苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1-2参数方程的意义参数方程与普通方程的互化

参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化练习

1．P (x ，y )是曲线2cos sin x y αα

=+⎧⎨

=⎩，(α为参数)

的最大值为__________． 2．“由方程(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上”是“方程(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩

是曲线C 的参数方程”的________条件．

3．点E (x ，y )在曲线15cos ,25sin x y θθ

=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与最小值分别为

________．

4．动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3 m/s 和4 m/s ，直角坐标系的长度单位是1 m ，点M 的起始位置在点M 0(2,1)处，则点M 的轨迹的参数方程是__________．

5．将参数方程1,212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩

(t 为参数)化为普通方程为__________． 6．将参数方程sin cos 1sin2x y θθ,θ=+⎧⎨=+⎩

(θ为参数)化为普通方程为__________． 7．点(x ，y )是曲线C ：2cos sin x y θ,θ

=-+⎧⎨=⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是__________．

8．已知点P (x ，y )是曲线C

：3cos 2x y θ,θ

=+⎧⎪⎨

=⎪⎩(θ为参数)上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围． 9．化参数方程2

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x t y t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数，t ≥0)为普通方程，并说明方程的曲线是什么图形．

参考答案

1. 答案：6

解析：由题意，设d 2＝(x －5)2＋(y ＋4)2＝(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝8sin α－6cos α＋26＝10sin(α－φ)＋26，其中φ为锐角，3tan 4ϕ=

. ∴2max d ＝10＋26＝36，从而d max ＝6，

的最大值为6.

2. 答案：必要不充分

3. 答案：30+30-

解析：x 2＋y 2＝(1＋5cos θ)2＋(2＋5sin θ)2＝30＋(10cos θ＋20sin θ)＝30＋θ＋

α)，其中1tan 2

α=，α为锐角，故x 2＋y 2的最大值与最小值分别为30+30-4. 答案：23,14x t y t =+⎧⎨=+⎩

(t 为参数，t ≥0) 解析：设在时刻t 时，点M 的坐标为M (x ，y )，则23,14x t y t

=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t ≥0)． 5. 答案：22

221x y a b

-= 解析：∵22

114t t t t ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， ∴2222 4 x y a b ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b -=.

6. 答案：x 2＝y (≤x )

解析：由x ＝sin θ＋cos θ，得x 2＝1＋sin 2θ，

∴sin 2θ＝x 2－1，代入y ＝1＋sin 2θ，得y ＝x 2.

又∵πsin cos [4x θθθ⎛⎫=+=

+∈- ⎪⎝

⎭，

∴普通方程为x 2＝y (≤x )．

7. 答案：33⎡-⎢⎣⎦

解析：曲线C ：2cos sin x y θ,θ

=-+⎧⎨=⎩是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设y k

x =，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值．1=，解

得213k =.∴y x 的取值范围是33⎡-⎢⎣⎦

.

8. 解：设P (3＋cos θ，2sin θ)，

则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋θ)

π

113cos 113θθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝

⎭，

∴3x ＋y 的最大值为11+，最小值为11-取值范围是[11-+．

9. 解：2

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x t y t ⎧=-⎨=+⎩消去t ，得x ＝－4(y －1)2(y ≥1)，

即(y －1)2＝14

x -(y ≥1)． 所以方程的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．