牙膏销售问题
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[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);
b,bint,stats
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
Matlab程序：
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]';
表2模型（3）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
17.3244
[5.7282，28.9206]
1.3070
[0.6829，19311]
-3.6956
[-7.4989,0.1077]
0.3486
[0.0379,0.6594]
=0.9054 F=82.9409 p<0.0001 =0.0490
结果分析：表2显示， =0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于 ，因而模型（3）从整体来看时可用的。
佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目牙膏销售问题
专业班级
一、问题提出
根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：
1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。
二、问题分析
由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为 ，公司投入的广告费用为 ，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为 和 ， 。基于上面的分析，我们仅利用 和 来建立y的预测模型。
x=[x1' x2'];
rstool(x,y,'quadratic')
五、模型结果
2）
b =
17.3244
1.3070
-3.6956
0.3486
bint =
5.7282 28.9206
0.6829 1.9311
-7.4989 0.1077
0.0379 0.6594
stats =
0.9054 82.9409 0.0000 0.0490
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45...
0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
a=polyfit(x1,y,1);
y1=polyval(a,x1);
b=polyfit(x2,y,2);
x3=5.00:0.05:7.25;
y2=polyval(b,x3);
subplot(2,1,1);plot(x1,y,'*',x1,y1,'r');title('图1 y对x1的散点图');
subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'r');title('图2 y对x2的散点图')
13.7013 44.5252
1.9778 20.2906
-12.6932 -2.5228
0.2538 1.0887
-2.8518 -0.1037
stats =
0.9209 72.7771 0.0000 0.0426
表3模型（5）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
29.1133
[13.7013,44.5252]
表2的回归系数给出了模型（3）中 的估计值，即 。检查他们的置信区间发现，只有 的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量 （对因变量y的影响）不是太显著，但由于 是显著的，我们仍将变量 保留在模型中。
3）
b =
29.1133
11.1342
-7.6080
0.6712
-1.4777
bint =
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);
b,bint,stats
4）对模型进一步改进，求解教程中模型（10）。
y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86...
8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]';
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]';
散点图为：
从图1可以发现，随着 的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型
拟合的。而在图2中，当 增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型
综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型
（3）式右端的 和 称为回归变量（自变量）， 是给定价差 ，广告费用 时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数 称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差 中。如果模型选择合适， 应该大致服从值为0的正态分布。
3、模型建立
1）2）为了大致地分析y与 和 的关系，首先利用表1的数据分别作出y对 和 的散点图。
散点图程序：
y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90...
6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80];
X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2 x1.*x2];
Y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]';
4）模型（10）的回归系数的估计值为
用鼠标移动交互式画面中的十字线，或在图下方的窗口内输入，可改变 和 的数值，图中当 时，左边窗口显示 ，预测区间为 .这些结果与模型（5）相差不大。
截图为：
图4完全二次多项式模型（10）的输出
3）模型改进
模型（3）中回归变量 和 对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用 的二次关系由回归系数 和 确定，而不依赖于价格差 ，同样，y的均值与 的线性关系由回归系数 确定，而不依赖于 。根据直觉和经验可以猜想， 和 之间的交互作用会对y有影响，不妨简单地用 ， 的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80];
X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2];
Y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]';
11.1342
[1.9778,20.2906]
-7.6080
[-12.6932，-2.5228]
0.6712
[0.2538，1.0887]
-1.4777
[-2.8518，-0.1037]
=0.9209 F=72.7771 p<0.0001 =0.0426
表3与表2的结果相比， 有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。并且，所有参数的置信区间，特别是 , 的交互作用项 的系数 的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。
在这个模型中，y的均值与 的二次关系为 ，由系数 确定，并依赖于价格 。
4）模型的进一步改进
完全二次多项式模型：与 和 的完全二次多项式模型如下：
（10）
为进一步了解 和 之间的交互作用，考察模型（5）的预测方程,求解模型（10）。
四、模型求解
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
程序如下所示：
b,bint,stats
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
Matlab程序：
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]';
表2模型（3）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
17.3244
[5.7282，28.9206]
1.3070
[0.6829，19311]
-3.6956
[-7.4989,0.1077]
0.3486
[0.0379,0.6594]
=0.9054 F=82.9409 p<0.0001 =0.0490
结果分析：表2显示， =0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于 ，因而模型（3）从整体来看时可用的。
佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目牙膏销售问题
专业班级
一、问题提出
根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：
1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。
二、问题分析
由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为 ，公司投入的广告费用为 ，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为 和 ， 。基于上面的分析，我们仅利用 和 来建立y的预测模型。
x=[x1' x2'];
rstool(x,y,'quadratic')
五、模型结果
2）
b =
17.3244
1.3070
-3.6956
0.3486
bint =
5.7282 28.9206
0.6829 1.9311
-7.4989 0.1077
0.0379 0.6594
stats =
0.9054 82.9409 0.0000 0.0490
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45...
