高等数学入门1(预备知识)配套习题(基础版)
高数基础考试题库及答案
高数基础考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x+1答案：B4. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. x^e + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. -3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的极值点为______。
答案：x=-1或x=22. 函数y=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)3. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有______。
答案：最大值和最小值4. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为______。
答案：05. 微分方程dy/dx=2x的通解为______。
答案：y=x^2+C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
计算f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-2，因此最大值为0，最小值为-2。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)。
解：将分子分母同时除以x^3，得到lim(x→∞) [(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x-5/x^2)]，当x趋向于无穷大时，极限值为1/1=1。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是减函数。
高数一基础知识
高数一基础知识高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a⎧=⎨-⎩a a ≥∠3．乘法公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)4.一元二次方程（1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2+px+q=0设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；1212p qx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩（4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1nna a = （2）m n m na a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;(1)x y x y a a a +⋅=(2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数,记作：log a n =X,lnX ，lgX;5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N(2) loglog log a a MM N N=- (3) log log xa a N x N =⋅ (4)换底公式：log log log a b a NN b =（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式 （1）;X a a X a ≤⇒-≤≤ （2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：0122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程 判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号；例：（1）2560;xx -+≥ （2）2320;xx -+＜（四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c=++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a-（-,）； 对称轴：2bx a=-； 最值：244ac b y a-=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （n=1,2,3）；4、指数函数：xy a = （x e ）；5、对数函数：y=ln x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角(二)三角变换 1．倒数关系sin α·csc α=1 tan α·cot α=1 sec α·cos α=1sec α=1cos α csc α=1sin α cot α=1tan α 2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
高等数学基础版习题
求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；
求一个函数相应于闭区间的一个带标志点划 分的黎曼和关于这个划分的参数趋于零时的 极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积 分。
整理课件
下面主要讲下不定积分的求解；求定积 分，可先求不定积分，再利用牛顿-莱 布尼兹公式，可得结果。
1
整理课件
3、分部积分法
d d
(1) Pm (x)为m次多项式， eax ,sin axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos ax (2) ln x, arctan x, arcsin x， Pm (x) (3) eax， cos x,sin x (3)会出现循环，注意， 选取的函数不能改变。
I1
认真观察被积函数，找特点，应用 恰当的方法，再求解
•1、直接积分法。
所谓直接积分法，就是被积函数比较简单的情况下 ，可直接利用基本积分公式（3.1-P131）或积分基 本性质（3.2-P133）（这两个一定要记牢）求解或 者稍微拆分变型一下再求积分。
整理课件
习题3.1——1 求不定积分
3
1 x dx
0
2
2 x2d cos x
0
2
2
x
2
cos
x 2
0
2
0
x cos
x 2
dx
x
80 xd sin 2
8
x
sin
x 2
0
0
sin
x 2
dx
8
16 cos x 2
0
8 16
整理课件
4
1
0
x
arctan
xdx
1 1arctan xdx2
高等数学第一章课后习题答案(带解析)
第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。
2021_2022学年新教材高中数学第1章预备知识单元复习课第1课时预备知识巩固练习含解析北师大版必
第1课时 预备知识课后训练·巩固提升1.若全集U={0,1,2,4},且∁U A={1,2},则集合A=()A.{1,4}B.{0,4}C.{2,4}D.{0,2}U={0,1,2,4},且∁U A={1,2},则集合A={0,4},故选B .2.若命题p :∃x ∈R ,使2x 2+1≤2,则该命题的否定是()A.∃x ∈R ,使2x 2+1>2B.∃x ∈R ,使2x 2+1≥2C.∀x ∈R ,有2x 2+1≤2D.∀x ∈R ,有2x 2+1>2,可知命题p 的否定是“∀x ∈R ,有2x 2+1>2”.3.已知集合A={x|x 2-2x+1>0},B={y |y =x 2+12},则A ∩B=()A.[12,+∞)B.(1,+∞)C.[12,1)D.[12,1)∪(1,+∞)A={x|x 2-2x+1>0}={x|x ≠1},B={y |y =x 2+12}={y |y ≥12}, ∴A ∩B={x |x ≥12,且x ≠1}.4.若x ∈(1,+∞),则y=3x+1x -1的最小值是.x ∈(1,+∞), ∴y=3x+1x -1=3(x-1)+1x -1+3≥2√3+3,当且仅当x=1+√33时取等号.故所求最小值为2√3+3.√3+35.已知全集U=R ,集合A={x|x 2-3x-10<0},B={x|m+1≤x ≤2m-1}.(1)当m=3时,求集合(∁U A )∩B ;(2)若A ∩B=B ,某某数m 的取值X 围.集合A={x|x 2-3x-10<0}={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},当m=3时,B={x|4≤x ≤5},所以∁U A={x|x ≤-2,或x ≥5},所以(∁U A )∩B={5}.(2)因为A ∩B=B ,所以B ⊆A.①当B=⌀时,有m+1>2m-1,解得m<2,此时满足B ⊆A.②当B ≠⌀时,要使B ⊆A ,应满足{m +1≤2m -1,m +1>-2,2m -1<5,解得2≤m<3.综上所述,实数m 的取值X 围是{m|m<3}.1.设集合M={1,2,3},N={z|z=x+y ,x ∈M ,y ∈M },则集合N 中的元素个数为()A.3B.5C.6D.9,N={2,3,4,5,6}, ∴集合N 中的元素个数为5.故选B .2.下列说法正确的是()A.若x>y>z,则|xy|>|yz|B.若1a <1b<0,则ab>b2C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a2x>a2y,则x>y中,取x=1,y=-2,z=-3,则1>-2>-3,但|1×(-2)|<|(-2)×(-3)|,所以A错误;B中,若1a <1b<0,则b<a<0,则b2>ab,所以B错误;C中,取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则-1>-2,-3>-4,但-1×(-3)<-2×(-4),所以C错误; D中,若a2x>a2y,则a2(x-y)>0,则x-y>0,则x>y,所以D正确.3.若正实数x,y满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值X围是()A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)(1 x +4y)(x+y4)=2+y4x+4xy≥2+2√y4x·4xy=4,则x+y4≥4,所以不等式x+y4<m2-3m有解,可转化为4<m2-3m,解得m<-1,或m>4,选C.4.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值X围是.B=⌀时,显然B⊆A,此时有m+1≥2m-1,得m≤2.当B≠⌀时,要使B⊆A,在数轴上表示出集合A,B,如图.则有{m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2<m≤4.综上,实数m的取值X围为m≤4.m|m≤4}5.已知关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2<0.(1)当a=3时,求不等式的解集;(2)当a<0时,求不等式的解集.当a=3时,不等式为3x2-5x-2<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得-13<x<2.所以不等式的解集为{x|-13<x<2}.(2)由不等式ax2+(1-2a)x-2<0,可得(ax+1)(x-2)<0.又方程(ax+1)(x-2)=0的两根为x1=-1a,x2=2.①当-1a >2,即-12<a<0时,原不等式的解集为{x|x<2,或x>-1a};②当a=-12时,原不等式的解集为{x|x≠2};③当-1a <2,即a<-12时,原不等式的解集为{x|x>2,或x<-1a}.6.某批发站全年分批购入每台价值为3 000元的电脑共4 000台,每批都购入x台,且每批均需付运费360元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运费和保管费共43 600元.现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.120台时,可以使资金够用.理由如下:设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比的比例系数设为k,每批购入x台,则共需分4000x批,每批价值3000x元.由题意知y=4000x×360+3000kx,当x=400时,y=43600,解得k=130,所以y=4000x ×360+100x≥2√4000x×360×100x=24000(元),当且仅当4000×360=100x,即x=120时等号成立.x故当每批购入电脑120台时,可以使资金够用.。
高数第一章复习资料
⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1.已知得定义域为,求得定义域。
答案:2.求得连续区间。
提⽰:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。
答案:⼆、判断两个函数就是否相同？1., 就是否表⽰同⼀函数？答案:否2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同三、奇偶性1.判断得奇偶性。
答案:奇函数四、有界性,使,则在上有界。
有界函数既有上界,⼜有下界。
1.在内就是否有界？答案:⽆界2.就是否有界？答案:有界,因为五、周期性1.下列哪个不就是周期函数(C)。
A. B. C. D.注意: 就是周期函数,但它没有最⼩正周期。
六、复合函数1.已知,求例:已知,求解1:解2:令, , ,2.设,求提⽰:3.设,求提⽰:先求出4.设,求提⽰:七、函数图形熟记得函数图形。
第⼆章极限与连续⼋、重要概念1.收敛数列必有界。
2.有界数列不⼀定收敛。
3.⽆界数列必发散。
4.单调有界数列极限⼀定存在。
5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、⽆穷⼩得⽐较1.时,下列哪个与就是等价⽆穷⼩(A)。
A. B. C. D.⼗、求极限1.⽆穷⼩与有界量得乘积仍就是⽆穷⼩。
, , , ,2.⾃变量趋于⽆穷⼤,分⼦、分母为多项式例如: 提⽰:分⼦、分母同除未知量得最⾼次幂。
3.出现根号,⾸先想到有理化补充练习:(1) (2)(3) (4)(5)4.出现三⾓函数、反三⾓函数,⾸先想到第⼀个重要极限例:作业:P49 7 (1)~(3)5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,⾸先想到第⼆个重要极限例:作业:P49 7 (4)~(6)6.、、、、、、,可以使⽤洛必达法则作业:P99 5 (1)~(8)7.分⼦或分母出现变上限函数提⽰:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数例:补充练习:(1) (2)(3) (4)⼗⼀、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。
分段函数可能得间断点就是区间得分界点。
若,则在处连续,否则间断。
北师版高中数学必修第一册课后习题 第1章 预备知识 1.2 集合的基本关系
