必修1第三章对数函数运算法则(全)

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

对数运算、对数函数

二. 重点、难点： 1. 对数运算

0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a

（1）x N a =log N a x

=⇔

（2）01log =a （3）1log =a a

（4）N a N

a =log

（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅

（6）N M N M

a a a

log log log -= （7）M x M a x

a log log ⋅=

（8）a M M b b a log /log log =

（9）b x

y

b a y

a x log log =

（10）1log log =⋅a b b a

2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域

R

单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a

奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）

图象

x y a log =与x y a

1log =关于x 轴对称

【典型例题】

[例1] 求值

（1）=7

log 3)

9

1( ；

（2）=-++4log 20log 23

log 2log 151515

15 ； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 6662

6 ；

（4）=⋅81log 16log 329 ；

（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+⋅+2

)2(lg 50lg 2lg 25lg 。 解：

（1）原式49

173

3)

3(27log 7

log 27

log 22

333=

====---- （2）原式115log 15==

（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=

236

log 18

log 2log 666==+=

（4）原式58

)3log 54()2log 24(23=⋅=

（5）原式8

15

)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=

（6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=

2

100lg 2

lg 225lg ==+=

[例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33

1322

12y x =)]z (log [log log 55

15=

0=，试比较z y x 、、的大小关系。

解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0⇒log 2

1(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215

)301.

同理可得 y ＝33＝(310)

30

1

,z ＝55＝(56)

30

1.

∵310>215>56，由幂函数y ＝x 30

1在(0，+∞)上递增知，y>x>z.

[例3] 若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=⋅)(log 21)(21n a a a b b b n 。

解：由已知λ

11a b =，λλn n a b a b == 22

∴ λ

)()(11n n a a b b =

∴ λ=)(log 21)(1n a a b b b n

[例4] 图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为10

1

,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（ ）

A.

101

,53,34,3 B. 53,101,34,3 C. 101,53,3,34 D. 5

3,101,3,34

答案：A

[例5] 求下列函数定义域

（1）)]lg[lg(lg x y =

（2）)43lg(2

--=x x y （3）)1(log 2

1-=

x y

解：

（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴ 1lg >x ∴ ),10(+∞∈x （2）0432

>--x x ),4()1,(+∞⋃--∞∈x （3）110≤-

[例6] 求下列函数的增区间

（1）1log 2-=x y （2）)82(log 2

2

1--=x x y

解：

（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,( ∴ )(x f y =在（+∞,1）↑

（2）↓=t y 2

1log 822

--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(

∴ )(x f y =在↑--∞)2,(

[例7] 研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。

解：（1）x x x x ≥=>+22

1 ∴ 012>-+x x ∴ 定义域为R

（2）R x ∈

),0(12+∞∈-+x x ∴ R y ∈为值域

（3）)1(log )](1)([log )(2222x x x x x f ++=--+-=- )()1(log 11log 12222x f x x x

x -=-+=-+=-

∴ 奇函数

（4）),0(+∞∈x 时，x

x x x y ++=-+=11log )1(log 2

2

2

2

↓++=

x

x t 112

t y 2log =↑ ∴ )(x f y =在),0(+∞上↓

∵ 奇函数 ∴ )(x f y =为R 上↓

[例8] 已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。

解：

（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+

0)1(log )1(log )1(log 2<--=--+-=x x x a a a

（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++=

0)1(log 2<-=x a

综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+

[例9] 函数)34(log )(2

2++==kx kx x f y

（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。 （2）若值域为R ，求k 的取值范围。 解：

（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈

4300

121602

<<⇒⎩⎨⎧<-=∆>k k k k ∴ )43

,0[∈k （2）⎩⎨⎧≥-=∆>0121602

k k k ),43

[+∞∈⇒k