《1.1.2 四种命题》教学案2
1.1.2四种命题及其关系导学案 10.30
1.1.2四种命题及其关系导学案（理普通）命题人：李玉芹 2010.10.29一、教学目标：理解四种命题之间的关系二、教学重点：四种命题之间的关系三、教学难点：命题的证明四、教材预习引导1、四种命题（1）逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做 .如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆命题为“ ”.（2）否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互否命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 .如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的否命题为“ ”.（3）逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 .如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“ ”.2、四种命题之间的关系3、四种命题的真假性之间的关系（1）两个命题互为逆否命题，它们有 真假性.（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 . 思考发现：如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？五、例题讲解：题型一、四种命题之间的转换及真假判断例1、①若,2παβ+=则sin cos αβ=. ②若ab=0，则a=0或b=0.③,,,a b c d R ∈，若a=c ，b=d ，则ab=cd.解析：①逆命题：若sin cos αβ=，则2παβ+=假命题 否命题：若2παβ+≠，则sin cos αβ≠ 假命题逆否命题：若sin cos αβ≠，则2παβ+≠ 真命题②逆命题：若a=0或b=0，则ab=0 真命题否命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠ 真命题逆否命题：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠ 真命题③逆命题：,,,a b c d R ∈，若ad=bc.，则a=c ，b=d 假命题否命题：,,,a b c d R ∈，若,a c b d ≠≠，则ac bd ≠ 假命题逆否命题：,,,a b c d R ∈，若ab cd ≠，则,a c b d ≠≠ 真命题变式：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.①若a b >，则22b ac c > ②若0,ab ≤则0a ≤或0b ≤③当0c >时，若a b >，则ac dc >题型二、等价命题的应用例2、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集非空，则1a ≥”的逆否命题的真假解析：法一：原命题的逆否命题；已知a ，x 为实数，若a<1，则关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集.抛物线22(21)2y x a x a =++++开口向上. 22(21)4(2)47 1 470a a a a a ∆=+-+=-<-<∵∴∴22(21)2y x a x a =++++与x 轴无交点. ∴关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集.法二、关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集. ∴22(21)4(2)0470a a a ∆=+-+≥-≥，即 ∴74a ≥∴1a ≥∴原命题为真∴逆否命题为真.变式：判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为∅，则2a <”的逆否命题的真假.题型三、反证法判断命题真假例3、已知221,,2,12x R a x b x c x x ∈=+=-+=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.解：假设a ，b ，c 均小于1，则a+b+c<3，又27222a b c x x ++=-+212()332x =-+≥与假设矛盾.∴假设不成立.∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.变式：若a ，b ，c 为实数，222a x y π=-+，222,236b y zc z x ππ=-+=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.过关检测1、与命题“若a μ∉则b μ∉”等价的命题是（ ）A. 若b μ∈则a μ∈B. 若b μ∉则a μ∈C. 若b μ∉则a μ∉D. 若a μ∉则b μ∈2、在命题“若x=3，则29180x x -+=”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.33、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断均不正确4、若命题p 的逆命题q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的（ ）A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题5、命题“若21x <，则－１＜ｘ＜１”的逆否命题是（ ）A.若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-B.若－１＜ｘ＜１，则21x <C.若x>1或x<－1,则21x >D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥6、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.1）若6x y +=,则4x =且2y =. 2）若220x y +=，则,x y 全为零.7、判断命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题的真假（选做题）若330,0,2p q q p >>+=，求证2p q +≤小结：。
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 四种命题》
《四种命题》教学设计辉县市高级中学李斌课题：四种命题课时：一课时课型：新授课教材的地位与作用数学是一门逻辑性很强的学科几乎处处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。
本节课研究的内容既是对学生初中学习过的命题知识的延续和提高又是后面研究充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的基础。