1.2 集合的基本关系课后训练巩固提升1.以下关系式错误的个数为( ).①0∈0;②0⊇⌀;③0.3∉Q;④0∈N;⑤{a,b}⊆{b,a};⑥{x∈Z|x2-2=0}是空集.A.4B.3C.2D.1,故①错误;“⊇”表示集合与集合间的关系,故②错误;Q是有理数集,0.3是有理数,所以有0.3∈Q,故③错误;N是自然数集,0是自然数,所以0∈N.故④正确;由子集的定义知{a,b}⊆{b,a},故⑤正确;{x∈Z|x2-2=0}=⌀,故⑥正确.2.已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的子集的个数为( ).A.8B.2C.4D.7A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},当x=0,y=0时,z=0;当x=0,y=1或x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=1时,z=2,所以集合B中含有3个元素,其子集的个数为23=8.3.已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( ).A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D,∴C⊆B.4.(多选题)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则集合A可以是( ).A.{1,8}B.{2,3}C.{1}D.{2}A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},所以集合A一定是由集合B与C的公共元素构成的集合的子集,结合选项可知A,C正确.5.已知集合A={-2,3,6m-6},若{6}⊆A,则实数m= .{6}⊆A,所以6∈A,所以6=6m-6,即m=2.6.已知集合A={x|1<x<1 021},B={x|x≤a},若A⫋B,则实数a的取值范围为.A={x|1<x<1021},B={x|x≤a},且A ⫋B,可得a≥1021.7.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac 2},若A=B,求c 的值.,知b≠0,c≠±1,c≠0,a≠0.又A=B,∴{a +b =ac ,a +2b =ac 2,或{a +b =ac 2,a +2b =ac . ∴a=2ac-ac 2或a=2ac 2-ac,即c 2-2c+1=0或2c 2-c-1=0,又c≠±1,∴c=-12. 故所求实数c 的值为-12.1.已知集合A={x ∈N|-3≤x≤1},B={y|y ⊆A},则集合B 中元素的个数为( ).A.2B.3C.4D.5A={x ∈N|-3≤x≤1}={0,1},B={y|y ⊆A}中的元素为集合A 的子集,故集合B 中元素的个数为22=4.2.集合A={a,a 2+1,1},B={2a},若B ⊆A,则实数a=( ).A.-1B.0C.12D.1B ⊆A,∴2a ∈A.①当2a=a 2+1时,解得a=1,则A={1,2,1},故a=1不成立;②当2a=a 时,即a=0,则A={0,1,1},故a=0不成立;③当2a=1时,即a=12,则A={12,54,1},B={1},a=12符合题意,故a=12.3.若集合A 满足={-1,0,12,13,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有自倒关系的集合的个数为( ).A.7B.8C.16D.15,集合M 中的元素1和-1的倒数等于本身,满足自倒关系; 2和12必须同时出现在同一个集合中,只能算一个元素,3和13必须同时出现在同一个集合中,只能算一个元素,所以既满足自倒关系集合定义,又是集合M 的子集的集合元素的个数最多有4个,故所求集合的个数为24-1=15.4.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1<x-1<4}.(1)若A=B,则y 的值为 ;(2)若A ⊆C,则实数a 的取值范围是 .由题意可得,a=2或a-1=2.若a=2,则A={1,2},此时y=1;若a-1=2,则A={2,3},此时y=3.综上可知,y 的值为1或3.(2)因为C={x|2<x<5},所以{2<a <5,2<a -1<5,解得3<a<5. 故实数a 的取值范围为(3,5).或3 (2)(3,5)5.设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k -1≤x≤2k+1,k∈R},且B ⊆A,则实数k 的取值范围是 .B={x|2k-1≤x≤2k+1,k∈R},所以B≠⌀.又B ⊆A,所以有{-3≤2k -1,2k +1≤2,解得-1≤k≤12. :[-1,12] 6.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0}的子集只有两个,求实数a 的值.A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素.当a=0时,x=23,满足条件. 当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0,得a=98. 综上,a 的值为0或98.。
高数大一上知识点习题
高数大一上知识点习题1. 基本函数与性质1.1 函数与映射的概念函数的定义及其基本性质映射的定义及其基本性质1.2 基本函数的性质与图像幂函数、指数函数、对数函数的性质与图像三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的性质与图像1.3 复合函数与反函数复合函数的定义与性质反函数的定义与性质2. 三角函数与三角恒等式2.1 弧度制与角度制弧度制与角度制的转换关系2.2 三角函数各三角函数定义及其基本性质正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性及图像三角函数的图像变换2.3 三角恒等式基本三角恒等式的推导与应用和差化积与积化和差的相关公式3. 极限与连续3.1 数列的极限数列的极限概念及其基本性质收敛数列与发散数列的判断方法重要极限的计算方法3.2 函数的极限函数极限的定义及其基本性质极限运算法则已知函数极限，确定参数的值3.3 连续与间断函数的连续性与间断点的概念连续函数的性质与运算法则间断点的分类及其特点4. 导数与微分4.1 导数的概念与性质导数的定义及其物理意义导数的四则运算法则导数与几何意义的关系4.2 基本初等函数的导数幂函数、指数函数、对数函数的导数三角函数的导数及其运算法则4.3 高阶导数与导数的应用高阶导数的概念与计算函数在一点的泰勒公式导数在几何上的应用5. 定积分5.1 定积分的概念与性质定积分的定义及其几何意义定积分的性质及运算法则5.2 定积分的计算方法第一类换元法第二类换元法分部积分法5.3 定积分的应用曲线的弧长与曲面的面积平面图形的面积物理应用问题中的定积分以上是高数大一上的知识点习题，希望你能根据这些内容进行学习和练习。
高数作为大一学生的重要基础课程，掌握好这些知识点对于日后的学习和发展都具有重要意义。
祝你学业进步！。
高中数学必修一第一章 2.1 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用 (2)
第一章预备知识§2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={1,a 2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A ∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“a=2”时,显然“A ∩B={4}”;但当“A ∩B={4}”时,a 可以为-2,故不能推出“a=2”.2.若p :x-1≤1,q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(-∞,-2),p :x-1≤1,解得x ≤2.设A={x|x ≤2},B={x|x ≤a },因为p 是q 的充分不必要条件,所以A 是B 的真子集.则a>2.故选A .3.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x ≤-2,或x ≥4},则“A ∩B=⌀”的充要条件是( )A.0≤a ≤2B.-2<a<2C.0<a ≤2D.0<a<2A ∩B=⌀,得{a -2≥-2,a +2≤4,故0≤a ≤2.4.已知p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,若q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .,命题p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,因为q 是p 的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2,即实数m 的取值范围是(2,+∞).+∞)5.在△ABC 中,判断“∠B=∠C ”是否是“AC=AB ”的充要条件.“在三角形中,等角对等边”,所以∠B=∠C ⇒AC=AB ;又因为“在三角形中,等边对等角”,所以AC=AB ⇒∠B=∠C.从而∠B=∠C ⇔AC=AB ,因此△ABC 中,“∠B=∠C ”是“AC=AB ”的充要条件.6.求证:“关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.充分性)因为ac<0,所以一元二次方程ax 2+bx+c=0的判别式Δ=b 2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x 1,x 2,则x 1x 2=c a<0,所以方程的两根异号.即方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根.(必要性)一元二次方程有一正根和一负根,设为x 1,x 2,则由根与系数的关系得x 1x 2=c a <0,即ac<0.综上可知,“一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.7.设p :x>a ,q :x>3.(1)若p 是q 的必要不充分条件,求a 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围;(3)若a 是方程x 2-6x+9=0的根,判断p 是q 的什么条件.A={x|x>a },B={x|x>3}.(1)若p 是q 的必要不充分条件,则有B ⫋A ,所以a 的取值范围为{a|a<3}.(2)若p 是q 的充分不必要条件,则有A ⫋B ,所以a 的取值范围为{a|a>3}.(3)因为方程x 2-6x+9=0的根为3,则有A=B ,所以p 是q 的充要条件. 关键能力提升练8.已知p :|x|<a (a>0),q :-1<x+1<4,若p 是q 的充分条件,则a 的取值范围是 ,若p 是q 的必要条件,则a 的取值范围是 .:-a<x<a ,q :-2<x<3,若p 是q 的充分条件,则(-a ,a )⊆(-2,3),所以{-a ≥-2,a ≤3,故a ≤2. 若p 是q 的必要条件,则(-2,3)⊆(-a ,a ),所以{-a ≤-2,a ≥3,则a ≥3.-∞,2] [3,+∞)9.设集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|ax=1},若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a 组成的集合.A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,∴B⫋A.当B=⌀时,得a=0;当B≠⌀时,由题意得B={1}或B={2}.当B={1}时,得a=1;当B={2}时,得a=12.综上所述,实数a组成的集合是0,1,12.10.(2020江苏高邮中学高一月考)已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.充分性(条件→结论)因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.(2)必要性(结论→条件)因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,而a2-ab+b2=a-b22+3b24,又ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a-b22≥0,且3b24>0,所以a2-ab+b2=a-b22+3b24>0,所以a-b=0成立.综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.11.已知p:0<x+m<3m(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.p解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有{-m≥0,2m≤4,m>0,解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有{-m≤0,2m≥4,m>0,解得m≥2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).学科素养拔高练12.证明:如图,“梯形ABCD为等腰梯形”的充要条件是“AC=BD”.(必要性)在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠DCB.又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB(SAS),∴AC=BD.②(充分性)如图,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.∵AD∥BE,DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC.∵AC=BD,∴BD=DE.∴∠E=∠1.又∵AC∥DE,∴∠2=∠E,∴∠1=∠2,在△ABC和△DCB中,{AC=D B,∠2=∠1, BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴AB=DC.∴梯形ABCD为等腰梯形.综上可得,“梯形ABCD为等腰梯形”的充要条件是“AC=BD”.。
大一高数础练习题.docx
高等数学》（理工类）1.设y = f（x）的定乂域为（0,1], 9（x） = l — lnx,则复合函数尸舟心]的定义域为； 0 < In x < 1, x e [1, e）2,已知KT时，arcta点与工是等价无穷小，则COSX. [.arctan3x 3 . 。
.a = ； lim ----------- = 一= 1,白=3；10 ax a3 .函数尸已丑+c任，W dy=_________________________ ；x 6—(2 cos 2x - sin 2x)dx；x4 . 函数VfL的拐点为；矿=e-' (x - 2) = 0, X = 2 , (2,2e-2). n5.设函数/(x)= SmX，X<| ,当。
二时，f⑴在3tz + X , x —~I 2处连续；1-^/2 ；6.设y = y(x) 是由方程八"2 = 0所确定的隐函数，则7.函数川）=工的跳跃间断点是/(r)= o, /(r)= i,x = i;8 .足分^「(Ji-/ +sinx)<ix =； 2\ll-x 2dx = ^/29 .已知点空间三个点肱(1,1,1), A(2,2,1),8(2,1,2),则ZAMB=；时3；10. 已矢口 a = (2,3,l)人= (1,2,3), axb =二、计算题(每小题6分，共42分)x = 求您以及空。
y — arctan t dx dx 2 1 解”虬(1 +尸)，也= 1±Z = Z,空=-瑚2 dx t t dx 2 t1 +尸5. 计算不定积分俨日mjln(ln x)d Inx (7,-5,1)1. 求极限吨地＜4=；。
arc sm2x 22. 求极限limC sin 3 x ,e dt _ 12 ____ — lim x-sinx x->0 3 sin 2 x^sin3% 右--------------=o 1 一 COS X3. 设y = e^ -sinx,求坐。
高等数学基础习题集(含答案)
x[ ] 1 ；同理可得 lim x[ ] 1 ，因此， lim x[ ] 1 ，证毕. 夹逼准则可得 lim
x 0 x 0
1 x
1 x
1 x
13、设 a1 2, an 1
1 1 (an ), n 1, 2,..., 证明： lim an 存在. n 2 an
(1) 对于任意的 x (0, ) ，有 f ( x) (2) 对于任意的 x ( , 0) ，有 f ( x) 【解题思路】用极限的局部保号性即可.
