幂的运算(知识总结) - 360文档中心

幂的运算知识点总结

1、幕的乘方
2、积的乘方底数不变，指数相乘。

逆运算：a
mn
n
(a m)
即（a m
）n a mn（m, n是正
把每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘。

即（abj a n b n（n是正整数）逆运算；
n
(ab)
同底数幕的除法同底数幕相除，底数不
零指数幕的意义：规定
负整指数幕的意义：规
变，指数相减。

即a m a n a m-n（a 0,m, n是正整数,m a01（a 0）。

即
任何不等于0的数的零次幕都等于1
定a"—n（a 0,a是正整数）
a
n) 第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幕相乘
法则：底数不变，指数相加。

即a m a n a m n（m，n是正整数）
逆运算：a m n a m a n
同底数幕的乘法
a a a
正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数知识点二：幕的乘方与积的乘方
知识点三：同底数幕的除法
5 、,
696000 6.96 （10的几次方原数字个数-1）
科学记数法0.0000502 5.02 1。

-5（10的负几次方第一个非0数字前0的个数）
9
1nm m
(1) a m a n a m n(m,n是正整数)
(2) (a m)n a mn(m,n是正整数)
⑶(ab)n a n b n(n是正整数)
(4)a^ a a^ "(a 0, m, n是正整数,m n)。

新人教版八年级上册数学[幂的运算(基础)知识点整理及重点题型梳理]

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】【幂的运算知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-． 2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y 的值．【思路点拨】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．【答案与解析】解：∵a x =3，a y =2，∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值．【答案】解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=．【396573 幂的运算例3】【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．。

幂的运算总结知识点

幂的运算总结知识点一、幂运算的基本概念1. 底数和指数在幂运算中，底数表示要进行幂运算的数，指数表示要计算的幂。

例如，在表达式$a^n$中，$a$为底数，$n$为指数。

2. 幂的定义幂的定义是指将一个数与自身相乘若干次的运算。

比如，$a^n$表示$a$与自身相乘$n$次，即$a$的$n$次幂。

3. 幂数的意义幂数的意义是指幂的运算结果。

在数学中，幂的运算结果通常表示一个较大的数，这种表达方式能够简化运算和表示大数，方便计算。

二、幂运算的性质1. 幂运算的乘法法则若$a^m \times a^n = a^{m+n}$，即幂相乘的结果等于底数不变、指数相加的新的指数。

2. 幂运算的除法法则若$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$，即幂相除的结果等于底数不变、指数相减的新的指数。

3. 幂运算的乘方法则若$(a^m)^n = a^{m \times n}$，即幂的幂等于底数不变、指数相乘的新的指数。

4. 幂运算的指数为0的规定$a^0=1$，任何数的0次幂都等于1。

5. 幂运算的指数为1的规定$a^1=a$，任何数的1次幂都等于自身。

6. 幂运算的负指数$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即负指数等于底数的倒数。

7. 幂运算的零指数若底数不为0，$0^n=1$，即0的任何次幂都等于1。

8. 幂运算的整数指数当指数为正整数时，幂运算就是简单的重复乘法运算；当指数为负整数时，幂运算就是简单的重复除法运算。

9. 幂运算的分数指数当指数为分数时，幂运算需要借助对数来处理，得到的结果为底数的对数值的指数次幂。

10. 幂运算的根式化简对于幂运算中的根式，可以通过化简和变形得到更简单的表达式。

三、幂运算的应用1. 幂运算在几何中的应用在几何中，幂运算常常用来表示面积和体积。

比如，计算正方形的面积、长方形的面积、立方体的体积等等。

2. 幂运算在代数中的应用在代数中，幂运算常常用来表示变量的幂。

初中数学知识归纳指数与幂的运算规律

初中数学知识归纳指数与幂的运算规律指数与幂的运算规律是初中数学中的重要内容，它在数学运算中有广泛的应用。

了解和掌握指数与幂的运算规律对于学生的数学学习和应用能力的提升非常重要。

本文将对指数与幂的运算规律进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、指数与幂的基本概念及定义在进行指数与幂的运算规律前，我们需要先了解指数与幂的基本概念及定义。