同时也是培养学生用逻辑用语来阐明数学知识的需要是人们在日常生活中进行思考、交流的需要。
学情分析学生在初中已经对命题有了一定的了解，尤其是在几何方面的命题，经过高中的数学思维训练，学生在课堂上具有了一定的学习能力和探索意识但是对一些条件或结论的否定可能还有点困难教学方法与手段启发式教学与探究式学习相结合，通过实例引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率教学目标知识与技能：1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
2四种命题之间的相互关系。
3理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系。
4用逻辑用语准确地表达数学内容过程与方法：通过举例使学生体会研究四种命题形式的必要性，采用启发式教学使学生明白四种命题的关系．情感、态度与价值观：让学生感受用逻辑语言准确表达数学内容的重要性，通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力，掌握“正难则反”的数学思想．教学重点与难点重点：掌握命题的四种形式难点：掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题。
教学过程创设情境、导入新课马六一天邀请张三、李四、王五三人吃饭,时间到了，只有张三、李四准时赴约,王五打来电话说:“临时有急事不能来了”马六听到随口说了一句:“你看看,该来的没来”张三听到，脸色一沉，起来一声不吭地走了马六愣了片刻，又道了句:“哎，不该走的又走了”李四一听大怒，拂袖而去，马六尴尬不知所措提问：为什么两位客人都走了？预设学生回答：马六不会说话。
教学设计4:1.1.2 四种命题
1.1.2四种命题教学目标：1. 通过实例理解命题的概念，会判断命题的真假；2. 了解命题的四种形式，能正确判断四种命题之间的关系．教学重点：会写命题的逆命题、否命题、逆否命题．教学难点：利用四种命题的关系判断命题的真假．教学方法：问题链导学，讲练结合．教学过程：一、问题情境我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等．④思考：命题②，③，④与命题①有什么关系？二、建构数学1．上面的四个命题都是“如果……，那么……”形式的命题，可以记为“若p则q”，其中p 是命题的条件，q是命题的结论．2．在上面的例子中：命题②的条件和结论分别是命题①的结论和条件，我们称这样的两个命题互为逆命题；命题③的条件和结论分别是命题①的条件的否定和结论的否定，我们称这样的两个命题互为否命题；命题④的条件和结论分别是命题①的结论的否定和条件的否定，我们称这样的两个命题互为逆否命题．3．一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．（非p、非q分别表示p和q的否定）三、数学运用例1设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则2a+2b+2c≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则2a+2b+2c<3B.若a+b+c=3,则2a+2b+2c<3C.若a+b+c≠3,则2a+2b+2c≥3D.若2a+2b+2c≥3,则a+b+c=33.命题“若-1<x<1,则2x<1”的逆否命题是()A.若x≥1或x≤-1,则2x≥1B.若2x<1,则-1<x<1C.若2x>1,则x>1或x<-1D.若2x≥1,则x≥1或x≤-1例2 1.命题“个位数字为5的整数能被5整除”是(真、假)命题,它的逆命题为,是(真、假)命题.2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假:(1)负数小于零.(2)在三角形中,大边对大角.四、随堂练习：1.命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是2.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是3．已知命题甲：p⇒q，命题乙：q⇒p，命题丙：¬p⇒¬q，命题丁：¬q⇒¬p.(1)若甲真则乙为真；(2)若乙真则丙为真；(3)若丙真则丁为真；(4)若丁真则甲为真．说法正确的是4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是5．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是____________________．6．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．8．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．9．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.10.命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．参考答案例1【解析】1.选D.原命题的条件是a=-b,作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”,故选D.2.选A.命题“若p,则q”的否命题是“若¬p,则¬q”,故选A.3.选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若¬q,则¬p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.【拓展提升】1.四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.例2 【解析】1.命题“个位数字为5的整数能被5整除”是真命题,它的逆命题为:“能被5整除的整数的个位数字为5”,如20能被5整除,个位数字为0,是假命题.答案:真能被5整除的整数的个位数字为5假2.(1)原命题:若一个数是负数,则它小于零.真命题.逆命题:若一个数小于零,则它是负数.真命题.否命题:若一个数不是负数,则它不小于零.真命题.逆否命题:若一个数不小于零,则它不是负数.真命题.(2)原命题:在三角形中,大边对大角.真命题.逆命题:在三角形中,大角对大边.真命题.否命题:在三角形中,不是较大的边所对的角不是较大的.真命题.逆否命题:在三角形中,不是较大的角所对的边不是较大的.真命题.【拓展提升】四种命题真假的判断(1)对于不含关联词的命题,要先把命题写成“若p,则q”的形式,有些命题的条件和结论含有前提条件,在改写时,前提条件的位置不能改变,即前提条件不能作为命题的条件.(2)判断一个命题是真命题,可以根据定义、定理证明,判断一个命题是假命题,只要举出反例即可.随堂练习1.【答案】a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数2.【答案】不能被3整除的整数，一定不能被6整除3.