【详解】 由保号性， 存在 0 ， 当 0 x 0 时，
则 f ( x) f (0) 0 ，故 f ( x) f (0) ；同理，若 x ( , 0) ，则 f ( x) f (0) .
x2 , x0, （C） f ( x) 2 x x, x 0.
x 2 x, x 0, （D） f ( x ) 2 x 0. x ,
【解题思路】按题目给出的分段函数，直接将自变量用 x 代替. 【详解】由于 x 0 时， x 0 ，故 f ( x) x x ，同理可得 x 0 时函数表达式.选 D.
高等数学基础练习题
第一章
1、设 f ( x)
函数、极限、连续
则（ ）
x2 ,
2
x x,
2 ( x x), x 0.
x0,
（B） f ( x )
( x 2 x), x 0, x2 , x 0.
4、设 1 x(cos x 1), 2 小量按照从低阶到高阶的排序是
x ln(1 3 x ), 3 3 x 1 1 .当 x 0 时，以上 3 个无穷
北师版高中数学必修第一册课后习题 第1章 预备知识 2.1第2课时 充要条件 (2)
第2课时充要条件课后训练巩固提升1.设x∈R,则“x>1”是“x2>1”的( ).A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2>1”,但“x2>1”不一定得到“x>1”,所以“x>1”是“x2>1”的充分条件,但不是必要条件.2.(多选题)对任意实数a,b,c,下列说法正确的有( ).A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件D.“a<5”是“a<3”的必要条件解析:A中,“a=b”⇒“ac=bc”,但“ac=bc”“a=b”,故“a=b”是“ac=bc”的充分条件,但不是必要条件.B中,“a+5是无理数”⇒“a是无理数”,“a是无理数”⇒“a+5是无理数”,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.C中,“a>b”“a2>b2”,“a2>b2”“a>b”,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.D中,{a|a<3}⊆{a|a<5},故“a<5”是“a<3”的必要条件.3.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( ).A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a=1时,N={1},显然满足N⊆M,所以充分性成立;当N⊆M时,有a2=1,或a2=2,即a=±1,或a=±√2,故必要性不成立,所以选A.4.如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( ).A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙,如图.(第4题答图)综上,有丙⇒甲,但甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.5.在下列三个结论中,正确的有( ).①“x2>4”是“x<-2”的必要条件,但不是充分条件;②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.A.①②B.②③C.①③D.①②③x<-2⇒x2>4,但是x2>4⇒x>2,或x<-2,不一定有x<-2,故①正确;当B=90°,或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故②错误;由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故③正确.6.已知p:a+c=2b,q:ab +cb=2,则p是q的( ).A.必要条件,但不是充分条件B.充分条件,但不是必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若ab +cb=2,则a+c=2b,由此可得必要性成立;但当a+c=2b时,不一定得出ab +cb=2,如a=-1,b=0,c=1.所以p是q的必要条件,但不是充分条件,故选A.7.“0<a≤1”是“方程ax2+2x+1=0只有负实数根”的条件,“0≤a≤2”是“方程ax2+2x+1=0只有负实数根”的条件.ax2+2x+1=0只有负实数根,则当a=0时,方程2x+1=0的根为x=-12,符合题意;当a≠0时,方程ax 2+2x+1=0为一元二次方程,需Δ=4-4a≥0.当Δ=0,即a=1时,方程的根为x 1=x 2=-1,符合题意;当Δ>0,即a<1且a≠0时,需{-2a <0,1a >0,解得a>0,所以0<a<1. 综上所述,“0≤a≤1”是“方程ax 2+2x+1=0只有负实数根”的充要条件. 所以“0<a≤1”是“方程ax 2+2x+1=0只有负实数根”的充分条件,但不是必要条件;“0≤a≤2”是“方程ax 2+2x+1=0只有负实数根”的必要条件,但不是充分条件.,但不是必要 必要条件,但不是充分8.记集合A={-1,p,2},B={2,3},则“p=3”是“A∩B=B”的 条件.p=3时,A={-1,2,3},此时A∩B=B;若A∩B=B,则必有p=3.因此“p=3”是“A∩B=B”的充要条件.9.设m ∈N +,一元二次方程x 2-4= .,x=4±√16-4m2=2±√4-m ,因为x 是整数,即2±√4-m 为整数,所以√4-m 为整数,且m≤4,又m ∈N +,取m=1,2,3,4,验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x 2-4x+m=0有整数根.或410.证明:对于x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件,但不是充分条件.:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,则x=0,且y=0,即xy=0,故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件;不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上所述,对于x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件,但不是充分条件.。
预备阶段 高数习题
⑴ ⑶; 6．计算下列定积分： ⑴
⑶
⑵ ⑷；
⑵ ⑷
⑸
⑹
⑺ 设，求
7． 设在[0，1]上连续，且单调递减，,证明在（0，1）内。
8． 设,求在内的表达式。 9． 设，且,
证明：⑴ ⑵方程在内有且仅有一个根。
10.计算下列定积分：
（1）； ; （3）；; （5）；
（2）; （4）；
（6）；
（7） ;
（8）；
极值.
25. 求下列函数在指定区间上的最大值,最小值:
(1);
(2);
26.绘下列函数的图形
（1）
（2）
期中测试题
一、填空题
1．在连续，
2．设函数由参数方程所确定，则
3．，
4．的渐近线有 条
5．，则 ，
二、求下列极限 1． 2.
3． 4.
三、求下列导数或微分 1．求。 2．，其中有两阶连续导数，求。 3．设函数由所确定，求。 四、设，当时，证明： 五、设函数具有二阶连续导数，证明： 使。
(4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) ;
(11) ;
(12) ; (15) ;
(18) ;
(13) ;
(14) ;
(16) ; (17) ;
(19) .
11. 设函数和可导，且，试求函数的导数. 12. 设可导，求下列函数y的导数
(1)
(2)
13. 求下列各题的二阶导数:
1.求下列函数表达式:
(1)，求
(2)，求
2.求下列极限:
(1)
(2)
(3)
(4)
3.证明下列函数当时极限不存在:
高一数学预习培基习题(全)第一章 集合与逻辑用语1.3 集合
1.3 集合间的基本运算【知识梳理】一、交集一般地，由 属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的 ，记作__________，读作_________________，即}.|{B x A x x B A ∈∈=，且 二、并集一般地，由 属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的 ，记作__________，读作_________________，即}.|{B x A x x B A ∈∈=，或 三、全集与补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常用U 表示．补集：对于一个集合A ，由全集U 中所有 集合A 的元素组成的集合，称为集合A 相对于集合U 的补集，简称为集合A 的补集，记作_________，即A C U = ． 四、交集与并集的性质（1）交集的性质：A B B A =，A A A = ，∅=∅ A ，A B A ⊆ ，B B A ⊆ ； （2）并集的性质：A B B A =，A A A = ，A A =∅ ，B A A ⊆，B A B ⊆；（3）子集与交集、并集运算的转换：B A A B A ⊆⇔= ，A B A B A ⊆⇔= ； （4）集合的运算满足分配律：)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =；（5）补集的性质：∅=A C A u ，U A C A u = ，A A C C u u =)(； （6）摩根定律：B C A C B A C u u u =)(，BC A C B A C u u u =)(【考点分类精讲】考点1 交集【考题1】已知集合{}R x x x A ∈≤=，2|，{}Z x x x B ∈≤=，4|，则=B A （ ）A ．{}20|<<x xB ．{}20|≤≤x xC ．{}210，，D ．{}20，【举一反三】 1．已知集合M= ，N=，则M N =（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知集合 ，，则A ∩B =（ ）A ．B ．C ．D ．3．设集合{}64|)(=+=y x y x A ，，{}723|)(=+=y x y x B ，，则=B A ( )A ．()21，B ．{}21，C ．{})21(， D ．{}21==y x 或4．已知集合{}R x x x y y A ∈+-==，54|2，集合{}225|x y x B -==，求B A ．考点2 并集【考题2】设}02|{2=+-=q px x x A ，}05)2(6|{2=++++=q x p x x B ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，求B A ．【举一反三】1．设集合{}0|>=x x A ，集合{}21|≤≤-=x x B ，则=B A （ ） A ．{}1|-≥x x B ．{}2|≤x x C ．{}20|≤<x x D ．{}21|≤≤-x x2．设集合}043|{2<--=x x x A ，集合}4|{2-==x y x B ，则=B A ．3．设集合{}531，，+=a A ，{}a a a a a B 2121222+-++=，，，当{}32，=B A ，则=B A ．考点3 子集与交集、并集运算的转换【考题3】已知{}24A x x =-≤≤,{}B x x a =<， （1）当∅=B A 时，求实数a 的取值范围； （2）当AB B =时，求实数a 的取值范围．【举一反三】1．已知集合{}0|=-=a x x M ，{}01|=-=ax x N ，若M N M = ，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．1-或1D ．1，1-或2．已知集合{}R x x x x A ∈=+-=，023|2，集合{}R x a x a x x B ∈=-+++=，0)5()1(2|22．（1）若{}2=B A ，求实数a 的值； （2）若B B A = ，求实数a 的取值范围．考点4 全集与补集【考题4】已知全集为R ，集合{}R a a a x x P ∈++==，14|2，集合{}R b b b y y Q ∈++-==，32|2，求Q P ，)(Q C P R ．【举一反三】1．已知集合A }0281|{<--=x x ，则=A C R （ ） A ．}62|{≥<x x x 或B ．}62|{≥≤x x x 或C ．}102|{≥<x x x 或D ．}102|{≥≤x x x 或2．设全集{}32322，，-+=a a S ，集合{}212，-=a A ，{}5=A C S ，求实数a 的值．考点5 交、并、补的混合运算【考题5】已知集合{}019|22=-+-=a ax x x A ，{}065|2=+-=x x x B ，{}082|2=-+=x x x C ，且满足：∅)(B A ，∅=C A ，求a 的值．【举一反三】1．设全集{}R y R x y x U ∈∈=，，|)(，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=324|)(x y y x A ，，{}23|)(-==x y y x B ，，求B A C U )(．2．已知集合{}02|2≤-+=x x x A ，集合{}412|≤+<=x x B ，设集合{}0|2>++=c bx x x C ，且满足∅=C B A )(，R C B A = )(，求b 、c 的值．【题型优化测训】一、选择题1．满足{}{}53131，，，=A 的所有集合A 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知{}R x x x y y A ∈+-==，34|2，{}R x x y y B ∈-==，1|，则=B A （ ）A ．{}01，- B ．{}10， C ．(){})01(10，，，- D ．{}1|-≥y y3．已知全集{}87654321，，，，，，，=U ，{}7531，，，=M ，{}765，，=N ，则=)(N M C U （ ）A ．{}75，B ．{}42，C ．{}842，，D ．{}76531，，，， 4．已知全集{}31|≤≤-=x x U ，{}31|<<-=x x A ，{}032|2=--=x x x B ，{}31|<≤-=x x C ，则下列关系式正确的是（ ） A ．B A C U =B ．C B C U =C ．C B C U ⊇)(D ．C A ⊇5．已知集合{}N n n x x A ∈+==，23|，{}14121086，，，，=B ，则集合B A 中元素的个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．已知集合{}a x x A <=|，集合{}21|<<=x x B ，且R B C A R =)( ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2≤aB ．1<aC ．2≥aD ．2>a7．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+∈=012|x x R x M ，集合N 为自然数集，则下列选项正确的是（ ） A ．∅=N M B ．N N M =C ．{}2|->⊆x x M D ．{}2|-≥⊆x x M8．设集合{}Z x x y x A ∈-==，1|，集合{}Z x x x x B ∈>+=，02|2，则)(B C A Z 为（ ） A ．{}2-B ．{}1-C ．{}02|≤≤-x x D ．{}012，，-- 二、填空题9．设{}a x x A >=|，{}30|<<=x x B ，若∅=B A ，则实数a 的取值范围是______．10．设{}015|2=+-=px x x A ，{}0|2=--=b ax x x B ，{}532，，=B A ，}3{=B A ，则=+pba ． 11．设集合{}2=A ，{}01|2=++∈=x ax R x B ，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 ．12．设集合{}012|2>--=x x x A ，{}m x x B ≥=|，若{}4|>=x x B A ，则m 的取值范围是 ．13．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123|)(a x y y x M ，，集合{}15)1()1(|)(2=-+-=y a x a y x N ，，且∅=N M ， 则实数a 的值为 ．三、解答题14．已知集合{48}A x x =≤<，{210}B x x =<<，{}C x x a =<． （Ⅰ）求A ∪B ；()R C A B ； （Ⅱ）若A C ≠∅，求a 的取值范围．15．设{}{}22|0,|10A x x px q B x qx px =++==++=，其中,0p q ≠，同时满足①A B ≠∅；②}2{-=A B C R ，求p 和q 的值．16．已知集合{}R x x x x A ∈=+-=，065|2，集合{}R x a x a x x B ∈=-+++=，0)5()1(2|22．（1）若{}2=B A ，求实数a 的值； （2）若B B A = ，求实数a 的取值范围．。
