不等式常见考试题型总结
基本不等式常见题型(解析版)
基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1．（多选）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C．a b +>D ．11a b a b+>+2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．的是（ ） A ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++题型二：有基本不等式证明不等式1．（多选）以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x =+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．2．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1．当0x >时，234xx +的最大值为 __．2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.3．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．1．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 1C ．52D ．32．已知m ，R n ∈，且12nm +=，则93m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．93．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．41．当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．B ．1C ．1D ．42．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．163．函数25(2)x x y x +-=> 的最小值为______．1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值；(2)求12x y+的最小值．1．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为________．2．若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x <+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______．1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【详解】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小．故选：B ．。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
不等式的总复习——常见题型总结
不等式的总复习一、知识点归纳1、用不等号连接的式子叫不等式。
2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
思考：举例说明不等式与等式的基本性质的区别？3、不等式的解集：（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫做解不等式。
4、一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1.5、解不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化为1.例：下面是小明同学解不等式223125+<-+x x 的过程： 去分母，得 2315+<-+x x移项、合并同类项，得 22-<-x两边都除以2-，得 1<x他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里。
6、在数轴上表示不等式的解集：取等画实心，不等画空心7、常见的不等关系词：不少于、至少（≥）；不超过、至多（≤）8、一元一次不等式与一次函数的关系：对于一次函数b kx y +=，它与x 轴的交点坐标为（k b -，0） 当0>k 时，不等式0>+b kx 的解为k b x ->，不等式0<+b kx 的解为kb x -< 当0<k 时，不等式0>+b kx 的解为k b x -<，不等式0<+b kx 的解为kb x -> 因此，在做此类题时，先看一次函数（直线）与x 轴的交点，观察交点左右两边函数值y 的大小关系。
9、一元一次不等式组：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集二、常见题型解析例1 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。
专题_基本不等式常见题型归纳(学生版)
专题：根本不等式根本不等式求最值 利用根本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：〔1〕a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． 〔2〕a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号． 〔3〕a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系提醒了a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，根本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，那么112-+b a 的最小值为.练习：1．假设实数满足，且，那么的最小值为．2.假设实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，那么313x y +-的最小值为． 3.0,0,2a b c >>>，且2a b +=，那么2ac c c b ab +-+的最小值为. 【典例2】x ，y 为正实数，那么4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为．【典例3】假设正数a 、b 满足3ab a b =++,那么a b +的最小值为__________.变式：1.假设,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,那么a b +的最大值为_________.2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，那么y x 2+的最小值为_______3.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，那么y x +2的最大值为_________4.正数a ，b满足195a b+=，那么ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-【典例4】正数y x ,满足1=+y x ，那么1124+++y x 的最小值为练习1．正数y x ,满足111=+yx ，那么1914-+-y yx x 的最小值为.2.正数满足，那么的最小值为．3．函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下列图所示，那么411a b+-的最小值为.4．己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，那么2a+3b 的最小值为________．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.假设x ＋2y 的最小值为64，那么a b＝________.6.正实数,a b 满足()()12122a b b b a a+=++，那么ab 的最大值为．,x y 22x y +=8x yxy+60ax by +-=2(3)50x b y +-+=【题型三】代入消元法【典例5】〔市2016届高三调研测试·14〕14ab =，,(0,1)a b ∈，那么1211ab+--的最小值为．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，那么x 2＋y 2的最小值是．2．正实数x ，y 满足，那么x + y 的最小值为．3．正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，那么x y +的最小值为．4.假设2,0>>b a ，且3=+b a ，那么使得214-+b a 取得最小值的实数a =。
基本不等式12种题型
基本不等式12种题型在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。
许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。
1、比较不等式比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。
例如：2a + b > 3，表示2a + b大于3。
2、区间不等式区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。
即表示x介于1和2之间，大于1小于2。
3、极值不等式极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x)<f(2)，表示在函数f(x)中x=2处的值小于其他全部x处的值。
4、组合不等式组合不等式是所有不等式的一个组合，即将几个不同的不等式进行合并，使得总的结果能够得到满足，例如2a + b > 2且b < 4，表示2a + b大于2，并且b小于4。
5、不等关系不等式不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。
6、方程不等式方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。
7、多项式不等式多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。
8、指数不等式指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。
基本不等式的常见题型
12.已知x 0, y 0, x y 1, 则
13.已知2 x y 0,
1
1
的最小值是 _____.
