解三角形的教学设计 高三公开课
高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案
解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。
二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。
[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。
[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。
[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。
222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满 足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状 （1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。
高三数学解三角形全章教案
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
高三数学解三角形教学设计
高三数学解三角形教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高三学生进行解三角形的教学。
解三角形是高中数学的重要内容，涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积计算等知识点。
通过本节课的学习，学生将掌握解三角形的常用方法和技巧，提高解决实际问题的能力，并为后续学习几何、三角函数等知识打下坚实基础。
2、教学对象本教学设计的对象为高三学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了初等函数、三角函数、几何等基本知识。
然而，在解三角形方面，学生可能存在以下问题：对正弦定理、余弦定理理解不深刻，运用不熟练；在解决实际问题时，不能灵活运用所学知识。
因此，本教学设计将针对这些问题，采取有效的教学策略，帮助学生提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程，能够准确运用定理解决三角形相关问题；（2）掌握三角形面积的计算方法，能够灵活运用求解实际问题；（3）学会运用解三角形的方法解决几何问题，如求角度、边长、周长、面积等；（4）提高逻辑推理、数学运算和问题分析能力，形成系统的解题思路。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等方式，引导学生发现并理解正弦定理、余弦定理；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握解三角形的方法；（3）运用比较、归纳等方法，帮助学生总结解三角形的常用技巧和规律；（4）结合实际案例，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的探究精神和创新意识；（2）通过解三角形的学习，让学生体会数学的实用性和美感，增强数学学习的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、合作交流的良好习惯；（4）引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活等方面的广泛应用，树立正确的价值观；（5）培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌，形成健康的心理素质。
三、教学策略1、以退为进在教学过程中，采取“以退为进”的策略，即在教学初期适当降低难度，引导学生从简单的解三角形问题入手，逐步掌握基本的解题方法和技巧。
高三数学一轮复习 第八节 解三角形教案 新人教版
第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC△中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．4．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====． （2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 24A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，3π 2233化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝2323⨯＝，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM ∙GA ∙sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=（2）解：AC，2sin βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a=，则c o s B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 7． ABC ∆的三个内角为ABC 、、，则cos 2cos 2B CA ++的最大值为． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____． 9．如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； ②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形．BDCαβ A例433- 34 25(,)3+∞ 332其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x xππππ⎛⎫⎫=++<+<⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当xππ+=62，即xπ=3时，y取得最大值12．在ABC∆中，1tan4A=，3tan5B=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC∆解：（Ⅰ）π()C A B=-+，1345tan tan()113145C A B+∴=-+=-=--⨯．又0πC<<，3π4C∴=．（Ⅱ）34C=π，AB∴边最大，即AB=．又tan tan0A B A Bπ⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sin cos1AAAA A⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π2A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin17A=．由sin sinAB BCC A=得：sin2sinABC ABC==所以，最小边BC．。
《解三角形》的教学设计
高三（15）班《解三角形》的教学设计高三数学备课组姜友粮【教学目标】：知识与技能目标：掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题．过程与方法目标：通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。
情感、态度与价值观目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。
〖教学重点〗边角的转化，正确运用数学语言。
〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。
【教学设计】：一、复习建构本课题知识结构：1、知识框架与知识点帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。
正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用：解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。
“熟记”两个定理的变形及推论(1)正弦定理变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(2)余弦定理推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .类型一：正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．而解斜三角形是高考的一个热点问题．而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．例1：（1）若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于等于 。