【答案】（2）（4）4.【答案】25.【答案】若x >－3，则x 2＋x －6≤06.【答案】假7.【答案】若A ∪B ≠B ，则A B 若A B ，则A ∪B ≠B8.【答案】逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数．如a ＝2，b ＝2，则a ＋b ＝2＋2是无理数，故逆否命题为假9.【答案】 若a >b ，由c ≤0知b ≥b ＋c ，∴a >b ＋c .∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c ≤0，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .10.【答案】 解法1：是真命题．∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题．解法2：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．。
《1.1.2 命题的四种形式》教案新部编本
1、若A的逆命题为B，A的否命题为C,则B是C的命题
2、若P的否命题为q，q的逆命题为r,r则p是的命题
探究二 四种命题真假的判断以及等价命题的应用
例2、有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若a>b，则 ”的逆否命题；
③“若x≤－3，则 ”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
（3） 如果xy=0，则x=0(4)平行四边形的对角线互相平分
说明：有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时适当加以补充，并把它写成“若p则q”的基本形式。
变式1：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假
（1）若ab=0,则a=0或b=0.（2）若 ，则x,y全为零。
D．a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数
2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）
A．4个
B．3个
C．2个
D．0个
三、合作探究
探究一 四种命题之间的转换
例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
(1)如果x>10，那么x>0；(2)当x＝2时，
即：
1、互为的两个命题等价（同真假）（要证明原命题也可证明它的逆否命题）
2、或的两个命题不等价
3、四种命题真假的个数可能为个
二、自学检测：
1．命题“a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是（）
A．a、b都不是奇数，则a＋b是偶数
B．a＋b是偶数，则a、b都是奇数
C．a＋b不是偶数，则a、b都不是奇数
2命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；
1.1.2四种命题学案.doc
1.1.2四种命题学习目标四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.学习过程四种命题的概念(1)对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么我们这样的两个命题叫做，其中一个命题叫做原命题为：“若p,贝化”，则逆命题为："” .(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做，其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p,贝Ug”,则否命题为：C3) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做，其中一个命题叫做命题，那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p ,则/,则否命题为:练习：下列四个命题：(1)若/(X)是正弦函数，则/(X)是周期函数；(2)若/(x)是周期函数，则川)是正弦函数;(3)若/(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若/(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.(1) (2)互为(1) (3)互为(1) (4)互为(2) (3)互为例3命题："已知a、b、c、d是实数，若子a =b,c = d ,贝a + c = b + d f，.写出逆命题、否命题、逆否命题.变式：设原命题为“已知a、人是实数，若a +力是无理数，贝"、人都是无理数”, 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：(1)若一个整数的末位数是0,则这个整数能被5整除；(2)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；(3)奇函数的图像关于原点对称.这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？课后作业1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1 )若a,人都是偶数，贝是偶数；(2)若m >0 ,则方程x2 +x-m=O有实数根.2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；( 2 ) 矩形的对角线相等.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.并判断它们的真假：：1)若x>0,则(2)若两个三角形全等.则两三角形的面积相等：3)等腰三角形两底角相等：(4)若x2=i'2-则4.写出下列命题的逆命题、杏命题和逆否命题.并判断它们的真假. (1)两条平行线不相交/X 2^1 X "-L J-I『111、上TfZ / " B A-rr TtA5.按要求写出下列命题并判断真偎. /(1)“若ah=O,则a、6中至少有一个为零”的否命题.(2)“若ac=bc.贝'J a=h'f的逆命题..已知函数“X/在R上为漕函数，a,膈R,对于命题“若a-62 0,财+ J\b)> f(-a) + f(-b)：,(1)写出逆命题.判断其真假.并证明你的结论：(2)写出逆否命题.判断其真假，并证明你的结论.6.命题“如果x>a2+b2,那么x22ab ”的逆否命题是( )A.如果x<a2 +b2 ,那么x < 2abB.如果x > 2ab ,那么x>a2 +b2C.如果x < 2ab ,那么x<a2 +b2D.如果x>a2 +b2,那么x < lab7若ab=O则a=0或b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：8若妒+方2=0则a=0且b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：四种命题二课时学习目标1四种命题关系图；2四种命题真假关系3,命题的否定与原命题真假关系，否命题及命题的否定形式区别。
