圆锥曲线小结
2.5.2圆锥曲线小结(2)
4
达标检测
x 2 y 2 16 上的一个动点。 1.已知定点 A（12，0） ，点 P 是曲线
求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程。 2.已知一条长为 6 的线段的两端点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动， 1 点 M 在线段 AB 上，且 AM 2 MB, 求动点 M 的轨迹方程。
5
归纳延伸
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转 化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线 和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、 琐碎问题．
课后作业:请完成《导学案》章末检测13~22 预习作业：复习本章知识
2
5 .
5.过点(0,2)与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 无数多条ຫໍສະໝຸດ C)精讲点拨
例 1.已知双曲线的方程为 2 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请 说明理由． y x2－
2
＝1，试问：是否存在被点 B(1,1)
x 2 y2 6 例 2.已知椭圆 G： 2＋ 2＝1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为 (2 2,0), a b 3 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰 三角形，顶点为 P(－3,2)． (1)求椭圆 G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
2.5.2 本章小结(2)
热身训练
x2 y2 1.椭圆 ＋ ＝1 的焦点为 F1、 2， P 在椭圆上． F 点 若|PF1|＝4， 则|PF 2| 9 2 ，∠F1PF2 的大小为 120° ． y2 x2 2 2 x y ＋ ＝1 顶点为焦点的椭圆方程为 16 4 . 2.以 － ＝－ 1 的焦点为顶点， 4 12 ＝ 3.中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4， －2)， 5 则它的离心率为 . x2 y2 2 4.设双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切， a b 则该双曲线的离心率等于
数学高考复习名师精品教案：第70课时：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线小结
数学高考复习名师精品教案第70课时：第八章 圆锥曲线方程——圆锥曲线小结课题：圆锥曲线小结 一．课前预习：1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是（B ）()A 32 ()B 1 ()C 12()D 2 2．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB 上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为（B ）()A 12ab ()B 2()C 2()D ab 3．ABC ∆中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2C B A -=，则动点A 的轨迹方程是（D ）()A 2216161(0)3x y y -=≠()B 2216161(0)3y x x -=≠ ()C 22161161(34x y x -=<-()D 22161161(34x y x -=>4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22221x y m n-=的两条渐近线夹角的正切值是43．5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ ． 二．例题分析：例1．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FB ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：设l ：()ay x c b=--，由方程组()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2(,)a ab Pc c ，∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2(,0)a A c ，∴(0,ab PA c =- ，2(,)a ab OP c c = ，2(,)b abFP c c=- ，∴222a b PA OP c ⋅=- ，222a b PA FP c⋅=- ，∴PA OP PA FB ⋅=⋅ ．（2）设1122(,),(,)D x y E x y ，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得444222222222(()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ⋅<，∴42222422()0a b a b c a b b-+<-，∴22b a >，即222c a >，∴e >所以，离心率的取值范围为)+∞．例2．如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，（1）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（1） 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程． （2）解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2440x kx m --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-，∵点P 分有向线段AB 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12xx λ=-，又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴(0,2)QP m =，∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+-∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1]44x x x x m m x x =+⋅++121212224442()2()44x x m m m m x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅=∴()QP QA QB λ⊥-．（2）由221204x y x y-+=⎧⎨=⎩得点(6,9),(4,4)A B -，由24x y =得214y x =，∴12y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=， 设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩， 解得2323125,,222a b r =-==，∴圆C 的方程是22323125()(222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=． 三．课后作业：1．直线143x y +=与抛物线221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ∆的面积等于6，这样的点P 共有（ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个()D 4个2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（ ）()A 圆()B 两条平行线 ()C 抛物线()D 双曲线3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．4．椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．5．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ． 6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．7．如图，P 是抛物线C ：212y x 上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ， （1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．。
圆锥曲线的方程复习小结第2课时课件2024-2025学年高二上数学人教A版(2019)选择性必修一
O
=、.=、
变式练习: 若直线
的值.