1 x 1 2 y
1
1
1, 则x y的最小值是 _____.
2 x-y x +2 y
1 1
4x
9y
14.已知x 0, y 0, 1, 则
2.基本不等式
一、知识点梳理
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b
称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数.
2
(3)其中
1 a 2＋b2 2ab, a,b R
(当且仅当 a＝ b时取等号 )
2
a＋b
的最小值为_______.
xy
a2 1
的最小值为_______.
ab
x2 3y
的最小值为_______.
xy
[题组训练]
(�+1)(2�+1)
1. (2019 天津,13,5 分)设 x>0,y>0,x+2y=5,则
��
的最小值为
.
1 a
2.设a 0, b >0, 且a b 1, 则 的最小值为_______.
1 1
2.若 2m＋n＝1 上，且 m，n 为正数，则 ＋ 的最小值为________.
m n
1
4
3.已知正数 x,y 满足 x+y=1,则�+1+�的最小值为________.
不等式考试题型
不等式考试题型题型一：求不等式的特殊解1）求63<+x 的所有正整数解2）求)1(2)3(410-≥--x x 的非负整数解，并在数轴上表示出来3）求不等式0123≥+-x 的非负整数解4）设不等式02≤-a x 只有3个正整数解，求正整数a 的值题型二：不等式与方程的综合题例 关于x 的不等式12-≤-a x 的解集如图，求a 的取值范围不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>+<+1159m x x x 的解集是2>x ，则m 的取值范围是？若关于x 、y 的二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+03135p y x y x 的解是正整数，求整数p 的值已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，求b a 的值题型三：确定方程或不等式中字母取值范围例 k 为何值时方程)(365k x x +=-的值是非正数已知关于x 的方程953-=-x k 的解是非负数，求k 的取值范围已知在不等式03≤-a x 的正整数解是1，2，3，求a 的取值范围若1)1(+>+a x a 得解是1<x ，求a 的范围若⎪⎩⎪⎨⎧>-<+ax x x 148得解集为3>x ，求a 的取值范围题型四：求最小值问题例 x 取什么值时，代数式645+x 的值不小于3187x --的值，并求出x 的最小值题型五：不等式解法的变式应用例 x 取什么值时，6)3()2(2----x x 的值是非负数例 x 取哪些非负数时，523-x 的值不小于312+x 与1的差题型六：解不定方程例 求方程0204=-+y x 的正整数解已知⎩⎨⎧-<->-232a x ax 无解，求a 的取值范围题型七：不等式组解的分类讨论例 解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->-+-<-4)1(22)2(384x a x a ax ax。
不等式常见题型及解析题
不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。
2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。
（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。
（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。
二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。
2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。
6-均值不等式及常考题型总结
1.设a,b∈R+，则下列各式中不一定成立的是()A.a+b≥2abB.b a+a b≥2C.a2+b2ab ≥2ab D.2aba+b≥ab2.(多选)下列结论中，所有正确的结论是()A.当x>1时，x+1x≥2B.当x<0时，x+1x的最大值是-2C.当x>-3时y=x+1x+3的最小值为-1D.当x<54时，y=4x-2+14x-5的最大值是13.已知x>0，y>0，且2x2+y2=3．(1)求xy的最大值；(2)求x1+y2的最大值．4.下列结论正确的是()A.若x<0，则y=x+1x的最大值为-2B.若a>0，b>0，则ab≤a+b22C.若x∈[0，2]，则y=x4-x2的最大值为2D.若a>0，b>0，且a+4b=1，则1a+1b的最大值为9第 6 讲：均值不等式及常考题型总结5.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是()A.(-∞，9)B.[7，+∞)C.[9，+∞)D.(-∞，7)6.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.67.已知正实数a，b满足a+4b=1，则1a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.108.若正实数a，b，满足a+b=1，则b3a+3b的最小值为()A.2B.26C.5D.439.若m>0，n>0，且3m+n=1，下列结论正确的是()A.mn的最大值为112B.1m+m n的最小值为5C.1m+1+2n+2的最小值为16(5+26)D.9m2+n2的最大值为1210.(多选)已知a >0，b >0，a +b =1，则下列结论正确的是()A.a 2b +ab 2的最大值为14B.a +b 的最大值为1C.a +2b +2ab的最小值为7+43D.12a +b +4a +2b的最小值为311.(多选)已知x >0，y >0，且x +y +xy -3=0，则下列结论正确的是()A.xy 的取值范围是(0，9]B.x +y 的取值范围是[2，3)C.x +2y 的最小值是42-3D.x +4y 的最小值是312.若实数a ，b 满足2a 2+2b 2-3ab =1，则()A.a +b ≥2B.a +b ≤2C.a 2+b 2≤1D.a 2+b 2≥213.若a >0，b >0，则ba2+4b +a 2的最小值为()A.2B.2C.22D.414.设x >0，y >0，下列不等式中等号能成立的有()A.x +1x y +1y≥4； B.x +y 1x +1y≥4；C.x 2+9x 2+5≥4；D.x +y +2xy ≥415.若a >0，b >0，且a +b =1，则a +1a b +1b的最小值为.16.若x ，y 是正数，则x +12y 2+y +12x 2的最小值是()A.3B.72C.4D.92巩固强化1.若a>0，b>0，a+2b=3，则3a+6b的最小值为()A.5B.6C.8D.92.已知a>0，b>0，3a+2b=ab，则2a+3b的最小值为()A.20B.24C.25D.283.若实数a，b满足1a+2b=ab，则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.44.下列结论正确的是()A.当x>0时，x+1x≥2B.当x>0时，x2+5x2+4的最小值是2C.当x<0时，2x-1+24x-5的最小值是5 2D.若x>0，y>0，且x+y=2，则1x+4y的最小值是92。