指数是表示幂运算中幂的数量的上标数字，如aⁿ中的a就是指数，a叫做底数。

幂是指底数的连乘，幂运算是指数个底数的连乘，用aⁿ表示，其中a为底数，a为指数。

例如2³=2×2×2=8。

二、指数乘法规律指数乘法规律是指指数相乘时的运算规律。

当底数相同、指数相加时，可以将它们合并为一个指数。

aⁿ × aᵐ = a^(a+a)例如2² × 2³ = 2^(2+3) = 2⁵ = 32三、指数除法规律指数除法规律是指指数相除时的运算规律。

当底数相同、指数相减时，可以将它们合并为一个指数。

aⁿ ÷ aᵐ = a^(a-a)例如3⁵ ÷ 3³ = 3^(5-3) = 3² = 9四、指数的乘方规律指数的乘方规律是指指数的指数运算规律。

当幂的指数为指数时，可以将它们相乘。

(aⁿ)ᵐ = a^(a×a)例如(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶ = 64五、乘方的乘法规律乘方的乘法规律是指乘方时幂的指数相乘的运算规律。

当底数相同，指数相乘时，可以将乘方分解成两个指数相乘的形式。

(aⁿ) × (aᵐ) = a^(a+a)例如(4²) × (4³) = 4^(2+3) = 4⁵ = 1024六、乘方的除法规律乘方的除法规律是指乘方时幂的指数相除的运算规律。

当底数相同，指数相除时，可以将乘方分解成两个指数相除的形式。

(完整版)幂的运算方法总结

•幂的运算方法总结幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①a m×a n=a m+n②(a m)n=a mn③(ab)m=a m b m④a m÷a n=a m-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。

思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。

方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

方法原则：可用公式套一套。

但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。

问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。

思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。

因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

方法原则：整体不同靠一靠。

然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。

思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。

简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。

方法原则：逆用公式倒一倒。

当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。

思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。

由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。

简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x=6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3∴x=1.5方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。

整式的乘除知识点总结

整式的乘除知识点总结一、幂的运算1. 同底数幂的乘法- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m· a^n = a^m + n （m，n都是正整数）。

- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。

2. 幂的乘方- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。

- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6。

3. 积的乘方- 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即(ab)^n=a^nb^n（n是正整数）。

- 例如：(2×3)^2=2^2×3^2 = 4×9 = 36。

4. 同底数幂的除法- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^mdiv a^n=a^m - n(a≠0,m,n都是正整数,m > n)。

- 例如：5^5div5^3 = 5^5 - 3=5^2。

- 规定：a^0 = 1(a≠0)；a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p是正整数)。

二、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘- 法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

- 例如：3x^2y·(-2xy^3)=[3×(-2)](x^2· x)(y· y^3)= - 6x^3y^4。

2. 单项式与多项式相乘- 法则：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即m(a + b + c)=ma+mb+mc。

- 例如：2x(3x^2 - 4x + 5)=2x×3x^2-2x×4x + 2x×5 = 6x^3-8x^2 + 10x。

3. 多项式与多项式相乘- 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即(a + b)(m + n)=am+an+bm+bn。

（完整版）幂的运算总结及方法归纳.docx

（完整版）幂的运算总结及方法归纳.docx幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用 a m ? a n a m n（ m 、 n 为正整数）， a m a n a m n （a 0， m 、 n 为正整数且 m ＞ n ）， (a m ) n a mn（ m 、 n 为正整数）， (ab) n a n b n（ n 为正整数）， a 01(a 0) ，a n1（ a 0 ，n为正整数）时，要特别注意各式子成a n立的条件。

◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。

换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。

◆注意上述各式的逆向应用。

如计算0.252004 4 2005，可先逆用同底数幂的乘法法则将42005 写成42004 4 ，再逆用积的乘方法则计算0.25 200442004(0.25 4) 2004120041，由此不难得到结果为1。

◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。

如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。

◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律” 这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。

