大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程
薛定谔方程习题
第二章 习 题1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V 0，在这些区域里，求：(1) E>V 0; (2)E<V 0; (3)E=V 0 三种情况下粒子的定态波函数，此处E 为粒子能量。
2.考虑一个粒子受不含时势()V r 的束缚，(1) 设粒子的态用的形如(,)()()V r t r t φχ=的波函数描述，证明：()i t t Ae ωχ-=（A是常数），而必须满足方程：22()()()()2r V r r r φφωφμ-∇+=(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。
3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()V x y z V x U y W z =++的三维势场中，用分离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关系。
4.设束缚态波函数和是S.E 的两个解，证明：*12d ψψτ⎰(全空间)与时间无关。
（可用两种方法证）（奥斯特罗格拉德斯基公式：()()V s Ad Ad s τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰）5.NaCl 晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数a 的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。
6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)C p N P P P αα=->=归一化，并证明在坐标空间中的波函数表达式为：3/2221()(2)()r r αψαπα=+（提示：在球面坐标ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证） 7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x ≤a)；—V 0<0 x a ≤ (2)一维有限深方势阱：V(x)=0 x a>中运动，运用索末菲量子化条件()q P dq nh =⎰求体系束缚定态能谱。
8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于椭圆轨道。
大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程
练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为−0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为(A ) 2.56eV 。
(B ) 3.41eV 。
(C ) 4.25eV 。
(D ) 9.95eV 。
2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为(A ) 9/8。
(B ) 19/9。
(C ) 27/20。
(D ) 20/27。
3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为：(A ) 5/2。
(B ) 5/3。
(C ) 5/4。
(D ) 5。
4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将(A ) 增大D 2倍。
(B ) 增大2D 倍。
(C ) 增大D 倍。
(D ) 不变。
5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。
应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为：(A ) ћ/(ma 2)。
(B ) ћ2/(2ma 2)。
(C ) ћ2/(2ma )。
(D ) ћ/(2ma 2)。
6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ(A ) 只需满足归一化条件。
(B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。
(C ) 只需满足连续与归一化条件。
(D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。
7. 反映微观粒子运动的基本方程是(A ) 牛顿定律方程。
(B ) 麦克斯韦电磁场方程。
(C ) 薛丁格方程。
(D ) 以上均不是。
8. 已知一维运动粒子的波函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧==−0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =(A)k1。
(B) 1/k2。
(C)k。
(D) 1/k。
9. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出(A) 一种波长的光。
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程
氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子组成。