解：
与x轴交于M点，与双曲线
交于A 、B两点，求
总结弦长公式： 联立方程组
消去y（也可消去x ）得
y
y=kx+m
. B(x2,y2) . A(x1,y1) x
O
弦长公式也可以写成关于y的形式 特别直线上任意两点间的距离
题3：已知双曲线
圆锥曲线中点弦问题
（1）求过点P(2,1)且被点P平分的双曲线的弦AB所在直线的方程；
圆锥曲线中定值问题 的右焦点为F，过点F的任意一条直线l与C交于A ，B两点，点M的坐标为
y l
A（x1,y1）
F(1,0) O
M(2,0)
.
x
B（x2,y2）
另法（用第二定义）： ：准线x=2，过M点作直线l1:x=2
∽
小结
通过坐标法对直线和圆锥曲线位置关系及其简单应用进行总结，我们获得了哪些知 识和方法。
2。
直线切抛物线于点(1,2)
（2）
y (1,2)
y2=4x
x O
总结: 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，
联立
（也可消去x）
（1）当p=0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点.
此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行.
（2）当
当相交于一点时， 3-a2=0 ,a=±5
29 当相切于一点时，
（2）当相交于两点时，
y
x O
C
直线与圆锥曲线的位置关系
变式练习:
已知：直线y=ax+1 与抛物线2=4
圆锥曲线章节复习与小结
学习目标：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程;2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；自主学习：复习2：① 若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________；②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 ；③以椭圆2212516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．合作交流：1. 当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？2.若曲线2211x y k k+=+表示椭圆，则k 的取值范围是 ． 基础达标：1.曲线221259x y +=与曲线221259x y k k+=--(9)k <的（ ）． A ．长轴长相等 B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ） ．A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上3.过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为4．直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围 ．5.到直线3y x =+的距离最短的抛物线24y x =上的点的坐标是 ．能力提升：1.3k >是方程22131x y k k +=--表示双曲线的（ ）条件。
A .充分但不必要 B .充要 C .必要但不充分 D .既不充分也不必要2.在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）3.方程11422=-+-t y t x 表示的曲线为C,给出下面四个命题，其中正确命题的个数是（ ）①若曲线C 为椭圆，则1<t<4 ②若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4③曲线C 不可能是圆 ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<23 A.1 B.2 C.3 D.44.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅= ，则12F PF ∆的面积是（ ）A .1B .C .D .25. 过抛物线28y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．46.已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .7.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.8.（2012年高考（陕西文））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程; (2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA = ,求直线AB 的方程.思考题：1.就m的不同取值，指出方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m-+-=--所表示的曲线的形状．*2.抛物线22xy=-与过点(0,1)M-的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．。
圆锥曲线方程小结与复习(一) 教案示例
圆锥曲线方程小结与复习(一)·教案示例目的要求1．通过小结与复习，对全章基础知识进行总结，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上有进一步的提高．2．通过对全章知识内容的总结、例题的分析、讲解和讨论，进一步熟悉和掌握有关的数学思想方法．内容分析1．本章主要内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质．(1)椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹．由这些条件可以求出它们的标准方程，通过分析标准方程可研究三种曲线的简单几何性质．对三种曲线的标准方程、图形及简单几何性质的复习，可采用教科书中的表格形式进行归纳总结．这样，可以使学生比较清楚地掌握三种曲线的特性及它们之间的区别与联系．(2)椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下：a．从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次的，所以，它们属于二次曲线．b．从点的集合(或轨迹)的观点看：它们都是与定点和定直线的距离之比是常数e的点的集合(或轨迹)．这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线．