一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：a m a n a m n m、n为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m a n a p a m m p (m、 n、 p为正整数 )注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数 .（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算 .例题：例 1：计算列下列各题（1）a3 a4；（ 2） b b2b324；（ 3）cc c简单练习：一、选择题1.下列计算正确的是 ( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m+2m=5mD.ａ2+ａ2=2ａ42.下列计算错误的是 ( )A.5 ｘ2- ｘ2=4ｘ2B.ａm+ａm=2ａmC.3m+2m=5mD. ｘ·ｘ2m-1=ｘ 2m3.下列四个算式中①ａ333②ｘ336325·ａ=2ａ+ｘ =ｘ③ｂ·ｂ·ｂ=ｂ④p2+p2+p2=3p2正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列各题中，计算结果写成底数为10 的幂的形式，其中正确的是 ()A.100 × 102=103B.1000× 1010=103C.100 × 103=105D.100×1000=104二、填空题1.ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

幂的知识点

名师总结优秀知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质a m a n a m n(其中m, n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（ 1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（ 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m a n a p a m n p（m, n,p 都是正整数）.（ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即a m n a m a n（m, n都是正整数）.要点二、幂的乘方法则( a m )n a mn(其中m, n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：((a m )n ) p a mnp(a 0，m, n, p均为正整数)（ 2）逆用公式：a mn a mna nm，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题 .要点三、积的乘方法则( ab) n a n b n(其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：(abc)n a n b n c n(n 为正整数).（ 2）逆用公式：a n b n ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计1010算更简便 . 如：121012 1.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时, 指数才可以相加 . 指数为 1，计算时不要遗漏 .（ 3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式( 特别是系数 ) 都要分别乘方 .（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）4243 44；（2） 2a3 a4a5a22a6 a ；（3）( x y)n(x y)n 1(x y)m 1(x y)2 n 1 ( x y)m 1．【答案与解析】解：（ 1）原式423449．（ 2）原式2a3 4a522a6 12a7a72a7a7．（ 3）原式( x y) n n1 m 1( x y)2 n 1 m 1( x y) 2n m( x y)2 n m2( x y) 2n m．【总结升华】（ 2）（ 3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（ 3）小题中把x y 看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）35( 3)3( 3)2；（2）x p(x) 2 p(x) 2 p1（ p 为正整数）；（3）32(2) 2n(2) （ n 为正整数）．【答案】解：（ 1）原式35(3)33235333235 32310．（2）原式x p x2 p(x2 p 1 )x p 2 p 2 p1x5 p 1 ．（3）原式2522n(2)252 n 1262n ．名师总结优秀知识点2、已知2x 220 ，求2x的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x 22x 22【答案与解析】解：由 2x 220 得 2x2220 ．∴2x 5 ．【总结升华】（ 1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（ 2）同底数幂的乘法法则的逆运用：a m n a m a n．类型二、幂的乘方法则3、计算：（ 1）(a m)2；（ 2）[(m) 3 ]4；（3） (a3 m) 2．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（ 1）题中的底数是a，（ 2）题中的底数是m ，（3）题中的底数 a 的指数是3m ，乘方以后的指数应是 2(3 m) 6 2m ．【答案与解析】解：（ 1）( a m)2a2 m．（2）[(m)3 ] 4(m)12m12．（ 3）(a3 m)2a2(3m)a6 2 m ．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆. 幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知x2 m5，求1 x6m 5 的值．5【答案与解析】解：∵x2m 5 ，∴ 1 x6m51 (x55【总结升华】（ 1）逆用幂的乘方法则：a 举一反三：2m)35135 ．2055mn( a m) n(a n ) m．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．【变式 1】已知x a 2 ， x b 3 ．求 x3a2b 的值．【答案】解：x3a 2b x3a x2b( x a )3( x b )223 3289 72．【变式 2】已知8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【答案】解：因为 83m(8m )34364 ,82n(8n )25225 .所以83m 2 n83 m82 n6425 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）(ab)2ab2；（ 2）(4ab)364a3b3；（ 3）( 3x3)29x6．【答案与解析】解：（ 1）错，这是积的乘方，应为：(ab)2a2b2．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：( 3x3)29 x6．