第三章 边值问题的解法
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
偏微分方程中的边值问题
偏微分方程中的边值问题偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，它描述了物理、工程、生物等学科中许多实际问题的数学模型。
在解决偏微分方程的过程中，边值问题（Boundary Value Problem，简称BVP）扮演着重要的角色。
本文将探讨在偏微分方程中的边值问题及其解决方法。
一、边值问题的定义在求解偏微分方程时，我们通常需要给定一些额外的条件，这些条件被称为边界条件或边值条件。
边值问题是指在解偏微分方程时，除了给出方程本身外，还给出了在某些边界上的条件限制。
通常边界包括定解区域的整个边界以及初始时刻的条件。
二、常见类型的边值问题1. 狄利克雷边值问题狄利克雷边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的函数值。
具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，狄利克雷边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上的值，即f(x)=g(x)，其中f(x)是方程的解，g(x)是边界条件给定的函数。
通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足狄利克雷边值问题的解。
2. 诺依曼边值问题诺依曼边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的法向导数。
具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，诺依曼边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上法向导数的值，即∂f/∂n = h(x)，其中f(x)是方程的解，h(x)是边界条件给定的函数。
通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足诺依曼边值问题的解。
3. 罗宾边值问题罗宾边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的线性组合形式，即同时给定了边界上的函数值和法向导数的线性组合。
具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，罗宾边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上函数值和法向导数的线性组合，即f(x) + ∂f/∂n = k(x)，其中f(x)是方程的解，k(x)是边界条件给定的函数。
通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足罗宾边值问题的解。
第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
r
O
d
P(r, ) R q
处理方法：电位叠加原理：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q' 的感应电荷， 镜像电荷可采用前面的方法确定q a q, d。 a2 2、为了满足电荷守恒原理。断开接地d线，将电d量为-q'的电荷加 到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势 体，且表面总电荷为零。
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
11
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q
q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
l
2π
r r er
以r 0 为参考点，则电位
r r0
Edr
l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷.
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
常微分方程边值问题的解法
常微分方程边值问题的解法常微分方程是描述自然科学、工程技术和经济管理等领域中各种变化规律的一个基础理论。
而边值问题是求解一些微分方程的重要问题之一，涉及到数学、物理、化学等多个领域。
在本文中，我们将讨论常微分方程边值问题的解法。
1. 边值问题的定义在微分方程解的过程中，边值问题（Boundary Value Problem, BVP）是指在区间 $[a,b]$ 上求解微分方程的解，同时已知$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$ 的问题。
边值问题是对初值问题（Initial Value Problem, IVP）的一种自然延伸，在一定范围内对变量的取值进行限制，使得解的可行域更为明确。
