大物课件20,21-16-4.17-2
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2 z n v d 则平均碰撞次数为：
考虑其他分子都运动，则： z 二、平均自由程 v 1 z 2d 2 n
2nv d 2
z 2nv d
P nkT
2
P Z 2d v, kT
2
kT 2d 2 P
讨论:
P 1 kT ( Z 2d nv 2d v, ) kT 2d n 2d P
B
平均自由程 平均碰撞次数 z
一、平均碰撞次数： 设分子的有效直径为d
A
D
d
v
C
设A分子以平均速率 v 运动，其它分子都不动 以A分子运动路径(折线)为轴线，作一半径为d, 总长度为
v 的圆管。凡分子中心位于管内的分子（如 B、C 分子）
都将与 A 分子进行碰撞。
一秒钟内分子将与分子中心位于管内的所有分子进行碰撞
x y z
EK EP KT
——分子总是优先占据低能量状态
2.只考虑分子按位置的分 布，对速度不加限制， 则在r r dr 区间内的分子数
dN n e
0
P kT
dN ne 坐标区间内单位体积的分子数 n dxdydz
0
ne
0
dxdydz e 2kT
[例题6－11]考虑一个理想化的地球大气分子模型。 在这个模型中，地球为一半径为R的刚性球体球外引力场 中的重力加速度为常量g，球面以上共有N个质量为μ的大 气分子。整个大气体系处在温度为T的热平衡状态中， 试求地球表面处的压强。 解：重力场中大气分子数密度n随高度（r-R）分布律为：
nne
0
2
5 0
P 1.分子密度： n 2.69 10 m kT
0 25 0
3 23
3
M 28 10 2.分子质量： 4.65 10 kg N 6.022 10
26 0
8RT 3.分子的平均速率： V 455m s M
2
1
1 3 v kT 5.56 10 J 4.分子的平均平动动能： 2 2
g
kT
( r R )
又： N R n 4r dr R n0 e
g
Biblioteka BaidukT
( r R )
4r dr
2
2
kT 4n R g
0
2
2kT kT 2 1 gR gR
Ng 2kT kT 2 得： n 1 4R kT gR gR
重力场中气体分子的密度随高度h按指数衰减。 2.等温大气压强公式（高度计原理） 假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等
利用：P nkT 及 n n e
0
Mgh RT
可得：P P e
0
Mgh RT
其中：P 为h 0处的压强
0
每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际， 可粗略估计高度变化。
21 0
5.分子间平均碰撞次数： z 2nv d 5.85 10 s
2 9
1
（其中： d 3.28 10 m）
10
1 V 6.平均自由程： 7.8 10 m 2d n Z
8 2
6.8 真实气体的范德瓦尔斯方程
一、真实气体状分子间的相互作用 f r ：两个分子的中心距离 r r0 —— 斥力 r r0 —— 引力 r0称为平衡距离 二、真实气体的范德瓦尔斯方程 * 体积修正 若考虑气体分子本身的体积，则 V (V b) 即气体 能被压缩的体积。
* 引力修正
分子作用球：以一个分子为中心做一个半径为 r 的球， 在此球外，其它分子对它的作用可忽略不计，称此球为 分子作用球。 pi 由于靠近器壁分子作用球的不 对称而产生向内的引力，形成内 a 压强 pi ，使器壁所受的压强减弱。 β
分 斥
子
力 力
o
r0 力 引
r
应对理想气体的状态方程 ( PV RT ) 进行修正。
其中b为反映气体分子本身体积的修正量。
4 d 理论计算： b 4N ( ) ＝ 4倍分子本身体积之和。 3 2 d (分子直径） 10 m, b 10 m
3 A －10 －6
经体积修正后的气体状态方程 : P(V b) RT
二、玻尔兹曼分布率
无保守力场： EE
K
K
dN E dN v
K
P
有保守力场： E E E
dN E dN v ，r
气体处于平衡态时，在一定温度下，
在速度间隔为：v ~ v dv ，v ~ v dv ，v ~ v dv
x x x y y y z z
3 2
K kT
dv dv dv
x y
z
P kT
dxdydz
1
P kT
3.玻氏分布率是一条适用于任何物质分子在保守力场中 分布的统计规律。
三、重力场中粒子按高度的分布 重力场中高度h处粒子的重力势能： E gh
P
则：h处单位体积的分子数 讨论： 1.分子热运动—分子呈均匀分布， 重力作用—分子沉积在下面。
2 2 2 2
1. 当T一定，P ，则： Z
2. 当n一定，T ，则： Z 不变
3. 当P一定，T ，则： Z
P 8RT １ Z Ｚ kT M Ｔ
气体分子热运动图景的量级概念
标准状态下的氮气
0 0
T 273K , V 22.4 升 mol, P 1.01310 帕
2 0 2
1
地面上的压强：
P n kT
0
0
Ng 4R
2
2kT kT 2 1 gR gR
2
1
6.7 分子碰撞及自由程
自由程 分子连续两次碰撞之间所自由走过的路程。 自由路程的平均值。 一秒钟内一个分子与其它 分子碰撞的平均次数。
z
在坐标间隔为：x ~ x dx，y ~ y dy，z ~ z dz
的分子数为： dN n e 2KT
3 2 0
EK EP KT
dv dv dv dxdydz
x y z
n0