0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
a=polyfit(x1,y,1);
y1=polyval(a,x1);
b=polyfit(x2,y,2);
x3=5.00:0.05:7.25;
y2=polyval(b,x3);
subplot(2,1,1);plot(x1,y,'*',x1,y1,'r');title('图1 y对x1的散点图');
subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'r');title('图2 y对x2的散点图')
13.7013 44.5252
1.9778 20.2906
-12.6932 -2.5228
0.2538 1.0887
-2.8518 -0.1037
stats =
0.9209 72.7771 0.0000 0.0426
表3模型（5）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
29.1133
[13.7013,44.5252]
表2的回归系数给出了模型（3）中 的估计值，即 。检查他们的置信区间发现，只有 的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量 （对因变量y的影响）不是太显著，但由于 是显著的，我们仍将变量 保留在模型中。
3）
b =
29.1133
11.1342
-7.6080
0.6712
-1.4777
bint =
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);
b,bint,stats
4）对模型进一步改进，求解教程中模型（10）。
y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86...
8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]';
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]';
散点图为：
从图1可以发现，随着 的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型
拟合的。而在图2中，当 增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型
综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型
（3）式右端的 和 称为回归变量（自变量）， 是给定价差 ，广告费用 时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数 称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差 中。如果模型选择合适， 应该大致服从值为0的正态分布。
3、模型建立
1）2）为了大致地分析y与 和 的关系，首先利用表1的数据分别作出y对 和 的散点图。
散点图程序：
y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90...
6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80];
X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2 x1.*x2];
Y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]';
4）模型（10）的回归系数的估计值为
用鼠标移动交互式画面中的十字线，或在图下方的窗口内输入，可改变 和 的数值，图中当 时，左边窗口显示 ，预测区间为 .这些结果与模型（5）相差不大。
截图为：
图4完全二次多项式模型（10）的输出
3）模型改进
模型（3）中回归变量 和 对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用 的二次关系由回归系数 和 确定，而不依赖于价格差 ，同样，y的均值与 的线性关系由回归系数 确定，而不依赖于 。根据直觉和经验可以猜想， 和 之间的交互作用会对y有影响，不妨简单地用 ， 的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到
x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80];
X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2];
Y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]';
11.1342
[1.9778,20.2906]
-7.6080
[-12.6932，-2.5228]
0.6712
[0.2538，1.0887]
-1.4777
[-2.8518，-0.1037]
=0.9209 F=72.7771 p<0.0001 =0.0426
表3与表2的结果相比， 有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。并且，所有参数的置信区间，特别是 , 的交互作用项 的系数 的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。
在这个模型中，y的均值与 的二次关系为 ，由系数 确定，并依赖于价格 。
4）模型的进一步改进
完全二次多项式模型：与 和 的完全二次多项式模型如下：
（10）
为进一步了解 和 之间的交互作用，考察模型（5）的预测方程,求解模型（10）。
四、模型求解
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
程序如下所示：