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1) (b2)3 (b 2)5(b 2) ；名师总结优秀知识点(2) ( x 2y)2(2 y x)3 ．【答案与解析】解：（ 1） (b 2)3(b 2) 5 (b 2) (b 2) 3 5 1(b 2)9 ．（ 2） ( x 2y)2 (2 y x)3 ( x 2 y)2 [ (x 2 y)3 ]( x 2 y) 5 ．【总结升华】（ 1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：( a) na n (n 为偶数 ),(a b) n(b a )n n(为偶数 )(b ．a n (n 为奇数 ),a) n ( n 为奇数 )类型二、幂的乘方法则2、计算：b)2 ]3 ；（ 1） [(a（ 2） ( y 3 )2 ( y 2 )3 2y y 5 ；（ 3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 ；（ 4） (x 3 ) 2 ( x 3 )4 ．【答案与解析】解：（ 1） [( a b)2 ] 3( a b)2 3 ( a b)6 ．（2） ( y 3 )2 ( y 2 )32 y y 5y 6 y 6 2 y 62 y 6 2 y 60 ．（3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 x 4(2 m 2) x 2( m 1) x 8m 8 x 2m 2x 10m 6 ．（4） ( x 3 )2 ( x 3 )4 x 6 x 12 x 18 ．【总结升华】（ 1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（ 2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、已知 8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【思路点拨】由于已知 8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把入计算 .【答案与解析】解：因为 83m(8m )3 4364 ,82n(8n )2 52 25 .所以 83m 2 n 83 m 82 n 64 25 1600 . 【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知 a 3 m2, b2m3，则 a2 m 3b m 6a 2b 3m b m＝【答案】－ 5；提示：原式a 3 m 2b 2m 3a 3 m2b 2 m2∵∴ 原式＝ 2233 22 32 ＝－ 5.类型三、积的乘方法则4、计算：24（ 2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3] 3（ 1） (2 xy )83m 2 n 变成 83m 82 n (8m ) 3 (8n )2 ，再代. 把 8m , 8n 当成一个整体问题就会迎刃而解.．【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算 .【答案与解析】解：（ 1） (2 xy 2 )4(1)24 x 4 ( y 2 )4 16x 4 y 8 ．（2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3 ]3 (a 2 )3 ( a 12b 9 )3 a 6 ( a 36 ) b 27 a 42b 27 ．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．① 2x 2y3 36x 6 y9②a 2 m3a6 m③ 3a 633a 9④ 51057 107 35 1035⑤0.51000.5 2 10021012名师总结优秀知识点A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 A；提示：只有⑤正确；2x2 y3 38x6 y9；a2 m 3a6m；3a6 327a18；51057107351012 3.51013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（ a ≠0，m、n都是正整数，并且 m n ）要点诠释：（ 1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（ 2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式 .（ 3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 即a0 1 （ a ≠0）要点诠释：底数 a 不能为0， 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0 次方的积 . 因此常数项也叫0 次单项式 .要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即 a n 1（ a ≠0， n是正整数） .a n.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立a m a n a m n（ m 、 n 为整数，a0 ）；ab m a m b m（m为整数， a0 ， b 0 ）a m na mn（ m 、 n 为整数，a0 ）.要点诠释： a n a 0是 a n的倒数， a 可以是不等于0的数，也可以是不等于110 的代数式 . 例如2xy2xy（ xy 0 ），51 b 0）.a b5（ aa b要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10 的数表示成a10n的形式，其中 n 是正整数， 1| a |10（ 2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：5（ 1）x8x3；（ 2）( a)3 a ；（3） (2 xy) 5(2 xy)2；（ 4）11333．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．( 2) 、 ( 4) 两小题要注意符号．【答案与解析】解：（ 1）x8x3x83x5．（2）( a)3a a3 1a2．（3）(2 xy)5(2 xy) 2(2 xy)52(2 xy) 38x3 y3．535321 ．（4）111133339【总结升华】（ 1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（ 1）( x y)5( x y)（ 2）(5a 2b)12(2b 5a)5名师总结优秀知识点（ 3） (3 106 )4 (3 106 )2 （ 4） [( x 2 y)3 ]3 [(2 y x)2 ]4【思路点拨】（ 1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如 (5a 2b)12 (2b 5a)12．（ 2）注意指数为 1 的多项式．如 x y 的指数为 1，而不是 0．【答案与解析】解：（ 1） ( x y) 5( x y)( x y) 5 1 ( x y) 4 ．（2） (5a 2b)12 (2b 5a)5 (2 b 5a)12 (2 b 5a) 5 (2 b 5a)7（3） (3 106) 4 (3 106 )2(3 106) 4 2 (3 106)29 1012 ．