人教A版选修1-1教案：1.1.2四种命题间的相互关系(含答案)
§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。
（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。
【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。
，时，若时，课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“AB B =，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。
教学设计2：1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系
一、知识与技能1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。
3．会用反证法证明简单的数学问题二、过程与方法1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。
三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。
4．四种命题之间的关系：如右图所示三．练习领会1．学生口答例4【例4】写出命题“若0a =,则0ab =”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
解：原命题：若0a =,则0ab =是真命题；逆命题：若0ab =，则0a =是假命题；否命题：若0a ≠，则0ab ≠”是假命题；逆否命题：若0ab ≠，则0a ≠”是真命题；说明：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.2．学生完成例5【例5】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。
（1）两个全等的三角形的三边对应相等；（2）四边相等的四边形是正方形；（3）负数的平方是正数；（4）在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
分析：关键是找出原命题的条件p 和结论q .解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真） 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真） 逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）（2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）(3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真） 逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）3．学生完成例6【例6】设原命题是“当0c >时，若a b >，则ac bc >”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >.解：逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >.它是真命题；否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤.它是真命题；逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤.它是真命题.说明：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.。
教学设计6：1.1.2 四种命题
1.1.2 四种命题教学目标1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的概念.2.会写出一个命题的其他三种命题，并会判断真假．教学重点：给出一个命题，写出它的其余三种命题．教学难点：对一些词语的否定，如“都是”、“全都”、“有的”等词语的否定．要点整合知识点四种命题的相关概念[填一填]1．原命题与逆命题：(1)关系：与互换．(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”．(3)结论：这两个命题叫做．2．原命题与否命题：(1)关系：条件与结论都要．(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则否命题为“若p，则q”．(3)结论：这两个命题叫做．3．原命题与逆否命题：(1)关系：条件与结论既要，又要．(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“若q，则p”．(3)结论：这两个命题叫做．参考答案1．(1)条件结论(3)互逆命题2．(1)否定(3)互否命题3．(1)否定互换(3)互为逆否命题[答一答]1．在四种命题中，原命题是固定的吗？1．提示：不是．原命题是人为指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他形式．2．如何写出一个命题的其他三种命题？提示：写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时，首先要找出该命题的条件和结论．逆命题是将原命题的条件和结论交换位置；否命题是对原命题的条件和结论都加以否定；逆否命题是对原命题的条件和结论交换位置，同时都加以否定．在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“x>0”的否定是“x≤0”，而不是“x<0”．3．命题“若x≥0，则2x＋1≥1”的否命题是什么？提示：若x<0，则2x＋1<1.特别关注1．对四种命题概念的认识(1)原命题与逆命题：①逆命题是将原命题的条件与结论互换，写原命题的逆命题时，不要交换命题的前提条件；②原命题也可以看作是它的逆命题的逆命题．(2)原命题与否命题：①写一个命题的否命题时，要对条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误；②原命题也可以看作是它的否命题的否命题．(3)原命题与逆否命题：将原命题的条件和结论“换位”得逆命题，“换质”(即否定)得否命题，既“换位”又“换质”得逆否命题．2．四种命题的相互关系(1)原命题是相对于逆命题、否命题、逆否命题而言的，任何一个给定的命题都可以作为原命题．(2)明确原命题的逆命题、否命题、逆否命题的条件和结论的位置关系和否定关系是解决四种命题的关键．