2013年高考辽宁卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（文科）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则

（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 2．复数的1

1

Z i =

-模为

（A ）

1

2

（B ）2 （C （D ）2

3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -

则与向量同方向的单位向量为

（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭

， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：

{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；

3:n a p n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；

其中的真命题为

（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p

5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，

[)[)60,80,820,100，若低于60分的人数是15人，

则该班的学生人数是

（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60 6．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为

,,.a b c 1

sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b +=,a b B >∠=且则

A ．6π

B ．3

π

C ．23π

D ．56π

7．已知函数())

()1ln

31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫

=++= ⎪⎝⎭

则

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

8．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的

A ．49

B ．67

C ．89

D ．1011

9．已知点()()()

3

0,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有

A ．3b a =

B ．31

b a a

=+

C ．()3310b a b a a ⎛

⎫---= ⎪⎝

⎭ D ．3310b a b a a -+--=

10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为

A ．

2 B ． C ．13

2

D ． 11．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接了

,AF BF ，若4

10,8,cos ABF 5

AB B F ==∠=

，则C 的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67

12．已知函数()()()()2

2

2

2

22,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}

min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=

（A ）2

216a a -- （B ）2

216a a +- （C ）16- （D ）16

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题， 考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则

6S = .

15．已知F 为双曲线22

:1916

x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，

若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为 .

16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）设向量)

(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤

=

=∈⎢⎥⎣⎦

（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =

求的最大值 18．（本小题满分12分）如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点

（I ）求证：BC PAC ⊥平面；

（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面

19．（本小题满分12分）

现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中 任取3道题解答.试求：

（I ）所取的2道题都是甲类题的概率；

（II ）所取的2道题不是同一类题的概率.

20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2

2

12:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，

过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）01x =，切线.MA 的斜率为12

-。 （I ）求p 的值；

（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。(),,.A B O O 重合于时中点为

21．（本小题满分12分） （I ）证明：当[]0,1sin ;2

x x x x ∈≤≤时，

（II ）若不等式()[]3

2

22cosx 40,12

x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取值范围.