《高等数学》（一）第一章同步辅导训练
27 将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」 A 4-x ， x≥0 x ， x<0B 4-x ， x≥2 x ， x<2 C 4-x ， x≥0 1-x x <0D 4-x ， x≥2 4+x x <2 「答案」选B 「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2 2-（2-x ），x <2 ，即 f （x ）=4-x，x ≥2 x ，x <2 28 下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」 A y=2x2 ， x>0 2x+1， x<0B y=2x+cosx C y=xD y=sinx 「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函 数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数 29 函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」 A （0 ）B ［-1，1 ］ C ［0 ，1 ］D ［-2，2 ］ 「答案」选D 「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ， 当x <0 时，y=sinx-sin（-x）=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx ≤2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为［-2，2 ］ 30 函数y=x2 -2 ≤x ≤0 x2-4 0 A y=x 0 ≤x ≤4 x+4 0 B y=－x 0 ≤x ≤4 x+4 -4 C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4 －x+4 -4≤x <0 D y=x 0 ≤x ≤4 - 4+x -4 ≤x <0 「答案」选B 「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2， x=-y ，0≤y ≤4 ；
本章重点：函数概念和基本初等函数。
高等数学第一章预备知识
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量， 变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论 和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个 部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解 设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元
专题1第一章预备知识知识点与基础巩固题(原卷版)高二数学复习巩固练习(北师大版2019)
专题1北师大版（2019）第一章预备知识/1知识点与基础巩固题——寒假作业1（原卷版）集合12、集合的表示方法有：（1； （2；3 45、集合分类：（1（2（3 6、常用数集及其记法： （1）自然数集{}0,1,2,3,：记作N ； （2）正整数集{}1,2,3,：记作N N *+或；（3）整数集{}3,2,1,0,1,2,3,---：记作Z ；（4）有理数（包括整数和分数）集：记作Q ； （5）实数（包括有理数和无理数）集：记作R ；7⊆））=）；8、子集的概念：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B9、真子集的概念：若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B （真子集是除本身以外的子集）10、子集、真子集的性质： （1）传递性：若B A ⊆，C B ⊆（2（3（在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身）11、集合相等：（1）若集合A 中的元素与集合B A 等于集合B,（2。
12、n )(N n ∈；试卷第2页，总8页非空子集有21n-个；非空的真子集有22n -个；13、集合的运算：（1）交集（公共元素） ：A ∩B ＝{x|x ∈且x ∈B}； （2）并集（所有元素） ：A ∪B ＝{x|x ∈或x ∈B}； （3）补集（剩余元素） ：A C U ＝{x|x A ∉ 且x ∈U}，U 为全集。
14、集合运算中常用的结论: ①A B A B A⊆⇔= ； ②A B A B B ⊆⇔=；③A A A =；A A A =； ④;A A A ∅=∅∅=。
注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.常用逻辑用语一．知识点回顾：1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题. 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系： ⑴ 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3、复合命题⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）. ⑵复合命题的真假判断“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：全假为假； “p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：全真为真； “非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 4、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：00,().x p x ∃∈M ⌝全称命题的否定是特称命题．②特称命题p ：00,(),x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∀∈M ⌝特称命题的否定是全称命题.5、充分条件、必要条件与充要条件p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p 与结论q 之间的关系： Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件； ②若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件; ③若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要而不充分条件; ④若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：A B ⊆,则p 是q 充分条件； ②若B A ⊆,则p 是q 必要条件；③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件; ④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件; ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件.不等式的基本知识不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5) 倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 基本不等式2a bab +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;试卷第4页，总8页如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
2021年高一数学单元测试定心试卷：第一章 预备知识(基础过关)(解析版北师大版必修一)
精品资源教育学院2021年高一单元测试定心试卷学校：姓名：班级：学号：老师：分数：第一章 预备知识注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}2*2240,M x x x x N=+-=∈，{}6,0,4N =-，则集合M 与N 的关系是（ ） A ．M NB ．NM ⊂≠C ．NM ⊂≠D ．N M ⊆【答案】C 【解析】 【分析】首先解方程22240x x +-=，求出M ，根据元素即可判断M 与N 的关系. 【详解】首先解方程22240x x +-=，由*x ∈N 可得4x =或6x =-（舍）所以{}4M =，可得NM ⊂≠.故选：C.【点睛】本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.2．已知}3{1A =，，5{}34B =，，，则集合A B =（ ）A ．{}3B ．{4}5，C ．15}2{4，，， D ．{345}，， 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的定义直接求解即可. 【详解】}3{1A =，，5{}34B =，，，∴{}3A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题. 3．已知集合{}2*|1,P x x n n N ==+∈，{}2*|45,M x x mm m N ==-+∈，则集合P 与M 的关系是（ ） A ．P ⊂M B ．P MC ．M ⊆PD ．M ⊂P【答案】A 【解析】 【分析】根据{}(){}22**|45,2,1|M x x m m m N x x m m N ==-+∈=+=-∈，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为{}{}2*222|1,11,21,31,......P x x n n N==+∈=+++，{}(){}{}22**222|45,|2,1,11,21,31,...1...M x x m m m N x x m m N ==-+∈==-∈=++++即集合M 比集合P 多一个元素1， 因此P ⊂M . 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合间的关系，熟记集合间的包含关系即可，属于基础题型. 4．函数2()24f x x x =-+在[2,3]-上的最大值是（ ） A ．3 B ．10 C ．12 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】函数2()24f x x x =-+对称轴方程为1x =，可得函数()f x 在[2,3]-上的单调性，从而可得出函数的最大值. 【详解】二次函数2()24f x x x =-+对称轴方程为1x =，开口向上.所以函数()f x 在[2,1]-上单调递减，在[1,3]上单调递增.又()244412f -=++=，()39647f =-+=，()()23f f ->. 函数()f x 在[2,3]-上的最大值是()212f -=. 故选：C 【点睛】本题考查求函数的最大值，属于基础题.5．已知集合{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，则()A B =R（ ）A ．{}|46x x <<B ．{}{}43||46x x x x -<<-⋃<<C ．{} 6|4x x ≤< D ．{}{}43||46x x x x -<≤-⋃≤<【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的运算法则，求出集合A 的补集，再求交集即可得解. 【详解】因为{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，所以(){}{}|43|46B x x x A x ⋂=-<≤-⋃≤<R.故选：D 【点睛】此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握.6．已知全集U =R ，集合91A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果. 【详解】因为91(0,9)A xx ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选：B 【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．下列叙述正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+= D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】A ，利用基本不等式分析判断；B ，举反例判断得解；C ，利用全称命题的否定分析判断得解；D ，举反例判断得解. 