《基本不等式》知识点及题型总结
基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。
高三数学不等式题型情况总结全
不等式的解题归纳第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022≤-+k kx x例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0.例3、若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3<x<5},求a 、b 的值.例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围.例6、1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.【课堂练习】1、已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.2、解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x3、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax【课后练习】1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围第二部分 绝对值不等式1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2．设函数()|1|||f x x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥； （2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围3．设有关于x 的不等式()a x x >-++73lg（1）当1a =时，解此不等式； （2）当a 为何值时，此不等式的解集为R4．已知()|1||2|g x x x =---。
不等式知识点总结及题型归纳
不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
高中数学基本不等式题型总结word版
高中数学基本不等式题型总结word版专题根本不等式知识根本不等式：ABXXX,B0（1）根本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号2.几个重要的不等式（1）ABA,BR；(2)A+BXXX,B0；分析的巧妙替换0,Y0，且_Y，贝U4的最小值为4_Y0,Y0,且_Y3，那么4的最小值为4_Y020XX年天津)设AB2,B0，那么扁早的最小值为数A,B满足AB1，那么A2B的最小值为数A,B满足AB1,贝UA2BAB的最小值为_,Y满足_2Y1，那么冬旦的最小值为_Y0,B0,假设不等式AB 总能成立，那么实数M的最大值为2AB_2A_BY1A,B0与圆_21相交A,B 两点，O为坐标原点AOB为直角三角形，那么的最小值为AB11的最小值AB22直线2A_BY20A0,B0始终平分圆_Y2_4Y10的周长，那么110,Y0,LG2_LG4YLG2，那么的最小值是_YA.6B.5C.322D.4、2F_4_14_1，0,_20，且F_1F_21，那么F_1_2的最小值为与“积混合型4相交所得弦,NR,假设直线L:M_NY10与_轴相交点A,与Y轴相交B,且I与圆_2Y2的长为2，O为坐标原点，贝UAOB面积的最小值为11,YR,A1,B1，假设A_BY2,A2B8，那么一一的最大值为_Y数A,B满足AB2AB1，那么AB的最小值为,NR，假设直线M1_N1Y20与圆_221Y11相切，那么MN的取值范围是(A)1.3,1.3(B),1313,(C)222,222(D),22、2.222,1I1,Y1，且一IN_,,LNY成等比数列，那么_Y的最小值为.440,BO,AB8,那么当A的值为时LOG2ALOG22B取得最大值.G2ALOG2B1，那么3A9B的最小值为【例9以下说法正确的选项是A.函数Y_的最小值为2、2_B.函数YSIN_0_的最小值为22SIN_RC.函数Y_|的最小值为2运_D函数YLG_孟的最小值为2【例10设_,YR,且_Y5,那么3_3Y的最小值是A.10B.63C.46D.18、3精选。
不等式常见考试题型总结
《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的１2％左右,主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力.选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合.解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合,且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题;③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何,甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1)求解不等式解集的题型(分式不等式的解法,根式不等式的解法,绝对值不等式的解法，含参不等式的解法,简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想,分离变量法，数形结合法）(３）不等式大小比较常用方法:1．作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商(常用于分数指数幂的代数式）;3.分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6。
利用函数的单调性;７．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知，求函数的最大值。
技巧二：凑系数例。
当时,求的最大值。
技巧三：分离例。
求的值域．技巧四：换元例。
求的值域。
技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
）例：求函数的值域。