在量子力学中，描述氢原子的运动状态的数学模型就是薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子在势场中的运动规律。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间和空间的演化。
波函数包含了粒子的所有信息，包括位置、动量等。
在氢原子的情况下，薛定谔方程可以被简化为一个径向部分和一个角向部分的乘积。
径向部分描述了电子在原子核周围运动的距离，角向部分描述了电子在不同方向上的概率分布。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子的能级和波函数，从而进一步研究原子的性质和行为。
薛定谔方程的求解需要考虑原子核和电子之间的相互作用，以及外加的势场对电子的影响。
通过引入适当的近似和数值方法，可以求解薛定谔方程并得到氢原子的能级和波函数。
氢原子的能级是量子化的，即只能取离散的数值。
能级越高，电子离原子核越远，能量也越大。
每个能级对应一个波函数，描述了电子在原子周围的分布情况。
薛定谔方程的求解不仅可以用于氢原子，还可以推广到其他原子和
分子系统。
通过求解薛定谔方程，我们可以理解原子和分子的结构、性质和反应规律，为化学和物理学的发展提供重要的理论基础。
薛定谔方程是描述氢原子和其他微观粒子运动的重要方程，它揭示了量子力学世界的奥秘。
通过求解薛定谔方程，我们可以深入理解原子和分子的微观世界，为科学研究和技术应用提供重要支持。
希望未来能够进一步探索量子力学的奥秘，推动科学的发展和进步。
A14_测不准关系 波函数 薛定谔方程 四个量子数
J s and x 0.05 nm 代入得到： E1 150.95 eV
2
电子较高一级能态的能量： E2 2
h2 E2 4 E1 8m( x nm ，电子最低能态的能量： E1 (0.05) 2 E1 —— E1 37.74 eV (0.1) 2
09. 钴( Z 27 )有两个电子在 4 s 态，没有其它 n 4 的电子，则在 3d 态的电子可有 7 个。 主量子数 n 1 to n 4 的量子态为：
n 1, l 0, ml 0, ms
1 2
1s 2 —— 2 个
1 2s 2 l 0, ml 0, ms 2 —— 8 个 n 2, 1 6 l 1, m 0, 1, m 2p l s 2
n 1, 2, 3, 正整数，它可决定原子中电子的能量。
主量子数主要决定电子的能量，对于相同主量子数的状态，角量子数的不同对能量有一些影响。 08. 原子中电子的主量数 n 2 ，它可能具有状态数最多为 8 个。 根据量子态数： N 2n
2
—— n 2 对应的状态数是 8
( x ) 0 2 d ( x ) 2m 2 E ( x ) 0 dx 2
0 x, x 0 0 x x
方程的通解形式： ( x ) A sin kx B cos kx 根据波函数的连续性： (0) ( x ) 0 ，得到： B 0
1 3s 2 ms l 0, ml 0, 2 1 3 p 6 ——18 个 n 3, l 1, ml 0, 1, ms 2 1 3d 10 l 2, ml 0, 1, 2 ms 2
氢原子薛定谔方程
氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程是研究氢原子的基本理论模型，可以用于解析和预测氢原子的行为。
在氢原子中，只存在一个质子和一个电子，因此，它是理论物理学研究的首要模型之一。
氢原子薛定谔方程是基于量子力学原理推导而来的，它描述了氢原子在电磁场中的一系列行为，包括电子的能量、波函数及其演化规律等。
其数学表达式如下：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (r\psi)}{\partialr^2}+\frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\psi+V(r)\psi=E\psi$该式是解析薛定谔方程的基本形式。
其中，$\psi$是波函数，$m$是电子的质量，$\hbar$是普朗克常数，$r$是离子核与电子之间的距离，$\ell$是角动量量子数，$V(r)$是电子在离子核中的势能，$E$是氢原子的能量。
氢原子薛定谔方程的求解并非易事，这主要是因为它是一个偏微分方程。
在解析方面，有许多数学工具可以帮助我们进行计算，如分离变量法、拉普拉斯变换、傅里叶变换等等。
但对于比较复杂的氢原子体系，解析解可能并不是最好的选择。
通常，科学家和工程师使用不同数值技术，如有限元方法、有限差分方法等，来求解氢原子薛定谔方程。
在量子力学的研究中，最常用的氢原子薛定谔方程所表示的氢原子中，没有其他电子和离子核之间的相互作用。
如果涉及多个原子的分子时，我们就需要使用其他方程来解析它们的行为。
因此，氢原子薛定谔方程是在物理学研究中至关重要的方程之一。
总之，在理论物理学研究的发展中，氢原子薛定谔方程发挥了无比重要的作用。
它为科学家们提供了一个完整的模型来预测、解析氢原子在电磁场中的运动和行为，为人类探索宇宙和理解自然规律提供了更深刻的理论基础。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。
它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。
它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。
当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。
氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。
薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。
薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。
对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。
解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。
有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。
任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。
氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。
薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。
第二章练习题及答案
第二章 原子结构习 题2.1 氢原子薛定谔方程中的能量E 包含哪些能量？ 2.2 令)()()(),()(),,(ϕθϕθϕθψΦΘ==r R Y r R r 将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。
2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为br e ar -+=)1(ψ的解？若有，求a 、b 和能量E 。
2.4 若取变分函数为r e αφ-=，式中α为变分参数，试用变分法求H 原子的基态能量和波函数。
2.5 取变分函数为2r e αφ-=，式中α为变分参数，试用变分法求H 原子的基态能量，并与其1s 态能量对比。
2.6 分别求氢原子1s 电子和2s 电子离核的平均距离r ,并进行比较。
2.7求氢原子2p 电子离核的平均距离r 。
2.8 波函数23zd ψ有多少节面？用方程把这些节面表示出来。
这些节面将空间分成几个区域？2.9 验证氢原子波函数s 1ψ和zp 2ψ是正交的，xp 2ψ和yp 2ψ也是正交的。
2.10 求氢原子2p 和3d 电子几率密度最大值离核的距离r 。
2.11 求氢原子2p z 电子出现在 45≤θ的圆锥的几率。
2.12 求氢原子23z d 电子出现在 60≤θ的圆锥内的几率。
2.13 比较氢原子中2p x 和2p z 电子出现在相同半径圆球内的几率大小。
2.14 比较H 中2s 电子，He +中2s 电子和He (1s 12s 1)中2s 电子能量的大小。
2.15 求氦原子第2电离能。
2.16 实验测得O 7+的电离能是867.09 eV ，试与按量子力学所得结果进行比较。
2.17 实验测得C 5+的电离能是489.98 eV , 试与按量子力学所得结果进行比较。
2.18不查表，求3xy d ψ的角度部分。
2.19 不查表，给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)(1) 2p x (2) 3s (3) 3p x (4) 224y x d -2.20求氢原子2p x 电子出现在p 1(r ,π/3,π/4)和p 2(r ,π/6,π/8)两处的几率密度之比。
氢原子的量子理论作业（含标准答案）
氢原⼦的量⼦理论作业（含标准答案）第26章氢原⼦的量⼦理论习题 (初稿)⼀、填空题1. 氢原⼦的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=，请给出电⼦出现在~r r dr +球壳内的概率为___________，电⼦出现在(),θ?⽅向⽴体⾓d Ω内的概率为_______________。
2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原⼦核外电⼦排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。
3. 可以⽤⽤ 4 个量⼦数描述原⼦中电⼦的量⼦态，这 4 个量⼦数各称和取值范围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。
4. 根据量⼦⼒学原理，如果不考虑电⼦⾃旋，对氢原⼦当n 确定后，对应的总量⼦态数⽬为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量⼦态数⽬为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电⼦排布规律：钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原⼦核外的 3d 态电⼦，其可能的量⼦数有个，分别可表⽰为____________________________。
7. 电⼦⾃旋与其轨道运动的相互作⽤是何种性质的作⽤。
8. 类氢离⼦是指___________________，⾥德伯原⼦是指________________。
9. 在主量⼦数为n=2，⾃旋磁量⼦数为s=1/2的量⼦态中，能够填充的最⼤电⼦数是________。
10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，⼀束处于s 态的原⼦射线在⾮均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂⽤电⼦轨道运动的⾓动量空间取向量⼦化难于解释，只能⽤_________来解释。
⼆、计算题11. 如果⽤13.0 eV 的电⼦轰击处于基态的氢原⼦，则：（1）氢原⼦能够被激发到的最⾼能级是多少？（2）氢原⼦由上⾯的最⾼能级跃迁到基态发出的光⼦可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原⼦电离，⾄少要多⼤能量的电⼦轰击氢原⼦？12. 写出磷的电⼦排布，并求每个电⼦的轨道⾓动量。
