平面向量数量积教案

教学目标 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义

2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系•

\ 3•掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

5•会用向量方法解决某些简单的平面几何问题

6•会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

教学重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

教学难点能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识导图】

■教学过程pi

一、导入

［考情展望］

i•以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.

2•以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想.

二、知识讲解

考点1平面向量的数量积

i •数量积的定义：已知两个非零向量a,b，它们的夹角为「则向量a与b的数量积是数

量|a||b|cos“，记作a b，即a b=| a||b|cos^规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2•向量的投影：设二为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cosr ；向量b在a

方向上的投影是|b|cosx

结论几何表示坐标表小

模|a|=pa|a|={x1+ y2

数量积 a b= |a||b|cos 0 a b= X1X2 + y i y2

夹角cos 0=

|a||b|

一x i X2+ y i y2

cos 0—j 2 2 J* 2 2寸x i + y i • X2+ y2

a丄b的充要条件 a b= 0X i X2 + y i y2= 0

|a b|与|a||b|的关

系|a b|w |a||b|（当且仅当a // b时等号

成立）

X i x2+ y i y2p<7 X I + y i 寸X2 + y2

3•数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的

乘积.

i.交考律: 2 a平面向量的数量积运算律

T 斗 4 4 4 彳

2.数乘结合争律：( a) b =■ (a a (■ b)；

3 .分配律: a(b c)二a b a c .

已知非零向量a= （x i, y i）, b=（X2, 丫2）, B为向量a, b的夹角.

考点3平面向量数量积的性质及其坐标表示

类型一平面向量数量积的运算

例题1

在厶ABC 中，M 是BC 的中点，AM = 3, BC = 10，则AB AC= __________

⑵已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE CB的值为

________ ；DE DC的最大值为 ________ .

【规范解答】⑴如图所示,AB = A M + M B , A C = A M + M C = A M—M B , 、例题精析

AB AC = (AM + MB) (AM —MB) = AM2—MB2= |AM|2—|MB |2= 9-25=—16.

⑵

法一如图所示，以AB, AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于

正方形边长为1，

故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).

又E在AB边上，故设E(t,O)(O w t w 1).

-> ->

则DE= (t, —1), CB = (0，—1).

故DE CB= 1.

又DC = (1,0),

二DE DC = (t,—1) (1,0) = t.

又0 w t w 1,「. DE DC的最大值为1.

法二•/ ABCD是正方形，••• D A = C B.

•••D E CB=D E D A = |Dl||DA|cos/ EDA

=|DA||DE|cos Z EDA = |DA| | DA|= |DA| = 1.

又E点在线段AB上运动，故为点E与点B重合时，DE在DC上的投影最大，此时DC DE =|DC||DE|cos 45 =^2X 弩=1.

所以D E D C的最大值为1.

【总结与反思】

1. 平面向量的数

量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.

2•要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例1中用AM、MB

表示A B、AC等.注意向量夹角的大小，以及夹角0= 0 ° 90 ° 180。三种特殊情形.

类型二平面向量的夹角与垂直

(1) _________________________________________________________________ 若非零向量a, b满足

|a|= 3|b|=|a+ 2b|,贝U a与b夹角的余弦值为__________________________________ .

⑵已知向量AB与AC的夹角为120°且|AB|= 3, |AC|= 2•若A P = A B+A C，且AP丄BC,则实数入的值为. 【规范解答】⑴由|a| = |a + 2b|,两边平方，得| a|2=(a+ 2b)2= |a|2+ 4|b|2+ 4a b,所以a b

2

=—|b| •又|a| = 3|b|,

ab - Ibl 2 —

2-

|a||b| 3|b|

—> —> —> —> —> —> —>

BC — AC — AB ，…（於B + AC ）（AC — AB ） — 0,

即（入一 1）AC AB — ?AB? + AC — 0,二（?— 1）|AC||AB|cos 120 —9 ?+ 4— 0.

【总结与反思】

1•当a , b 以非坐标形式给出时，求 〈a , b >的关键是借助已知条件求出 |a|、|b|与a b 的关系.

2. 1非零向量垂直的充要条件

：a 丄b ? a b — 0? |a + b| — |a — b|? X 1X 2+ y 『2— 0. 2本例2中

常

见的错误是不会借助向量减法法则把

BC 表示成AC - AB ,导致求解受阻.

类型三 平面向量的模及其应用

例题1

已知 OP — (cos 0, sin ®, OQ — (1 + sin 0, 1+ cos 0),其中 0WBW n 求|PQ|的取值范围及|PQ 取得最大值时 0的值.

【规范解答】 T PQ — OQ 一 OP — (1 + sin — cos 0, 1 + cos 0— sin 0),

•• |P"3|2— (1 + sin 0— cos 02+ (1 + cos 0— sin 02— 4 — 4sin 0os 0— 4 — 2sin 2 0 •/ 0<

n, •••— 1 w sin 2 0W 1,

r\

•••|PQ|2€ [2,6] , • |PQ|€ [ 2, ,6].当 sin 2 0—— 1,即 0— 时，|PQ|取得最大值.

【总结与反思】

求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑

：

1利用向量的几何意义， 即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量， 再利用余弦定理等方法求解；

2利用公式|a| — ”Jaa 及a ±3 2 — |a|2d 2a b + |b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解 决.

⑵•/ AP 丄 BC ,

•••

AP BC — 0. 1 3.

所以 cos 〈 a , b >

—> —> —> 又 AP — 4B + AC

•（入一1） x 3X 2X 一2 一9入 +4

-°

.解得入—

右.