技巧六:整体代换（多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
）例:（1）已知，且，求的最小值。
（2)若且，求的最小值（3)已知且，求的最小值技巧七、利用转换式子技巧八、已知x，y为正实数，且x2＋＼f(ｙ2，2）=1，求x错误!的最大值．分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ａb≤＼ｆ(a２＋ｂ２，2）.同时还应化简错误!中ｙ２前面的系数为错误!，ｘ错误!=x错误!＝错误!x·错误!下面将x，＼r（＼f（1,２）＋＼f(y２，2））分别看成两个因式：x·错误!≤错误!=错误!＝错误!即ｘ错误!=错误!·ｘ错误!≤错误!错误!技巧九：已知a，b为正实数，２b＋ab+a＝30，求函数ｙ=＼f（1，aｂ) 的最小值．这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。
二次函数与一元二次方程不等式常见题型总结
二次函数与一元二次方程、不等式常见题型总结题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >3或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12 D ．R3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 4．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－92或x ≥1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －92≤x ≤1 5．不等式⎝⎛⎭⎫12－x ⎝⎛⎭⎫13－x >0的解集是( D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12 6．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |－1<x <2}7．(多选)下列不等式的解集为R 的有( )A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5>0C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1 8.解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0. 9.解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.题型二：含参数的一元二次不等式的解法1.设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }2.(多选)已知关于x 的一元二次不等式ax 2－(2a －1)x －2>0，其中a <0，则该不等式的解集可能是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a<x <2 3.若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________________． 4.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为________． 5.若关于x 的不等式x 2－mx <0恰有一个整数解1，则m 的取值范围为________．6.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(1,0)与(3,0)两点，当a ＝________时，不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为________．(写出a 的一个值即可)7.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ，a ≥0)．8.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ，a <0)．9.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.10.已知关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a ∈R 时，解上述关于x 的不等式． 11.解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0. 题型三：三个“二次”关系的应用1.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么关于x 的不等式cx 2－ax ＋b >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >12 2.若关于x 的不等式ax －1x ＋b >0的解集是{x |－1<x <3}，则关于x 的不等式2ax ＋12x －b <0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－32或x >12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >323．若关于x 的不等式ax －b ≤0的解集为{x |x ≥2}，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( )A ．{x |x <－3或x >2}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |－2<x <3}4.．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值的和是( )A ．13B ．18C ．21D ．265.(多选)若关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是{x |－1<x <2}，则下列选项正确的是( )A ．b <0且c >0B ．a －b ＋c >0C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |－2<x <1}6.．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为{x |x <－1或x >4}，则实数a ＝________.7．写出一个一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件________．8.．已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12.(1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.9.