举例来说，对于经典的二阶线性微分方程$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad a<x<b $$ 如果边界条件是$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$，则这个微分方程就是一个边值问题。
2. 常用解法对于一般的常微分方程边值问题，没有通用的方法可以求出其解析解，必须采用一些数值计算的方法进行求解。
常用的边值问题的解法大致有以下几种：（1）求解特殊解的方法这种方法常用于求解具有周期性边界条件的问题。
如果问题中的边界条件满足：$y(a)=y(b)=0$，则可以将问题转化为一个周期问题，即 $y(a+k)=y(b+k)$，其中 $k=b-a$。
这时，边值问题就变成了求解这个方程的周期解，例如，可以使用Fourier 级数来求解。
（2）变分法变分法是一种基于求解最小值的方法，可以用来求解一类线性边值问题。
其基本思路是将原问题转化为求一个积分的最小值。
对于一般的边值问题 $y''+f(x)y=g(x)$，可以构造一个变分问题：$$ \delta\int_a^b \left(y'^2-f(x)y^2-2gy\right) \mathrm{d}x=0 $$ 这个问题的解可以通过对变分问题的欧拉方程求解而得到。
《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
第三章 静态场及其边值问题的解 电磁场与电磁波 课件 谢处方
l 0 2L C ln 2 0 a
2 0
ln
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
标量泊松方程
15
5. 电位的微分方程 在均匀介质中，有
D E E
在无源区域，
2
5
场矢量的折射关系
1
E1
E1t / E1n 1 / D1n 1 tan 1 tan 2 E2t / E2 n 2 / D2 n 2
导体表面的边界条件
1
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的 边界条件为
en D S en E 0
所以 D1 0 最后得
S 0 (b a) C1 , D1 0 0a S 0b S 0b C2 , D2 0a 0
C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2
S 0 ( a b) 1 ( x) x, (0 ≤ x ≤ b) 0a S 0b 2 ( x) (a x), (b ≤ x ≤ a) 0a
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C )
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考
点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确 定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差)
r r r o r P r r ( P) (o) E0 gdl E0 gdr E0 gr
矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解
矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解在数学领域，边值问题是一种常见的数学模型，常常用于描述自然界中的各种现象。
拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，描述了平面上的电势、温度分布等问题。
而矩形区域上的拉普拉斯方程边值问题是一个经典的数学问题，其解法对于理解数学模型在实际问题中的应用具有重要意义。
本文将介绍矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解，探讨其数学原理、求解方法及实际应用。
一、问题描述考虑一个边长分别为a和b的矩形区域，其上的拉普拉斯方程为△u = 0, (x, y) ∈ R,其中，△为拉普拉斯算子，u(x, y)为矩形区域上的电势或温度场分布。
边值问题的边界条件通常包括三种类型：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
在矩形区域上，常见的边界条件包括固定势边界条件和导数边界条件。
我们以固定势边界条件为例，即在矩形的四边上给定电势值：u(x, 0) = f1(x), 0 ≤ x ≤ a,u(x, b) = f2(x), 0 ≤ x ≤ a,u(0, y) = g1(y), 0 ≤ y ≤ b,u(a, y) = g2(y), 0 ≤ y ≤ b.其中，f1(x)、f2(x)、g1(y)、g2(y)均为已知函数。
二、数学原理矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解可以通过分离变量法来求解。
分离变量法的基本思想是将多元函数表示为各个自变量的单独函数的乘积，然后将原方程化为各个单变量函数的微分方程，并利用初值条件和边界条件来确定各个单变量函数的解。