（4） [( x 2 y) 3 ]3 [(2 y x) 2 ] 4 (x 2 y)9 ( x 2 y)8 ( x 2 y)9 8 x 2 y ．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知 3m2 ， 3n 4 ，求 9m 1 2n 的值．【答案与解析】解：9m 1 2n 9m 1(32 )m 1 32m 2 32 m3232m32 (3m )2 32 ．92n(32 ) 2n 34n34n(3n )4(3n )4当 3m 2 ， 3n4 时，原式22 32 9 ．44 643m ， 3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知 2 5m 5 2m ，求 m 的值．【答案】5 m 1解：由 25m 5 2m 得 5m 12m 1 ，即 5m 12m 11，1，2∵底数 5不等于 0和 1，2m 1∴55 ，即 m 1 0 ， m 1 ．22类型二、负整数次幂的运算24、计算：（1）2 ；（ 2） a 2 b3 (a 1b)3( ab) 1 ．3【答案与解析】221 1 9 ；解：（ 1）3244239（2） a 2b 3 (a 1b)3 (ab) 1 a 2b 3 a 3b 3 aba 0b b ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：4【变式】计算： 2 51 2 1 2 3 2 (3.14)0 ．2【答案】1 4解： 252 1 23 2 (3.14)021 24 1 12 1 1 16 1 1 2 1 252 23 32 2 81 116 1 532817321 1 n 5、已知 3m， 16，则 m n 的值＝ ________．27 2【答案与解析】解： ∵3m11 3 3，∴ m 3 ．27331n∵2 n ， 16 24 ，∴ 2 n24 ， n 4 ．2∴m n ( 3) 4( 1 1 ．3)4 81【总结升华】先将11 n变形为底数为3 的幂，2 n ， 16 24 ，然后确定 m 、 n 的值，最后代值求 m n ．27 2举一反三：1 b 2c 3 3【变式】计算：（ 1） ( a 1b 2c 3 )2 ；（ 2） b 2 c 3；2【答案】解：（ 1）原式2 4c 6b 46 ． a b2 ca8b8（2）原式b 2 c3 8b 6 c98b 8 c12 ．12c类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（ 1） 0.00001 ；（ 2）0.000000203 ；（ 3）-0.000135 ；（ 4） 0.00067【答案与解析】解：（ 1） 0.00001 ＝ 10 5；（ 2） 0.000000203 ＝ 2.03 10 7 ；（ 3） -0.000135 ＝ 1.35 10 4 ；（ 4） 0.00067 ＝ 6.7 10 4 .【总结升华】注意在 a10 n中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一. 选择题351.cc 的值是 ( ) ．A.c 8B.15C.c 15D. c 8c2． a na n 2的值是() ．A. a n 3B. a n n 2C. a 2 n 2D. a 83．下列计算正确的是( ) ．A. x 2x 2 x 4B.x 3 x x 4x 7C. a 4 a 4 a 16D.a a 2a 34．下列各题中，计算结果写成10 的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100 × 102 ＝ 103B. 1000 × 1010 ＝ 1030C. 100 × 103 ＝ 105D. 100× 1000＝ 1045．下列计算正确的是 ( )．A. xy 3xy3B. 5xy225x 2 y 4C.3x22 9x4D. 2 xy2 3 8x 3 y66．若 2a m b n 38a 9b 15 成立，则 ( )．A. m ＝ 6， n ＝ 12B. m ＝ 3， n ＝12C. m＝ 3，n＝ 5D. m＝ 6，n＝5二. 填空题7.若 2m6, 2n 5 ，则2m n＝____________．8.若 a3x a a19，则 x ＝_______．9.已知a3n5，那么a6n ______．10．若a3a m a8，则 m ＝______；若33x181 ，则 x ＝______．11.23______；33______ ；3252n＝ ______ ．12. 若 n是正整数，且 a2n10 ，则 (a3n )28(a2 )2n＝ __________.三. 解答题13.判断下列计算的正误．（ 1）x3x3x6()（2）( y3)2y5( )（ 3）( 2ab2)22a 2b4（）（4）(xy 2 )2xy 4() 14. （ 1）x(x3 )8(x4 )3；（2）( 1 a2b3)3(a3b2 )2；3（3）10 ( 0.3103 ) (0.4 105) ；（ 4）b 2a 32a5；b（5）5a6 23a3 3a3；15. （ 1）若x n x3 n 3x35，求 n 的值．（ 2）若a n b m b 3a9b15，求 m 、 n 的值．【答案与解析】一. 选择题1.【答案】 D；35c 35c88.【解析】c c c2. 【答案】 C；【解析】 a n a n 2a n n 2a2n 2 .3.【答案】 D；【解析】 x2x22x2； x3 x x4x8； a4 a4a8.4.【答案】 C；【解析】 100×102＝104； 1000×1010＝1013；100× 1000＝105 .5.【答案】 D；【解析】3x3 y3； 5xy2225x2 y4； 3x224 . xy9x6.【答案】 C；【解析】2a m b n38a3 m b3 n8a9b15 ,3 m 9,3 n 15 ，解得 m ＝3， n ＝5.二. 填空题7.【答案】30；【解析】 2m n2m2n6530 .8.【答案】6；【解析】 a3x 1a19,3 x119, x 6 .9.【答案】25；【解析】 a6n a3 n 25225 .10.【答案】 5； 1；【解析】 a3 a m a3 m a8,3 m 8, m 5 ； 33x 181 34 ,3 x 1 4, x 1.11.【答案】 64；n9；310；12.【答案】 200；【解析】 ( a3 n ) 28( a2 )2n a2 n 328 a2 n1000 800 200 .名师总结优秀知识点三 . 解答题 13. 【解析】解：（ 1）×；（ 2）×；（ 3）×；（ 4）× 14. 【解析】解：（ 1） x ( x 3) 8( x 4 )3xx 24 x 12x 37 ；（2） ( 1a 2b 3 )3 ( a 3b 2 )21 a 6b 9 a 6b 4 ；327（3） 10 ( 0.3 103 ) (0.4 105) 0.3 0.4 10103 105 1.2 108 ；（4） b2a 352a 32a 52a8；2a bb b b （5）5a 623a 3 3 a 3 25a 12 27a 9 a 32a 12 .15. 【解析】解：（ 1）∵ x n x 3 n 3x 35∴x 4n 3x 35∴ 4 n ＋3＝ 35 ∴ n ＝ 8（ 2） m ＝ 4， n ＝ 3解：∵ a n b m 3a 9b 15b∴ a 3n b 3m b 3a 3nb 3 m 3 a 9b 15∴ 3 n ＝9 且 3 m ＋ 3＝15 ∴ n ＝ 3 且 m ＝ 4。