(新课标)高中数学 第一章 解三角形教学设计 新人教A版必修5
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 本章我们共学习了哪些内容？ 生本章我们学习了正弦定理与余弦定理师你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A，b 2=a 2+c 2-2acco s B， c 2=b 2+a 2-2baco s Cabc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=师很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解师 very good！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习推进新课 多媒体投影生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为生 这个题目以前做过的，A 与B的大小关系不定． 师 对吗？生我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧生 不对，应该先化简等式右边，得A +B 2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan2C=2． 从而有344142tan 12tan2tan 2-=-=-=C CC． 师 思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？ 生 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式． 生还有余切的二倍角公式． 师 你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口． 师 对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】 将一块圆心角为120°，半径为20 c m 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠M OA =θ，则|MP|=20sin θ,|OP |=20co s θ, 从而S=400sin θco s θ=200sin2θ， 即当4πθ=时，S m a x按图（2）的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q 中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin 2340120sin sin 20=︒又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以S=|MQ |·|MN |=331600sin θsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］所以当θ=30°时，S m a x =33400由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到0.1°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ师 接下来怎么做呢？生 因为co s θ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值．师cos θ的最小值怎么求呢？ 生 因为cos θ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cos θ）=-41，所以θ的最大值为104.5°．（教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ因为cos θ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cos θ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2．因此，当n=3时，（cos θ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ）A.26-B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．B ．C ．10.3D ．3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） A.d 1＞d 2B.d 1=d 2C.d 1＜d 2D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________． 2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,132.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=∙-+=-+=+BA BA B A ．因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ）， AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠∙∠=ABC BCA AB AC所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 例例3备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角；（3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B ca(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
解直角三角形复习公开课教案
《解直角三角形复习》教案单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日【学习目标】：1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数.2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度.3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。
【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。
【教学过程】： 一、考点梳理：1.锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c.2、特殊角的三角函数值三角函数 角α sin α cos αtan α30°45°60°1sin =A A A ∠=∠———————————的、正弦函数：的=A A A ∠=∠———————————的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———————————的3、正切函数：tan 的3、解直角三角形的定义及类型(1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用（1）仰角和俯角在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角.(2）方位角一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。
如下图：OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。
（3）坡角、坡度坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:1.5表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系：二、基础巩固：1. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( )2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( )3.4A 4.3B 3.5C 4.5D 3.12A m .43B m .53C m .63D m3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,D 为AB 的中点，CD =5,AC =6,则cos B 的值是（ ）第1题图 第2题图5．在△ABC 中，sin C ＝，∠BAC ＝105°，AC ＝2cm ，求BC 的长．三、能力提升：探究1：为了响应市人民政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从A 点到E 点挂一长为 米的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为60°,测得条幅底端E 点的俯角为45°。