典例讲练类型一写出一个命题的其他三种命题例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.通法练透1.写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.2.另外在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.针对训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)直角等于90°；(2)若m≤0，n≤0，则m＋n≤0.解：(1)原命题：若一个角是直角，则它等于90°.逆命题：若一个角等于90°，则它是直角．否命题：若一个角不是直角，则它不等于90°.逆否命题：若一个角不等于90°，则它不是直角．(2)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0且n≤0.否命题：若m>0或n>0，则m＋n>0.逆否命题：若m＋n>0，则m>0或n>0.类型二四种命题及其真假判断例2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0；(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．通法提炼1.对于不含关联词的命题，要先把命题写成“若p，则q”的形式，有些命题的条件和结论含有前提条件，在改写时，前提条件的位置不能改变，即前提条件不能作为命题的条件.2.判断一个命题是真命题，可以根据定义、定理证明，判断一个命题是假命题，只要举出反例即可.针对训练2写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：若a>b，则ac2>bc2.解：原命题：若a>b，则ac2>bc2，是假命题；逆命题：若ac2>bc2，则a>b，是真命题；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，是真命题；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，是假命题．类型三素养提升命题中条件与结论的否定错误例3写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．【错解】原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题．逆命题：若两个整数都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题．否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数不都是偶数，是真命题．逆否命题：若两个整数不都是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题．【错因分析】对“都不是”的否定，大家可能都会误认为是“不都是”，这是错误的，应为“至少有一个是”，而“不都是”是对“都是”的否定．【正解】原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题．逆命题：若两个整数都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题．否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数中至少有一个是偶数，是真命题．逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题．【解后反思】在否定一个命题的条件或结论时，往往会对问题的否定不全面，尤其是对含有“全”“都”“都不”等词语的命题的否定，极易犯此类错误．针对训练3写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断其真假．(1)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(2)若a、b都是奇数，则ab必是奇数．解：(1)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)(2)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数；(真)否命题：若a、b不都是奇数，则ab不是奇数；(真)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不都是奇数．(真)课堂达标1．若x>y，则x2>y2的否命题是()A．若x≤y，则x2>y2B．若x>y，则x2<y2C．若x≤y，则x2≤y2D．若x<y，则x2<y22．命题“若a2＝b2，则|a|＝|b|”的逆命题为()A．若a2＝b2，则|a|≠|b|B．若a2≠b2，则|a|≠|b|C．若|a|＝|b|，则a2＝b2D．若|a|≠|b|，则a2≠b23．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是命题．4．命题“若直线a，b不平行，则直线a，b相交”的否命题的逆命题为，这是______命题(填真、假)．5．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．参考答案1．【答案】C2．【答案】C【解析】根据逆命题的定义可知逆命题为：若|a|＝|b|，则a2＝b2.故选C.3．【答案】互逆【解析】两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．4．【答案】若直线a，b不相交，则直线a，b平行假5．解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题．逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．。
人教版高中数学优质教案2：1.1.2 四种命题 教学设计
1.1.2 四种命题一、教学目标：（一）知识目标：1、理解四种命题的概念；并掌握各种命题的表示形式．2、能根据任一命题的原命题写出其另外三种命题．（二）能力目标：培养学生简单推理的逻辑思维能力．（三）德育渗透目标：1、使学生掌握一定的逻辑知识，养成严谨的思维习惯．2、通过对四种命题的概念及相互关系的学习，使学生进一步认识与加强对辩证统一思想的理解．3、从命题的多样性、和谐统一性，使学生进一步感受数学中的美，以及思维的理性之美．二、教学重点：四种命题的概念及相互关系．三、教学难点：由原命题写出另外三种命题．四、教学方法：启发、引导式教学法，讲练结合．五、教学过程：1、温故而知新：(1)什么是命题？(2)什么是命题的否定？通过对以上问题的回答，复习上节有关知识，结合对下面的问题的思考，引入新课．(3)分析下列两个命题间的关系：Ａ同位角相等，两直线平行．Ｂ两直线平行，同位角相等．