只是由于离心率e取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线．B．这三种曲线都可以看成是由平面截圆锥面得到的截线(见教科书章头图)．因此，它们统称为圆锥曲线．(3)坐标法是研究曲线的一种重要方法．本章在第七章的基础上进一步学习了求曲线方程的一般方法，如何利用曲线的方程讨论曲线的简单几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等．2．本课时安排的两个例题，对知识的覆盖面较大，突出了本章重点知识和基本方法．其中例1是一道探求轨迹方程问题，可以按求点的轨迹方程的一般方法来求解；也可以先分析几何图形特征，从中寻找解题思路．其中，前一种思路突出了通性通法，后一种思路可避免繁杂运算，对两种思路的分析，要根据学生的实际情况，进行启发、点拨．例2是一道利用方程研究曲线性质的证明题，可以通过解方程组求出交点坐标进行证明；也可以利用解析几何常用的“设而不求”的技巧来证明．对后一种思路的分析、讲解要详细，以便让学生掌握．两个例题包括了本章中“已知曲线求方程”和“已知方程研究曲线性质”两个训练重点．通过讲解这两个例题，可复习解析几何的基本方法．教学中，要充分利用好这两个例题，使本章主要知识内容得到较全面的复习和巩固．教学过程1．内容小结．对全章的基础知识内容，作一次小结．可让学生填表(教师按教科书中的项目先准备好表格，留空)．在填完表格的基础上，教师订正或师生共同小结．然后，教师可对一些重点予以强调．比如三种曲线的统一性(方程形式、集合(或轨迹)观点等)以及坐标法的重要性．2．指出本章学习要求和需要注意的问题．可让学生先阅读教科书中相关内容．教师指出学习本章要充分利用“数形结合思想”，高考对本章知识内容的考查要求较高．学习不可能一步到位，而是要在理解基础知识、掌握基本方法的基础上，逐步提高自己分析问题、解决问题的能力．3．讲参考例题．例1：一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5=0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．分析：解答本题可以按求轨迹方程的一般方法来进行．设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．设已知两圆的圆心分别为F1、F2，根据题意，有|MF |=R 2|MF |10R 12＋，＝－．⎧⎨⎩则 |MF1|＋|MF2|＝12．即．(x +3)=122++-+y x y 2223()化简整理，得 x y 223627+=1．所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的中心是原点，长轴、短轴长分别是、，焦点在轴上．1263x注：解答本题也可以从几何条件入手，结合椭圆定义找到解题思路．由于|MF1|＋|MF2|＝12＞|F1F2|=6，所以点M 的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为12的椭圆．从而可得其标准方程．例2：直线y=x －2与抛物线y2=2x 相交于A 、B 两点，求证OA ⊥OB ．分析1：由于直线与抛物线的方程为已知，故可通过解方程组来求点A 、B 的坐标．再结合斜率公式及两直线垂直的充要条件来进行证明．证法 1：将y ＝x －2代入y2＝2x 中，整理，得x2－6x ＋4=0．解得±．则±． x =3 y =155不妨设点、的坐标分别为－，－、＋，＋．A B A(31)B(31)5555则，＝．∴·×－．k =1k k k =1=1OA OB OA OB --++--++=--535153553515351595 ∴OA ⊥OB ．分析2：设点A 、B 的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为OA ⊥OB 成立的的充要条件是x1x2＋y1y2=0．所以，可结合韦达定理进行证明．证法2：同证法1得方程x2－6x ＋4＝0．设点A 、B 的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系，可知x1＋x2＝6，x1x2＝4．∵y1＝x1－2，y2=x2－2，∴y1y2=(x1－2)(x2－2)=x1x2－2(x1＋x2)＋4=4－12＋4=－4．∴x1x2＋y1y2＝0．∴OA ⊥OB ．4．归纳小结．由于本课前半部分本身带有总结性质，这里可着重对两个例题的解题思路进行总结． 布置作业..复习参考题A 组第8、10、14题．。
圆锥曲线离心率小结
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率及其取值范围椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ， 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ， 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ， 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==ace （31-舍去），变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ， 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ， 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》小结课件
规律
椭圆、双曲线标准方程求法：一定型，二定量。 最后再验完备性。
训练1： 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点, 线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程 是
解析:如图所示,因为 l 是 PA 的垂直平分线, 所以|PQ|=|AQ|,|QA|+|QC|=|QC|+|QP|=10, 所以 Q 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3, 所以 a=5,b=4.故所求的椭圆方程为 x2 + y2 =1.
k x2 k y2 1 8
x2 y2 ＝1 18
又： a b 0
kk
y2
x2
抛物线y ax2 a 0的焦应点：坐y2 标 x2
＝1
8 1
1
a b
焦点坐标是: 0,
焦点坐标 ba
F
0,
1 4a
8 k
k 1
k
9
k
k 1
练 透 基 点， 研 通 难 点
问题三：焦点三角形
在焦点三角形PF1F2中，令 PF1 ＝r1,令 PF2 ＝r2
2
4
由焦点弦公式可得|AD|=x1+x2+p=3+1=4, 则|AB|+|CD|=|AD|-2R=4-1=3.
