x m y +-=2)1(开口向下，对称轴为 ，当x<0时，y 随x 的增大而 ；当x>0时，y 随x 的增大而 ．3.已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在二次函数y=-2x 2图象上，当x 1＞x 2＞0时，则y 1与y 2的大小关系是 ．4.已知点(-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=5x 2的图象上，则则y 1与y 2,y 3的大小关系是 ． （2）y=ax 2+c 的图像和性质：1．二次函数y=-2x 2＋6图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，y 随x 的增大而增大． 2.已知y=ax 2＋c 的图象上有A(-3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)三点，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是 ． 3.将二次函数y=2x 2-1的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ．4.已知抛物线y=(m-1)x 2＋m 2-2m-2的开口方向向下，且经过点(0，1)． (1)求m 的值；(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴； (3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）y=a(x-h)2+k 的图像和性质：1.抛物线y=-12(x ＋4)2的顶点坐标为 ，当x ＞-4时，y 随x 的增大而 ．2.抛物线y=-2(x-1)2-3的开口方向是 ，其顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，当 时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．3.若抛物线y=(x-m)2＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为 ．4.已知A(1，y 1)、B(-12，y 2)、C(-2，y 3)在函数y=a(x ＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ．(4)二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图像和性质练习：1.抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ， 函数值得最大值是 。
二次函数知识点总结及典型例题和练习
二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】 已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2） 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
二次函数知识点总结+练习+答案
二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. ()2y a x h k =-+的性质：左加右减（括号内），上加下减（括号外）。
三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反， 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：用二次函数解决最值问题二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少例某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则1525,220k bk b+=⎧⎨+=⎩解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
二次函数知识点及重点题练习答案解析
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是 增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是 减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,
二次函数知识点及习题
二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的图像和性质： 2 ()2y a x h =-+k 的图像性质：3 2y ax =与()2y a x h =-+k 的图像的关系4二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．6二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 2. 一次项系数b 3. 常数项c7二次函数解析式的表示方法及确定1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 8 图像的平移9二次函数与一元二次方程 二 基础练习 1．把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x 2向下平移3 个单位，得到抛物线________． 2．抛物线y=3x 2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x 2•向_______平移______个单位得到的．3．把抛物线x 2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线x 2•向右平移3个单位，得到抛物线________．4．抛物线x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为_________，•它是由抛物线2向______平移______个单位得到的． 5．把抛物线y=-（x+）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-x 2． 6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象． 7．函数y=-（x-）2的最大值为________，函数y=-x 2-的最大值为________． 8．若抛物线y=a （x+m ）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x 2的形状相同，开口方向相同，则点（a ，m ）关于原点的对称点为________． 9．已知抛物线y=a （x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a （x-3）2当x=________•时，•有最____值______．10．若二次函数y=ax 2+b ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 取x 1+x 2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价格为y •万元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y=50（1-x ）2B ．y=50（1-x ）2C ．y=50-x 2D ．y=50（1+x ）2 12．下列命题中，错误的是（） A ．抛物线x 2-1不与x 轴相交; B ．抛物线x 2-1与（x-1）2形状相同，位置不同; C ．抛物线y=（x-）2的顶点坐标为（，0）; D ．抛物线y=（x+）2的对称轴是直线x= 13．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-x 2的图象相同的抛物线是（） 131213131312121212121213A ．y=-（x-5）2 B ．y=-x 2-5 C ．y=-（x+5）2 D ．y=（x+5）2 14．已知a<-1，点（a-1，y 1）、（a ，y 2）、（a+1，y 3）都在函数y=x 2-2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 315已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是16如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）17已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点总结及典型题目
二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点.二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . y=ax2 (a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).例题精析：1． 二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2 (a ≠0)的图象性质二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。