2、引入新课：（1）回忆互逆命题的概念：①强调两者间条件与结论的关系，②表示形式：原命题：若p则q;逆命题：若q则p;3、类比探索，学习新知：观察下列两个命题，分析其与命题A之间的关系，结合逆命题的概念，引导同学们自己归纳出否命题、逆否命题的定义:Ｃ同位角不相等，两直线不平行;Ｄ两直线不平行，同位角不相等；通过引导学生思考讨论，教师总结，对互为否命题、互为逆否命题的两命题间的相互关系、概念及表示形式进行学习，其中尤其强调注意否命题、逆否命题中条件和结论同时否定，它和命题的否定概念不同．最后，对以上所学概念进行对比总结：原命题：若p则q;逆命题：若q则p;否命题：若⌝p则⌝q逆否命题：若⌝q则⌝p;在教学过程中教师要注意做到对学生进行恰当的启发、引导与鼓励．4、例题讲解：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题：（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等．解：（1）原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（注意：正数的否定不能说成是负数）若学生说出该命题“若p则q”的另一种形式，可根据提前设计好的课件显示：解法二：原命题：若一个数是负数的平方，则它是正数；逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；否命题：若一个数不是负数的平方，则它不是正数；逆否命题：若一个数不是负数的平方，则它不是正数．（2）原命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．5、达标检测：（1）根据题意填空：①原命题：若a＞b，则a+c＞b+c逆命题：若a+c＞b+c，则a＞b；否命题：若a≤b，则a+c≤b+c.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.②原命题：若x2＋y2＝0，则x、y全为0；．逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．（2）把命题“三边对应相等的两个三角形全等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆否命题：原命题：如果两个三角形三边对应相等,那么这两个三角形全等．逆否命题：如果两个三角形不全等,那么这两个三角形三边不全对应相等．（3）填空：①命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是.②命题“矩形的两条对角线相等”的否命题是.③命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是.最后教师强调总结：解决此类问题的关键是找出原命题的条件和结论，并搞清楚各个概念.6、课堂小结：——“本节课我的收获！”学生交流后，谈谈自己的体会与收获，最后教师总结：1.知识方面：使学生掌握了四种命题的概念及相互关系.2.能力方面：培养了学生简单推理的逻辑思维能力、语言表达能力、以及良好的心理素质.3.思想方面：使学生进一步认识与加强了对辩证统一思想的理解，并感受到了数学中的语言美，以及思维的理性之美．六、课下作业：1、课本作业2、探索性研究：（1）你能说出命题的否定和否命题之间的区别与联系吗？（2）分析思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假之间有何关系，总结规律．。
高中数学选修1-1教案：1.1.2四种命题及相互关系
1.1.2 四种命题及相互关系三维目标1.通过具体命题的例子了解命题的逆命题、否命题、逆否命题;2.会写一个命题的逆、否、逆否命题;3.会分析四种命题的关系，知道等价关系。
________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 请写出命题“若P，则q ”的逆命题，否命题，以及逆否命题。
问题2. 请自己举一个命题的例子，写出它的逆命题、否命题以及逆否命题并判断其真假关系。
问题3.请填写下表：【技能提炼】1.请同学们自己写一个命题并改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
【反思】: 否定的改写需要注意什么?2.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若x y <，则x m y m +<+；（2）若22a b <，则a b <；（3）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （4）偶函数的图象关于y 轴对称。
3．下列说法正确的是( ) ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②③④【反思】: 四种命题中等价命题有哪些?4.证明：22若0，则x=y=0x y +=。
[。
]【思考】:反证法的步骤是什么?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.命题“,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是（ ） A 、,a b 都不是奇数，则a b +是偶数 B 、a b +是偶数，,a b 都是奇数C 、a b +不是偶数，,a b 都不是奇数D 、a b +不是偶数，,a b 不都是奇数2.若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ） A 、逆命题B 、否命题C 、逆否命题D 、以上都不正确3.“若{}|1P x x =<，则0P ∈”的等价命题是 ；4．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 1.1.2四种命题1.1.3四种命题的相互关系教案 新人教A版选修1-1
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 1.1.2四种命题1.1.3四种命题的相互关系教案新人教A版选修1-1和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：１．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．３．归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
教学设计5：1.1.2四种命题
1.1.2四种命题（一）教学目标知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：1．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．3．归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（1）和（2）这样的两个命题叫做互逆命题，（1）和（3）这样的两个命题叫做互否命题，（1）和（4）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
4．抽象概括定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