答案:3
问题二：方程形式
基本方法重温
①椭圆 a x2 b y2 a b 0 (a b 0) ②双曲线8k x2 k y2 8 的一个焦点为0，3
的焦点坐标 .
求k值 .
a x2 b y2 a b x2 y2 ＝1 b a
主干知识理
标准方程与几何性质
《圆锥曲线与方程》小结 高考考纲要求教师版
《圆锥曲线与方程》小结一．考查规律1、小题就小考，较少知识点的组合；大题常考综合应用，难度与过去比，有所降低，但灵活性要求较高。
2、选择、填空题是对解答题的补充，以容易和中档题为主。
解答题第1问，把你知道的,,,,F a b c e 点坐标写出来，至少得1分；第2问得分稍难，常常是面积距离定点定值范围等问题。
二．考纲要求1、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3、了解圆锥曲线的简单应用.4、理解数形结合的思想三．基本思想解析几何基本思想：用代数方法解决几何问题。
就考试来说，就是先求方程，再联立方程组成方程组，通过消元（二元转化为一元），用12,,x x ，二次项系数等来解决问题。
能解出12,x x 的都不算难题，多数情况下解出12,x x 时带根号或解不出，因此常整体用12x x +，12x x 等来解决问题。
常用技巧是“设而不求，整体代换”。
从解方程组来看，直线与圆锥曲线方程联立消元后只有1212,x x x x +和可用，一定有技巧；两圆锥曲线方程联立相减后只有12121212,,,x x y y x x y y ++--，一定有技巧。
做题至少要写到1212,,x x x x +，体现你知道解析几何基本思想，得到7-8分没有问题。
四．基本运算1、代入法 常用“12120,0,,a x x x x ≠>+⋅”2、点差法 可用“12121212,,y y x x y y k x x -++=-。
多用于中点或斜率已知或相关等。
五．解题思路几何条件转化为：如何整体用1212,x x x x +去解决问题。
常见转化：1、弦长公式12121(1(0)kAB xy ka+=-=====-≠两直线垂直时，可用1k-代k同理求弦长；两直线斜率互为相反数时，可用k-代k同理求弦长；可用同理求弦长等等。
2、垂直问题11221212,),,),0a x yb x y a b x x y y⊥⇔+=若=(=(则以AB为直径的圆过一点，实质是垂直问题。
2.4 圆锥曲线单元小结优秀教学设计
圆锥曲线单元小结（一）圆锥曲线与方程（约12课时） （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用。
（二）说明与建议 2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。
3．教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。
有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
4．教师应向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。
（三）知识结构（四）本章基础知识：一.椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两21F F 个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线le ∈e 是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( >x 12222=+b y a x >0，且)=2a (2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a ，b 满y 12222=+bx ay 足：．3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)12222=+by ax (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆=e ∈e e 越 ；越接近0，椭圆越接近于 ．e (5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则21,F F ),(00y x P =1PF，=．122PF a PF -=(6) 椭圆的参数方程为 ．4．焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：＋－2r 1r 2cos ＝(2c )221r 22r θ(3) 面积：＝r 1r 2 sin ＝·2c | y 0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，21F PF S ∆21θ2100,y x |PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝)θ二．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在上)的距离的比是常数e ，当 时动点P 的轨迹是双曲线．∈e 设P 到的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为，则1F d 2F 2d ed PF d PF ==22112．双曲线的标准方程(1) 标准方程：，焦点在轴上；，焦点在 轴上．其12222=-b y a x 12222=-b x a y 中：a 0，b 0， ．=2a (2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx 3．双曲线的几何性质(对进行讨论)0,0,12222>>=-b a b y a x (1) 范围：， ．∈x ∈y (2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率= ，且 ，越大，双曲线开口越 ，越小，双曲e ∈e e e 线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任),(00y x P 意一点， ， ，若是双曲线左支上任意一点，=1PF =2PF ),(00y x P =1PF，．=2PF (6) 具有相同渐近线的双曲线系方程为 x aby ±=(7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为 ．(8)的共轭双曲线方程为．12222=-b y a x 三．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① ，焦点为 ，准线为 ．px y 22=② ，焦点为 ，准线为 ．px y 22-=③ ，焦点为 ，准线为 ．py x 22=④ ，焦点为，准线为．py x 22-=3．抛物线的几何性质：对进行讨论．)0(22>=p px y ① 点的范围： 、 ．② 对称性：抛物线关于 轴对称．③ 离心率 ．=e ④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则),(o o y x P =PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若，，则＝ ，．),(11y x A ),(22y x B AB 21y y ii) 若AB 所在直线的倾斜角为(则＝θ)0≠θAB．特别地，当时，AB 为抛物线的通径，且＝ ．θ2π=AB iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）．iv)为定值，且等于 ．||1||1BF AF +四．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，它们的统一性如下：（1）从方程的形式看：在直角坐标中，这几种曲线的方程都是二元二次的，所以它们属于二次曲线。
2014高二数学圆锥曲线基本知识小结与典型例题
