【VIP专享】9)：第10讲数列求和及数列的综合应用

第10讲 │ 要点热点探究
(2)证明：
Tn＝a11a2＋a21a3
＋
…
＋1 anan＋1
＝1×1 5＋5×1 9＋9×113＋…＋4n－3×1 4n＋1
＝
1 4
1－
1 5
＋
15－19
＋
19－
1 13
＋
…
＋
1 4n－3
－
1 4n＋1
＝
1 4
1－ 4 n1＋1 ＝4nn＋ 1<4nn＝ 14， 又 Tn 单调递增，故 Tn≥T1＝51，
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【解答】 (1)∵数列{an＋Sn}是公差为 2 的等差数列， ∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即 an＋1＝an＋2 2(n∈N*)． 又∵a1＝1，∴a2＝32，a3＝47. (2)证明：由题意，得 a1－2＝－1，又∵aan＋ n－1－22＝ana＋2n－2－2 2 ＝12， ∴数列{an－2}是首项为－1，公比为12的等比数列．
则
12An＝
12＋2·122＋
1 3·2
3＋
…
＋(n－1)·12n－
1＋n·12
n②
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①
－
②
得
1 2
An
＝
1
＋
1 2
＋
1 2
2
＋
1 2
3
＋
…
＋
1 2
n
－
1
－
1 n·2
n
＝
11－－2121n－n·12n，
∴An＝4－( n＋ 2)·12n－1，
于是，Tn＝n2＋2
2
n
＋
(n＋
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(3)由(2)得
an－
2＝－
1 2
n－1，
∴
nan＝2n－
1 n·2
n－
1(n∈N*)．
∴
Tn＝(2－1)＋
4－
1 2·2
＋
6－3·21
2
＋…
＋2n－
1 n·2
n－1
，
即 Tn＝(2＋4＋6＋…＋2n)－1＋2·21＋3·122＋…＋n·12n－1.
设 An＝1＋2·12＋3·122＋…＋n·12n－1，①
＋…＋2n 和 Bn＝1＋2·21＋3·122＋…＋n·12n－1 求和．这里，
An＝2＋4＋6＋…＋2n 是等差数列的求和模型，Bn＝1＋2·12
＋3·122＋…＋n·12n－1 的求解，是错位相减法的求和模型，
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其
中，
用错
位相
减法
求和
的数
列n·21
n－
1
的特
点是
由
一
第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)由 an＝Snn＋2(n－1)， 得 Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 即 an－an－1＝4， ∴数列{an}是以 a1＝1 为首项，4 为公差的等差数列， 于是，an＝4 n－3，Sn＝ a1＋2an n＝2n2－n( n∈N*)．
► 探究点二 数列与不等式的综合问题
例 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2ana＋n 1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)设b2n＝a1n＋1，求数列{bnbn＋1}的前 n 项的和 Tn； (3)已 知 P＝ (1＋ b1)(1＋ b3)(1＋ b5)…(1＋ b2n－ 1)， 求 证 ： Pn> 2n＋1.
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二、数列的综合应用 数列的综合应用体现在与其他知识的交汇上，主要是： (1)数列与不等式：在解题时要有单调性的思想，多向作差 比较、基本不等式、放缩法等方面联系． (2)数列与函数、方程：数列本身就是一类特殊的函数，数 列的一些性质很容易类比到函数上来，比如数列的单调性、最 值跟函数如出一辙，再者：函数有图象，容易与其切线、切线 的斜率(即函数的导数)结合． (3)数列与解析几何：只要将曲线上的点的坐标用点列来表 示，那么数列就可以和解析几何联系起来，解题时一般要联系 曲线的几何性质．
时
的系
数
1 4
容
易
错误
或
遗忘，它是(4n＋1)－(4n－3)＝4 的倒数；其二是中间部分整体
相消后应保留的项数问题，
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如
Tn
＝
1 1×3
＋
1 2×4
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 nn＋
2
＝
1 2
1－
1 3
＋
12－14
＋
13－15
＋百度文库
…
＋
1 n－
1－n＋1 1
＋
n1－n＋1 2
＝
1 2
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要点热点探究
► 探究点一 数列求和
例 1 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＝Snn＋2(n
－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出 an 和 Sn 关 于 n 的表达式；
(2)设数
列1 anan＋1
的前
n
项和为
Tn，证明：51≤Tn<41.
于是15≤Tn<14.
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【点评】 本题的难点是数列求和中的裂项相消法，即将
1 anan＋
＝ 1
4n－
1 3
4n＋1
变
形为ana1n＋1＝414n1－3－4
1 n＋
1
，再相
消
求和．裂项相消法求和时应注意两个容易出错的地方：其一是
分拆
1 4n－34n＋1
＝ 14 4 n1－3 －4 n1＋ 1
个等差数列
{n}和一
个
等比数列
1 2
n－
1
的乘积组成
．用错位相
减法求 Bn 时，需要在等式两边同乘以21，这个21是等比数列
12n－1的公比，乘以12的目的是使得两式错位相减后，等式右
边12n－1 的前 n 项的系数都变成了 1，得到一个等比数列的求 和模型．
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要点热点探究
1＋21＋…＋1n
－13＋41＋…＋n＋1 1＋n＋1
，相消后前面的部分应 2
保留前两项 1 和21，后面的部分应保留后两项n＋1 1和n＋1 2.
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例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，数列{an ＋Sn}是公差为 2 的等差数列．
(1)求 a2，a3 的值； (2)证明：数列{an－2}是等比数列； (3)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.
第10讲数列求和及数列的综合应用
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主干知识整合
一、数列求和 数列求和的关键是弄清数列的特点，即通项的结构特征 决定求和所用的方法，对通项化简、拆分、变形等是数列求 和的切入点．常见的求和方法有：(1)公式法求和，(2)倒序相 加法，(3)错位相减法，(4)分组求和法(5)裂项相消法，(6)并项 求和法，(7)周期性求和
2)·12n－1－
4＝(
n＋2)
1 ·2
n－
1＋n(n
＋1)－4(n∈N*)．
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【点评】 本题的难点是求数列{nan}的和，解题时首 先采用了分组求和的方法，得到 Tn＝(2＋4＋6＋…＋2n)
－1＋
2·12＋
3·212＋
…
＋
1 n·2
n－1，然后分
别
对
An＝ 2＋ 4＋6