暨南大学810高等代数专业课考研真题(2019年)

2 2 −2
b

五、（20 分） 已= 知矩阵 A

2
5
−4

与矩阵B=

−2 −4 a

1

相似，求
10
a,b 的值，并求一正交矩阵 P 使得P−1AP = B.
六、 (20 分) 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) = (1− a)x12 + (1− a)x22 + 2x32 + 2(1+ a)x1x2 的秩为 2. (1)求 a 的值; (2) 求一正交变换，将其化为标准型.
量组α1，α2，⋅⋅⋅，αr 线性无关. 已知 β = ( β1，β2，⋅⋅⋅，βn )T 是线性方程组
α1,1x1 + α1,2 x2 + ... + α1,n xn =0
α x 2,1 1 + α2,2 x2 + ... + α2,n xn =0

......
αr,1x1 + αr,2 x2 + ... + αr,n xn =0
二、（10 分）设 f (x), g(x) ∈ F[x],其中F[x]表示数域F上一元多项式集合. 证明：
(1) 如果f (x) | g(x)h(x), ( f (x), g(x)) = 1,那么 f (x) | h(x);
(2) 如果f (x) | h(x), g(x) | h(x), ( f (x), g(x)) = 1,那么 f (x)g(x) | h(x). 三、（15 分）设 λ 是 n 阶方阵 A 的一个特征值， 证明： (1) λ 2是矩阵A2的一个特征值; (2) (2 − λ)是矩阵2E − A的一个特征值； (3) 若A可逆，则 A 是A的伴随矩阵A*的一个特征值.
科目： 高等代数
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七、(15 分) 设数域F上的3× 4矩阵A为
定义线性变换
1 0 1 1
A=

3
1
4
7

−1 1 0 3 ，
= Q(a) Aa， ∀a ∈ F 4 .
分别求 Im Q和KerQ的一个基和维数.
八、(10 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换 χ 在基α1，α2，α3 下的矩阵为
考试科目名称及代码：810 高等代数（A 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10 分）设 n 为给定正整数，a 为给定常数，计算对角线上元素均为 a 、其它位 a 1 11 1 1 a 11 1
置元素均为 1 的 n 阶矩阵 A 的行列式| A |= 1 1 a 1 1 . 1 1 1a 1 1 1 11 a
ΓΓ
L
1 2 2

2 2
1 2
2 1

证明：由 −α1 + α2 , −α1 + α3 生成的子空间W =L（-α1 + α2，-α1 + α3）是 χ 的不变子空 间. 九、（10 分= ） 设αi (αi,1，αi,2,，⋅⋅⋅，= αi,n )T (i 1, 2,..., r ; r < n) 是 n 维实向量，且向
2019年暨南大学硕士研究生入学考试试题
2019 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
λ
四、（20 分）设线性方程组
3x1 + 2x2 + x3 + λ x4 =−1
Biblioteka Baidu −
x2
x2 +
+ (λ
2x3 + 2x4 = 1 − 3)x3 − 2x4 =µ
x1 + x2 + x3 + x4 =0
讨论参量 λ, µ 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所
有解.
的非零解向量.试判断向量组α1，α2，⋅⋅⋅，αr，β 的线性相关性.
十、（10 分） 设 n 级方阵 A, B,C, D 两两可交换，且满足 AC + BD = E .记 ABx = 0 的
解空间为W , Bx = 0 的解空间为W1 , Ax = 0 的解空间为W2 . 证明W= W1 ⊕W2 . 十一、（10 分） 证明 n 阶实对称矩阵 A 是正定的充分必要条件是：存在 n 阶可逆实 对称矩阵 C 使得 A = C2 .