高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1、知识关系网2、基本知识点 1、椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距；第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率；2、椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴 x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c1(0,)F c -、2(0,)F c焦距 焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率 e =c a(0<e <1)准线方程2a x c=±2a y c=±点P (x 0,y 0) 的焦半径公式|P F 右|=a -ex 0 , |P F 左|=a +ex 0(“左加右减”)|P F 上|=a -ey 0 , |P F 下|=a +ey 0(“上减下加”)注:1、焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义。
2、椭圆参数方程cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩：如图点(cos ,sin )N a b αα的轨迹为椭圆。
2、典型例题例1、F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( )A 、椭圆B 、直线C 、圆D 、线段例2、已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )A 、1162522=+y xB 、)0(1162522≠=+y y xC 、1251622=+y xD 、)0(1251622≠=+y y x例3、若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) A 、(c ，2b a ±) B 、(-c ，2b a±) C 、(0，±b ) D 、不存在例4、如果椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离为2.5，那么P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是( )。
【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：第三讲《圆锥曲线性质的探讨》小结
当β>α时，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线． 设两个球与平面π的切点分别为F1，F2，与圆锥相切于圆S1， S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1，PF2.过P作母线交S1于 Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此 PF1＝PQ1. 同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平行平 面间的平行于母线的线段的长度，与点P的位置无关．由此可知截 口的曲线是以F1，F2为焦点的椭圆．
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当截面过顶点时： ①截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点；②截面 和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线；③截面和 圆锥面相切，交线退化为两条重合直线．(即一条母线).
数学思想方法 数形结合思想 在平面解析几何中，我们已经学习了圆锥曲线的定义，标准 方程及简单性质，本讲是将平面的圆锥曲线推广到了空间，通过 特例，知道圆锥曲线的产生过程，有了感性认识，又给出了证 明．通过本讲的学习，使我们深刻体会到从特殊到一般的认识过 程，在论证过程中充分体现了数形结合的思想方法．
第三讲
圆锥曲线性质的探讨
第三讲：小结
知识结构
基础知识归纳 1.正射影 (1)点A是平面α外一点，过点A向平面α作垂线，设垂足为点 A′，那么把点A′称作点A在平面α的正射影． 一个图形F上的各点在平面α上的正射影也组成一个图形 F′，则图形F′称作图形F在平面α上的正射影．
(2)一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置有关， 如一条直线，当它和平面α垂直时，它在平面α上的射影是一个 点；当它和平面α斜交时，它在平面α上的射影是一条直线；它和 平面α平行时，它在平面α上的射影是一条与原直线平行的直线． 一个圆所在平面β与平面α平行时，该圆在α上的正射影是与原 来大小相同的圆；若β与α不平行也不垂直时，圆在α上的正射影是 一个椭圆；若β与α垂直时，圆在α上的正射影是一条与直径相等的 线段．所以一个圆在一个平面上的正射影应有三种情况． (3)正射影是平行射影的特例．
圆锥曲线小结
§7.2圆锥曲线一、知识导学1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：，（）3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式4．椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线5.焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称6椭圆的参数方程7．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距8．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中与b的大小关系:可以为9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上10．双曲线的几何性质：（1）范围、对称性由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心（2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2, 叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔11．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．12．双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫焦参数）对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线抛物线13抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线二、疑难知识导析椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系1．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成3．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-14．抛物线的几何性质（1）范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．19抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线，抛物线，抛物线，三、经典例题导讲[例1]设双曲线的渐近线为：，求其离心率.错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：或.［例2］设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.错解：因∴，得：，同理得：，故∴最大、最小值分别为3,-3.剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.错解一：故所求的双曲线方程为错解二：由焦点知故所求的双曲线方程为错因：这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。
圆锥曲线与方程小结
（p/2 ,0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1 x=±a2/c