强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。
此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。
例：已知函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小? 解： (1)使4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即：m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0。
二次函数的概念及一般式练习题
二次函数的概念及一般式1、下列函数中，是二次函数的是（ ） A ：2681y x =+ B ；81y x =+ C ：8y x =D ：281y x =-+2、函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ） A ：m n 、为常数，且m ≠0。
B ：m n 、为常数，且m ≠n 。
C ：m n 、为常数，且n ≠0。
D ：m n 、可以为任何数。
3、函数2221()m m y m m x--=+是二次函数，那么m 的值是（ ）A ：2B ：-1或3C ：3D ：±1 4、下列关系中，是二次函数关系的是（ ）A ：当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系。
B ：在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系。
C ：圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系。
D ：正方形的周长C 与边长a 之间的关系。
5、已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4),y x x =-则自变量的取值范围是（ ）A ：0x >B ：04x <<C ：0≤x ≤4D ：4x > 6、下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ．y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x7、若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ）A ．a ＝1B ．a ＝±1C ．a ≠1D ．a ≠－1 8、下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中自变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 9、下列函数中,不是二次函数的是( )x 2B.y=2(x-1)2+4; C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 210、在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=πx 2-4B.y=π(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-πx 2+16π11、若y=(2-m)22mx -是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定 12、二次函数2y x =-中，a =______，b =______，c =______。
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二次函数的概念及一般
式练习题
Revised by Petrel at 2021
二次函数的概念及一般式
1、下列函数中，是二次函数的是（）
A ：2
681y x =+B ；81y x =+C ：
8y x =
D ：28
1y x =-+
2、函数2
()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（） A ：m n 、为常数，且m ≠0。
B ：m n 、为常数，且m ≠n 。
C ：m n 、为常数，且n ≠0。
D ：m n 、可以为任何数。
3、函数22
21
()m m y m m x
--=+是二次函数，那么m 的值是（）
A ：2
B ：-1或3
C ：3
D ：±1
4、下列关系中，是二次函数关系的是（）
A ：当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系。
B ：在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系。
C ：圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系。
D ：正方形的周长C 与边长a 之间的关系。
5、已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4),y x x =-则自变量的取值范围是（）
A ：0x >
B ：04x <<
C ：0≤x ≤4
D ：4x > 6、下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋
B ．y ＝3(x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝－x
7、若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（） A ．a ＝1
B ．a ＝±1
C ．a ≠1
D ．a ≠－1
8、下列结论正确的是()
A.二次函数中两个变量的值是非零实数;
B.二次函数中自变量x 的值是所有实数;
C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;
D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 9、下列函数中,不是二次函数的是()
x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=1
2
(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x 2
10、在半径为4cm 的圆中,挖去一个半径为xcm 的圆面,剩下一个圆环的
面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为() A.y=πx 2-4B.y=π(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-πx 2+16π 11、若y=(2-m)2
2m x -是二次函数,则m 等于() A.±2B.2C.-2D.不能确定
12
、二次函数2y x =-中，a =______，b =______，c =______。
13、y ＝(m ＋1)x
m
m -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为
_________________． 14、已知函数y=(k+2)2
4
k
k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.
15、已知正方形的周长是ccm,面积为Scm 2,则S 与c 之间的函数关系式为_____. 16、填表:
17、在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形,剩下的四
方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________.
18、用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的
面积y(m 2)与x(m)之间的函数关系式为________.
19、在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”). (l ）22x y -=() (2）2x x y -=()
(3）5)1(22+-=x y () (4）(4）332-=x y () (5))8(a a s -=()
20、函数c bx ax y ++=2(a,b,c 是常数)问当a,b,c 满足什么条件时： (l ）它是二次函数； (2）它是一次函数； (3）它是正比例函数；
21、函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．
22、把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）22)1(++=x x y （2）5)1)(32(+-+=x x y （3）)1(1242x x x y +-=（4）)1)(1(-+=x x y
23、已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y 的值.当y=8时,求x 的值.
24、已知函数22
=-+-++。
若这个函数是二次函
y m m x m x m
()(1)1
数，求m的取值范围。