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}， （1）求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集； （2）求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．10.已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．题型四：分式不等式的解法 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1或x ≥2}D ．{x |－1<x ≤2}2．若p ：x －52－x≥0，q ：x 2－7x ＋10<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 4．不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}5．不等式1x <12的解集是( )A ．{x |x <2}B ．{x |x >2}C ．{x |0<x <2}D ．{x |x <0或x >2} 6.解下列不等式：(1)x ＋12x －1<0； (2)1－x 3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 7.解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. 题型五：高次不等式的解法解下列不等式(1) 6x 2－17x ＋122x 2－5x ＋2≥0 (2)(x ＋2)(x 2－x －12)>0 （3）(x 2＋2x －3)(x －1)(－8x ＋24)≤0（4）0322322<--+-x x x x (5)62323+>+x x x (6)0)2)(54(22<++--x x x x 题型六：与一元二次不等式有关的恒成立问题1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<02．若关于x 的不等式－x 2＋mx －1≥0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≤－2或m ≥2}B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}3．已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．{a |－4≤a ≤4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≤－4或a ≥4}D ．{a |a <－4或a >4}4．已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}5.对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(多选)不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <2D ．a <07.已知不等式x 2＋x ＋k ＞0恒成立，则k 的取值范围为________．8.若一元二次不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．9.已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.若对于任意x ∈R ，不等式恒成立，则m 的取值范围为________．10.若对于任意实数x ，不等式mx 2－mx －1<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 11.已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围． 题型七：一元二次不等式与实际问题1.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52 t 万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是( )A ．{t |1≤t ≤3}B ．{t |3≤t ≤5}C ．{t |2≤t ≤4}D ．{t |4≤t ≤6}2.一个容积为1 000 mL 的容器里盛满浓度为80 %的酒精．第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满．要使这时容器内的酒精浓度不大于20 %.则每次至少倒出溶液( )A ．200 mLB ．500 mLC ．1 000 mLD ．1 500 mL3．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的关系式是y ＝3 000＋20x －x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是________．5.一辆汽车总质量为ω，时速为v (km/h)，设它从刹车到停车行走的距离L 与ω，v 之间的关系式L ＝k v 2ω(k 是常数).这辆汽车空车以每小时50 km 行驶时，从刹车到停车行进了10 m ，求该车载有等于自身质量的货物行驶时，若要求司机在15 m 距离内停车(包含15 m)，并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为 1 s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到1 km/h)6.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.7.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(米/秒)，且0≤v≤时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且≤k≤0.9).警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时？。
基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式一. 基本不等式①公式：a bab ( a 0,b 0) ，常用 a b 2 ab 2②升级版：a2b2 a b2ab a,b R 22选择次序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型 1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意 a, b 范围为正数。