设u(x, y) = X(x)Y(y)，代入拉普拉斯方程得到X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0.由于等式左侧为x的函数加上y的函数，而右侧为一个常数，所以等式两侧必须都等于这个常数。
不失一般性，我们设等式两侧都等于-λ，得到两个常微分方程X''(x) + λX(x) = 0, Y''(y) - λY(y) = 0.解出上述两个常微分方程的特征方程，我们得到一系列特征值λ和对应的特征函数Xn(x)和Ym(y)。
习题答案第3章 静电场及其边值问题的解法
x U
d o
ε (1) a 2
(a)
a
ε0 ( 2) 0
y
(b)
题图 3-1 二平行板电容器
[解] a)
介质交界面上 又
E1t = E2t
∴ E1 = E 2 =
U ˆ) (− x d
D = εE ,
ˆ ), D1 = εE1 (− x ˆ ), D2 = ε 0 E1 (− x
∴
下极板电荷密度：
ˆ⋅D Θ ρs = n ∴ ˆ ⋅ (− ρ s1 = x
εU εU ˆ) = − x , d d P = D −ε0E
ˆ ⋅ (− ρ s2 = x
ε 0U εU ˆ) = − 0 , x d d
介质下表面束缚电荷密度：
′ =n ˆ ⋅ P, Θ ρs
U ⎛ εU ε 0U ⎞ ˆ = − (ε − ε 0 )x ˆ, Θ P1 = D1 − ε 0 E1 = ⎜ + ⎟x d ⎠ d ⎝ d
ρ v (r ) = ε 0 ∇ ⋅ E = ε 0
ˆC E =r
1 d 2 r ⋅ Cr 2 = 4ε 0 Cr 2 dr r
(
)
(r<a)
b)
a4 r2
(r>a)
c) 取 r → ∞ 处为电位参考点，得
r < a : φ = ∫ Edr = ∫ Cr dr + ∫
r r
∞
a
2
∞
a
a4 Ca 3 Cr 3 C C 2 dr = − + Ca 3 = (4a 3 − r 3 ) 3 3 3 r
φ=
ρl ρ ln 1 2πε 0 ρ 2
27
双线间电位为
第3章 边值问题的解法
第三章 边值问题 的 解 法
无界
场源( / J )
电场( E / )
分布型
电场( )
求解边值问题通常可以转化为归结在给定边界条件下， 求解拉普拉斯方程或泊松方程的问题。
求解边值问题的方法一般分为解析法和数值法。
1
第三章 边值问题 的 解法
3.1 边值问题的分类*
3.2
法求解，镜像电荷的个数为(3600/θ)-1，再加上原电荷总共 3600/θ个，镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上，且 大小相等、符号相反；若3600/θ不为偶数，则镜像电荷就会出 现在所求区域，这将改变该区域内电位所满足的方程，不能 用镜像法求解。
镜像电荷的要求：根据唯一性定理，只要镜像电荷和 实际电荷一起产生的电位能满足给定的边界条件，又在所 求的区域内满足拉普拉斯方程即可。
镜像法是求解静电边值问题的一种间接方法，它巧妙应 用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题易于解决。主要 用来求解无限大导体附近的电荷（点电荷/线电荷）产生的 场。
11
第三章 边值问题 的 解法
在z >0的上半平面(除点电荷所在点)，▽2φ=0； 在z= 0的平面上，φ=0 ，▽2φ=0 。 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
根据唯一性定理，式(3-1-1)必是所求问题的解。
14
第三章 边值问题 的 解法
用电位函数反求感应电荷量。
E 4 q0[ r x 2 3 r x 1 3 a x r y 2 3 r y 1 3 a y r z 2 3 r z 1 3 a z]
例1：地球对架空传输线所产生电场的影响。 例2：发射或接收天线的场分布会因支撑它们的金属 导电体的出现而显著改变。 结论：计算空间的电场，不仅要考虑原电荷的电场， 还要考虑感应电荷的电场，这就必须知道表面电荷的分布。 直接分析这些问题既复杂又困难。
第三章 常微分方程的边值和本征值问题
因此比 较明智的做法是，在每一个试验本征值上，由 xmax
出发向后直接积分产生另一个数值解 Ѱ>。 为了判断 这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一
个接合点 xm上比较 Ѱ<和 Ѱ>，其中接合点 xm要这样选择， 使得两个积分都是准确的。这里接合点 xm 的一个方便的选 择是左转折点或右转折点。
问题转化为求下面方程的根
Φk (1)= 0
3.3 一维薛定谔方程的定态解
一维位势 V(x) 中一个质量为 m 的粒子的 量子力学定态
在 x = xmin 和 x = xmax 处两点位势变为无穷大，也就是说在这 两点上有刚壁，在 这两点之间则是一个势阱。
定解问题
其中
求使这个问题有非零解的能量本征值 E 及其相应的波函数
Ѱ<和 Ѱ>的归一化总是可以这样选择，使得两个函数值在
xm 上相等。这时如果 它们的微商在 xm上也相等，那么就可 以断言这个试验本征值就是能量本征值.
数学表达式为
这里的
提供了一个方便的标尺
打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的
初始问们就可以通过积分这个初始问
题得到 yδ (b) ．
一般来说，由于可调参数 δ 的随意选择， yδ(b) 和 yb 很难相等。