六年级幂运算及整式乘除知识点总结

幂运算及整式乘除知识点总结一、幂运算1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

公式：n m n m a a +=•a (m 、n 都是正整数）2、同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘。

公式：mn n a a =)(m (m 、n 都是正整数）3、积的乘方：积的每个因式都乘方，再把所得的幂相乘。

公式：nn n b a =)ab (（n 为正整数）4、同底数幂相除，底数不变，指数相减。

公式：n m n m a a -=÷a (a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n ）正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等。

经典例题全解：（同底数幂的乘法）题型一：底数是和、差或其他形式的幂相乘比如例1：53232)()()()x (y x y x y x y +=+=+•++本题应用了整体的数学思想，把（x+y ）看作一个整体，从而利用法则进行计算。

题型二：同底数幂乘法法则的逆运用比如例2：已知m a =2，n a =3，求：n m +a当要求值的幂的指数是“和”的形式时，考虑逆运用法则--相当于拆分成同底数幂乘法。

632a a a n m =⨯=⋅=+n m题型三：同底数幂乘法法则的应用比如例3：（1）已知m 3=5，求23+m 的值；（2）若=++-=•-12,2422m m x x x m m 求？等式两边都可以转化为幂的形式时，如果两边的底数相同，那么它的底数也相同！题型四：几种幂的综合运算比如例4：计算：（1）x x x x x x •--+••2433243)2()(；（2）7233323)5()3()(2a a a a a •-+•；（3）a b a b a b a x x x x )()()(3232-•+-•--+ 注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同运算，注意负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，同时注意运算顺序。