【详解】对于A: 222222()22222f x x x x x =+=++-≥++，但是22222x x +=+没有实数解，所以等号不成立，所以A 错；对于B ：当0m =时，210mx mx ++≥也成立，所以B 错；对于C ，命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=，由全称命题的否定得该命题正确； 对于D:当1,23x y ==时, 1xy <也成立，所以原命题错误，所以其逆否命题也错误，所以D 错； 故选：C. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定和基本不等式，考查充要条件和逆否命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知1x >-，求函数11y x x =++的最小值是 （ ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】整体代换，构造均值不等式． 【详解】由1x >-，即10x +>，所以()11111111y x x x x =+=++-≥=++，0x =时取“=”，所以正确选项为D 【点睛】本体考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可． 9．若a ，b ，c ，d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c< 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用排除法和不等式的基本性质判断即可. 【详解】由1,2a b ==-，得22a b <，可判断A 错误；由1,2,1,2a b c d ==-==-，得ac bd <，可判断B 错误；由2,1a b =-=-，11a b>，可判断C 错误； 由不等式的性质， 1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，所以0a b d c->->，即a b d c <，可判断D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，利用带特殊值排除法是解题的关键，是基础题.10．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【答案】A【解析】【分析】设另一根为t，结合韦达定理即可求解【详解】设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)1xt⎛⎫-⎪⎝⎭>0的解集是（）A．1x x tt⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B．1x xt⎧>⎨⎩或}x t<C．1x xt⎧<⎨⎩或}x t>D．1x t xt⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】判断出1t t>，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】∵0<t <1，∵1t >1，∵1t>t .∵(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ >0∵(x －t )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ <0∵t <x <1t .故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.12．已知函数()22x x x m f k +-=在区间()2,6上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．(),2-∞C ．(][),62,-∞-+∞D ．(][),62,-∞-⋃-+∞【答案】D 【解析】 【分析】要使得函数()22x x x m f k +-=在区间()2,6上既没有最大值也没有最小值，转化为函数()f x 在区间()2,6为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()22x x x m f k +-=的图象开口向上，对称轴的方程为x k =-，要使得函数()22x x x m f k +-=在区间()2,6上既没有最大值也没有最小值，可得函数()f x 在区间()2,6为单调函数，则满足2k -≤或6k -≥， 解得2k ≥-或6k ≤-，即实数k 的取值范围是(][),62,-∞-⋃-+∞. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知正实数,x y 满足39x y +=______.【答案】【解析】 【分析】92≤，再计算218≤即可得到答案.【详解】正实数,x y ，则39x y +=≥92≤， 2318x y =++≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的应用能力.属于较易题. 14．“1x >”是“0x >”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】1x >时一定能得出0x >，故是充分的，但0x >时不一定有1x >，因此是不必要的．、所以就是充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分条件、必要条件的定义是解题关键．15．1:03p x <-，2:450q x x --<，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是__________. 【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞【解析】 【分析】化简命题p :3x <，q :15x -<<，转化条件得p ，q 中至少有一个为假命题，即可得解. 【详解】p 为真时，3x <；q 为真时，15x -<<.“p 且q ”为假命题，∴p ，q 中至少有一个为假命题，∴3x ≥或1x ≤-或5x ≥，整理得3x ≥或1x ≤-.故答案为：(,1][3,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.16．已知函数()248f x x kx =--在区间()5,20上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________【答案】40160k << 【解析】 【分析】先求得函数的对称轴，要使函数()248f x x kx =--在区间()5,20不是单调函数，则必有对称轴在区间内，列不等式解出即可． 【详解】解：由已知函数()248f x x kx =--的对称轴为8k x =， 又函数()f x 在区间()5,20上不是单调函数，则必有5208k<<，解得40160k <<， 故答案为：40160k <<． 【点睛】本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系确定，是基础题． 三、解答题17．已知{0,2,4,6,8},{0,1,2,3,4,5},{4,5,6}A B C ===，求： （1）A B C ⋂⋂；（2）AB C ；（3）()A B C ⋂⋃；（4）()AB C .【答案】（1）{}4；（2）{0,1,2,3,4,5,6,8}；（3）{}0,2,4,5,6；（4）{4,5,6}. 【解析】 【分析】根据交集和并集的定义求解． 【详解】∵{0,2,4,6,8},{0,1,2,3,4,5},{4,5,6}A B C ===，∵{0,2,4}A B =，{0,1,2,3,4,5,6,8}A B =，∵（1）{4}A B C =．（2）{0,1,2,3,4,5,6,8}A B C =． （3）(){0,2,4,5,6}AB C =；（4）(){4,5,6}A B C =．【点睛】本题考查交集和并集的运算，属于基础题． 18．已知0a >，0b >.（1）若0c >，证明24a b c ++≥+；（2）若a b >，证明：22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由基本不等式可得：4a b +≥，2a c +≥，24b c +≥，三个式子相加可得到结论；（2）经过变形，不等式左边2123()a ab =+--，故证明212()3()a b a b -+≥-即可，然后利用三个正数的基本不等式可证明结论. 【详解】（1）依题意，4a b +≥4a b =时等号成立.2a c +≥，当且仅当2a c =时等号成立.24b c +≥，当且仅当24b c =时等号成立.三式相加可得，2282a b c ++≥+，即24a b c ++≥+，当且仅当24a b c ==时等号成立. （2）因为a b >，所以0a b ->.而2222222163313()122232()()ab a b a b a a a a ab b a b a b +----+=+=+--+--. 要证21232()a b a b +-≥-，即证212()3()a b a b -+≥-， 即证21()()3()a b a b a b -+-+≥-，而21()()3()a b a b a b -+-+≥=-，当且仅当21()a b a b =--，即1a b -=时等号成立，所以22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.19．已知A ＝{x |x 2﹣6x +8≤0}，B ＝{x |21x - ≥0}，C ＝{x |x 2﹣mx +6＜0}且“x ∵A ∩B ”是“x ∵C”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】112m > 【解析】 【分析】首先求解集合,A B ，和AB ，根据条件可知()A BC ≠⊂，结合二次函数()26f x x mx =-+的图像，将端点值代入建立不等关系得到m 的取值范围. 【详解】解：A ＝{x |x 2﹣6x +8≤0}＝[2，4]； B ＝{x |21x -≥0}＝[1，+∞）； ∵A ∩B ＝[2，4]．∵“x ∵A ∩B ”是“x ∵C”的充分不必要条件， ∵A ∩B ∵C ．设f （x ）＝x 2﹣mx +6，则f （2）＝4﹣2m +6＜0，f （4）＝16﹣4m +6＜0， 解得112m >．∵m 的取值范围是112m > 【点睛】本题考查了充分必要条件求参数取值范围，涉及不等式的解法，以及利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，涉及一元二次不等式给定区间恒成立的问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题型.20．已知二次函数243y x x =-+，非空集合{|0}A x x a =≤≤. (1) 当x A ∈时，二次函数的最小值为-1，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在整数a 的值，使得 “x A ∈”是“二次函数的大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数a 的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)2a ≥； (2)0，1，2，3，4. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象判断a 的取值范围；（2）根据图象确定a 的取值范围，然后考虑a 的具体取值. 【详解】(1)画出二次函数243y x x =-+的图象，如图当0x a ≤≤，二次函数的最小值为-1,则a 的取值范围为2a ≥；(2）“x A ∈”是“二次函数的最大值为3”的充分条件,同理由图象二次函数的 最大值为3，得04a ≤≤，所以a 可以取的整数值为0、1、2、3、4均可. （答案是0、1、2、3、4中的任意一个数均可）【点睛】本题考查充分条件与二次函数图象的结合，难度较易.判断过程中对于二次函数的值域可借助函数图象来分析.21．已知关于x 的不等式220x x a a -+-≤． (1)求不等式的解集A ； (2)若12a >，()1,1A ⊆-，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ，当1 2a <时，{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时， 12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时， {|1}A x a x a =-≤≤；(2)112a <<.【解析】 【分析】（1）通过因式分解得，()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，然后分3种情况，当1a a <-，1a a ，1a a 时，分别求出不等式的解集；（2）根据()1,1A ⊆-，列出不等式组，可确定实数a 的取值范围． 【详解】(1) ()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-； 当1a a （12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤； 当1a a （12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =. 所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-； 当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤. (2)由上(1)，12a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<. 【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键；集合之间的包含的关系，可通过解不等式组来确定参数的取值范围． 22．已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-（2）6k <-（3）k ≥【解析】【分析】(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k 的值； (2)跟据题意24240,0k k ∆=-<<解得即可, (3)根据题意,得0∆≤且0k >,由此求出k 的取值范围 【详解】(1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<≠的解集是{}|32x x x <->-或,∵k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根,由根与系数的关系,得2(3)(2)k-+-=,所以25k =-；(2)不等式的解集是R ,所以24240,0k k ∆=-<<,解得k <(3)不等式的解集为∅,得24240,0k k ∆=-≤>,解得k ≥ 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目．。
《高等数学》教材的配套练习题