第一节 氢原子的薛定谔方程
斜
0
x
同理，在直角三角形⊿0Bx中： 邻 x cosφ= = 0B 斜
x = OB cosφ 由于，直角三角形⊿0Pz中： 对 zP 0B sinθ= = = r r 斜 则：
φ
Y
B
X
球极坐标与直角坐标
0B = rsinθ
x = 0B cosφ= rsinθcosφ
在直角三角形⊿0Bx中： y 对 sinφ= = 0B 斜 则： y = OB sinφ = r sinθ sinφ 根据勾股定律得知： r2 = OB2 + z2 OB2 = x2 + y2 则：
根据欧拉公式
eix = cosx + isinx
有：
eim2π = eimφ-imφ = 1
eim2π = cos( m 2π)+ i sin( m 2π) = 1
只有当 m = 0，±1，±2 … 时，上式才成立。也就是说，m 的变化 是量子化的（m 称为磁量子数）。 sin( m 2π)= 0 cos( m 2π)= 1
只与经向r有关
d 2mr2 Ze2 1 d 2 [ (r ) R] + （ r + E）+ ħ2 R dr dr 1 + Y ∂ ∂ ∂2 1 1 [ (sinθ )Y ] + [ Y ] ∂θ sinθ ∂θ sin2θ ∂φ2
只与角度有关
= 0
将方程移项得：
d 2mr2 Ze2 1 d 2 [ (r ) R] + （ r + E ）= ħ2 R dr dr
一、直角坐标与球极坐标
A right angle coordinate and sphere Coordinate
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
原子物理学2-4
电子态和原子态的表示：习惯用小写字母 、 、 、 电子态和原子态的表示：习惯用小写字母s、p、d、 f、g、h、i...表示 、1、2、3...的电子态或处于这 表示l=0、 、 、 的电子态或处于这 、 、 、 表示 些态上的电子，字母前表示主量子数， 些态上的电子，字母前表示主量子数，如2p表示 表示 n=2、l=1的电子，用大写字母S、P、D、F...表示 、 的电子，用大写字母 、 、 、 表示 的电子 l=0、1、2、3...的能级或原子态。 的能级或原子态。 、 、 、 的能级或原子态 轨道角动量及量子数l 轨道角动量及量子数 轨道角动量大小为 L = l (l + 1)h 磁量子数m 磁量子数 l Lz为轨道总角动量 在z方向的分量 为轨道总角动量L在 方向的分量
u ∗ ,l , m e n
l
−i
Ent h
= R n2,l Θ l2,m Φ m l Φ
l
∗
ml
电子的概率随 ϕ 的分布
P (ϕ ) = Φ m l Φ
∗
ml
= A2
在不同 ϕ 角，单位体积内电子概率分布是相同的
概率密度角分布对z轴是对称的； 电子随 ϕ 的概率密度角分布对z轴是对称的； 对l=0的状态，是球对称的； =0的状态，是球对称的； =0的状态 l值相同 l不同时，概率密度随 l增大从集中于z轴 值相同m 值相同 不同时，概率密度随m 增大从集中于z 向与z轴垂直方向移动； 向与z轴垂直方向移动； 可以证明，对于同一l值不同 值不同m 可以证明，对于同一 值不同 l的各状态的概率密 度之和与 θ 、 ϕ 无关，具有球对称性。 无关，具有球对称性。 电子径向概率随r的分布 电子径向概率随 的分布
大学物理15.7氢原子量子描述及电子自旋
( a )处于能级 En 的原子,其角动量共
有 n 种可能值。 ( b )角动量状态符号:
l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
~ s , p , d , f , g , h , ...
原子状态符号:
1 s ---基态( n=1, l =0),
E1 13.6ev, L 0
2 p ---第一激发态( n =2_, l =1),
1_h
2
表明:自旋角动量是量子化的,其空
间取向也是量子化的。
_ Sz h
B2
3_h
2
O
_ h 四、四个量子2 数
原子中电子的稳定运动状态由
(n,l, ml , ms )四个量子数来表征。一组 量子数对应于一个状态,其中只要有
一个量子数变化,则状态就发生变化。
(1)主量子数 n :n=1, 2, 3,... 大体上决定能级 En
E2 3.4ev, L 2h
(3)空间量子化 ----角动量空间取向量子化
取空间某一特定方向(如外磁场 方向)为Z 轴,则角动量 L 在Z轴的
投影只能是:
_
Lz ml h
(ml 0,1,2,... l)
ml : 磁量子数,决定L的取向
说明:
( a )对于一定大小的角动量, ml 有
2l 1 种可能取值。
(2)副量子数 l: l =0, 1, 2, …,(n-1) 决定轨道角动量 L 的大小。
(3)磁量子数ml : ml 0,1,2,...,l
决定轨道角动量的空间取向。
(4)自旋磁量子数 ms :
1
ms
2
决定自旋角动量的空间取向
_
Sz ms h
15.6.1氢原子的薛定谔方程 - 氢原子的薛定谔方程
s
1
，即
2
S
3 2
自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量:
Sz ms
ms
1 2
ms称为自旋磁量子数
8
1 ms 2
Sz / 2
电子的自旋角动量和自旋磁量子数
z
Sz
S
Sz
1ห้องสมุดไป่ตู้
ms
1 2
2
o
S 3
2
1 2
1 ms 2
9
5 小结 原子中的电子的运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表示.