打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ，使得 yδ (b) 和 yb 在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边 值问题的目的． 问题转化为求下面方程的根
3.2 打靶法求解本征值问题
考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间
部分满足的方程和边界条件可以写成
φ 是弦的横向位移， k 是波数 解析解为
相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数 策略：我们先猜测一个试验本征值 k，同时任取一个非零数 δ ， 把微分方程变化为一个初始值问题
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法：
常微分方程边值问题是指在一定区间内，给定一个微分方程的初始条件和边界条件，求解微分方程的解在这个区间内满足这些条件的问题。
常见的边值问题有两种类型：Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。
解决常微分方程边值问题的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法：
1. 有限差分法：
有限差分法是利用差分近似替代微分，将微分方程转化为一组代数方程。
首先将区间离散化，将连续的函数转化为离散的数值，然后利用中心差分、前向差分或后向差分的方法，将微分方程变为代数方程组，最后利用线性代数的方法求解这个方程组。
2. 有限元法：
有限元法是将区间划分为若干个小的子区间，将微分方程转化为一组局部的代数方程组，然后将这些方程组组合成整个问题的全局方程组。
有限元法可以适用于更加复杂的边值问题，但是需要更多的计算量和更高的数学水平。
总之，常微分方程边值问题的解法有很多种，需要根据具体情况选择不同的方法。
第3章 边值问题的解法
ρV = 0
，故有 拉普拉斯方程
∇ ϕ =0
2
(3-1-6)
第三章 边值问题 的 解法
边值问题 微分方程 边界条件
∇2ϕ = − ∇2ϕ = 0
ρ ε
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
第一类 边界条件
第二类 边界条件
第三类 边界条件
ϕ1 =ϕ2 参考点电位 ∂ϕ ∂ϕ ε1 1 −ε2 2 =σ limrϕ =有限值 r→∞
r1 = r2 = r = x 2 + y 2 + d 2 导电平面上， 导电平面上，有
2qd 导体表面的感应电荷密度为 ρ S = D . a z = (ε 0 E ) . a z = − 4πr 3
如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆， 如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆，则 无限大导电平面的感应电荷为 导体表面感应 2π 2qd ∞ ρdρ 的总电荷正是 Q = ∫ ρ S dS = − ∫0 2 2 3 ∫0 dϕ = −q 预期值－q。 S 预期值－ 。 4π 2 (ρ + d )
y
(3,4,0)
(-3,4,0)
1 1 1 1 φ= ( − + − ) 4πε 0 r1 r2 r3 r4 q = 735.2V
则
r1
r2
0 r 3
(-3,-4,0)
(3,5,0)
r4
(3,-4,0)
x
保证y=0的平 面电位为零
E = −∇φ ∂φ ∂φ ∂φ ax − ay − az =− ∂x ∂y ∂z = −19.8a x + 891.36a y (V / m)
第三章 边值问题 的 解法
边值问题
上一章讲的是常微分方程的初值问题解法. 还有两 类常微分方程问题不能用上述方法直接求解. 一 边值问题
如一个定域电荷在一个已知电势的边界内产 生的电势分布.
2 4 对球对称电荷分布 , 并令(r ) r 1 (r ) d 2 4 2 dr
二 本征值问题 如 求解给定边界条件的schrodinger方程.
F ( ) y (b) y1 0
比如求解方程:
y' ' y' z z'
假设1
2
4
(1 y ), y (0) 0, y (1) 1
龙格 库塔法求 y1 (1), F (1 )
假设 2
2
4
(1 y )
假设初条件为
y(0) 0, z (0)
打靶法的关键是通过引入一个参数, 使该问题 看起来象一个初值问题.
因为 y(a) 已知, 假设 y' (a) δ 是个可调节参数
用求解常微分方程的初值问题解法求解 y ( x) 由于 y ' (a) 是猜测的, 所以 y (b) y(b) y1 打靶法的思想是: 用求根的算法找到正确的 δ 使其保证:
令
r x/a
使 r 变化范围在 1 的量级左右
Schodinger 方程变为
1 d2 [ 2 2 v( x) ] (r ) 0 dr 2m a2V0 1/ 2 E ( ) , 2 V0
这就是我们的最终的数学模型.
c. 计算方法的选取
首先要注意两点
(1) 求本征值的方程 F ( ) ( xmax / a) 0 不 能选在 xmax 处. 最好选在其中一个转折点 xm 处.