在EP =0时，单位体积的分子总数
讨论：
1.在相等的区间 dv dv dv dxdydz中dN e
考虑其他分子都运动，则： z 二、平均自由程 v 1 z 2d 2 n
2nv d 2
z 2nv d
P nkT
2
P Z 2d v, kT
2
kT 2d 2 P
讨论:
P 1 kT ( Z 2d nv 2d v, ) kT 2d n 2d P
B
平均自由程 平均碰撞次数 z
一、平均碰撞次数： 设分子的有效直径为d
A
D
d
v
C
设A分子以平均速率 v 运动，其它分子都不动 以A分子运动路径(折线)为轴线，作一半径为d, 总长度为
v 的圆管。凡分子中心位于管内的分子（如 B、C 分子）
都将与 A 分子进行碰撞。
一秒钟内分子将与分子中心位于管内的所有分子进行碰撞
x y z
EK EP KT
——分子总是优先占据低能量状态
2.只考虑分子按位置的分 布，对速度不加限制， 则在r r dr 区间内的分子数
dN n e
0
P kT
dN ne 坐标区间内单位体积的分子数 n dxdydz
0
ne
0
dxdydz e 2kT
[例题6－11]考虑一个理想化的地球大气分子模型。 在这个模型中，地球为一半径为R的刚性球体球外引力场 中的重力加速度为常量g，球面以上共有N个质量为μ的大 气分子。整个大气体系处在温度为T的热平衡状态中， 试求地球表面处的压强。 解：重力场中大气分子数密度n随高度（r-R）分布律为：
nne
0
2
5 0
P 1.分子密度： n 2.69 10 m kT
0 25 0
3 23
3
M 28 10 2.分子质量： 4.65 10 kg N 6.022 10
26 0
8RT 3.分子的平均速率： V 455m s M
2
1
1 3 v kT 5.56 10 J 4.分子的平均平动动能： 2 2
g
kT
( r R )
又： N R n 4r dr R n0 e
g
Biblioteka BaidukT
( r R )
4r dr
2
2
kT 4n R g
0
2
2kT kT 2 1 gR gR
Ng 2kT kT 2 得： n 1 4R kT gR gR
重力场中气体分子的密度随高度h按指数衰减。 2.等温大气压强公式（高度计原理） 假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等
利用：P nkT 及 n n e
0
Mgh RT
可得：P P e
0
Mgh RT
其中：P 为h 0处的压强
0
每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际， 可粗略估计高度变化。
21 0
5.分子间平均碰撞次数： z 2nv d 5.85 10 s
2 9
1
（其中： d 3.28 10 m）
10
1 V 6.平均自由程： 7.8 10 m 2d n Z
8 2
6.8 真实气体的范德瓦尔斯方程
一、真实气体状分子间的相互作用 f r ：两个分子的中心距离 r r0 —— 斥力 r r0 —— 引力 r0称为平衡距离 二、真实气体的范德瓦尔斯方程 * 体积修正 若考虑气体分子本身的体积，则 V (V b) 即气体 能被压缩的体积。
* 引力修正
分子作用球：以一个分子为中心做一个半径为 r 的球， 在此球外，其它分子对它的作用可忽略不计，称此球为 分子作用球。 pi 由于靠近器壁分子作用球的不 对称而产生向内的引力，形成内 a 压强 pi ，使器壁所受的压强减弱。 β
分 斥
子
力 力
o
r0 力 引
r
应对理想气体的状态方程 ( PV RT ) 进行修正。
其中b为反映气体分子本身体积的修正量。
4 d 理论计算： b 4N ( ) ＝ 4倍分子本身体积之和。 3 2 d (分子直径） 10 m, b 10 m
3 A －10 －6
经体积修正后的气体状态方程 : P(V b) RT
二、玻尔兹曼分布率
无保守力场： EE
K
K
dN E dN v
K
P
有保守力场： E E E
dN E dN v ，r
气体处于平衡态时，在一定温度下，
在速度间隔为：v ~ v dv ，v ~ v dv ，v ~ v dv
x x x y y y z z
3 2
K kT
dv dv dv
x y
z
P kT
dxdydz
1
P kT
3.玻氏分布率是一条适用于任何物质分子在保守力场中 分布的统计规律。
三、重力场中粒子按高度的分布 重力场中高度h处粒子的重力势能： E gh
P
则：h处单位体积的分子数 讨论： 1.分子热运动—分子呈均匀分布， 重力作用—分子沉积在下面。
2 2 2 2
1. 当T一定，P ，则： Z
2. 当n一定，T ，则： Z 不变
3. 当P一定，T ，则： Z
P 8RT １ Z Ｚ kT M Ｔ
气体分子热运动图景的量级概念
标准状态下的氮气
0 0
T 273K , V 22.4 升 mol, P 1.01310 帕
2 0 2
1
地面上的压强：
P n kT
0
0
Ng 4R
2
2kT kT 2 1 gR gR
2
1
6.7 分子碰撞及自由程
自由程 分子连续两次碰撞之间所自由走过的路程。 自由路程的平均值。 一秒钟内一个分子与其它 分子碰撞的平均次数。
z
在坐标间隔为：x ~ x dx，y ~ y dy，z ~ z dz
的分子数为： dN n e 2KT
3 2 0
EK EP KT
dv dv dv dxdydz
x y z
n0
在EP =0时，单位体积的分子总数
讨论：
1.在相等的区间 dv dv dv dxdydz中dN e