人教A版高中数学 高三一轮 3-7 解三角形教案 精品
高三一轮 3.7 解三角形
【教学目标】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，
求三角形的面积及解三角形的具体应用问题。
【重点难点】
1.教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600
故由正弦定理得600
sin 45°＝BC
sin 30°，解得BC＝300
A，B间距离为________
处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方
cos θ的值为________．
＝40，AC＝20，∠BAC
的同侧，选定一点C，测出AC
，∠CAB＝105°，则A，。
高考数学一轮复习《解三角形》教案
福建省长泰一中高考数学一轮复习《解三角形》教案（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ． 解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin A B C a b c A b S A B C++∠===++ 则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△AB C 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝Csin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2 ⇒∠A＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。
高中数学新教材解三角形教案
中学数学新教材解三角形教案中学数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量学问证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量学问解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学学问有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量学问在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关学问.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有很多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生视察不等式结构特点，构造向量，并发觉(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)假如他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必需朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学学问有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4中学数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简洁函数的反函数.3.在尝试、探究求反函数的过程中，深化对概念的相识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特别到一般等数学思想方法的相识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维实力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的实力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种状况下，我们说t=是函数S=vt的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神奇面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点)从学生熟知的函数动身，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的实力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(依据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们依据这个函数中x,y的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .假如对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的假如意味着对于一个随意的函数y=f(x)来说不肯定有反函数;4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的缘由.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的相识，与自己的预设产生冲突冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特别的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性相识上升到理性相识，从而消化理解.通过对详细例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并刚好归纳总结，培育学生分析、思索的习惯，以及归纳总结的实力.题目的设计遵循了从了解到理解，从驾驭到应用的不同层次要求，由浅入深，按部就班.并体现了对定义的反思理解.学生思索练习，师生共同分析订正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要探讨了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象究竟有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节探讨.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对学问的驾驭状况，评价学生对学习目标的落实程度.详细实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的学问.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过详细到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的详细实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，缘由是其本身较为抽象，经过两次代换，又接受了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地运用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究缘由，找寻规律，程序是从问题动身，探讨性质，进而得出概念，这正是数学探讨的依次，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满意学生多层次须要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探究，动画演示，表格对比、学生探讨等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主子。
解三角形的教学设计高三公开课
解三角形的教学设计高三公开课High quality manuscripts are welcome to download《解三角形》教学设计高三数学组一、教材分析：解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。
所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。
二、学情分析：本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。