人教版高中数学选修1-1第一章1.1四种命题教案2
四种命题教案2教学目标(1)理解“若p则q”形式的命题也是复合命题，要求学生能将其它叙述形式的命题改写为“若p则q”的形式，其中p与q都是简单命题或语句．(2)能准确识别四种命题，并能正确表述四种命题的定义．(3)能对给定的“若p则q”形式的命题，构造出它的逆命题、否命题、逆否命题．教学重点和难点重点：四种命题的定义，四种命题相互之间的联系，由一种命题形式构造出其它三种形式．难点：对四种命题定义的深刻理解，由一种命题形式构造其它命题形式．教学过程设计(一)学生阅读课文阅读思考题：(1)回忆初中学过的“命题”，它们是怎样构造的？什么是“原命题”，什么是“逆命题”．(2)“若p则q”形式的命题，是复合命题吗？怎样理解．(3)试叙述四种命题的定义．(二)引入新课教师在学生回答问题的基础上，进行总结、提高．同学们在初中学过原命题、逆命题．这些命题一般都是由“条件”和“结论”两部分组成．一般的形式是“如果……那么……”或“若……则……”如果用p表示条件(或题设)q表示结论．命题的形式是“若p 则q”．这种“若p则q”形式的命题也是复合命题．因之我们现在学习的命题形式，有“p或q”“p且q”“非p”“若p则q”等．下面仔细来研究“若p则q”这种类型的复合命题．一般来讲：如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫原命题的逆否命题．例如：(1)和(2)是互逆命题；(1)和(3)是互否命题．当然(2)和(4)也是互否命题，(3)和(4)也是互逆命题．如果用p表示命题的条件，q表示命题的结论．非p表示p的否定，非q表示q的否定．学生完成例题，教师讲评．例1．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，然后判断它们的真假．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．解(1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；(√)逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；(×)否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；(×)逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(√)(2)原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；(√)逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；(×)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；(×)逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．(√)例2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．然后判断它们的真假．(1)如果a=0，那么ab=0．解(1)原命题：若a=0，则ab=0；(√)逆命题：若ab=0，则a=0；(×)否命题：若a≠0，则ab≠0；(×)逆否命题：若ab≠0，则a≠0．(√)请同学们注意，这里“a=0且b=0”的否定是“a≠0或b≠0”而不是“a≠0且b≠0”．而“a=0或b=0”的否定是“a≠0且b≠0”并不是“a≠0或b≠0”．这点请同学们仔细去想想．同学们要熟悉四种形式的互相转换．另外请大家研究一下四种命题的真值之间有什么关系，下一节课来解决．(三)学生练习课本练习1．(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，可得结果仍是等式；(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线．2．(1)可以被5整除的整数，末位是0；(2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等；(3)若式子两边都乘以同一个数，可得结果不是等式，则这个式子不是等式；(4)若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径．(四)小结小结四种命题的定义，并提出四种命题的真值情况，让学生思考，为下节课做好准备．(五)作业习题1.7，1.2．。
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《1.1.2 四种命题》教学案2
（一）教学目标
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
（二）教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
（三）教学过程
学生探究过程：
１．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
３．归纳总结
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
5．巩固练习
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（１）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（２）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（３）若x2=1,则x=1；
（４）若整数a是素数，则是a奇数。
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
6．总结归纳
若P，则q．若q，则P．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．7．例题分析
例4：证明：若p2 ＋ q2＝2，则p ＋ q≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q 2
≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则 p 2
＋ q
2
＝
21［（p －q ）2＋（p ＋q ）2］≥21（p ＋q ）2＞2
1×２２＝２ 所以p 2 ＋ q 2
≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a 2
－b 2
＋２a －４b －３≠０，则a －b ≠１． 8：教学反思
（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；
（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系； （４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价． 9：作业 P5：习题1 第３、４题。