主量子数 n 决定电子的能量 副量子数 l 决定电子的轨道角动量 磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向 自旋量子数ms决定自旋角动量的方向
10
磁量子数
h / 2π 约化普朗克常数
6
例如，l 1时，
L l(l 1) h 2 h 2 2π 2π
磁量子数 ml =0, 1， 相应的
Lz
0,
h 2π
,
h 2π
z
z
LZ
L
ħ
o
L 2
ħ
7
4 电子的自旋和自旋磁量子数
自旋角动量 S s(s 1)
式中自旋量子数
4πε0r
0
分离变量法求解,设
(r, ,) R(r)Θ( )Φ()
2
得
d 2Φ
d 2
ml 2Φ
0
ml 2
sin 2
1
Θ sin
d
d
(sin
dΘ ) l(l
d
薛定谔方程求解氢原子
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )
E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为
En,l
13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1
2大学物理量子力学的氢原子理论四个量子数 (1)
综上
电子状态：由 n, l, ml , m四s 个量子数决定。
轨道能量：由 n, l两个量子数决定。
(1) 主量子数 n ： n =1,2,3,… 决定电子能量的
大小
(2) 角量子数 l : l =0,1,2,…, n-1。决定电子轨道
角动量的大小。
(3) 磁量子数 m：l ml 0 ,1,2, ,l
2
2
采用分离变量法求解，令
(r,,) R(r) （）（）
（1）径向波函数方程
1 r2
d dr
(
r2
dR dr
)
2me 2
E
e2
4
0r
l(
l 1)
r2
R
0
（2）轨道角动量波函数方程
1
sin
d
d
(sin
d d
1 2
,
1 2
状态数为14, n大于等于4.
例：试问氢原子处于 n=2 能级有多少个不同的 状态？并列出各个状态的量子数。
解：n=2 时的状态数为 2n2 个8。 l 可能取
值为 0，1两个值。
当 l 0 时， ml 0,
1 ms 2
or
1 ms 2
当 l 1 时，可能有
第六节
量子力学的 氢原子理论
一、氢原子的定态薛定谔方程
势能分布
U (r) e2
4 0 r
属定态问题，符合定态薛定谔方程
h2
2me
2
U (r)
E
球坐标中的拉普拉斯算符：
2
1 r2
§17氢原子的薛定谔方程解
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是， 是原子物理学最重要的实验之一。
基态氢原子束通过非均匀磁场时将分裂开 基态氢原子的原子态
2S1
2
N
S
无磁场
有匀强 磁场
有非匀 强磁场
用量子化磁矩理论来解释氢原子偏转现象
对均匀磁场: F 0 , 原子不改变运动路径.
*非均匀磁场中,环绕电流所受的合外力
F
dB
dr
如果非均匀磁场的方向规定为z方向，
则原子内部的总磁矩就会绕着此方向转动，
而且绕的角度是量子化的，即在z方向投影 是量子化的，那么受到的力的大小
F
z
dB dz
g
jmjB
dB dz
也是量子化的
以上理论预言在实验上的验证！
史特恩-革拉赫实验
jz
朗德因子
g jmjB gj
3 s(s 1) l(l 1) 2 2 j( j 1)
多电子的总磁矩
J gJ J (J 1)B Jz gJ mJ B
朗德因子
Jz gJ mJ B
gJ
3 2
S(S
1) L(L 1) 2J (J 1)
S s(s 1) s 2 s(s 1)B
J j( j 1) j ?? j( j 1)B
Jz mj
jz ?? m j B
单电子原子的总磁矩
l s
与j并不正好反向
在 j方向投影 j 是恒定的，垂直 j 的分量因旋转，其
即对应着产生磁矩的角动量也是量子化的理论是成立的！
氢原子薛定谔方程的解
2
如图所示，n增大时 ， 能级间隔减小；n 很大时间隔非常小， 可看成连续变化。
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-13.6eV
1
主量子数 n
氢原子能级图
氢原子薛定谔方程的解 （2）角动量量子化
第十一章 量子物理学基础
方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动 量是量子化的，其大小为：
其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。 说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z
y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向 量子化的情形。
ml=Lz/h
2 1 0 -1 1 0 -1 -2
3 2 1 0 -1 -2 -3
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
（4）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。 在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但 在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。 B K P 结果：无外场时，P上沉积一 条正对B的痕迹；有外 场时，出现几条不连 续的线状痕迹。 此实验最初用s态银原子进行， 原子射线分裂为二条，且二 者偏转上下对称。 因 s态原子 l=0本身无动量矩和磁矩。