e>1 x=±a2/c
y=±(b/a)x
e=1 x=-p/2
渐近线方程
双曲线
x a
2 2
y b
2 2
1(a 0, b 0) 的渐近线方程为:
y
b a
x(
x a
y b
0)
共渐近线双曲线的方程的设法:以bx±ay=0为渐 近线的双曲线可设为b2x2-a2y2=λ(λ≠0)或
y 2 px ( p 0)
2
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
双曲线
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
抛物线
X轴
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
（±c,0)
（±c,0)
6 已知抛物线的方程为 y 4 x ，直线 l 过定点P （－2,1），斜率为 k ， 为值时，直线 l 与抛物 k 线 y 2 4 x ：只有一个公共点；有两个公共点；没 有公共点？
2
7 动点C和两个定点A（3，2）和B（-1，5）为顶点 的三角形的面积恒为2，求动点C的轨迹方程. 8 已知长为2a的线段AB，它的一个端点 A在 X 轴上 滑动，另一个端点B只在Y轴的正半轴上滑动，求线 段中点C的轨迹方程.
x a
2 2
y b
2 2
( 0)
基本方法
1 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情 况的讨论来研究，即方程消元后得到一个一元二次 方程，利用判别式 来讨论。 2 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解决。 3 特殊情形： （1）在双曲线中，当直线平行于其渐近线时，直 线与双曲线有且仅有一个公共点。 （2）在抛物线中，平行于其对称轴的的直线和抛 物线有且仅有一个公共点。
圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线知识点小结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中，是椭圆的是( )A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（2）8=表示的曲线是_____（3）利用第二定义 已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是___ 2.圆锥曲线的标准方程（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是___，22y x +的最小值是（3）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（4）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断： 椭圆：已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值是__（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（3）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（4）双曲线221ax by -=，则:a b =（5）设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(6)设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系： 6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（2）直线y―kx―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是______ （3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条.（4）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
高中数学_圆锥曲线知识点小结
高中数学_圆锥曲线知识点小结《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹；（2F1F2|）的点的轨迹。
22xy3．常用结论：（1）椭圆1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2点，则ABF2的周长= （2）设椭圆x2y22 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ|二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。
2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：标准方程中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上x2y21(a 0,b 0) a2b2y2x22 1(a 0,b 0) 2ab图形B1(0, a),B2(0,a)顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线通径（3）双曲线的渐近线：A1( a,0),A2(a,0)x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1( c,0),F2(c,0)|F1F2| 2c(c 0) ceF1(0, c),F2(0,c)a2 b2c(e 1)（离心率越大，开口越大）aybx a2b2 ayax b2222①求双曲线x y 1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x y 0，因式分解得到x y 0。
aba2b2a2b2x2y2x2y2②与双曲线2 2 1共渐近线的双曲线系方程是2 ；2ab（4）等轴双曲线为x2y2 t2，其离心率为yx（4）常用结论：（1）双曲线2 1(a 0,b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的2ab同一支于A,B两点，则ABF2的周长x2y22 1(a 0,b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的2ab（2）设双曲线直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|三、抛物线：PQ|（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
圆锥曲线与方程小结复习课教学案例设计优秀获奖科研论文
圆锥曲线与方程小结复习课教学案例设计优秀获奖科研论文一、教学内容分析本节课是苏教版数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程小结复习课的第一课时。
离心率是圆锥曲线的共性特征之一，它不仅体现了圆锥曲线的方程中参数的某种关系，而且也与圆锥曲线的形状密不可分。
同时对离心率的研究既是圆锥曲线在形式上的统一，也是在研究方法上的统一，是高考的重要考点之一。
二、学生学习情况分析在本节课之前学生已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质，也对圆锥曲线的共性特征有所认识，这都为这节课的教学奠定了基础：从方程形式看，圆锥曲线的方程都是二次的；从集合（或轨迹）的观点看，它们都是与定点和定直线的距离比是常数e的点的集合（或轨迹）。
经过前面的学习，学生已经初步形成从数和形两方面来思考的意识，本节课最大障碍是如何根据题意建立起关于圆锥曲线方程中基本量的关系。
三、设计思想1.教法诱导思维法：运用诱导思维法促使学生对知识进行主动建构，突出重点，突破难点，充分激发学生学习的主动性、积极性和创造性。
分组讨论法：让学生进行讨论交流，发现问题，解决问题，取长补短，共同提高。
讲练结合法：及时巩固所学内容，攻破重点，解决难点。
2.学法由于本节课是复习课，所以应通过对圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的复习进行引入，之后再通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得推导思路。