《高等数学》教材的配套练习题第一章 函数、极限与连续一、选择题：1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（ ）． (A)1<x (B)}13{}1{≤≤-<x x x x (C) (-3，1) (D){}13≤≤-x x 2．当0→x 时，x x sin 2+是x 的（ ）．(A) 同阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小 3．当+→0x 时，下列函数中（ ）是无穷小量． (A)x x 1sin(B) x1 (C) x ln (D) x x sin 14．下列极限中，正确的是（ ）． (A) 1sin lim=∞→x x x (B) 12sin lim 0=→x x x (C) 11sin lim =⋅∞→xx x (D) 111sinlim0=→xx x5．下列各等式中，正确的是（ ）．(A) e x x x =-∞→)11(lim (B) e xxx =+∞→1)11(lim (C) e x x x =+-→10)1(lim (D) e x x x =+→10)1(lim6．若函数)(x f 在点0x 处的极限存在，则（ ）．(A))(0x f 必存在，且等于极限值 (B))(0x f 可以存在，可以不存在 (C) )(0x f 存在，但不一定等于极限值 (D) 若)(0x f 存在，则必等于极限值7．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=<-=时当时当时当25,6325,325,24)(x x x x x x f ；则函数)(x f 在点25=x 处（ ）． (A) 左右极限均不存在 (B) 极限存在(C) 左右极限存在，但不相等 (D) 左右极限中有一个存在，一个不存在 8．一元函数在某点极限存在，是函数在该点连续的（ ）．(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件9．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+=0,210,84x x x x f 在0=x 处（ ）．(A))(x f 在0=x 处无定义 (B) )(lim 0x f x →不存在(C) )(x f 在0=x 处连续 (D) )(lim 0x f x →存在但不连续10．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<=21,21,210,)(x x x x x x f 的连续区间为（ ）． (A) ]2,0[ (B) )2,0( (C) [)(]2,11,0U (D)()(]2,11,0U 二、填空题： 1．2100)2ln(1)(x x x f -+-=的定义域是___________．2．设53)1(2++=+x x x f ，则=)(x f ___________． 3. =+∞→1cos lim x xx ____________4．设()⎩⎨⎧>≤+=0cos 012x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ___________． 5.设11)(22-+=x x x f ，则（1）=→)(lim 0x f x ,(2)=∞→)(lim x f x .6．函数)2)(1(1)(+-+=x x x x f 的连续区间是___________．7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤<-=21,210,0,1)(2x x x x x x x f 的间断点=x ___________．8．⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1124)(24x ax x x x f ，当a =___________时，)(x f 在1=x 处连续．9．若e xk x x =+∞→2)1(lim ，则=k ___________．10．=+→xx x 20)tan 1(lim ___________．三、计算题：1.设(,5)(5,)A =-∞-+∞，[)10,3B =-，写出B A ⋃，B A ⋂的表达式.2.用区间表示下列不等式解的集合：（1） 2230x x +-≥； （2） 230.5x ->.. 3..求下列各函数的定义域：（1）11y x =-； （2）2ln(24)34x y x x -=-- ；(3) y =.4.设函数2()23f x x x =-+，求(0)f ，(2)f ，()f x -，1()f x，(1)f x +.5..若2 -1<0()2 01 1 1 3. x x g x x x x ⎧<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，，，，，求(3)g ，(2)g ，(0)g ，1()2g -.6.下列各组函数能否构成以中间变量u 或v 的复合函数？如果能构成复合函数，写成[()]y f x ϕ=的形式.（1）sin 2y u x ==-； （2）2,41uy u x ==-；（3）sin ,ln ,32y u u v v x ===-； （4）21y u x ==-.7. 数列{}n x 的一般项如下，观察数列的变化趋势，判断哪些数列收敛？哪些数列发散？若数列收敛，则写出其极限: （1）2121n n x n -=+； （2）31n x n=； （3）()41nn x =+-； （4）；1115n n x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.8. 观察下列函数变化趋势，并求其极限: （1）1lim3x x→∞； （2）lim 5xx →-∞；（3）239lim 3x x x →-- .9. 设函数()221 03 0.x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，，，，作出()f x 的图形，并求()0lim x f x -→，()0lim x f x +→，试问()0lim x f x →是否存在？10. 对于给定自变量x 的变化趋势，判断下列函数哪些是无穷大？哪些是无穷小？ （1）ln ,0x x +→； （2）21,3x x →∞+； （3）22,24x x x +→-. 11. 下列函数在什么变化过程中为无穷大？什么变化过程中为无穷小？（1）21x y x-=； （2）53x y x -=+；（3）2log y x =； （4）3x y e =. 12. 求下列函数的极限： （1）2cos 2lim31x x x →∞+； （2）31lim 3x x →-； （3）arccot lim x xx→∞ .13. 当1→x 时，无穷小x -1和（1）31x -，（2）)1(212x -是否同阶？是否等价？14. 求下列函数的极限：（1）234lim 2x x x →+-； （2）322142lim 34x x x xx x→+-+； （3）235lim 3x x x →+-； （4） 2268lim 2x x x x →-+++ ；（5）22132lim 45x x x x x →-++-； （6）1x →（7）)23(lim 2x x x x -+++∞→； （8）221lim 21x x x x →∞---；（9）()247332lim 21x x x x →∞+++； （10）32421lim 231x x x x x →∞++++；（11）x x x x sin 431lim 22-+∞→ ； （12）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ； （13）0sin 2limsin 5x x x →； （14）0tan 7lim sin8x xx→；（15）22lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭； 16）34lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；（17）()()01cos lim1ln 1x x xe x →--+； （18）0ln(14)lim 8x x x →+； （19）()lim 2ln 3x ex x x →+； （20）0limln cos x x →；（21）x → （22）1(2)limarctan x ln x x→-.15．求函数2124y x x =-+，当02x =，0.5x ∆=时的改变量y ∆. 16．设函数()3sin 0 3 0.x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，，，，试问函数()f x 在0x =处是否连续？17．（1）设函数()()12cos 1 01 0.x x x f x ax x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，，，且()f x 在0x =处连续，求常数a 的值.⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )()2(2x x a x xx x f ，要使)(x f 在区间),(+∞-∞内连续，应当怎样选择a ？ 18．求下列函数的间断点，并判断其类型： （1）2256x y x x -=-+； （2）sin xy x =； （3）1 13 1.x x y x x -≤⎧=⎨->⎩，，，.19. 求633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间，并求极限：)(lim 0x f x → 、)(lim 2x f x →、 )(lim 3x f x →．四、应用题 ：1.有一个窗框，其形状是长方形上加一个半圆形，如果窗子的采光面积S 为定值，试建立窗子的周长L 与底宽x 的函数关系式，并指明其定义域．2.某市的出租汽车的收费标准为：乘车不超过3 km ，收费a 元，若超出3 km 不超过15 km ，加收 b 元/km ，若超出15 km ，超出里程在原收费标准（ b 元/km ）上增加30%，试写出乘车费用y 与乘车里程(km)x 的函数关系.*3.某工厂生产某种产品，年产量为x ，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R 与年产量x 的函数关系. *4.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1)要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）； (2)卖掉100台的话，厂家赢利或亏损了多少？ (3)要获得1250元利润，需要卖多少台？ *5.设某商品的需求函数与供给函数分别为()5600D P P=和()10S P P =-. (1)找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；(3)何时供给曲线过P 轴，这一点的经济意义是什么？五、证明题：25. 证明：方程531x x -=至少有一个根介于1和2之间． 26. 证明：方程01sin =++x x )2,2(ππ-内至少有一个根．第二章 导数与微分一、选择题：1．若下列极限均存在，其中不成立的是（ ） (A))0()0()(lim'0f x f x f x =-→ (B))()()(lim 0'000x f x x x f x f x x =--→(C))()()2(lim'0a f h a f h a f h =-+→ (D))()()(lim 0'000x f x x x f x f x =∆∆--→∆2．若函数)(x f 在点0x 处不连续，则)(x f 在点0x 处（ ）． (A)必不可导 (B)一定可导 (C)可能可导 (D)极限不存在3．设函数)(x f 可微，则当x dy y x ∆-∆→∆与时，0相比是（ ）． (A)高阶无穷小 (B)等价无穷小 (C)同阶无穷小 (D)低阶无穷小4．若函数)(x f 在点1=x 处可导，则=∆-∆-→∆xf x f x )1()21(lim（ ）．(A))1('f (B))1(2'f (C))1('f -(D))1(2'f -5．曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线方程是（ ）． (A)012=+-x y (B)012=+-x y (C)012=++x y (D)02=-x y6．函数)(x f 在0x 点可导,是函数)(x f 在0x 点可微的（ ）．(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 7．下列各式中（k 为常数）正确的是（ ）．(A)x x x x xx x dx d ==-1)( (B)k k k k dx d=)( (C)1)(-=x x xk k dx d (D)1)(-=k k kx x dxd8．设()=''=0,cos y e y x则（ ）．(A)1cos 1sin + (B)1cos 1sin +- (C)1cos 1sin - (D)1cos 1sin --9.设()=''=x y x x y 则,ln 2（ ）.(A) x ln 2 (B) x ln 2+1 (C) x ln 2+2 (D) x ln 2+310.==dy x y 则设函数,ln ( ).(A)x dx (B)xxd (C)x dx 2 (D) x dx二、填空题 ：1．设函数)(x f 满足1)2()0(lim 0=-→xx f f x ，则=)0(‘f ．2．曲线232-+=x x y 在点)2,0(-处的切线斜率为 ．3．设函数)1ln(ax y +=，其中a 为常数，则='y ，="y ． 4．设exee x e x y +++=ln ，则='y ． 5．设x exx f =)(，则=)0(‘f ． 6．设函数)(cos 2x y -=，则=dy ． 7．设函数x x x f ln )(2=，则=)1(''f ．8．设函数)(x f 可导，)(sin xe f y =，则='y ．三、计算题：1.若()f x 在0x 处可导，试求： （1）000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆；（2）000()()limh f x h f x h h→+--．2.求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线方程和法线方程.3.曲线ln y x =上哪一点的切线与直线31y x =-平行？4. (1)确定a 、b 使21()1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩在1=x 处可导．(2)确定a 、b 使b ax x y ++=21与x y 22=相切于)4,2(．*5.证明函数0()00x f x x >=≤⎩在点0x =处连续，但不可导． 6.已知函数2()cos 3f x x x x =+，求''(),[()]f f ππ-.7.