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练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为−0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为(A ) 2.56eV 。
(B ) 3.41eV 。
(C ) 4.25eV 。
(D ) 9.95eV 。
2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为(A ) 9/8。
(B ) 19/9。
(C ) 27/20。
(D ) 20/27。
3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为：(A ) 5/2。
(B ) 5/3。
(C ) 5/4。
(D ) 5。
4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将(A ) 增大D 2倍。
(B ) 增大2D 倍。
(C ) 增大D 倍。
(D ) 不变。
5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。
应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为：(A ) ћ/(ma 2)。
(B ) ћ2/(2ma 2)。
(C ) ћ2/(2ma )。
(D ) ћ/(2ma 2)。
6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ(A ) 只需满足归一化条件。
(B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。
(C ) 只需满足连续与归一化条件。
(D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。
7. 反映微观粒子运动的基本方程是(A ) 牛顿定律方程。
(B ) 麦克斯韦电磁场方程。
(C ) 薛丁格方程。
(D ) 以上均不是。
8. 已知一维运动粒子的波函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧==−0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =(A)k1。
(B) 1/k2。
(C)k。
(D) 1/k。
9. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出(A) 一种波长的光。
(B) 两种波长的光。
(C) 三种波长的光。
(D) 连续光谱。
10. 已知用光照的方法将氢原子基态电离，可用的最短波长是913Å的紫外光，那末氢原子从各受激态跃迁至基态的赖曼系光谱的波长可表示为(A) 913(n-1)/(n+1) Å。
(B) 913(n+1)/(n-1) Å。
(C) 913(n2+1)/(n2-1) Å。
(D) 913n2/(n2-1) Å。
11. 如图所示，一维势阱中的粒子可以有若干能态，如果势阱的宽度L缓慢地减小，则(A)每个能级的能量减小。
(B)能级数增加。
(C)每个能级的能量保持不变。
(D)相邻能级间的能量差增加。
12. 根据量子力学原理，氢原子中电子绕核运动动量矩的最小值为(A)2ћ。
(B)ћ。
(C)ћ/2。
(D) 0。
13. 按氢原子理论，当大量氢原子处于n =4的激发态时，原子跃迁将发出：(A)三种波长的光。
(B)四种波长的光。
(C)五种波长的光。
(D)六种波长的光。
14. 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的条数是：(A) 1。
(B) 2。
(C) 3。
(D) 6。
二、填空题E3 E2E11. 图所示为被激发的氢原子跃迁到低能级时的能级图(图中E1不是基态能级)，其发出的波长分别为λ1、λ2和λ3，其频率ν1、ν2和ν3的关系等式是；三个波长的关系等式是。
2. 设描述微观粒子运动的波函数为Ψ(r v，t)，则ΨΨ﹡表示，Ψ(r v，t)须满足的条件是，其归一化条件是。
3. 粒子在一维无限深势阱中运动(势阱宽度为a )，其波函数为Ψ(x )=ax a π3sin 2。
(0 < x < a ) 粒子出现的概率最大的各个位置是x = 。
4. 已知宽度为a 为一维无限深势阱中粒子的波函数为Ψ= A sin ( n πx /a )，则规一化常数A 应为 。
5. 氢原子基态电离能是 eV ，电离能为0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处在n= 的轨道上运动6. 宽度为1Å的无限深势阱中n = 1时，电子的能量为 eV ，宽度为1cm 的无限深势阱中n = 1时，电子的能量为 eV (E n = h 2n 2/(8ma 2) )。
7. 氢原子基态的电离能是 eV 。
电离能为0.544eV 的激发态氢原子，其电子处在n = 的轨道上运动。
8. 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。
9. 如果要使氢原子能发射巴耳末系中波长为6562.8 Å的谱线，那么最少要给基态的氢原子提供_________________eV 的能量。
(里德伯常量R =1.097×107 m −1 )10. 玻尔氢原子理论中，电子轨道角动量最小值为____________；而量子力学理论中，电子轨道角动量最小值为____________。