二定：指的是 ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b典型例题：例 1 .求y x1( x 0) 的值域2x剖析： x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像办理）解： y ( x 1 )Q x 0x 02xx1 2 ( x) ( 1)22x2xx1获得 y ( , 2]22x例 2 .求y1的值域2x ( x 3)x31解： y2x（“添项”，可经过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）x 312(x 3) 6x31Q x 3 x 3 02( x 3) 2 2x3y 2 2 6 ，即y 2 26,例 3.求y sin x2(0 x ) 的值域sin x剖析： sinx 的范围是 (0,1) ，不可以用基本不等式，当 y 取到最小值时， sin x 的值是 2 ，但 2 不在范围内解：令 t sin x， t(0,1)2y t是对钩函数，利用图像可知：t在 (0,1)上是单减函数，因此 t 21代入获得）3，（注： 3 是将 tty (3, )注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x有没有在范围内，假如不在，就不可以用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
例 4． 求 yx 22x 1( x 2) 的值域x2剖析：先换元，令 t x 2 , t 0 ，此中 x t 2(t 2)22(t 2) 1 t 2 6t 11 解： ytt6ttQ tt12 t1 6 8y [8, )tt总 之 ： 形 如 ycx 2dxf0,c 0) 的 函 数 ， 一 般 可 通 过 换 元 法 等 价 变 形 化 为ax b (aytpt 的取值范围；( p 为常数 ) 型函数，要注意 t【失误与防备】1． 使用基本不等式求最值，其失误的真实原由是对其前提 “一正、二定、三相等 ”的忽略． 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．2 ．在运用重要不等式时，要特别注意 “拆 ”“拼 ”“凑 ”等技巧，使其知足重要不等式中“正 ”“定 ”“等 ”的条件．3．连续使用公式时取 等号的条件很严格 ，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．【题型 2】 条件是 a b 或 ab 为定值，求最值（值域） （简）例 5．若 x0, y 0 且 xy 18 ，则 xy 的最大值是 ________．分析：因为 x0, y 0 ，则 x y 2 xy ，因此 2 xy 18 ，则 xy 的最大值为 81例 6． 已知 x, y 为正实数，且知足4x 3 y 12 ，则 xy 的最大值为 ________．4x 3 yx 3分析： Q 4x3y2 4x 3y ∴ 4 3xy 12 ，2 时， xyxy 3 当且仅当3 y 12即4x y2获得最大值 3 .例 7． 已知 m 0, n0 ，且 mn 81，则 m n 的最小值为 ________．分析： Q m0,n 0 ，m n2 mn 18 ，当且仅当 m n 9 时，等号建立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】条件是 ab 或 11为定值，求最值（范围） （难）a b方法：将 1整体代入已知x 0, y 0 且 x y 1 ，则11 例 8.x的最小值是 ________________y分析： Q x y 11 1 ( x y)(1 1) 2y x 2 2y x4x yxyx yx y因此最小值是4例 9. 已知 a0,b 0 ， a b 2 ，则 y1 4a 的最小值是 ________．b分析： Q ab2 a b12则 1 4 (1 4)( a b) 1 b 2a2 5 b 2a 52 b 2a9 a b a b22 2a b2 2a b 22a b2因此最小值是92例 10.已知 x0, y 0，且12 1, 求 x 2 y 的最小值是 ____________xy分析：Q12 1, xy则 x 2 y (12)( x 2 y) 12 y 2x45 2 2 y 2 x9x yxyx y进而最小值为 9【题型4】已知a b 与 ab 关系式，求取值范围例11.若正数a, b知足ab a b 3 ，求ab 及 a b 的取值范围．分析：把 ab 与 a b 当作两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求 ab 的范围① Q ab a b3（需要消去a baabb ：①孤立条件的 3 ，a b ②a b 2 ab ③将a b 替代）②a b 2 ab③ab 3 2 ab （消 a b 结束，下边把ab 当作整体，换元，求ab 范围）令 t ab (t 0) ，则ab 3 2 ab 变为 t 232t解得 t 3 或 t 1 （舍去），进而 ab9⑵求 a b 的范围（需要消去 ab ：①孤立条件的 ab ② ab (a b)2③将 ab 替代）2a b2Q ab a b 3，, ab2a b2a b（消 ab 结束，下边把a b 当作整体，换元，求 a b 范围）32令 t a b (t0)t 2则有t3， 4t12 t 2， t 24t 12 0 ，获得 t 6 或 t 2 （舍去）2获得 a b6。
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类(加粗体例题需要作答)1.下列不等式中，是⼀元⼀次不等式的是（）A.x 1 +1>2B.x 2>9C.2x +y ≤5D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的⼀元⼀次不等式，则该不等式的解集为 .a 与6的和⼩于5； x 与2的差⼩于－1；1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所⽰：⽤“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所⽰，则下列式⼦正确的是（）A 、ab ＞0B 、a b >C 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞0 1.与2x <6不同解的不等式是（）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.（2010随州）解不等式组110334(1)1x x +?---2.（2010）解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表⽰出来．3.