求下列函数的导数： （1）3247log y x x x =+-+； （2）5tan arcsin cos32x y x x =+-+； （3）2log 1sin a xx y ++=； （4）5512x x x y ++=； （5）)1)(1(+-=x x y ； （6）25cos y x x =；（7）2(cos y x x =； （8）aa x x y sin sin +=； （9）ln x y x=； （10）csc xy xe x =; （11）5(23)y x =+； （12）ln(1)y x =-；（13）ln(y x =； （14）cos3x y e x =; （15）)cos(2sin 2x x y +=； （16）y e =（17）)ln(tan x y =； （18）sin xy x =；（19）)32)(1()3)(1(-+--=x x x x y .8.求由下列方程确定的隐函数)(x y y =的导数：（1）1ln =+y ye x； （2）022=+-b xy y ； （3）y xe y +=1； （4）520y y x +-=，求0x dydx=．9.已知曲线的方程是ln(1)0x x y ++-=，求曲线在点（1,2）处的切线方程. 10.求由下列参数方程所确定的函数的导数dy dx. (1)231t x y t t ⎧=-⎨=-⎩； (2)2sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩.11．设函数)(ln x f y =，求"',y y ．12.求下列函数的二阶导数：(1)23cos y x x =+； (2)2xy x e =(3)2ln(1)y x =-； （4）ln xy x=，求(1)y ''. 13.求下列函数的高阶导数： (1))0(",)(12f ex f x 求-=； (2)"2,arctan )1(y x x y 求+=；(3))0(),1ln("2y x y 求+=； (4))(,n x y xe y 求=. 14.求函数3y x =当2,0.02x x =∆=时的改变量y ∆和微分dy . 15.求下列函数的微分：(1)cos log 4a y x x x =++； (2)arcsin x y e x =-；(3)xx y 22sin 2++=； (4))53sin(-=x y ；(5)y = (6)xx y -+=11ln； (7)sin xy e= ； (8)2ln(1)y x x =++；(9)2tan y x =； (10)ln y x y =；(11)2xxe y =； (12)x e y x 2cos -=.16.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立.(1)dx = (32)d x +； (2)sin xdx d = ； (3)d 1=dx x. 三、应用题： 1.计算下列近似值.(2)0sin 31 .2.设水管壁的正截面是一个圆环，其外直径为cm 20，壁厚为cm 4.0，试求此圆环面积的近似值.第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题：1．函数x x x f -=3)(在[0，3]上满足罗尔定理的=ξ（ ）． (A) 0 (B) 3 (C) 3/2 (D) 22．函数()ln f x x x =在区间[]1,e 上使得拉格朗日中值定理成立的ξ=（ ）． (A) 1e e - (B)2e (C) 11e e - (D) 12e+ 3．设函数)(x f y =在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是（ ）．(A) ()()()()f b f a f b a ξ'-=- ()a b ξ<<(B) ()()()()f a f b f a b ξ'-=-()a b ξ<<(C) ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)(D) 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<) 4．下面求极限问题中，能使用罗必塔法则的有（ ）． (A) x x x x sin lim+∞→ (B) xx x cos lim 0→(C) x x e x+∞→lim (D)xx x 21lim ++∞→5．函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值，则必有（ ）． (A) 0)(0='x f (B)0)(0='x f 且0)(0<''x f (C) 0)(0<''x f (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 6．下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数． (A) x y -=2 ),(∞+-∞ (B) x y e = )0,(-∞ (C) x y ln = ),0(∞+ (D) x y sin = ),0(π 7．下面结论正确的有（ ）．(A) 若0x 为)(x f 的极值点，且)('x f 存在,则必有0)(0'=x f ．(B) 若0x 为)(x f 的极值点，则必有0)(0'=x f ． (C) 若0)(0'=x f ，则点0x 必为)(x f 的极值点．(D) )(x f 在),(b a 内的极大值一定大于极小值． 8．函数212)(x xx f +=在（ ）．(A) ),(+∞-∞单增 (B)),(+∞-∞单减(C) )1,1(+-单减，其余区间单增 (D) )1,1(+-单增，其余区间单减 9．当x=4π时，函数x x a x f 2cos 21cos )(-=取得极值，则a=（ ）．(A) -2(B) (D) 210．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是（ ）． (A) 单调减少且为凹弧；(B) 单调减少且为凸弧； (C) 单调增加且为凹弧；(D) 单调增加且为凸弧．二、填空题：1．函数)1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加． 2．函数14123223+-+=x x x y 在区间]4,3[-上的最大值为 ，最小值为 ．3．当4=x 时，q px x x f ++=2)(达到极值，则=p ,=q ． 4．当=x 时，函数x x y 2⋅=取的极小值．5．函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(,0)(0"0'>=x f x f ，则)(0x f 是 极 值．6．曲线3352x x y -+=的拐点是 ．7．若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ；=b ． 8．曲线35)2(-=x y 的凸区间是 ．三、计算题：1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ:(1)2()32 [12]f x x x ,,=-+； (2)() [04]f x ,=.2.验证拉格朗日中值定理对函数x x y 33-=在区间]20[,上的正确性.3.已知函数2)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ.4. 不用求出函数)4)(3)(1()(---=x x x x x f 的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.5. 用洛必塔法则求下列极限：(1)()x x x +→1ln lim 0； (2) 3lim xx x e →+∞； (3)xe e x x x sin lim 0-→-；(4)a x a x a x --→sin sin lim ； (5))0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x ； (6)ee x x x x -+-→ln 1lim 31 ； (7) x x x x x x sin cos sin lim20-→； (8) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→121lim 20x x e x ； (9)]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；(10)211lim()sin x x x x →-； (11) )1(lim 1-∞→x x e x ； (12） x x x sin 0lim +→；(13) x x xx x sin sin tan lim20-→； (14) sin limx x x x→∞+；； (15) .6.求下列函数的单调区间与极值:(1) 32()37f x x x =-+； (2) ()1xf x e x =-- ；(3) x x y -+=1； (4) 32()11f x x =-(5))1ln(arctan 2x x y +-=； (6)xe x y -=32.7. 利用单调性证明下列不等式: (1) 当0>x 时，x e x +>1； (2)当0>x 时，x x +>+1211 ； (3)当1>x 时，ex e x>； (4)当0>x 时，()x x <+1ln .8. 求下列函数在指定区间上的最值:(1)32()37,[2,3]f x x x =-+-； (2)2()ln(1),[1,2]f x x =+- ； (3)()1f x x x =- [3,1]-； (4)()sin cos f x x x x =+，[],ππ-．9.当a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3πx =处取得极值，并求出极值. 10. 要用薄铁皮造一圆柱体汽油筒，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？*11.某工厂生产一批产品，固定成本为200元，每生产一吨该产品的成本为60元，市场的需求规律为p q 101000-=(q 为需求量，p 为单价)，求产量多少时，利润最大? *12.设生产某商品的总成本为2()1000050=++C x x x (x 为产量)，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？*13.某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为x 批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问x 为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？*14、在由抛物线212x y -=和x 轴所围成的图形内，作一个底边在x 轴上的内接矩形，使其面积最大．15、生产Q 台彩色电视机的成本210012505000Q Q C -+=，收入是21002400Q Q R -=，假设生产的所有电视机都能售出，应该生产多少台电视机，才能获利最大？16、有一炮艇停泊在距海岸(设之为直线) 9公里处， 派人给设在海岸线上距该艇343公里处的司令部送信，若送信人步行速度为5公里/时，划船速度为4公里/时；问他在何处上岸，到达司令部的时间最短?第四章 不定积分一、选择题：1.下列各式中成立的是（ ）．(A)⎰=)()('x f dx x f (B) dx x f dx x f d ⎰=)()((C)c x dx x +=⎰112 (D)2323c x dx x +=⎰ 2．设()f x '存在,则下列各式正确的有( )．3．(A)()()f x dx f x '=⎰, (B)()()()d f x dx f x dx=⎰(C) (2)(2)f x dx f x c '=+⎰ (D)()(2)(2)df x dx f x dx=⎰3．设C e x dx x f x+=⎰22)(，则=)(x f （ ）．(A) x xe 22 (B) C x xe x ++)1(22(C) )1(22+x xe x (D) x e x 2224．设)(x f 的一个原函数是)(x F ，则⎰+dx b ax f )( ＝（ ）． (A) C b ax F ++)( (B) C b ax aF ++)((C)C b ax b ax F +++)( (D) C b ax F a++)(15．设2tan 1)2tan ('xx x x f +=，则=)(x f （ ）．(A) C x x ++221 (B) x x +-221(C) ⎰+dx x x )12tan ( (D) x x +3316．在),(b a 内，若)()(''x g x f =，则一定有（ ）． (A) )()(x g x f = (B) C x g x f +=)()((C) ''])([])([dx x g dx x f ⎰⎰= (D) ⎰⎰=)()(x dg x df7．设函数)(x f 在区间I 上连续，)(),(21x F x F 为)(x f 的两个原函数,则在区间I 上（ ）．(A) )()(21x F x F = (B) ))(()(21为常数C x CF x F = (C) C x F x F =+)()(21 (D) C x F x F =-)()(21 8．)(cos x d x ⎰=（ ）．(A) C x x x +-sin cos (B) C x x x ++sin cos (C) C x x x +-sin sin (D) C x x x ++cos cos 9．设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（ ）． (A) C x e x +--)1( (B) C x e x ++-)1( (C) C x e x +--)1( (D) C x e x ++--)1( 10．设x k x f 2 tan )( = 的一个原函数是) 2 cos ( ln32 x ，则常数 =k （ ）． (A)3 2- (B) 3 2 (C) 34 - (D) 3 4二、填空题：1．若⎰+=c x F dx x f )()(，而)(x u ϕ=，且)('x ϕ连续,则⎰=du u f )( ．2．在计算积分⎰-dx x x 321时，为把被积函数中的根式化去，可作的变换是 ．3．若C x dx x f +=⎰2)(，则=-⎰dx x xf )1(2 ． 4．⎰='])([dx x f ． 5．⎰=dx x F )(' ．6．设)(x f 的一个原函数为x ln ，则=)('x f ． 7． 已知)(x f 的一个原函数为2e x ，则⎰'x x f d )(=_____________． 8. 一曲线)(x f y =过点(),20，且其上任意点的斜率为x x e 321+，则)(x f =__________．三、求下列函数的不定积分： 1．dx x xx x )sin 325(3⎰++-； 2．⎰x e x x d 3 ； 3．⎰+x x x d 122； 4．⎰x x x x d cos sin 2cos 22 ； 5．x xd 2cos 2⎰； 6．x x x-x d )tan sec (sec ⎰； 7．2x edx -⎰； 8． 221(1)x x dx x x +++⎰； 9．⎰-dx x 9)23(； 10．⎰-29xdx； 11．⎰xxdx4sin cos ； 12．dx x x ⎰+32)1(； 13．dx e x x 121⎰； 14．1(12ln )dx x x +⎰； 15．⎰+4.2x x e dx e ； 16．⎰x xdxsin cos 2；17．dx x x ⎰+tan 1.sec 2； 18．dx xx⎰sin ； 19．⎰xdx 3cos ； 20．