实验证明____________理论的结果是正确的。
11. 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为)sin(2)(a x a x π=ψ (0 ≤x ≤a )求发现粒子的概率为最大的位置为 。
12. 根据不确定关系2ΔΔh ≥⋅x p x ,估计出边缘在2a x −=到2a x =的一维无限深方势阱中运动的粒子(质量为m ) 的最小动能为 。
13. 在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度d 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。
利用这一条件导出能量量子化公式为 。
[提示：非相对论的动能和动量的关系()m p E 22k =]14. 钴 (Z = 27 ) 有两个电子在4s 态，没有其它n ≥4的电子，则在3d 态的电子可有____________个。
15. 在氢原子光谱中；赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系)的最短波长的谱线所对应的光子能量为 eV ；巴耳末系的最短波长的谱线所对应的光子的能量为 eV 。
(里德伯常量R = 1.097×107m ⋅s -1，普朗克常量h = 6.63×10−34J ⋅s ，1eV =1.6×10-19J ，真空中光速c = 3×108m ⋅s −1)16. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为，当角量子数l = 2时，L h l z m L =z 的可能取值为 。
17. 根据量子力学理论，原子内电子的量子态由(n ，l ，m l ，m s )四个量子数表征。
那么，处于基态的氦原子内两个电子的量子态可由 和 两组量子数表征。
18. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为h )1(+=l l L , 当主量子数n = 3时，电子动量矩的可能取值为 。
19. 根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个量子数来确定，其中主量子数n 可取的值为 ，它可决定 。
20. 主量子数n = 4的量子态中，角量子数l 的可能取值为 ；磁量子数m l 的可能取值为 。
21. 原子中电子的主量子数量 = 2，它可能具有的状态最多为 个。
22. 在主量子数n = 2，自旋磁量子数m s =21的量子态中，能够填充的最大电子数是 。
23. 原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征。
当n 、l 、m l 一定时，不同的量子态数目为 ；当n 、l 一定时，不同的量子态数目为 ；当n 一定时，不同的量子态数目为 。
24. 泡利不相容原理的内容。
25. 氢原子光谱中帕邢系第一条谱线(波长最长的谱线)的波长为 nm 。
26. 欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为4861.3Å的谱线,最少要给基态氢原子提供 eV 的能量。
(里德伯恒量R = 1.096776×107m -1)27. 电子的自旋磁量子数 m s 只能取 和 两个值。
28. 设金刚石的禁带宽度为，则才用光激发的方法将电子由价带激发到导带所需的最大的波长为 eV 33.5g =E 。
29. 在硅或锗中掺入的五价元素原子可以给出 ，故称为 。
此种半导体称为 型半导体。
30. 某金属的逸出功为4.94 eV ，费米能量为7.00 eV 。
若要使一个电子从势阱底部逸出金属表面，所需光子的最小能量为 eV ，该光子的波长为 nm ，用该波长的光照射金属时，逸出光电子的最大动能为 eV 。
练习二十三答案一、1. A ，2. C ，3. A ，4. D ，5. B ，6. D ，7. C ，8. D ，9. C ，10. D ，11. D ，12. D ，13. D ，14. C 。
二、1.ν3 =ν1 +ν2；1/λ3 = 1/λ1 +1/λ2，2. 粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度；单值，有限，连续；∫=1d d d 2z y x Ψ，3. a /6；a /2；5a /6，4. (2/a )1/2，5. 13.6eV ，6. 37.7eV ；3.77×10−15eV ，7. 13.6eV ；5，8. 2.55eV ，9. 12.09，10. h /(2π)；0；量子力学。
11. 2a x =， 12. 228ma E h =， 13. 2228n md h E =， 14. 7， 15. 13.6；3.4，16. 0；；h ；；，h −h 2h 2−17. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛21 0 0 1 21 0 0 1，，，；，，，， 18. h h 6 2 0；；，19. 1，2，3，……(正整数)；原子系统的能量，20. 0，1，2，3；0，±1，±2，±3，21. 8，22. 4，23. 2；2(2l +1)；2n 2，24. 一个原子内部不能有两个或两个以上的电有完全相同的四个量子数(n 、l 、m l 、m s )，25. 1875，26. 12.75，27. 1/2；-1/2，28. 233nm ，29. 电子；施主；N (电子)，30. 11.94 eV ；103.64nm ，7.00 eV 。