（2006年市）12(1)1,1.23x x x -->-≥??: 此类试题易错知识辨析（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a <）当0a <时，b x a <（或b x a >）当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满⾜( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1(D)a ＜1 5 若m ＞5，试⽤m 表⽰出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（）A.m >2B.m <2C.m =2D.m ≠2 7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3-a b ，那么a 的取值围是________.1.不等式3(x －2)≤x +4的⾮负整数解有⼏个.（）A.4B.5C.6D.⽆数个 2.不等式4x －41141+1. 不等式|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________.1.已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当a ＞0时，x ＜2D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞21. 若x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1）x ＋y ＞0，（2）y －x ＜0，（3）xy ≤0,（4）y x ＜0中，正确结论的序号为________。
基本不等式总结题型
基本不等式总结题型一、基本不等式的概念基本不等式呢，就是那个超有用的不等式啦，对于正数a、b，有(a + b)/2 ≥ √(ab)。
这就像是数学世界里的一个小宝藏，在好多题型里都会用到哦。
二、基本不等式总结题型1. 求最值题型比如给你一个式子y = x+1/x（x>0），要求这个式子的最小值。
这时候就可以用基本不等式啦。
因为x和1/x都是正数，根据基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，这里 a = x，b = 1/x，那么y=x + 1/x≥2√(x×1/x)=2，所以y的最小值就是2啦。
还有像已知2x + 3y = 6，求xy的最大值这种题。
我们可以把2x和3y看作基本不等式里的a和b，由2x+3y = 6可得y=(6 - 2x)/3，那么xy=x×(6 - 2x)/3=-2/3x² + 2x。
再根据基本不等式变形可得2x+3y≥2√(6xy)，6≥2√(6xy)，解这个不等式就可以求出xy的最大值。
2. 证明不等式题型比如说要证明(a² + b²)/2≥ab。
我们可以从基本不等式出发，因为(a - b)²≥0，展开得到a² - 2ab + b²≥0，移项就得到a² + b²≥2ab，两边同时除以2，就得到(a² + b²)/2≥ab啦。
再比如证明1/(a + b)+1/(b + c)+1/(c + a)≥9/(2(a + b + c))（a,b,c都是正数）。
这种题就需要巧妙地构造基本不等式的形式，把式子进行变形然后利用基本不等式来证明。
3. 比较大小题型例如比较(a + b)/2和√((a² + b²)/2)的大小（a,b都是正数）。
我们可以采用作差法，把(a + b)/2 - √((a² + b²)/2)进行化简，然后根据基本不等式的性质来判断这个差是大于0、小于0还是等于0，从而得出两个式子的大小关系。
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《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12%左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力• 选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合•解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查.二、常见考试题型(1)求解不等式解集的题型(分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法)(2)不等式的恒成立问题(不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法)(3)不等式大小比较常用方法：1. 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 •作商(常用于分数指数幕的代数式)；3 .分析法;4•平方法；5 •分子(或分母)有理化；6.利用函数的单调性；7 •寻找中间量或放缩法；8•图象法。
(4)不等式求函数最值技巧一：凑项5 .例：已知X ,求函数V =4x _2 •------------- 的最大值。
4 y4x - 5技巧二：凑系数例.当L时，求y = χ(8 -2x)的最大值。
技巧三：分离2χ2 +7x +10例.求y = --------------------- (χ . -1)的值域。
X +1技巧四：换元2例.求、上 12（χ , .1）的值域。
x+1技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 一是通过消元，转化为一元函数问题 ，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。
例：1.已知 a>0, b>0, ab — （a + b ） = 1,求 a + b 的最小值。
2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。
技巧十：取平方例、已知x , y 为正实数，3x + 2y = 10,求函数 W = . 3x + , 2y 的最值. （5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式一最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法 1. 已知a ^3 ,求3a 3b 的最小值。
变式1.已知a 2b =3 ,求3a 9b 的最小值。
af （X ）= X 的单调性。
）X技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
1 9例：（1）已知X 0, y 0 ,且1 ,求X y 的最小值。
X y（2）若X, y R ■且 2χ∙y=1 ,求丄.丄的最小值X y⑶已知a,b,X,y R 且α ≥ =I ,求x ，y 的最小值X y技巧七、利用Sin 2鳥A CoS 2 = 1转换式子2技巧八、已知X , y 为正实数，且X 2 + +y = 1,求X 1 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式b ≤a2+b 2ab ≤2 X- .'11b 为正实数，2b + ab + a = 30,求函数y = Ob 的最小值.例：求函数技巧九：已知a , 1 2，2X 2+ JX 22X . 1 + y 2即 X 1 + y 2 = 2 X+ ≤变式2.已知X 一y =2 ,求3x的最小值。