同时，为了促进成绩优秀学生的发展，笔者还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的。
四、教学目标理解离心率与圆锥曲线方程中基本量的关系，巧用离心率求基本量。
借助数形结合的思想方法，从题目中找出基本量的关系，求离心率的值或范围。
五、教学重点和难点本节课的重点：一是巧用离心率与基本量的关系，二是从数和形的角度建立圆锥曲线方程基本量的关系。
本节课的难点：运用数形结合的思想，建立圆锥曲线方程基本量的关系。
圆锥曲线复习与小结(3)教案
圆锥曲线复习与小结（3）教学目标：使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等．教学重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．教学难点：双圆锥曲线的相交问题．教学过程一、与圆锥曲线有关的几种典型题1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．例1 过抛物线214y x=-的焦点作倾斜角为α的直线l交抛物线于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；(2)x+y的最大值与最小值．3．与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．例3在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法．例4.已知曲线22212():1:12y aC x C y x-+==+及有公共点，求实数a的取值范围．二、练习1.求椭圆2214xy+=到点A(1,0)的距离为最小的点P的坐标.2．已知圆(x-1)2+y2=1与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围．3.证明：椭圆221205x y+=与双曲线221123x y-=的交点是一个矩形的顶点．三、作业同步练习 08F3。
圆锥曲线(小结)
高三数学第一轮复习讲义（小结）圆锥曲线一．课前预习：1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是 （ B ）()A 32()B 1 ()C 12 ()D 2 2．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为 （ B ）()A 12ab ()B ab ()C()D ab 3．ABC ∆中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2C B A -=，则动点A 的轨迹方程是 （ D ）()A 2216161(0)3x y y -=≠()B 2216161(0)3y x x -=≠ ()C 22161161()34x y x -=<- ()D 22161161()34x y x -=>4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22221x y m n-=的两条渐近线夹角的正切值是43．5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞．二．例题分析：例1．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ， （1）求证：PA OP PA FB ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：设l ：()ay x c b=--，由方程组()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2(,)a ab P c c ，∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2(,0)a A c，∴(0,)ab PA c =-，2(,)a ab OP c c =，2(,)b ab FP c c =-， ∴222a b PA OP c ⋅=-，222a b PA FP c⋅=-，∴PA OP PA FB ⋅=⋅．（2）设1122(,),(,)D x y E x y ，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得444222222222()()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ⋅<，∴42222422()0a b a b c a b b-+<-，∴22b a >，即222c a >，∴e >所以，离心率的取值范围为)+∞．例2．如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，（1）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2440x kx m --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-， ∵点P 分有向线段AB 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12xx λ=-， 又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴QP =∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+- ∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1)]44x x x x m m x x =+⋅++121212224442()2()44x x m m mm x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅=∴()QP QA QB λ⊥-． （2）由221204x y x y-+=⎧⎨=⎩得点(6,9),(4,4)A B -，由24x y =得214y x =，∴12y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=， 设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩， 解得2323125,,222a b r =-==，∴圆C 的方程是22323125()()222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=．三．课后作业： 班级 学号 姓名1．直线143x y +=与抛物线221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ∆的面积等于6，这样的点P 共有 （ ）()A 1个()B 2个()C 3个 ()D 4个2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（）()A 圆 ()B 两条平行线()C 抛物线()D 双曲线3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．4．椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．5．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 7．8．如图，P 是抛物线C ：212y x =上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ，（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。
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专题(三)
圆锥曲线方程的求法与讨论
求圆锥曲线方 程的方法小结
1、代入法（用定义） 2、五步法（特别：参数法、相关点法） 3、待定系数法
互动练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线
x1+x2=6, ∵y1=x1-2 ,