三、教学目标：知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。
过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。
培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
四、教学方法：探究式教学、讲练结合五、教学重难点教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。
五、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图高考定位明确方向课题：解三角形【最新考纲】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【重难点】三角形中的两解问题、边角互化、恒等变换问题．教师引导,把握高考方向，强调复习重难点。
通过高考考纲，让学生熟悉本节课高考考点，以便更好的备考高考。
教学环节教学内容师生活动设计意图公式定理基础运用边角互化多向思维【典例精讲】考点1 正、余弦定理的简单运用1.【2015高考北京，文11】在C∆AB中，3a=，6b=，23π∠A=，则∠B=．2.【2016高考全国I卷】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a=，2c=，2cos3A=，则b=（）（A）2（B）3（C）2（D）3考点1是正余弦定理的简单运用，学生课前完成，教师课堂上和学生核对答案，并要求学生思考每道题考察的知识点是什么变式1教师引学生课前完成例1，目的是让学生提前梳理公式，而课堂上要求学生回答每道题考察的知识点是什么是为了更深化学生对公式的理解，而3.【2013全国II 卷】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=， 4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）232+ （B ）31+ （C ）232- （D ）31- 变式 在ABC ∆中，内角A 、B 、C的对边分别是a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝32， A ＝30°，则B ＝ ．考点2 解三角形中的边角互化问题例 2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且c b C a -=2cos 2求A 的大小.变式 【2015高考新课标1】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（1）若a b =，求cos ;B （2）若B=90°，且2=a ，求△ABC 的面积探究1: 对于例2及变式的求解是否一样都有两种不同的解法对此你有什么发现导学生思考角B 的值到底有几个从而总结如何解答三角形的两解问题.例2要求两位同学上台演板，用两种不同的方法解答，从而和学生归纳出解三角形的边化角，角化边的两种方法，变式1投影学生的解答过程即可.变式1的训练，是引导学生对三角形两解的问题进行总结，强调大边对大角情况。
高中数学 高三一轮 3.7 解三角形【教案】
高三一轮 3.7 解三角形【教学目标】1。
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2。
本部分是高考中的重点考查内容,主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题.【重点难点】1。
教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】cos A ≠..的最大值ac 0B <∠(2)(1)2cos 由可知A =-02cos A A <∠+7.(20162cos (cos 全国课标已知C a ((((1)2cos cos 2cos sin sin (0,C a C A A B A C π++∴+∈(2)c =若2(2)7a =由余弦定理即1∠A为锐角∠A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a〈b a≥b a〉b 解的个数一解两解一解一解知识点3 三角形常用面积公式(1)S＝错误!a·h a(h a表示边a上的高）;(2）S＝12ab sin C＝12ac sin B＝错误!bc sin A；(3）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为内切圆半径)．名师点睛：1．必会结论引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理识别能力和解题效率。
教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构.1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【解析】由题意，在△ABC 中,∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°。
解三角形太平中学公开课(精简篇)
第二轮复习：解三角形一、教材分析1．教学内容：《解三角形》是普通高中课程标准实验教科书人教版必修5第一章的内容, 根据2016年全国高考大纲要求:（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题;（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2．地位与作用：《解三角形》是中学数学教学中的重要组成部分,是高考的必考的内容，从近几年全国1卷对其考查规律来看，每年必考一道中等难度的小题或容易的一道大题。
考查方向分析：正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．二、学情分析1．知识准备：高三年级学生在高一二的基础上，又进行了第一轮复习，对正弦定理、余弦定理，具有了一定的知识储备. 但解三角形常常要综合运用一些知识（如进行转化、化归的技能及数形结合的思想方法），因此定理与三角形的有关性质的综合运用是本小节的一个难点。
2．能力储备：学生经过高一二的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，逐步形成了辩证思维体系．但学生自主探究问题的能力，由特殊到一般的归纳能力普遍还不够理想。
3．学生情况：虽然学生基础还是比较薄弱，但考虑到已是第二轮复习，适当加深了对定理的理解，并对例题的选择和延展进行了适当的调整。
对于解三角形,学生的认知困难主要在两个方面：首先，要求准确运用相关知识合理设计解题程序,把对定理直观感性的认识上升到理性的高度, 这种从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难; 其次，学生在解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题时,从较复杂的图形时中找到解决问题关键的数学条件的能力比较薄弱.三、教学目标【知识与技能】1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题。
《解三角形》教学设计-优秀教案
5. 学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。
体现学科核心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）6.学习活动设计教师活动学生活动 环节一：（根据课堂教与学的程序安排）教师活动1提出问题：如果测量人员任意选取C 点，,测出BC 的距离是54m ，45B ∠=,60C ∠=.问根据这些数据能解决测量者的问题吗？学生活动1 思考交流：根据题目中的叙述，很明显可以抽象成这样的一个数学模型：在ABC ∆中，54BC =，45B ∠=,60C ∠=.求边长AB活动意图说明：通过实际问题引入，能够很好地激发学生的求知欲望。
在新的问题产生时，学生根据已有的知识是迷茫的，有疑惑的，这个时候也正是产生知识缺陷，急需新知识的时候，恰如其分的勾起了学生求知的欲望。
环节二：教师活动2探究一：直角三角形边角关系如图：在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，探究边角关系。
探究二：斜三角形边角关系 学生活动2 探究一：在ABC Rt ∆中，设c AB b AC a BC ===,,，根据正弦函数定义可得：实验1：如图，在等边ABC ∆中，3π=∠=∠=∠C B A ,对应边的边长1:1:1::=c b a ，验证Cc B b A a sin sin sin ==是否成立？ 实验2：如图，在等腰ABC ∆中， 30=∠=∠B A , 120=∠C ，对应边的边长3:1:1::=c b a ，验证Cc B b A a sin sin sin ==是否成立？ 实验3：借助多媒体演示，发现随着三角形的任意变换，Cc B b A a sin sin sin 、、的值相等。