3y1变式3.已知X -2y —3 ,求2x∙ -y的最小值。
4y1 1变式4.已知点(x, y)在直线y=1χ-1上，求3x的最小值。
2 9y基础题型二：对数类最值的求法2. 已知X 0, y 0 ,且2x ∙ y = 4 ,求log2x log2y 的最大值。
变式1.已知X 0, y • 0 ,且X • 2 y = 4 ,求log 1x log I3y的最小值。
2 2变式2.已知点(X,y)是圆X2y2 =6在第一象限内的任一点，求log3X lo g 3 y的最大值。
能力题型一：常数变形(加或减去某个常数使两个因式的积为常数)11.已知X 2,求f(x)=χ∙1∙—的最小值。
X -2变式1.已知X 3,求f (X) =2x -3 •的最小值。
x—2变式2.已知X ：1,求f(x^2^ —的最大值。
X -1能力题型二：代换变形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)2 11. 已知X 0, y 0,且χ∙2y=1 ,求的最小值。
X y2 32. 变式1.已知X 0, y 0 ,且2x y =3 ,求的最小值。
X y1 2变式2.已知X ：：0, y < 0,且X 3^ -2 ,求丄上的最大值。
X y能力题型三：指数与系数的变形(调整字母的系数和指数)1.已知X 0, y 0,且2X2 y^1 ,求X, 1 2y2的最大值。
变式1.已知X 0, y 0 ,且X22y2=3 ,求2x.V y2的最大值。
变式2.已知a 0,b 0,且a2 b2= 3 ,求—a 1 2b2的最小值能力题型四：对勾函数及其应用1 1【对勾函数】y=χ∙-,由X =—得顶点的横坐标为X= 1X X y = aχ b ,由ax = b 得顶点的横坐标为X X y =ax + —=a(x -1) +a ,由 a(x -1) = —^ 得顶点的横坐标为 X = 1 ÷<∕-X -1X -1X -1V a2例1.求y = χ (X . [1,4])的值域。
X 2变式 1.求 y =χ∙ — (x∙[-2,-1])的值域。
X、、 、 2变式2.求y =3x (x • [2,4])的值域。
X例2.求y =χ∙丄(x_2)的值域。
X +11变式1.求y = 2x（X _ 3）的值域。
X —24Tl例3.求y = sin X(O-X )的值域。
Sin X 2基本不等式例题例1.已知'■■'11,且,求 二.L ' 的最小值及相应的】J '值.X t y t ZeE^t X-2y+3z = O f -例2.唸的最小值为 ______________ 。
仗+掰例3•已知:■- 1■'',二"「成等差数列，二八「成等比数列，则 J 的最小值是（）例4•函数二I-的图象恒过定点 」，若点」在直线：:二 门-X' ',上，则2x —1 （X 乞-2）的值域。
变式1.求y = Sin X4 Sin X -1（O 乞X 空二）的值域。
变式2.求y = CoSXcosx 11 1—+ _m H的最小值为________________ .1 1-J+例5.若二…-，则「：的最小值是（）例6 .下列各函数中，最小值为2的是（）[ _ F + 2「：一B.' J- C5 1例7 （1）已知X ,求函数y =4x - 2 的最大值.4 4x -52 4 2 2（2）求函数y =χ -—的最小值求y二4—X -—的最大值.X +1 X +2练习•设则'的最大值为例8.已知，且- -V 二.求二二C「的最大值及相应的：「的值1 1例9若X，y是正数，则（X ）2（y ）2的最小值是2y 2X练习：已知实数X，y满足X+y —仁0,则X2+y2的最小值例10.若实数a、b满足a+b=2 ,是3a+3b的最小值是基本不等式证明例已知a, b为正数，求证:⅜½N a+⅛⅛ I τ⅛ ill :实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为X y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8m2,问Xy分别为多少时用料最省?2. (1)若 a,bR * ,则—_ .ab ⑵2（3）若a,b ∙ R * ,则ab ・：：• J b（当且仅当a = b 时取“=”）飞2丿1 1 3.若X 0 ,则X2 （当且仅当X =1时取“=”）；若X ：：： O ,则X2 （当且仅当X = -1时取“=”）XX若XHO ,则X +1 >2即 X 十丄启2或X +1兰-2 （当且仅当a = b 时取“="） XXX3.若ab 0 ,则ab_2 （当且仅当a =b 时取“=”）b a若ab^0 ,^ U 巳+二兰2即-+-工2或-+- ≤-2 （当且仅当a = b 时取“=”）4.若 a,b ∙ R ,则（L b）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域1 1x —_ ) ≤— 2 X • _ = — 2X J ; X•••值域为(一∞, — 2] U [2 , +∞ )解题技巧： 技巧一：凑项5A,求函数 y =4x - 2 ' ---------- 的取大值。
44x —5t 5II 1X ,∙ 5 —4x 0, . y =4x -25 -4X44x -5 I5-4x J1当且仅当5-4X-,即x=1时，上式等号成立，故当 x=1时，y max= 1。
5 -4X评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1.当-一时，求y = x （8 -2x ）的最大值。
.基本不等式基本不等式应用1.( 1) 若 a,b R ,则 a 2 b 2 _ 2ab ⑵2 2若a,b ∙ R ,则 ab <-— _ 2（当且仅当a = b 时取“=”）若a,b 尸R ,则a ∙ b _ 2∙. ab (当且仅当a = b 时取“=”)2 2 ≤ a b(当且仅当a = b 时取“=”) _ 2比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.2 1(I) y = 3X+ 27⑵ y =x + X解：(1) y = 3x 2+ 2x 2 ≥ 2 .' 3x2步=V 6 •值域为［丽,+ ∞）(2 )当 χ>0时，y =X +X ≥2Q x •1=2;1当 X V 0 时， y = x + - =—(—X解：因4x-5：：：0 ,所以首先要“调整”符号，又（4x-2不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,解：令X2 4 =t(t — 2),则、=*5r V x24 = J— =t 1(t _2)A A因t 0,t 1 =1 ,但t =一解得t =「1不在区间∣2,匸：，故等号不成立，考虑单调性。