x1·x2=4 y2=x2-2;
OB
x
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
kOA • kOB
y1 • x1
y2 x2
y1 y2 x1 x2
4 4
1
∴OA⊥OB
引伸练习
1.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求弦长|AB|。
应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| |
PF1 PN
| |
3 5
,即|
PF1
|
3 5
|
PN
|
3 5
(xp
25 3
)
5 xp 5
xp 5时,| PF1 |max| A2F1 | 8,
xp 5时,| PF1 |min | A1F1 | 2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点 与两个定点的 与一个定点和
的距离的和等 距离的差的绝对 一条定直线的距
于常数
值等于常数
离相等
x2 y2 1(a b 0) x2 y2 1(a 0,b 0) y2 2 px( p 0)
a2 b2
a2 b2
图 形
顶点坐标 （±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线 抛物线
对称性 焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, X轴，实轴长2a,
Y轴，短轴长2b Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
（±c,0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
专题(一)
定义的应用
(一)定义的应用
互动 练习
1、已知点P 是椭圆
x2 y2 25 9
1一点 ， F1和F2
是椭圆的焦点，
⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积
由两点间距离公式得:
| PF1 |2 (x 3)2 y2
x2 6x 9 16 (25 x2 ) 25
9 x2 6x 25 (3 x 5)2
25
5
5 x 5| PF1 |max 8,| PF1 |min 2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
解法2：同解法1得方程 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和是12， 所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），长轴长等于
12的椭圆。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
94
说明:(1)从图形分析,应有四个解
(2)利用方程求解时,应注意 对K的讨论
y
O
x
例.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB （课本P130例2）。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 (x-2)2=2x 化简得 x2-6x+4=0
y
A
解得： 则：
x 3 5 y 1 5
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
(2) PF1 PF2 的最大值
P
解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10
F1
F2
思考题:怎样求
PF1
PF2
(| PF1 | | PF2 2
|)2
25
|PF1|·|PF2|的最小 值?
PF1 PF2 max 25
圆锥曲线复习课
基础知识系统复习
一、学习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
知识结构
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
①①①22-2-②-②②得得得22(31|P|+PFcFo11|s·|·θ|P|)P|FPF2F2|=|1=|3·36|P6 F2|=36
故故SS故FF1S1PPFF2F21PF21212||P12PFF|1P1||F|1|P|PF|F2P2|F|ss2inin|690
9sin 13co3s
9 tan
1 cos 1
| PF1 |max 8,| PF1 |min 2
互动 练习
(一)定义的应用
2、已知点P 是椭圆 x2 y2
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
1
上一点
， F1和F2
l P
N
是椭圆的左
d
(2) PF1 PF2 的最大值
A1 F1
F2 A2
(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相
OB
x
kOB
1 3
5 5
, kOA
1 3
5, 5
kOB
• kOA
1 3
5 • 1 5 3
5 1 5 1 5 95
∴OA⊥OB
例1.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB （课本P130例2）。
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
y
A
由一元二次方程根与系数的关系，可知
Y
P
X
O1
O2
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程
x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
Y
P
X
O1
O2
当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2 ①
当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时，有|O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 化简整理得 : x2 y2 1 36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P
X
O1
O2
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
2.直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于A、B ,且弦长|AB|=2 10 , 求该直线的方程.
3.直线l与抛物线y2=2x相交于A、B ,且AB中点的坐标为(3,1), , 求该直线的方程.
4.过抛物线y2=4x的焦点作直线,交此抛物线于A、B两点,求AB 中点的轨迹方程.
习题讲评
基训 P48 三、2 基训 P45 三、2 基训 P46 三、2 基训 P52 三、2
于是得动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1 36 27
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
布置作业：
复习参考题：A组12题、13题
2
d P
F1
F2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
P
d
(2) PF1 PF2 的最大值
A1 F1
F2 A2
(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),
改成双曲线
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
呢?P
d
解 ⑵⑴⑶ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10①
F1
F2
又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
由由余余由弦弦勾定定股理理定得得理::|P|得PFF:11||2|P2++F|P|1P|F2F+22||2|P2--2F2|2P|P|2F=F161|·|4·|P|②PFF22|c|cooss6θ0=°64=②64②