2018年浦东区高三二模数学word版(附解析)(可编辑修改word版)

3 5 3 2 ⎨x ≥ 0 1 2 1 2 上海市浦东新区 2018 届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 2n +1

1. lim

n →+∞

n -1 = 2. 不等式

x

x -1

< 0 的解集为 3. 已知{a n } 是等比数列，它的前 n 项和为 S n ，且 a 3 = 4 ， a 4 = -8 ，则 S 5 =

4. 已知 f -1(x ) 是函数 f (x ) = log (x +1) 的反函数，则 f -1(2) =

5. ( + 1 )9

二项展开式中的常数项为 x ⎧⎪x = 2cos

6. 椭圆⎨

⎪⎩ y = （为参数）的右焦点坐标为 3 sin

⎧x + 2 y ≤ 4 ⎪2x + y ≤ 3 7. 满足约束条件⎪

⎪

⎪⎩ y ≥ 0

的目标函数 f = 3x + 2 y 的最大值为

8. 函数 f (x ) = cos 2

x + 3

sin 2x ， x ∈R 的单调递增区间为 2

9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面下降 1 米后，水面的宽为

米

10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O - xyz 中的坐标分别是(0,0,0) 、(1,0,1) 、

(0,1,1) 、(1,1,0) ，则该四面体的体积为

11. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (x ) 在[0, +∞) 上是增函数，如果对于任意

x ∈[1, 2] ， f (ax +1) ≤ f (x - 3) 恒成立，则实数 a 的取值范围是

12. 已知函数 f (x ) = x 2 - 5x + 7 ，若对于任意的正整数 n ，在区间[1, n + 5

] 上存在 m +1个

n

实数 a 0 、 a 1 、 a 2 、⋅⋅⋅、 a m ，使得 f (a 0 ) > f (a 1 ) + f (a 2 ) + ⋅⋅⋅ + f (a m ) 成立，则 m 的最大值为

二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）

13. 已知方程 x 2 - px +1 = 0 的两虚根为 x 、 x ，若| x - x （

）

|= 1 ，则实数 p 的值为 A. ± B. ± C.

， D. ± ， ± x 3 5

5

10 14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1） | z 1 + z 2 |≤| z 1 | + | z 2 |；（2）

| z 1 ⋅ z 2 |=| z 1 | ⋅ | z 2 | ；（3） (z 1 ⋅ z 2 ) ⋅ z 3 = z 1 ⋅ (z 2 ⋅ z 3 ) ，相应的在向量运算中，下列式子：（1） | a + b |≤| a | + | b | ；（2） | a ⋅ b |=| a | ⋅ | b | ；（3） (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) ，正确的个数是

（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

16. 设 P 、Q 是 R 上的两个非空子集，如果存在一个从 P 到Q 的函数 y = f (x ) 满足：（1）

Q = { f (x ) | x ∈ P } ；（2）对任意 x 1 , x 2 ∈ P ，当 x 1 < x 2 时，恒有 f (x 1 ) < f (x 2 ) ，那么称这

两个集合构成“ P → Q 恒等态射”，以下集合可以构成“ P → Q 恒等态射”的是 （

）

A. R → Z

B. Z → Q

C.

[1, 2] → (0,1)

D. (1, 2) → R

三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）

17. 已知圆锥 AO 的底面半径为 2，母线长为2 ，点C 为圆锥底面圆周上的一点， O 为

圆心， D 是 AB 的中点，且∠BOC =

.

2

（1） 求圆锥的全面积；

（2） 求直线CD 与平面 AOB 所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

18. 在∆ABC 中，边 a 、b 、c 分别为角 A 、 B 、C 所对应的边.

2c （1） 若 1 + (2b - a )sin B (2a - b )sin A 4 (2a - b )sin A

sin C

2

= 0 ，求角C 的大小；

（2） 若sin A = ， C = 5 ， c = 3

3 ，求∆ABC 的面积.

n

19. 已知双曲线C : x 2 - y 2 = 1 .

（1） 求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；

（2） 若经过点 P (0, -1) 的直线与双曲线C 的右支交于不同两点 M 、 N ，求线段 MN 的中

垂线l 在 y 轴上截距t 的取值范围.

20. 已知函数 y = f (x ) 定义域为 R ，对于任意 x ∈R 恒有 f (2x ) = -2 f (x ) . （1）若 f (1) = -3 ，求 f (16) 的值；

（2）若 x ∈ (1, 2] 时， f (x ) = x 2 - 2x + 2 ，求函数 y = f (x ) ， x ∈ (1,8] 的解析式及值域； （3）若 x ∈ (1, 2] 时， f (x ) = - | x - 3

| ，求 y = f (x ) 在区间(1, 2n ]， n ∈ N * 上的最大值与最

2

小值.

21. 已知数列{a } 中 a = 1，前 n 项和为 S ，若对任意的 n ∈ N * ，均有 S = a

- k （ k 是

n

1

n

n

n +k

常数，且 k ∈ N * ）成立，则称数列{a } 为“ H (k ) 数列”.

（1） 若数列{a n } 为“ H (1) 数列”，求数列{a n } 的前 n 项和 S n ；

（2） 若数列{a n } 为“ H (2) 数列”，且 a 2 为整数，试问：是否存在数列{a n } ，使得

| a 2 - a a |≤ 40 对一切 n ≥ 2 ， n ∈ N * 恒成立？如果存在，求出这样数列{a } 的 a 的所

n

n -1 n +1

n

2

有可能值，如果不存在，请说明理由；

（3） 若数列{a } 为“ H (k ) 数列”，且 a = a = ⋅⋅⋅ = a

= 1，证明： a

≥ (1 + 1 )n -k .

n

1

2

k

n +2k

2k -1