通过这样的一些实验，我们可以猜想Cc B b A a sin sin sin ==。
高中数学必修五《解三角形复习课》优秀教学设计
《解三角形复习课》教案第一课时教学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形面积公式的应用，并结合三角形有关知识解决与三角形面积有关的问题。
本节课体现了前面所学知识的生动运用，让学生多参与，使学生在具体的解题中灵活把握正弦定理与余弦定理的特点，能够不拘一格，尝试多种解法。
重点难点：选择适当的正弦、余弦定理、面积公式解决解三角形问题。
教学过程：一、 课程引入回顾正弦定理、余弦定理，三角形面积公式及他们的适用条件与需要注意的部分。
课堂练习：二、 应用示例变式训练：4452cos o ABC a b B A ABC B∆===∠∆（1）在中，已知，，求（）在中，已知三边长AB=7，BC=5，AC=6，求2ABC a b b c ∆=+例 在中，（），求A与B满足的关系)()3,2cos sin sin ,ABC a b c a b c ab A B C ABC ∆+++-==∆ 在中，已知（且试确定的形状变式训练：tan 1cos 5292(3)ABC A B C a b c C CCA CB a b c ABC ∆=∙=+=∆在中，角、、的对边分别为，，，（）求（）若，且，求求外接圆半径思考题：三、课时小结72tan tan tan 2a b c c A B A B S a b ∆∆=+=∙-∆=+ABC 例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是、、，边，且ABC的面积为的值10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。
设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值A B C。
解三角形的教学设计高三公开课
《解三角形》教学设计高三数学组一、教材分析：解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。
所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。
二、学情分析：本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。
三、教学目标：知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。
过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。
培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
四、教学方法：探究式教学、讲练结合五、教学重难点教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。
五、教学过程高考定位明确方向课题：解三角形【最新考纲】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【重难点】三角形中的两解问题、边角互化、恒等变换问题．教师引导,把握高考方向，强调复习重难点。
通过高考考纲，让学生熟悉本节课高考考点，以便更好的备考高考。
教学环节教学内容师生活动设计意图公式定理基础运用【典例精讲】考点1正、余弦定理的简单运用1.【2015高考北京，文11】在C∆AB中，3a=，6b=，23π∠A=，则∠B=．2.【2016高考全国I卷】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a=，2c=，2cos3A=，则b=（）（A）2（B）3（C）2 （D）33.【2013全国II卷】ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ=，则ABC∆的面积为（）（A）232+（B）31+（C）232-（D）31-变式在ABC∆中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a＝2，b＝32，A＝30°，则B＝．考点1是正余弦定理的简单运用，学生课前完成，教师课堂上和学生核对答案，并要求学生思考每道题考察的知识点是什么？变式1教师引导学生思考角B的值到底有几个？从而总结如何解答三角形的两解问题.学生课前完成例1，目的是让学生提前梳理公式，而课堂上要求学生回答每道题考察的知识点是什么？是为了更深化学生对公式的理解，而变式1的训练，是引导学生对三角形两解的问题进行总结，强调大边对大角情况。
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《解三角形》教学设计
高三数学组
一、教材分析：
解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。
所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。
二、学情分析：
本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。
三、教学目标：
知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。
过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。
培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
四、教学方法：
探究式教学、讲练结合
五、教学重难点
教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；
教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。
五、教学过程
教学环节教学内容师生活动设计意图
高考定位明确方向
课题：解三角形
【最新考纲】
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决
一些简单的三角形度量问题.
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识
和方法解决一些与测量和几何计算有关的
实际问题.
【重难点】三角形中的两解问题、边
角互化、恒等变换问题．
教师引导,把
握高考方向，
强调复习重
难点。
通过高考考
纲，让学生熟
悉本节课高
考考点，以便
更好的备考
高考。
教学环节教学内容师生活动设计意图
公式定理【典例精讲】
考点1正、余弦定理的简单运用
1.【2015高考北京，文11】在C
∆AB中，
3
a=，6
b=，
2
3
π
∠A=，则∠B=．
2.【2016高考全国I卷】△ABC的内角
考点1是正
余弦定理的
简单运用，学
生课前完成，
教师课堂上
学生课前完
成例1，目的
是让学生提
前梳理公式，
而课堂上要
基础运用
边角互化多向思维A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5
a=，
2
c=，
2
cos
3
A=，则b=（）
（A）2（B）3（C）2 （D）3
3.【2013全国II卷】ABC
∆的内角,,
A B C
的对边分别为,,
a b c，已知2
b=，
6
B
π
=，
4
C
π
=，则ABC
∆的面积为（）
（A）232
+（B）31+
（C）232
-（D）31-
变式在ABC
∆中，内角A、B、C的
对边分别是a、b、c，已知a＝2，b＝
3
2，A＝30°，则B＝．
考点2解三角形中的边角互化问题
例2 △ABC的内角A，B，C 的对边
分别为a、b、c，且c
b
C
a-
=2
cos
2求
A的大小.
变式【2015高考新课标1】已知,,
a b c
分别是ABC
∆内角,,
A B C的对边，
2
sin2sin sin
B A C
=.（1）若a b
=，求
cos;B（2）若B=90°，且2
=
a，求
△ABC的面积
探究1: 对于例2及变式的求解是否一
样
变式1教师
引导学生思
考角B的值
到底有几
个？从而总
结如何解答
三角形的两
解问题.
例2要求两
位同学上台
演板，用两种
不同的方法
解答，从而和
学生归纳出
解三角形的
边化角，角化
边的两种方
法，变式1投
影学生的解
答过程即可.
通过让学生
从角化边、边
化角两种思
路进行解题，
提升学生解
三角形的综
合能力，同时
也引导学生
对于解三角
形的问题，可
以从这两个
思路进行思
考，变式1
是为了检测
学生的学习
效果。
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