dx x⎰-2491；21．x x dxe e -+⎰； 22．⎰-dx xx 2arcsin 110；23． 329x dx x+⎰； 24． ln tan cos sin xdx x x ⎰；25．⎰++dx x x 3212；26．⎰--21636x x dx ；27．dx xx ⎰+++111 28．dx x x ⎰+31； 29．dx x x ⎰-224； 30．dx xx ⎰-92 ； 31．； 32．dx xx ⎰+211；33．⎰x xd x sin ； 34．⎰-dx e x x2；35．⎰dx xx 2ln ； 36．dx x ⎰2ln ； 37．⎰xdx x arctan ； 38．⎰xdx arcsin ； 39．dx xe x 2sin ⎰； 40． ⎰dx e x ；41．22cos 2xx dx ⎰； 42．ln(1)x x dx -⎰； 43．dx x x ⎰⋅2sec ； 44．⎰+dx x x e x )ln 1(．第五章 定积分及其应用一、选择题：1．函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，是定积分存在（ ）． (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 2．下列等式不正确的是（ ）．(A))(])([x f dx x f dx d ba=⎰ (B))()]([])([')(x b x b f dt t f dx d x b a =⎰(C))(])([x f dx x f dx d x a=⎰ (D))(])([""x F dt t F dx d x a =⎰3．设函数)(x f 的一个原函数为x sin ，则=⎰dx x xf 2)(π（ ）． (A)12+π(B)2π(C)12-π(D)04．由直线1,+-==x y x y ，及x 轴所围成的平面图形的面积=（ ）．(A)⎰--10])1[(dy y y (B)⎰-+-21])1[(dx x x(C)⎰--210])1[(dy y y (D)⎰+--10)]1([dx x x5．由曲线x y x y e1log ,ln ==，直线e x =围成的曲边梯形，用微元法求解时，若选择x 为积分变量，则面积微元为（ ）．(A)dx x x e)log (ln 1+ (B)dy x x e)log (ln 1+(C)dx x x e)log (ln 1- (D)dy x x e)log (ln 1-6．由曲线2x y =，直线0,1,1==-=y x x 所围成的平面图形的面积（ ）． (A)⎰-112dx x (B)⎰102dx x (C)⎰1dy y (D)⎰12dy y7．由曲线2x y =，直线1=y 所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积=（ ）．(A)⎰102ydy π (B)⎰10221dx x π (C)⎰10ydy π (D)⎰10xdx π 8．由曲线2x y =，直线x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积=（ ）．(A)⎰-12)(dx x x π (B)⎰-142)(dx x x π(C)⎰-102)(dx x x π (D)⎰-14)(dx x x π二、填空题：1．设)(x f 在],[b a 上连续，则=-⎰⎰babadt t f dx x f )()( ．2．已知dt t x x⎰-+=121)(ϕ，()x ϕ'=____________.3．02cos lim xx t tdt x→=⎰_____________.4．设)(x f 在],[b a 上可导，且A a f B b f ==)(,)(，则 =⎰dx x f x f ba)()('_____．5．=⎰-1dx xe x+⎰-1dx e x ．6．=+⎰-dx x x1121sin ．三、求下列函数的定积分：1．θθπd ⎰-60)12cos 2(； 2．dx x x x ⎰-20)sin (π；3．dx x x ⎰-210231)(arcsin ； 4．θθθπd ⎰-202sin )cos 1(；5．dx xx ⎰-+1691； 6．⎰-++112521dx x x ；7．⎰-+122)511(x dx； 8．dx x x ⎰-22211； 9．dx x x ⎰-+21211； 10．dx x x ⎰-π3sin sin ； 11．dx x ⎰-302； 12．dx x ⎰+π2cos 1；13．⎰+32024x dx； 14．221(1)e dx x x +⎰； 15．dx x x ⎰ππ2121sin ； 16．⎰+4011dx x； 17．1202dx x x --⎰； 18．1e ⎰ 19．⎰2cos πxdx x ； 20．dx xe x⎰-10 ；21．⎰exdx 1ln ； 22．dx x ⎰210arcsin ；23．⎰exdx x 12ln ； 24．dx x ⎰42cos π；25． 1arctan x xdx ⎰； 26．220cos x e xdx π⎰；27． 20(cos )x x dx π⎰； 28．1sin(ln )ex dx ⎰；29．dx x ⎰+∞+0211； 30．⎰∞-+021dx x x； 31．dx x x ⎰+∞∞-++2212； 32．⎰-1021dx xx ；33．⎰1ln xdx ；34.求dx x f ⎰π)(，其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=时当时当πππx x x x x f 2,sin 20,)(．四、证明：112211111xx dx dx x x =++⎰⎰. 五、证明20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.六、求下列平面图形的面积：1．由抛物线2x y =及直线32+=x y 所围成的平面图形． 2．由曲线xy 1=，直线x y =及直线2=y 所围成的平面图形． 3．设曲线2x x y -=与直线ax y =，求参数a ；使这直线与曲线所围成的平面图形的面积为29． 4．由曲线x y sin =，与曲线x y 2sin =在区间],0[π上所围成的平面图形 5．由曲线x y =，与曲线22-=x y 所围成的平面图形． 6．由三次抛物线3x y =，与直线x y 2=所围成的平面图形． 7. 曲线θcos 2=r 及射线3,0πθθ==；8. 求由曲线)0)(cos 1(>-=a a r θ所围图形的面积. 七、求由下列图形旋转而成的旋转体的体积：1．由抛物线2x y =，与直线0=y ，及1=x 所围成的平面图形绕x 轴，及y 轴． 2．由曲线)0(,sin π≤≤=x x y ，及0=y 所围成的平面图形绕x 轴． 3．由抛物线24x y =，与直线2=x 所围成的平面图形绕x 轴．4．由抛物线)0(,412>=x x y ，与直线1=y ，及0=x 所围成的平面图形 绕x 轴，及y 轴．八、求解下列经济数学中的应用题： *1． 已知生产某产品的边际成本2()31830'=-+C x x x ，问当产量x 由12单位减少到3单位时，总成本减少多少？*2． 已知某商场销售电视机的边际利润为()250(20)10'=-≥xL x x ,试求:(1)售出40台电视机的总利润；(2)售出60台时，前30台与后30台的平均利润各为多少？*3．若边际成本x x C 430)(+='，边际收益x x R 260)(-='，求最大利润(设固定成本为0).第六章 微分方程一、选择题：1．微分方程0)'()''(3)'''(5423=++-x y y y 阶数是 （ ） (A)4阶 (B)3阶 (C)2阶 (D)1阶 2．下列方程中是可分离变量的微分方程的是（ ） (A)x x y x y cos )(tan '2-+= (B)0ln '=--y y y xe y x (C)dxdyxy dx dy x y =+22 (D)0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy 3．微分方程y y x 2='的通解为（ ）(A)2x y = (B)c x y +=2 (C)2cx y = (D)0=y 4．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（ ）(A)x y = (B)c x y += (C)cx y = (D)0=y 5．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ ） (A)x x x y +=ln (B)Cx x x y +=ln(C)x x x y +=ln 2 (D)Cx x x y +=ln 26．设21,y y 是二阶常系数微分方程0=+'+''qy y p y 的两个解，则下列说法不正确的是( )(A)21y y +是此方程的一个解 (B)21y y -是此方程的一个解 (C)2211y c y c +是此方程的通解 (21,c c 为任意常数)(D)若21,y y 线性无关，则2211y c y c +是此方程的通解(21,c c 为任意常数) 7．微分方程02=+'-''y y y 的一个特解是（ ）(A)x e x y 2= (B)x e y = (C)x e x y 3= (D)x e y -=8．微分方程052=+'+''y y y 的通解y 等于（ ） (A)x c x c 2sin 2cos 21+ (B))2sin 2cos (21x c x c e x + (C))2sin 2cos (21x c x c e x +- (D))2sin 2cos (21x c x c x + 二、填空题：1．设某微分方程的通解为()x e x c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c ；2．微分方程02=+'xy y 的通解是______________； 3．1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为________； 4．微分方程0e y y x =+'+的通解是__________；5．已知x y sin 1=和x y cos 2=是0=+'+''qy y p y （q p ,均为常数）的两个解，则该方程的通解为________；6．微分方程x y sin ''=的通解是____________； 7.方程023=+'-''y y y 的通解是 ； 8.022=+'-''y y y 的通解为 ． 三、求解下列常微分方程：1．()01=+-xdy dx y ； 2．1)1(,12=-=y x dxdyxy； 3．)1)(cos (sin 2'y x x y +-=； 4．0ln =-'y y y x ； 5．y x e dx dy+=； 6． 2sin ln ,x y x y y y e π='==； 7．x e y y -=+'； 8．0,cos 0sin ==+'=-x x y e x y y ； 9．x xy dx dy 42=+； 10．221x y xdx dy =-； 11．x y y x cos =+'； 12.．x e y -=''； 13．x e y x sin 3+=''； 14．022=+'+''y y y ； 15．02'''=--y y y ； 16．0y 'y 4''y 4=++；17．09'6"=++y y y ，1',000====x x y y ； 18．10;6,03400='==+'-''==x x y yy y y ；19．5,2,0250'0"===+==x x y y y y .四、已知特征方程的两个根为：i r +-=21，i r --=22，求相应的二阶常系数的齐次线性微分方程及其通解．五、验证函数C x x y ++=2（C 为任意常数）是方程12+='x y 的通解，求满足初始条件11==x y 的特解.六、验证函数x e x C C y -+=)(21（21,C C 为任意常数）是方程02=+'+''y y y 的通解，求满足初始条件2,400-='===x x y y 的特解.七、求方程0=-''y y 的积分曲线，使其在点)0,0(处与直线x y =相切. 八、已知某曲线经过点)1,1(，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.第七章 多元函数微分学一、选择题：1.设函数f x y x yy x x y x y (,)s i n s i n =+≠=⎧⎨⎪⎩⎪11000，则极限lim (,)x y f x y →→00=（ ）(A)不存在 (B)等于1 (C)等于0 (D)等于22.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件3.设u y x =a r c t a n ，则∂∂ux =（ ）(A)x x y 22+ (B)-+y x y 22 (C)y x y 22+ (D)-+xx y224.设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ ） (A)22v u v u -- (B)22v u u v -- (C)22v u v u +- (D)22vu uv +-．5.设z y x=，则()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂1,2y z x z （ ） (A)2 (B)1+ln2 (C)0 (D) 16.设(21)arcsinx u x y y =+-，则xu∂∂在(1,2)的值是（ ）(A)1-(B)1+(C)1-(D) 31+7.设z =()1,1dz =（ ）(A)()12dx dy + (B) dx dy + (C) ()13dx dy + (D))dx dy + 8.设()322,42f x y x x xy y =-+-，则下面结论正确的是（ ）(A) 点()0,0是极大值点 (B)点()2,2是极小值点(C) 点()2,2是(),f x y 的驻点，且为极大值点 (D) 点()0,0是(),f x y 的驻点，且为极小值 二、填空题：1.极限lim sin()x y xy x →→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．2.极限limln()x y x y e x y →→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．3.函数z x y =+l n ()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．4.设z xy y =-+s i n ()3，则∂∂zxx y ===21_________ ．5.22yx x z +=在点)1,0(处的._______________=dz 6.,sin ,cos ,22y x v y x u uv v u z ==-=则_________;_________,=∂∂=∂∂yzx z 7.设u x x y =l n ，则∂∂∂2ux y= ___________．8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件.三、计算题：1. 求下列函数的定义域并作出其图形：(1) ln()z x y =+； (2) 22221arcsin arccos 4x y z x y +=++；(3) z 。