第2章谓词逻辑习题及答案.解析

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。

（1）小王学过英语和法语。

（2）2大于3仅当2大于4。

（3）3不是偶数。

（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。

（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。

求下列各式的真值。

（1）)3(，x xP ∃（2）)1(y yP ，∀ （3）)(y x yP x ，∀∀（4）)(y x yP x ，∃∃（5）)(y x yP x ，∀∃（6）)(y x xP y ，∃∀解：(2) 当3=x 时可使式子成立，所以为Ture 。

(3) 当1≠y 时就不成立，所以为False 。

(4) 任意的x,y 使得y x =，显然有y x ≠的情况出现，所以为False 。

(4)存在x,y 使得y x =，显然当1,1==y x 时是一种情况，所以为Ture 。

(5)存在x ，任意的y 使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。

(6)任意的y ，存在x ，使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。

4. 令谓词)(x P 表示“x 说德语”，)(x Q 表示“x 了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。

用)(x P 、)(x Q 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。

（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。

（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。

（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。

假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”。

用)(x P 、)(x Q 、)(x M 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。

解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：（1）))()((x Q x P x ∧∃ （2）))()((x Q x P x ⌝∧∃ （3）))()((x Q x P x ∨∀ （4）))()((x Q x P x ∨⌝∀（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”时：（1）))()()((x Q x P x M x ∧∧∃ （2）))()()((x Q x P x M x ⌝∧∧∃ （3）)))()(()((x Q x P x M x ∨∧∀ （4）)))()(()((x Q x P x M x ∨⌝∧∀5. 令谓词)(y x P ，表示“x 爱y ”，其中x 和y 的个体域都是全世界所有人的集合。

用)(y x P ，、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）每个人都爱王平。

（2）每个人都爱某个人。

（3）有个人人都爱的人。

（4）没有人爱所有的人。

（5）有个张键不爱的人。

（6）有个人人都不爱的人。

（7）恰有一个人人都爱的人。

（8）成龙爱的人恰有两个。

（9）每个人都爱自己。

（10）有人除自己以外谁都不爱。

解：a ：王平 b ：张键 c ：张龙(1) ）a x xP ,(∀ (2)),(y x yP x ∃∀ (3)),(y x xP y ∀∃ (4)),(y x P y x ⌝∃∀ (5))(x b P x ，⌝∃ (6)),(y x P y x ⌝∀∃ (7))))),(((),((x z z P z x y yP x =→∀∀∧∀∃ωω(8))))()(()(),((y z x z z c P z c P x c P y x y x =∨=→∀∧∧∧≠∃∃， (9)),(x x xP ∀ (10))),((y x y x P y x =↔∀∃ §2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解： （1）x 是指导变元，x ∀的辖域是),()(y x Q x P →，对于x ∀的辖域而言，x 是约束变元，y 是自由变元。

（2）x,y 都为指导变元，x ∀的辖域是)()(y x yQ y x P ，，∃→，y ∃的辖域是)(y x Q ，；对于x ∀的辖域而言，x,y 都为约束变元，对于y ∃的辖域而言，x 是自由变元，y 是约束变元。

（3）x,y 为指导变元，x ∀的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P y ，，，，∃∨∧∃，y ∃的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P ，，，，∃∨∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；对于x ∀的辖域而言，x,y 为约束变元，z 为自由变元，对于y ∃的辖域而言，z 为自由变元，y 为约束变元，x 即为约束变元也为自由变元，对于x ∃的辖域而言，x 为约束变元，y,z 是自由变元。

在整个公式中，x,y 即为约束变元又为自由变元，z 为自由变元。

2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。

（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀ （2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀ （3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝ （4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀ （5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀ （6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝， （7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→解：（1）易知公式是)()(q p q p ∧→∧的代换实例，而 1)()()()(=∧∨∧⌝=∧→∧q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。

（2）易知公式是)()(q p q p ∨→∨的代换实例，而 1)()()()(=∨∨∨⌝=∨→∨q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。

（3）易知公式是q q p ∧→⌝)(的代换实例，而0)()(=∧⌝∧=∧∨⌝⌝=∧→⌝q q p q q p q q p 是永假式，所以公式是永假式。

（4）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。

（5）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。

（6）易知公式是))((p q p →→⌝的代换实例，而0))(())((=⌝∧∧=∨⌝∨⌝⌝=→→⌝p q p p q p p q p 是永假式，所以公式是永假式。

（7）易知公式是p q p →→的代换实例，而p q p p q p p q p ∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→)()( 是可满足式，所以公式是可满足式。

§2.3 谓词公式的等价演算与范式习题2.31. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。

（1）没有小于负数的正数。

（2）相等的两个角未必都是对顶角。

解：（1）)(x P ：x 为负数，)(x Q ：x 是正数，),(y x R ：x 小于y ，命题可符号化为：)))(),(((y Q x P R y x ∀∀或)))(),(((y Q x P R y x ⌝⌝∃∃（2）略2.设)(x P 、)(x Q 和)(y x R ，都是谓词，证明下列各等价式 （1）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝→∀=∧⌝∃ （2）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝∧∃=→⌝∀（3）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝∧∧∃∃=→∧∀⌝∀ （4）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝→∧∀∀=∧∧∃⌝∃ 证明：（1）左边＝))()((x Q x P x ∧⌝∀＝))()((x Q x P x ⌝∨⌝∀ ＝))()((x Q x P x ⌝→∀＝右边（2）左边 ＝))()((x Q x P x →⌝∃＝))()((x Q x P x ∨⌝⌝∃＝))()((x Q x P x ⌝∧∃＝右边 （3）左边＝)),()()((y x R y Q x P y x →∧⌝∃∃ ＝)),())()(((y x R y Q x P y x ∨∧⌝⌝∃∃ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝∧∧∃∃＝右边 （4）左边＝),()()((y x R y Q x P y x ∧∧⌝∀∀ ＝),())()((y x R y Q x P y x ⌝∨∧⌝∀∀ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝→∧∀∀＝右边3. 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。