题型五：幂的运算性质的逆运用比如例5：若n n m 3m 2n m 33,33,93++==，求的值。

幂的运算知识点总结

第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅==⋅++数数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：是正整数相加。

即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n n ),m (
知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方⎪⎩
⎪⎨⎧==)()(),(a a a a m n m m n mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。

2、
3、积的乘方⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=(ab)(ab)n n n n n n )(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。

即把每一个因式分别乘方
知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯==⨯=≠=≠=>≠=÷-m nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)0010(02.50000502.0)1-10(96.6696000),0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。

即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。

即同底数幂相除，底数不
),,,0a ()4()()3(),()2(),m ()1(n -m n m n n n n (ab))(n m n m n n m m n a a a b a a a a a a mn n n m m >≠=÷⋅===⋅+是正整数是正整数是正整数是正整数。

幂的运算知识归纳总结,(知识点,关系,典型考题)A4思维导图

幂的运算知识归纳总结,(知识点,关系,典型考题)A4思维导图问题：幂的运算知识归纳总结，1、自然数幂的定义。

①从1开始到 n（不包括0）这个范围内都是有限个相同因子组成的自然数叫做自然数；②正整数和零既不能被看作是自然数也不能被看作非自然数.只有正数才可以称为自然数。

③在所有自然数中，正整数有无穷多个，负整数有无穷多个。

这些无穷多个正整数和无穷多个负整数统称为整数。

2、整数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们就说 a 是一个正整数的指数幂。

例如：2^3，2^2…2^ n，其中， a 是整数， n 是自然数或者正整数．3、有理数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们还可以把它写成小数形式，即 a= a×(n/ m)，其中 m 是整数， n 是大于等于1的正整数。

当 a 的指数是正整数时，我们通常用字母 x 表示，而且小数部分的数值保留到整数部分后面。

例如：2^ x，2^ x…2^(x-1)，其中， x 是整数， x-1是小数点。

3、有理数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们还可以把它写成小数形式，即 a= a×(n/ m)，其中 m 是整数， n 是大于等于1的正整数。

当 a 的指数是正整数时，我们通常用字母 x 表示，而且小数部分的数值保留到整数部分后面。

例如：2^ x，2^ x…2^(x-1)，其中， x 是整数， x-1是小数点。

4、对于实际问题，应该先计算出各种可能的结果，再利用公式进行推导。

5、要求，每条推论的前提必须是正确的，但在解决具体问题时，我们往往会忽略掉某些条件，使得最终的结果与预期的存在偏差。

因此，遇到需要运用公式进行推导的问题时，一定要先判断好已知条件的真假性，否则会影响到最终结果的准确性。

幂的知识点

幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则 ()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p pp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=． ∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25m x =，求6155m x -的值．【答案与解析】解：∵ 25m x =，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值．【答案】解：32323232()()238972a b ab a b x x x x x +===⨯=⨯=．【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则 5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m xx -+⋅；（4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【思路点拨】由于已知8,8m n 的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n 变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入计算.【答案与解析】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8m n 当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝．【答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ；如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知32m =，34n =，求129m n +-的值．【答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m n n n n n n n ++++-======．当32m=，34n =时，原式224239464⨯==．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知2552m m ⨯=⨯，求m 的值．【答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵ 底数52不等于0和1， ∴ 105522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =．类型二、负整数次幂的运算 4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2313123330()()a b a b ab a ba b ab a b b -----÷===．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-．【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求n m ．举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【答案】解：（1）原式424626b a b c a c --==．（2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==．类型三、科学记数法 6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )． A. 3n a + B. ()2n n a + C. 22n a+ D. 8a 3．下列计算正确的是( )． A.224x x x += B.347x x x x ⋅⋅= C. 4416a a a ⋅= D.23a a a ⋅=4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列计算正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )． A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5 二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319xa a a ⋅=，则x ＝_______． 9. 已知35n a=，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______． 11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______． 12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________. 三.解答题13. 判断下列计算的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( ) （3）2224(2)2ab a b -=- （）（4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-；（2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯；（4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅； 15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b ba b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【答案】C ；【解析】2222n n n n n a aa a ++++⋅==. 3. 【答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=. 6. 【答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=. 8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x aa x x +=+==. 9. 【答案】25；【解析】()2632525n n a a===. 10.【答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【答案】64；9n -；103-；12.【答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=.三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x x x +⋅=∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b b a b ⋅⋅=∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4。