第三章_静电场的边值问题
在圆柱轴线与线电荷之
r l
间，离轴线的距离d 处， 平行放置一根镜像线电 荷
l 。
f
已知无限长线电荷产生的电场
E ，l er 2π r
因此，离线电荷 r 处，以 r 0 为参考点的电位为
r l 0 Er d l n r 2 π r
E E 1 t 1 t E 2 t
D D D 1n 1n 2 n
已知各个点电荷产生的电场强度分别为
q E1 e 2 r 4π1r
q E e 1 2 r 4 π 1(r)
q E e 2 2 r ) 4 π 2(r
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
x
x
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。
3
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。 定解条件 初始条件
边界条件 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉 普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电 场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一 章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
10
（1）点电荷与无限大的导体平面
r q 介质
导体
P q h h q
r
r
P
介质 介质
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位 由 q 及 q' 共同产生，即
Qm n ( x)
11
q q
无限大导体平面的电位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
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解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
a1 d1
q1
d1
b1
➢
球壳内区域任一点电位为
内
q
4π 0
(r
2
2d1r
1
cos
d12 )1/ 2
1/
2
x 2
y2
1 (z
d
)2
1/ 2
上半空间的电场强度：
v
E
Ex
q 4π0
x2
y2
x (z
d )2
3/2
x 2
y2
x (z
d )2
3/2
Ey
q 4π0
x2
➢根据球面镜像原理，镜像电荷 q2 的位置和大小分别为
➢球壳外区域任一点电位为
b2
a22 d2
q2
a2 d2
q2
外
q
4π0
(r
2
1
2d2r cos
d
2 2
)1/
2
(d22r 2
a2
2d2ra22 cos
a24 )1/2
球壳中：
➢ 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。
该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ， 位置如图所示。其中
q1 q, q2 q, q3 q
当n=6时：
q
q
π
3
q
q
π 3
q
角域外有5个镜像电荷，
大小和位置如图所示。
q
所有镜像电荷都正、
负交替地分布在同一
q
个圆周上，该圆的圆
心位于角域的顶点，
半径为点电荷到顶点
的距离。
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像 法就不再适用了；当角域夹角为钝角时， 镜像法亦不适用。
4. 点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距 离为d，如图所示。待求场域为r >a区域，边界条件为导体 球面上电位为零。
a
q
d
a q
q
d
➢ 设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。 根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。
X 0 (x) A10 x A20
Y0 ( y) B10 y B20
kx2 ky2 0
本征
值
1(x, y) ( A10 x A20 )(B10 y B20 )
(2)当k
2 x
0 时，设kx
km (m 1, 2,L
, )
由 kx2 ky2 0
惟一性定理
分离变量法的主要步骤
– 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下 拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。
– 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程 的通解，其中含有待定常数。
– 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条 件的特解。
1. 直角坐标系中二维拉普拉 斯方程分离变量法
点
a
电
a
荷
与
接
地
导
体
球
周
围
的
电
场
(r, )
c
在球面上任取一点c，则
N
a
r2 q
r1
M
q
b
c
1
4π 0
q ( r1
q )
r2
0
d
q r2
q a b
q r1
q d a
q a b
q a q d
a2 b
d
q d a
空间任意点 (r, )的电位：
(d12 r 2
a1
2d1ra12 cos
a14 )1/ 2
➢ 用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外
的情况不予考虑。
5 线电荷对导体圆柱面的镜像
待求区域：r a
边界条件：柱面上电位为零
➢ 设想镜像线电荷 l 位于对称面上， 且与圆柱轴线距离为b，则导体柱 面上任一点的电位表示为
应注意的问题：
– 镜像电荷位于待求场域边界之外。 – 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均
匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
– 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持
原边界处的边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的 镜像
待求场域：上半空间
边界： 无限大导体平面 边界条件： 0
Ym
(
y)
B1mcosh
km
y
B2msinh
km
y
则： 2 (x, y) ( A1m cos km x A2m sin kmx)(B1m cosh km y B2m sinh km y) m1
2 2
x2 y2 0
(x, y) X (x)Y ( y)
1 X (x)
d2X (x) dx2
Y
1 (y)
d2Y ( y) dy2
0
1 X (x)
d2 X (x) dx2
kx2
Y
1 ( y)
d2Y( y) dy2
ky2
本征函 数
本征方 程
本征方程的求解 (1)当kx ky 0 时
n
dS
整理，
(2 )dV V
ÑS
dS
n
因为，2 0
所以，
V
()2 dV
ÑV
n
dS
设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有
φ1和φ2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，
两个解的差φ′=φ1-φ2也满足方程
2 ' 0
V
()2 dV
R2
则：
U ln R2
ln
R2 r
R1
v
E
v E
U r ln R2
aˆr
R1
3.3 镜像法
• 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
• 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多 个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代 替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边 界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间 电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电 场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这 种求解方法称为镜像法。
3 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组
合
f (s)
n
另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界
条件
lim r 有限值
r
若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或 另一部分导体表面的电荷量。
3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程
面
l 2π 0
ln
r1
l 2π 0
ln
r2
其中： r1 a2 d 2 2ad cos
r2 a2 b2 2ab cos
➢ 在柱面上取两个特殊点M和N，则
N
l 2π 0
ln(d
a)
l 2π 0
ln(a b)
M
l 2π 0
3.2 唯一性定理
1 定理内容
在静电场中，每一类边界条件下，
泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是 唯一的，即静电场的唯一性定理。
2 证明过程