初中数学知识归纳幂与指数的计算与应用

初中数学知识归纳幂与指数的计算与应用【初中数学知识归纳】幂与指数的计算与应用在初中数学学习中，幂与指数是一个重要的内容。

幂是指以一个数为底数，另一个数为指数的运算。

指数表示一个数重复相乘的次数。

正确地掌握幂与指数的计算与应用是学好数学的基础。

本文将系统介绍幂与指数的基本概念、计算方法及其在实际应用中的作用。

1. 幂的基本概念幂是数学中的一种运算，它通过指数的方式表示底数的多次相乘。

在幂的运算中，可以分为底数和指数两个部分。

其中，底数表示被乘的数，指数表示底数重复相乘的次数。

幂的表示方法如下：a^m = a × a × a × … × a （m个a相乘）其中，a为底数，m为指数。

2. 幂数的运算规律（1）幂数的乘法运算当底数相同时，幂数相乘的指数等于指数相加。

即：a^m × a^n = a^(m+n)（2）幂数的除法运算当底数相同时，幂数相除的指数等于指数相减。

即：a^m ÷ a^n = a^(m-n)（3）幂数的乘方运算当幂数进行乘方运算时，指数相乘。

即：(a^m)^n = a^(m×n)3. 计算幂数的基本方法（1）同底数幂数的乘法或除法运算当底数相同时，幂数的乘法或除法运算可以直接对应指数相加或相减的方式进行计算。

例如：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^72^5 ÷ 2^2 = 2^(5-2) = 2^3（2）幂数的乘方运算对于幂数进行乘方运算时，指数相乘即可。

例如：(2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^64. 幂与指数在实际应用中的作用幂与指数的计算与应用不仅仅是理论的掌握，更体现在实际生活中的应用价值。

幂与指数运算在许多领域中都有广泛的应用，以下是几个常见的应用示例：（1）科学计数法科学计数法是一种用幂与指数表示较大或较小的数字的方法，它简化了数字的书写，便于计算和比较。

幂的运算知识点归纳总结

幂的运算知识点归纳总结
我给你说说幂的运算这档子事儿啊。

幂啊，就像一个小怪物，底数是它的身子，指数是它的力量。

咱先说同底数幂相乘，就像一群同样的小蚂蚁，底数不变，指数相加。

我就想起我小时候在村里，看到一群蚂蚁搬东西，那也是力量叠加啊。

同底数幂相除呢，底数也不变，指数相减，这就像分东西，力量分散了呗。

幂的乘方啊，底数不变，指数相乘。

这感觉就像把一个小力量再放大，我老家有个吹糖人的，他把那一点点糖稀，一点点吹气，就变成好大个的糖人儿，那指数相乘就有点这个意思。

零指数幂可有意思了，底数不能为零，结果是1啊。

这就像一个突然冒出来的小奇迹，啥都没有的时候，却有个1在那。

我记得有次和村里老张聊天，说到这个，他眼睛瞪得老大，说“这咋回事呢，啥都没有咋就成1了呢？”我就给他比划着解释，就像一个空盒子，它也代表有个存在，就是1嘛。

负指数幂呢，底数也不能为零，结果是正指数幂的倒数。

这就像一个反过来的事儿，我看到村头那棵歪脖子树，树枝都是往一边倒的，负指数幂就像和正指数幂对着干，但是又有联系，就像那树的两边枝丫，看着不一样，其实都是那棵树的。

我每次想到幂的运算，就像回到了村里，看到那些熟悉的人和事儿。

这些幂的运算规则啊，就像村里的老规矩一样，虽然看着简单，但是得好好琢磨，要是弄错了，就像在村里走错了路，会惹出不少麻烦呢。